imi¦ i nazwisko: numer indeksu:
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 1
Rozwi¡zania nale»y pisa¢ na poni»szym arkuszu. W razie potrzeby nale»y prosi¢ o dodatkowe kartki egzaminatorów.
Podczas egzaminu niedozwolone jest korzystanie z notatek i urz¡dze« elektronicznych.
Przypadki niesamodzielnej lub nieuczciwej pracy b¦d¡ zgªaszane Dziekanowi WPPT. Zgodnie z 6 i 19 regulaminu studiów za naruszenie przepisów student mo»e zosta¢ skre±lony z listy studentów.
(podpis studenta)
1. Oblicz (dowoln¡ metod¡) granic¦ lim
s→∞
(s + 1)3− (s − 1)3 s2 .(2p)
2. (a) Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala, oblicz granic¦ lim
t→1
1
ln t − 1 t − 1
.(3p)
(b) Sformuªuj wykorzystan¡ wy»ej wersj¦ reguªy de l'Hospitala (wraz z potrzebnymi zaªo»eniami).(2p)
3. (a) Sformuªuj wzór na caªkowanie przez podstawienie.(1p)
(b) Sformuªuj wzór na caªkowanie przez cz¦±ci.(1p)
(c) Oblicz caªk¦
Z x2+ 8x + 4 x4+ 4x2 dx.(3p)
(d) Oblicz caªk¦
Z ln 2
0
x e−xdx.(3p)
4. Znajd¹ warto±¢ najwi¦ksz¡ i warto±¢ najmniejsz¡ funkcji g(x) = x2e−x na przedziale [−1, 3].(4p)
5. (a) Rozwi« z de nicji granicy ci¡gu zdanie lim
n→∞zn= −1.(1p)
(b) Korzystaj¡c z de nicji, uzasadnij, »e granic¡ ci¡gu (zn) danego wzorem zn= 1 − n
1 + n jest −1.(2p)
6. Oblicz caªk¦ górn¡ DarbouxZ 1
−1
f (x)dx, je±li f(x) = 0 dla x 6= 0 oraz f(0) = 1.(2p)
7. (a) Sformuªuj wzór Maclaurina (tj. wzór Taylora wokóª zera) dla funkcji h; podaj sam wzór, bez zaªo»e«, ale ze wzorem na reszt¦ (np. w postaci Lagrange'a).(2p)
(b) Niech h(x) = arctg x.
• Udowodnij, »e h0(x) = lim
k→∞
k
X
j=0
(−1)jx2j gdy |x| < 1.(2p)
• Udowodnij, »e h(x) = lim
k→∞
k
X
j=0
(−1)jx2j+1
2j + 1 gdy |x| < 1.(3p)
• Napisz wzór Maclaurina dla fukcji h i uzasadnij, »e gdy |x| < 1, to reszta Rn(0, x)d¡»y do zera.(4p)
