Teoriogrupowe aspekty symetrii miar konfirmacji

(1)

Teoriogrupowe aspekty symetrii miar konfirmacji

Robert Susmaga Izabela Szczęch

IDSS Poznań, 2017

(2)

• Idea miar konfirmacji

• Właściwości symetrii miar konfirmacji

• Elementy teorii grup

• Symetrie miar jako elementy grupy

• Rozwiązania teoriogrupowe

– problemu niekompletności zbioru symetrii

– problemu niespójności podziału zbioru symetrii

• Podsumowanie

Plan prezentacji

(3)

• Reguła postaci E ⇒ H

przesłanka konkluzja

• Zadanie: zawęzić zbiór wyidukowanych reguł

• Narzędzie: miary atrakcyjności reguł

Reguły decyzyjne i ich ocena

(4)

Reguły decyzyjne i ich ocena

jeżeli (Włosy = rude) & (Oczy = niebieskie) to (Narodowość = niemiecka)

jeżeli przesłanka to konkluzja

E ⇒ H

dziedziny: binarne

• Tablica kontyngencji pozwala na obliczanie

wartości miar atrakcyjności (np. miar konfirmacji)

Wzrost Włosy Oczy Narodowość wysoki blond niebieskie szwedzka

średni ciemne piwne niemiecka średni blond niebieskie szwedzka wysoki blond niebieskie niemiecka niski rude niebieskie niemiecka średni ciemne piwne szwedzka

¬E ¬H

¬E H

¬E ¬H

¬E H

E H

¬E ¬H

H ¬ H

E ^a ^c

¬ E ^b ^d

a = sup(E,H) ≥ 0 b = sup(¬E,H) ≥ 0 c = sup(E,¬H) ≥ 0 d = sup(¬E,¬H) ≥ 0 n = a+b+c+d

H ¬ H

E ¹ ⁰

¬ E ² ³

(5)

• Spełniają następujące warunki:

• Miary konfirmacji mierzą jak silnie przesłanka E potwierdza konkluzję H

( )

if 0

if 0 ,







<

=

>

H P E

H P

H P E

H P

H P E

H c

Miary konfirmacji

( )

/ ) (

) /(

if 0

/ ) (

) /(

if 0

/ ) (

) /(

if 0 ,







+

<

+

<

+

= +

=

+

>

+

>

n b a c

a a

n b a c

a a

n b a c

a a E

H c

(6)

Miary konfirmacji

(Carnap 1950/1962)

(Christensen 1999)

(Mortimer 1988)

(Nozick 1981)

(Carnap 1950/1962)

(Finch 1960)

(Rips 2001)

(Kemeny and Oppenheim 1952)

d b

b c

a E a

H

S − +

= + ) , (

|

| ) ) (

,

( U

c a b a E a

H

M − +

= +

d c

c b

a E a

H

N − +

= + ) , (

|2

|

) )(

(

| ) |

, (

U

b a c a U

E a H

C ₌ ₋ ⁺ ⁺

) 1 )(

(

| ) |

,

( −

+

= +

b a c a

U E a

H R

| ) |

,

( U

b a c a E a

H

D − +

= +

) )(

(

| 1 |

) ,

( a c c d

U E c

H

G = − + +

ac bc

ad

bc E ad

H F

) 2 ,

( + +

= −

(7)

• Problem wyboru miary spośród bogatego zbioru

• Własności miar jako wskazówka przy wyborze miary

– własność monotoniczności M

– własności dotyczące zachowania się miar w ekstremach:

Ex₁, weak Ex₁, minimality/maximality – własności symetrii

– B

• Własności symetrii dotyczą wymagań wobec

zachowania miar w sytuacji zanegowania E i/lub H, oraz zamiany rolami E i H

• Wiele prac na temat symetrii; niejednoznaczne wyniki

Własności miar konfirmacji

(8)

Symetrie miar: podejście klasyczne Eells et al.

• Carnap, Eells et al.:

commutativity (inversion) symmetry IS: c(H, E) = c(E, H) evidence symmetry ES: c(H, E) = −c(H, ¬E)

hypothesis symmetry HS: c(H, E) = −c(¬H, E)

total (evidence-hypothesis) symmetry EHS: c(H, E) = c(¬H, ¬E)

• Carnap, R.: Logical Foundations of Probability, 2nd ed., University of Chicago Press, 1962

• Eells, E., Fitelson, B.: Symmetries and asymmetries in evidential support, Philosophical Studies, 107, 129–142, 2002

(9)

Evidence symmetry Eells et al.

• Według Eells et al. ES: c(H, E) = −c(H, ¬E) jest niekorzystna

• Przykład:

jeżeli wyciągnięta karta to 7pik to karta jest czarna

• „7pik” bardziej potwierdza, że karta jest „czarna”

niż „nie7pik” zaprzecza że karta jest „czarna”

• zatem ES jest niekorzystną własnością wg Eells et al., czyli powinno zachodzić ∃_E,H c(H, E) ≠ −c(H, ¬E)

(10)

Symetrie miar: podejście klasyczne Crupi et al.

• Rozszerzająca propozycja Crupi et al.:

IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)

EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H) EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E) ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E) HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E) EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H) HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)

• Podejście kontekstowe rozróżniające sytuacje:

– konfirmacji (Pr(H|E) > Pr(H)), – dyskonfirmacji (Pr(H|E) < Pr(H))

(łącznie 14 różnych symetrii )

• Crupi, V., Tentori, K., Gonzalez, M.: On Bayesian measures of evidential support:

Theoretical and empirical issues, Philosophy of Science, 74, 229–252, 2007

(11)

Inversion symmetry Crupi et al.

• Według Crupi et al. IS: c(H, E) = c(E, H) jest korzystna w sytuacji dyskonfirmacji

• Przykład:

jeżeli wyciągnięta karta to As, to karta jest figurą

• „As” tak samo mocno zaprzecza że karta jest „figurą” jak

„figura” zaprzecza że karta jest „Asem”

• zatem IS jest korzystną własnością wg Crupi et al.

czyli powinno zachodzić ∀_E,H c(H, E) = c(E, H)

(12)

Symetrie miar: podejście Greco et al.

• Bezkontekstowa propozycja Greco et al.:

IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)

EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H) EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E) ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E) HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E) EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H) HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)

(łącznie: 7 różnych symetrii)

• Greco, S., Slowinski, R., Szczech, I.: Finding meaningful Bayesian confirmation measures Fundamenta Informaticae, 21, IOS Press, 1001–1016, 2013

• Greco, S., Slowinski, R., Szczech, I.: Measures of rule interestingness in various perspectives of confirmation, Information Sciences, 346–347C, 216–235, 2016

(13)

Evidence symmetry Greco et al.

• Według Greco et al. ES: c(H, E) = −c(H, ¬E) jest pożądana

• Przykład (tablica kontyngencji):

• dla c(H, E) mamy:

Pr(H|¬E) = b/(b+d) = 0.99 and

Pr(H|E) = a/(a+c) = 1, co daje 1% zwiększenie konfirmacji

• dla c(H, ¬E) mamy:

Pr(H|E) = 1 and Pr(H|¬E) = 0.99, co daje 1% spadek

• Wniosek: konfirmacja dla reguły E→H powinna być takiej samej wartości i przeciwnego znaku co konfirmacja dla reguły ¬E→H

H ¬ H

E ^{a = 100} ^{c = 0}

¬ E ^{b = 99} ^{d = 1}

(14)

• dla korzystnych symetrii zależność ma zachodzić dla każdego E,H

– np. dla IS: ∀_E,H c(H,E) = c(E,H)

• dla niekorzystnych symetrii mają istnieć E,H, dla których zależność nie zachodzi

– np. dla IS: ∃_E,H c(H,E) ≠ c(E,H)

Zestawy nie/korzystnych symetrii

IS EHIS EHS ES HS EIS HIS

Eells et al. bezkontekstowe nie - nie nie tak - -

Crupi et al. konfirmacja nie tak nie nie tak nie tak dyskonfirmacja tak nie nie nie tak tak nie Greco et al. bezkontekstowe nie nie tak tak tak nie nie

(15)

• Dwa problemy rozważanych zbiorów symetrii

– niekompletność

– niespójność wartościowania korzystne/niekorzystne

Braki klasycznego podejścia do symetrii miar

(16)

Rozwiązanie: podejście teoriogrupowe

• Teoria grup

– teoria zajmująca się symetriami (w najszerszym rozumieniu)

(17)

• Na wejściu: bezkres oceanu^* algebry teoriogrupowej

– ...

– ... / algebry / monoidy / grupoidy / ...

– .. / grupy / półgrupy / nadgrupy / podgrupy / ...

– ... / skończone / nieskończone / ...

– ... / morfizmy / izomorfizmy / epimorfizmy / endomorfizmy / homomorfizmy / automorfizmy / ...

– ... / abelowości / neutralności / normalności / ilorazowości / odwrotności / ...

– ... / rozkłady / warstwy / orbity / sumy / iloczyny / ...

– ... / koniugacje / permutacje / ...

– ... / charaktery / generatory / komutatory / centralizery / normalizery / ...

– ...

* podróże po nim grożą utonięciem (rzadziej) i/lub zaśnięciem (częściej) (w ramach tej prezentacji: kurs na materacu /z plażą w zasięgu wzroku/)

Elementy teorii grup

(18)

• A na dobry początek: (mały) mętlik terminologiczny

– „algebra”: dział matematyki

• np. „algebra liniowa”, „algebra analityczna”, „algebra abstrakcyjna”

– „algebra”: obiekt/struktura

• analizowana w ramach „algebry abstrakcyjnej”

(19)

• Ujednoznacznienie

– „algebra” (ta, którą zajmuje się „algebra abstrakcyjna”) to para 〈X, ⊗〉, gdzie

• X jest zbiorem elementów

• ⊗ jest funkcją postaci: X×X → X

– ze względu na przeciwdziedzinę funkcja ta nazywana jest operacją – uniwersalne oznaczenie (dla x₁,x₂ ∈ X): „x₁ ⊗ x₂” (infiksowe)

» zamiast prefiksowego: „⊗(x₁,x₂)”

– „algebra abstrakcyjna” (ta, która zajmuje się „algebrami”) to nauka o właściwościach algebr (w powyższym sensie)

(20)

• Jeżeli algebra 〈X, ⊗〉 przy X ≠ ∅ spełnia:

– ∀_x,y,z_∈X (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z)

• łączność operacji

– ∃_e_∈X∀_x_∈X e ⊗ x = x ⊗ e = x

• istnienie (jednego /wspólnego/) elementu neutralnego e

– ∀_x_∈X∃!_y_∈X x ⊗ y = y ⊗ x = e

• istnienie (unikalnych /indywidualnych/) elementów odwrotnych

to jest nazywana grupą

– uproszczenie terminologiczne: wyrażenia postaci:

• „(nie) należy do grupy”

są używane w znaczeniu

• „(nie) należy do zbioru X grupy”

(21)

• Podstawowa („definiująca”) właściwość grupy:

kompletność/samowystarczalność

– ∀_x,y_∈X∃!_z_∈X x ⊗ y = z^* i ∀_z∈X∃_x_,_y_∈X z = x ⊗ y – ∀_x∈X∃!_y_∈X x ⊗ y = e ⇔ ∀_x∈X∃!_y_∈X y = x^–1

• gdzie e jest (istniejącym) elementem neutralnym

(uwaga: w ogólności x, y i z nie muszą być elementami różnymi od siebie)

* formalnie: to jest już właściwością monoidów

(22)

• Różne relacje między grupami

– pionowe (zawieranie)

• nadgrupy

• podgrupy

– poziome (równoważność/odpowiedniość)

• izomorfizm: wzajemna jednoznaczność

– prościej: posiadanie identycznej/analogicznej struktury

• formalnie: grupy 〈A, ⊗〉 i 〈B, ⊕〉 są izomorficzne, gdy istnieje bijektywna funkcja h: A → B taka, że ∀_x,y∈Ah(x ⊗ y) = h(x) ⊕ h(y)

(23)

• Grupy skończone: |X| = n < ∞, wtedy

– definicja operacji: wyspecyfikowanie tzw. tablicy Cayleya, czyli tablicy złożonej z:

• n wierszy (oznaczonych przez x₁..x_n),

• n kolumn (oznaczonych przez x₁..x_n),

i takiej, że element o współrzędnych (i,j) zawiera x_i ⊗ x_j

(24)

• Grupy skończone: c.d.

– tablice Cayleya

• możliwy rozkład n elementów zbioru X na n² pozycjach

tablicy Cayleya wynika z warunków spełnianych przez grupę:

każdy element występuje

– dokładnie jednokrotnie w każdej kolumnie

i

– dokładnie jednokrotnie w każdym wierszu

• zwyczajowo na pierwszym miejscu zbioru kolumn/wierszy umieszcza się element neutralny grupy; kolejność dalszych elementów jest taka sama w kolumnach, jak w wierszach

– pewna analogia

• kwadrat łaciński

– istnieje co najmniej n!·(n–1)!·(n–2)!·...·2!·1! takich kwadratów

» oczywiście: liczba grup < liczba kwadratów łacińskich

(ponieważ różne kwadraty mogą charakteryzować tę samą grupę)

(25)

• Proste grupy skończone

– dla X = {e}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e |

---

e | e |

---

każdy element: dokładnie raz – w każdej kolumnie – w każdym wierszu

(26)

– dla X = {e}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e |

---

e | e |

--- (tzw. grupa trywialna)

(grupa cykliczna Z₁) (unikalna)

(27)

– dla X = {e, a}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e | a |

---

e | e | a |

---

a | a | e |

---

(28)

– dla X = {e, a}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e | a |

---

e | e | a |

---

a | a | e |

--- (grupa cykliczna Z₂)

(unikalna)

– uniwersalność

• posiadanie analogicznej struktury (formalnie: izomorfizm)

(29)

– dla X = {e, a, b}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e | a | b |

---

e | e | a | b |

---

a | a | b | e |

---

b | b | e | a |

---

(30)

– dla X = {e, a, b}, gdzie e jest elementem neutralnym, tablica Cayleya ma postać:

⊗ | e | a | b |

---

e | e | a | b |

---

a | a | b | e |

---

b | b | e | a |

--- (grupa cykliczna Z₃)

(unikalna)

(31)

• „Matka” wszystkich grup skończonych: grupa permutacji

– każda n-elementowa grupa skończona ma taką strukturę, jak pewna grupa permutacji

• standardowe oznaczenie: S_n (grupa permutacji n elementów)

• elementy: permutacje, operacja: złożenie permutacji

– rząd grupy (liczność zbioru): n!

• przykłady

– S₁ (izomorficzna z Z₁) – S₂ (izomorficzna z Z₂) – S₃ (izomorficzna z Z₃) – ...

(32)

(dla cierpliwych)

– istnieje grupa, która posiada

808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

elementów^*

– jak łatwo policzyć, tablica Cayleya tej grupy posiada

652 892 158 771 556 271 248 468 807 722 265 930 130 281 515 255 077 920 514 040 269 150 302 468 210 706 264 751 079 424 000 000 000 000 000 000

elementów^**

* źródło: Wikipedia (2017)

** źródło: tabliczka mnożenia (w użyciu od ok. roku 4000 p.n.e.^*)

(33)

• W ramach tej prezentacji: podstawowe cechy/parametry

„teoriomnogościowe” grup (skończonych)

– rzędy (elementów, grup)

– koniugowanie elementów / klasy koniugacji – podgrupy / nadgrupy

– podgrupy normalne – grupy ilorazowe

– dualność podgrup normalnych i grup ilorazowych

na przykładzie (jednej) wybranej grupy (tj. grupy D₄)

Podstawowe cechy wybranej grupy

(34)

• Grupa diedralna D₄

– grupa diedralna (ang. dihedral, dwuścienny):

grupa symetrii wielokąta (formalnie: dwuścianu) foremnego, (podgrupa grupy S₄)

• np. trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego, ...

– dla n > 2 grupa symetrii n-kąta foremnego ma 2n elementów

• „rezultat” terminologiczny: niejednoznaczność oznaczeń

– np. dla n = 4 mamy dwa różne oznaczenia: D₄ i D₈

(35)

• D₄: intuicja: kwadrat ABDC

(36)

D B

C

A

(37)

D B

C

A

(38)

C A

D

B

(39)

 

 



 



 





C A

D B

C

A a

(40)

 

 



 



 





B D

A C

D B

C

A a

(41)

 

 



 



 





A C

B D

D B

C

A a

(42)

• D₄: główne elementy: transformacje kwadratu

– łącznie: 7

• symetrie osiowe: 4

– proste

» względem — : t₄

» względem | : t₅ – ukośne

» względem \ : t₁

» względem / : t₂

• symetria środkowa: 1

– (jedyna istniejąca) : t₃

• obroty o 90º: 2

– w lewo : t₆ – w prawo : t₇

(a co z obrotami o 180º i 270º?)

ignorujemy! (te i wszystkie dalsze interpretacje transformacji)

(43)

• D₄: operacja grupowa:

– złożenie transformacji kwadratu

(44)

 

 



 



 





A C

B D

C A

D

B a

 

 



 



 





C A

D B

C

A a

 

 



 



 





A C

B D

D B

C

A a

(45)

– wniosek:

• wykonanie

– symetrii prostej względem — : t₄

a następnie

– symetrii prostej względem | : t₅

daje identyczny efekt, jak

– wykonanie symetrii środkowej

• krótko: t₅ t₄ = t₃

(46)

• Uwaga:

– złożenie transformacji t_i i transformacji t_j jest zapisywane jako t_j t_i (a nie t_i t_j), ponieważ jest zastosowaniem

• (późniejszej) transformacji t_j

do wyniku

• (wcześniejszej) transformacji t_i

– analogia:

złożenie funkcji f_i(x) i f_j(x) jest zastosowaniem funkcji f_j(x) do wyniku funkcji f_i(x); krótko: f_j(f_i(x))

(47)

 

 



 



 





A B

C D

B A

D

C a

 

 



 



 





B A

D C

D B

C

A a

 

 



 



 





A B

C D

D B

C

A a

(48)

– inny przykład:

• wykonanie

– obrotu w lewo : t₆

a następnie

– wykonanie symetrii ukośnej względem / : t₂

• krótko: t₅ t₆ = t₂

(49)

 

 



 



 





D B

C A

D

B a

 

 



 



 





C A

D B

C

A a

 

 



 



 





D B

C A

D B

C

A a

(50)

– jeszcze inny przykład:

• wykonanie

a następnie (ponownie)

– nie zrobienie niczego

» wniosek:

potrzebny jest jeszcze jeden element:

„nic nie rób” (element neutralny) : t₀

• krótko: t₅ t₅ = t₀

(51)

• D₄: wszystkie elementy:

– 7 transformacji kwadratu: t₁, t₂, t₃, t₄, t₅, t₆ i t₇ – 1 element neutralny: t₀

(52)

• D₄: tablica Cayleya

(53)

• D₄: intuicyjno-interpretacyjny podział elementów

– t₀ (element neutralny) – symetrie:

• t₁ i t₂ (ukośne)

• t₃ (środkowa)

• t₄ i t₅ (proste)

– obroty:

• t₆ i t₇

(54)

– czy podział ten znajduje jakieś odpowiedniki w „czystym”

(tzn. pozbawionym tych interpretacji) świecie teoriogrupowym?

• inaczej: czy teoria grup może odkryć relacje w grupie symetrii?

(55)

• D₄: teoriogrupowy podział elementów

– odwrotności – rzędy – klasy

elementów: elementów: koniugacji:

(t₀)^–1 = t₀ |t₀| = 1 Cl_I = {t₀} (t₁)^–1 = t₁ |t₁| = 2 Cl_II = {t₁,t₂} (t₂)^–1 = t₂ |t₂| = 2 Cl_III = {t₃} (t₃)^–1 = t₃ |t₃| = 2 Cl_IV = {t₄,t₅} (t₄)^–1 = t₄ |t₄| = 2 Cl_V = {t₆,t₇} (t₅)^–1 = t₅ |t₅| = 2

(t₆)^–1 = t₇ |t₆| = 4 (t₇)^–1 = t₆ |t₇| = 4

(56)

– czy podział ten znajduje dalsze odpowiedniki w „czystym”

(tzn. pozbawionym tych interpretacji) świecie teoriogrupowym?

• inaczej: czy teoria grup może odkryć więcej niż zwykła intuicja?

(57)

• D₄: teoriogrupowy podział elementów

... – dualność • podgrupy • grupy ...

podgrup: normalne ilorazowe

(58)

• D₄: podgrupy (właściwe)

– istnieje 9 (nierozłącznych) podgrup właściwych grupy D₄:

• 7 podgrup izomorficznych z różnymi grupami cyklicznymi (Z) – 1 izomorficzna z Z₁: D₀= 〈{t₀}, 〉

– 5 izomorficznych z Z₂:

D₀₁ = 〈{t₀,t₁}, 〉, D₀₂ = 〈{t₀,t₂}, 〉, D₀₃ = 〈{t₀,t₃}, 〉, D₀₄ = 〈{t₀,t₄}, 〉, D₀₅ = 〈{t₀,t₅}, 〉 – 1 izomorficzna z Z₄: D₀₃₆₇ = 〈{t₀,t₃,t₆,t₇}, 〉

• 2 podgrupy izomorficzne z grupą Kleina (V₄) :

D₀₁₂₃ = 〈{t₀,t₁,t₂,t₃}, 〉, D₀₃₄₅ = 〈{t₀,t₃,t₄,t₅}, 〉

(spośród których D₀, D₀₃, D₀₃₆₇, D₀₁₂₃, D₀₃₄₅ są podgrupami normalnymi^*)

• każda z grup ilorazowych indukowanych przez powyższe podgrupy normalne składa się z elementów będących sumą klas koniugacji

* definicja: podgrupa S grupy G jest normalna, gdy ∀_a∈G a⊗^{S = S}⊗^a

(59)

• D₄: czy D₀₁ = 〈{t₀, t₁}, 〉 jest (w ogóle) grupą?

– tak!

(wyjaśnienie intuicyjne)

(element neutralny grupy jest zawsze zawarty w podgrupie) (struktura grupy cyklicznej Z₂)

(60)

• D₄: czy podgrupa D₀₁ = 〈{t₀, t₁}, 〉 jest normalna?

– nie!

np.

(61)

• D₄: czy D₀₁₂₃ = 〈{t₀,t₁,t₂,t₃}, 〉 jest (w ogóle) grupą?

– tak!

(element neutralny grupy jest zawsze zawarty w podgrupie) (struktura grupy Kleina V₄ ( = Z₂ × Z₂))

(62)

• D₄: czy podgrupa D₀₁₂₃ = 〈{t₀,t₁,t₂,t₃}, 〉 jest normalna?

– tak!

(63)

• D₄: normalność podgrupy (np. D₀₁₂₃ = 〈{t₀,t₁,t₂,t₃}, 〉) ma konsekwencje: podgrupa indukuje grupę ilorazową:

(wymagane jest lekkie przedefiniowanie operacji grupowej) (element neutralny grupy jest zawsze zawarty

w elemencie neutralnym grupy ilorazowej) (struktura grupy cyklicznej Z₂)

〈{^{t₀^,t₁^,t₂^,t₃^},{t₄^,t₅^,t₆^,t₇^}}, 〉

(64)

• D₄: (dwuelementowe) grupy ilorazowe: trzy!

– indukowane przez podgrupy normalne D₀₁₂₃, D₀₃₄₅, D₀₃₆₇

(oczywiście we wszystkich trzech przypadkach: struktura grupy cyklicznej Z₂)

(65)

• D₄: trzy (dwuelementowe) grupy ilorazowe

– indukowane przez podgrupy normalne D₀₁₂₃, D₀₃₄₅, D₀₃₆₇

– klasy koniugacji:

Cl_I = {t₀} Cl_II = {t₁,t₂} Cl_III = {t₃} Cl_IV = {t₄,t₅} Cl_V = {t₆,t₇}

(66)

• G. Cooperman i D. Kunkle z Northeastern Univ., MA, udowodnili w 2007 r., że:

„[...] aby ułożyć kostkę Rubika, wystarczy wykonać tylko 26 ruchów [...] To nowy rekord, poprzedni [...] to 27 ruchów [...]”^*

„[...] zrobili dwie ważne rzeczy [...] 1) użyli 7 terabajtów pamięci wirtualnej oraz 2) opracowali nową, dużo szybszą, metodę

wyliczania ruchów i grup ruchów (posłużyli się teorią grup) [...]”^*

* źródło: kopalniawiedzy.pl (2017)

(67)

• „Dobry początek to połowa roboty”:

kolejny (większy) mętlik terminologiczny

– ...

– „symetria”: dowolna cecha (niezmiennik pewnego przekształcenia)

• określenie nieformalne – ...

– „symetria”: dowolna symetria (symetryczne przekształcenie) kwadratu

– „symetria”: dowolna z (szerzej rozumianych) symetrii kwadratu, element grupy D₄

• obejmuje poprzednią „symetrię” (ale nie tylko!)

– „symetria”: dowolny z (najszerzej rozumianych) elementów dowolnej grupy zawierającej „symetrie” badane przez teorię grup (rozumianej jako teoria zajmująca się symetriami)

• obejmuje poprzednią „symetrię” (ale nie tylko!) – ...

– „symetria”: dowolna symetria miary konfirmacji

• od tej prezentacji: posiadająca odpowiednik teoriogrupowy – ...

Symetrie miar: podejście teoriogrupowe

(68)

• Symetria miary konfirmacji jako element teoriogrupowy

– miara konfirmacji („c(H,E)”) jest funkcją pewnych argumentów:

zwyczajowo wyrażana jako funkcja dwóch (teoretycznych) pojęć:

H i E, jest w praktyce funkcją („f(a,b,c,d)”) czterech argumentów:

a, b, c i d, które opisują E i H w kategoriach ilościowych

• c(H,E) ≡ f(a,b,c,d)

– gdzie a,b,c,d „stanowią ilościowy opis E i H”

(zapis nieformalny /wszędzie dalej pomijany/)

(69)

– symetria funkcji wielo-wymiarowych/argumentowych:

równość wartości dla wszystkich permutacji argumentów, np.:

• 2 arg.: ∀_x,y f(x,y) = f(y,x)

• 3 arg.: ∀_x,y,z f(x,y,z) = f(y,x,z) = f(x,z,y) = f(z,x,y) = f(y,z,x) = f(z,y,x)

• ...

(70)

– teoretycznie (pełna) definicja symetryczności f(a,b,c,d) wymagałaby uwzględnienia wszystkich (4!) permutacji

∀_a,b,c,d f(a,b,c,d) = f(a,c,d,b) = f(a,d,b,c) = ... = f(d,c,b,a)

– w praktyce mamy przypadek pośredni, w którym wymagane są tylko niektóre spośród wszystkich możliwych równości

• to, które równości (i w jakiej postaci) są wymagane, a które nie, zależy od definicji konkretnych symetrii

(71)

– zapis argumentów a, b, c i d w macierzy 2x2 ukazuje związek symetrii miar obliczanych dla tych argumentów z elementami D₄

t₀ ↔ m₀ ↔ id t₁ ↔ m₁ ↔ IS ...

element D₄↔ macierz ↔ symetria element D₄↔ macierz ↔ symetria ...



 



= 



 



= 

d b

c a d

b c a

0

0 m

m a 



 



= 



 



= 

d c

b a d

b c a

1

0 m

m a ...

(72)

– zapis argumentów a, b, c i d w macierzy 2x2 ukazuje związek symetrii miar obliczanych dla tych argumentów z elementami D₄

• końcowy układ liter identyfikuje wykonaną transformację kwadratu

(przy ustalonym układzie w m₀)

t₀ ↔ m₀ ↔ id t₁ ↔ m₁ ↔ IS ...

element D₄↔ macierz ↔ symetria element D₄↔ macierz ↔ symetria ...

 ...



 



= 



 



= 

d b

c a d

b c a

0

0 m

m a 



 



= 



 



= 

d c

b a d

b c a

1

0 m

m a

(73)

– wiedząc, że a, b, c i d pochodzą z konkretnej macierzy m_i, miarę konfirmacji można wyrazić jako funkcję argumentu macierzowego m_i: g(m_i)

• g(m_i) ≡ f(a,b,c,d)

– gdzie a,b,c,d „są elementami macierzy m_i o układzie jak w m₀” (zapis nieformalny /wszędzie dalej pomijany/)

np.:

g(m₀) ≡ f(a,b,c,d) g(m₁) ≡ f(a,c,b,d) ...

 ...



 



= 



 



= 

d b

c a d

b c a

0

0 m

m a 



 



= 



 



= 

d c

b a d

b c a

1

0 m

m a

(74)

• Nazwy/definicje symetrii miar konfirmacji

0. id(H, E): c(H, E) = c(H, E) 1. IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)

2. EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H) 3. EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E) 4. ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E) 5. HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E) 6. EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H) 7. HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)