Efektywność Procedur Obliczeniowych

Efektywność Procedur

Obliczeniowych

wykład 6

Klasy problemów (1)

Klasę P tworzą wszystkie problemy decyzyjne,

które w co najwyżej wielomianowym czasie może rozwiązać DTM.

Klasę NP tworzą wszystkie problemy decyzyjne, które w co najwyżej wielomianowym czasie może rozwiązać NDTM

P  NP

Klasy problemów (2)

Klasa P – wielomianowa

Klasa NP – niedeterministycznie

wielomianowa

Klasy problemów (3)

Klasa P zawiera wszystkie te problemy decyzyjne, dla których znaleziono

wielomianowe algorytmy ich rozwiązania.

Klasa NP zawiera te wszystkie problemy decyzyjne, dla których znaleziono

ponadwielomianowe algorytmy ich

rozwiązania.

Transformacja wielomianowa (1)

Transformacją wielomianową (realizowaną w czasie

wielomianowym) problemu Π₂do problemu Π₁(Π₂  Π₁) jest funkcja f:D_Π2  D_Π1 spełniająca warunki:

1. Dla każdej instancji I₂D_Π2odpowiedź brzmi

„tak” wtw., gdy dla instancji

f(I₂)odpowiedź również brzmi „tak”

2. Czas obliczenia funkcji f przez DTM dla każdej instancji I₂D_Π2 jest ograniczony od góry

przez wielomian od N(I₂)

Transformacja wielomianowa (2)

Własności transformacji wielomianowej Lemat 1 Transformacja wielomianowa jest

przechodnia, tzn. jeśli Π₂Π₁ i Π₂Π₁, to Π₃Π₁ Lemat 2 Jeżeli Π₂Π₁ i Π₁P, to Π₂P

Lemat 3 Jeżeli Π₂Π₁ i Π₂P, to Π₁P

Wniosek: jeżeli Π₂Π₁, to problem Π₁jest co najmniej tak trudny jak Π₂.

Klasy problemów (4)

Problem decyzyjny Π₁ jest nazywany NP–zupełnym, jeśli:

1. Π₁NP,

2. Dla każdego innego problemu decyzyjnego Π₂NP jest Π₂Π₁.

Klasy problemów (5)

Zatem, jeśli istniałby algorytm wielomianowy do rozwiązywania jakiegokolwiek problemu NP–

zupełnego, to każdy problem klasy NP (w tym również problemy NP–zupełne) mógłby być rozwiązany za pomocą algorytmu

wielomianowego.

Ponieważ jak dotąd bezskuteczne są poszukiwania algorytmu wielomianowego dla

któregokolwiek problemu NP–zupełnego, wynika pesymistyczny wniosek, że prawie na pewno wszystkie problemy NP–zupełne można rozwiązać tylko przy użyciu algorytmów

ponadwielomianowych.

Klasy problemów – wnioski (6)

1. Klasa problemów NP–zupełnych zawiera problemy równoważne wielomianowo, tzn jeśli Π_{1 i} Π_{2 są NP–}

zupełne to Π₂Π_{1 i} Π₁Π_2.

2. Klasa problemów NP–zupełnych zawarta jest w klasie NP.

3. Jeśli dla pewnego problemu NP–zupełnego istnieje wielomianowy algorytm rozwiązania, to wszystkie problemy NP–zupełne są rozwiązywalne w czasie wielomianowym.

4. Klasa problemów NP–zupełnych zawiera najtrudniejsze problemy z klasy NP.

Klasy problemów – resume (7)

P – klasa problemów rozwiązywalnych w czasie wielomianowym.

NP – klasa problemów nie rozwiązywalnych w czasie wielomianowym.

Problemy otwarte to takie, dla których nie znaleziono algorytmu wielomianowego

rozwiązania ani nie wykazano NP–zupełności.

Klasy problemów (powtórka 4)

Problem decyzyjny Π₁ jest nazywany NP–zupełnym, jeśli:

1. Π₁NP,

2. Dla każdego innego problemu decyzyjnego Π₂NP jest Π₂Π₁.

trudniejszy do udowodnienia jest punkt 1 czy 2?

Dowód NP–zupełności (1)

Twierdzenie

Problem plecakowy jest NP–zupełny.

jak to zrobić?

Dowód NP–zupełności (2)

1. Pokazać, że rozwiązanie Π₁ (problem

plecakowy) jest weryfikowalne w czasie wielomianowym.

2. Pokazać transformację wielomianową Π₂Π₁ ze znanego problemu NP–zupełnego Π₂ (?) do badanego problemu Π₁.

Dowód NP–zupełności (3)

Skończony zbiór elementów E={e₁,e₂,…,e_n}.

Rozmiar elementu s(e_i)>0 i wartość v(e_i)>0.

Pojemność plecaka b>0 i próg (opłacalności) y>0.

Czy istnieje podzbiór E’  E taki, że:

𝑠(𝑒𝑖) ≤ 𝑏

𝑒_𝑖∈𝐸^′

𝑣(𝑒𝑖) ≥ 𝑦

𝑒_𝑖∈𝐸^′

Dowód NP–zupełności (4)

1. Pokazać, że rozwiązanie Π₁ (problem

plecakowy) jest weryfikowalne w czasie wielomianowym.

Czy v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y ? Czy s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b ?

Dowód NP–zupełności (5)

W jakim czasie można wykonać każdy z tych kroków?

v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y ? s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b ?

Dowód NP–zupełności (6)

W jakim czasie można wykonać każdy z tych kroków?

v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y ? s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b ?

W czasie wielomianowym.

Dowód NP–zupełności (7)

2. Pokazać transformację wielomianową Π₂Π₁ ze znanego problemu NP–zupełnego Π₂ (?) do badanego problemu Π₁.

Π₂ – jaki to problem?

Dowód NP–zupełności (8)

W 1971 roku Stephen Cook opublikował pracę pt. „The complexity of theorem proving

procedures”.

Udowodnił, że problem SAT jest problemem NP–zupełnym.

Od tego momentu można stosować transformacje wielomianowe do dowodzenia NP–zupełności.

Dowód NP–zupełności (9)

Inne znane problemy NP–zupełne (6 z ~1000) 1. Problem trójspełnialności (3SAT)

2. Znajdowanie cyklu Hamiltona

3. Znajdowanie pokrycia wierzchołkowego 4. Kolorowanie grafu

5. Problem plecakowy

6. Problem podziału zbioru

Dowód NP–zupełności (10)

Ogólna procedura transformacji wielomianowej Dane problemu znanego transformujemy (musi się to odbyć w czasie wielomianowym, inaczej nie będzie to transformacja wielomianowa) w dane problemu badanego, a następnie wykonujemy program ^{(na DTM)} rozwiązujący problem badany i otrzymujemy odpowiedź tak lub nie.

Dowód NP–zupełności (11)

Problemu podziału zbioru

X={x₁,…,x_i,…,x_n} – zbiór n elementów x_iN⁺_,

gdzie N⁺={1,2,…}

𝑥_𝑖

𝑛𝑖=1 = 2B

Czy istnieje podzbiór X’ X takie, że _𝑥 𝑥_𝑖

𝑖∈𝑋₁ =B ?

Dowód NP–zupełności (12)

Związek PPZ i PP – na słonikach 

Stado słoników E zwiera m słoników w określonym wieku.

Czy można podzielić to stado na takie dwa stada b i X, że suma wieku słoników w stadzie b będzie równa

sumie wieku słoników w stadzie X?

Dowód NP–zupełności (14)

Transformacja wielomianowa z problemu PZ

v(e)= x(e) s(e)=x(e) y = 0,5Σx(e) b = 0,5Σx(e)

Dowód NP–zupełności (15)

Transformacja musi zachowywać równoważność problemów

Załóżmy, że dla PZ odpowiedź DTM jest tak.

Zatem istnieją takie e₁,e₂,…,e_k, ^że 0,5 ^𝑘_𝑖=1 𝑥_𝑖

co po transformacji wg reguł…

Dowód NP–zupełności (16)

co po transformacji wg reguł:

v(e)= x(e)  s(e)=x(e) 

y = 0,5Σx(e)  b = 0,5Σx(e)

daje: v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b

Dowód NP–zupełności (17)

daje:

v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b

Czyli, odpowiedź dla PP będzie… (?)

Dowód NP–zupełności (18)

daje:

v(e₁)+v(e₂)+…+v(e_k) ≥ y s(e₁)+s(e₂)+…+s(e_k) ≤ b

Czyli, odpowiedź dla PP będzie… TAK

Dowód NP–zupełności (19)

Transformacja musi zachowywać równoważność problemów

Załóżmy, że dla PP odpowiedź DTM jest tak.

Zatem istnieją takie

v₁,v₂,…,v_k ≥ y  s₁,s₂,…,s_k ≤ b

Zatem, w związku z tym, że…

Dowód NP–zupełności (20)

v(e)= x(e) s(e)=x(e) y=b=0,5Σx(e)

więc 0,5 ^𝑘_𝑖=1 𝑥_𝑖 ≥ 0,5  0,5 ^𝑘_𝑖=1 𝑥_𝑖 ≤ 0,5 zatem 0,5 ^𝑘_𝑖=1 𝑥_𝑖 = 0,5

czyli, odpowiedź dla PPZ będzie brzmieć tak.

NP–trudność problemów opt.

Jeśli wersja decyzyjna problemu

optymalizacyjnego jest NP–zupełna, to taki problem optymalizacyjny jest NP–trudny.

I…

…na tym koniec na dzisiaj 