Stanisław Spodzieja
Łódź 2004/2005
http://www.math.uni.lodz.pl/
∼kfairr/analiza/
Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej 1 i 2 jaki prowadziłem w latach 2002-2005 na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkie- go. Pomyślana jest ona jako podręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszego roku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności.
Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Wykład obejmuje podstawowe wiado- mości z zakresu analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych, funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczko- walności aż po całkę Riemanna. Zakładamy znajomość podstaw logiki i teorii mnogości – między innymi pojęcie funkcji oraz podstawowe jej własności (obrazu, przeciwobrazu itp.).
W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich będziemy powoływać się w dalszej części tekstu.
W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących au- torów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Krasińskiego, K. Ku- ratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mostowskiego i M. Starka, W. Rudina, W. Sierpińskiego, wymienionych spisie literatury. Czytelnika pragnącego pogłębić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografii W. Rudina oraz G. M. Fichtenholza.
Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyń- skiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Pani Doktor Ludwice Kaczmarek oraz Pani Annie Bąkowskiej za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu.
Stanisław Spodzieja Łódź, czerwiec 2005 roku
Wiadomości wstępne
W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw logiki matematycznej i teorii mnogości. Dla ustalenia terminologii zbierzemy tutaj pewne wiadomości z tych dziedzin.
Przyjmujemy jako pojęcia pierwotne (1) pojęcie zbioru i relację przynależności elementu do zbioru, tj. relację x ∈ A. Piszemy x 6∈ A, gdy x nie jest elementem zbioru A.
Piszemy x = y, gdy x i y oznaczają ten sam element. Jeśli x i y oznaczają różne elementy, to piszemy x 6= y
Będziemy stosować następujące oznaczenia logiczne:
∼ dla negacji, ∨ dla alternatywy, ∧ dla koniunkcji,
⇒ dla implikacji, ⇔ dla równoważności,
∀ dla kwantyfikatora ogólnego, ∃ dla kwantyfikatora szczegółowego.
Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów, opiera się na aksjomatach(2). Wychodząc od aksjomatów można pokazać, że poniżej podane pojęcia są poprawnie określone.
Niech X będzie ustalonym zbiorem. Zbiór wszystkich elementów a ∈ X które spełniają formułę(3) ϕ(x) oznaczamy {x : ϕ(x)}.
1to znaczy układ pojęć, których nie definiujemy.
2Aksjomatem nazywamy zdanie, przyjmowane w określonym systemie dedukcyjnym bez przeprowa- dzania dowodu prawdziwości, w którym sformułowane są niektóre własności pojęć pierwotnych. Układ aksjomatów wraz z twierdzeniami stanowiącymi ich logiczną konsekwencję (tj. dającymi się z nich wywieść na podstawie przyjętych reguł wnioskowania) tworzy system aksjomatyczny.
Dla ilustracji przypomnijmy niektóre aksjomaty teorii mnogości.
I. Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne.
II. Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór oznaczany symbolem ∅ taki, że dla żadnego x nie jest x ∈ ∅.
III. Aksjomat sumy. Dla każdej rodziny zbiorów R istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elemen- tów, które należą do jakiegoś zbioru X należącego do R.
IV. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory zbioru A.
V. Aksjomat wyboru. Dla każdej rodziny R zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów rodziny R ma jeden i tylko jeden wspólny element.
VI. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów R o następujących własnościach: ∅ ∈ R;
jeśli X ∈ R, to w R istnieje taki element Y , że elementami Y są wszystkie elementy zbioru X oraz sam zbiór X.
3Wyrażenie ϕ(x), które staje się zdaniem, gdy na miejsce zmiennej x podstawimy dowolną wartość
5
Definicja inkluzji. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Piszemy wówczas A ⊂ B lub B ⊃ A i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek ⊂ nazywamy stosunkiem inkluzji.
Definicja różnicy zbiorów. Niech A, B ⊂ X. Różnicą zbiorów (4) A i B nazywamy zbiór
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A.
Definicja pary uporządkowanej. Niech a, b ∈ X. Zbiór złożony z elementu a (i tylko elementu a) oznaczamy {a}. Zbiór złożony z elementów a, b oznaczamy {a, b}. Parą upo- rządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {a, {a, b}} i oznaczamy (a, b).
Niech a, b, c, d ∈ X. Wówczas (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Definicja iloczynu kartezjańskiego. Niech A, B ⊂ X. Zbiór {(a, b) : a ∈ A i b ∈ B}
nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy A × B.
Własność par uporządkowanych, nazywamy relacjami, dokładniej
Definicja relacji dwuczłonowej. Niech X, Y będą zbiorami. Relacją dwuczłonową na- zywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .
Jeśli R ⊂ X × Y jest relacją, to dla każdego (x, y) ∈ R piszemy xRy i mówimy, że x jest w relacji R z y.
Definicja relacji równoważności. Niech X będzie zbiorem. Relację R ⊂ X × X nazy- wamy relacją równoważności, gdy R spełnia warunki:
Zwrotność. Dla każdego x ∈ X, xRx,
Symetria. Dla każdych x, y ∈ X, (xRy ⇒ yRx).
Przechodniość. Dla każdych x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz ⇒ xRz).
Definicja funkcji. Niech A, B ⊂ X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B nazywamy dowolny podzbiór F ⊂ A × B taki, że dla każdego a ∈ A istnieje dokładnie jedno b ∈ B dla którego (a, b) ∈ F (5). Wtedy piszemy F : A → B.
Funkcję nazywamy również lub przekształceniem lub przyporządkowaniem.
Zbiór F nazywamy również wykresem funkcji F .
Elementy a ∈ A nazywamy argumentami funkcji F , zbiór A zaś – dziedziną funkcji F . Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F .
ze zbioru X nazywamy formułą zdaniową. Mówimy, że element a ∈ X spełnia formułę ϕ(x), jeśli po podstawieniu elementu a w miejsce zmiennej x, wyrażenie ϕ(x) staje si¸e zdaniem prawdziwym.
Twierdzenie A. Dla każdej formuły zdaniowej ϕ(x) i dla każdego zbioru A istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają tę formułę zdaniową.
4Twierdzenie B. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.
5inaczej, dla każdego a ∈ A oraz każdych b, c ∈ B, jeśli (a, b) ∈ F i (a, c) ∈ F , to b = c.
Jeśli a ∈ A, to jedyny element b ∈ B taki, że (a, b) ∈ F nazywamy wartością funkcji F w punkcie a i piszemy b = F (a).
Funkcje będziemy oznaczać literami F, f, ϕ.
Definicja obrazu. Niech F : A → B. Jeśli C ⊂ A, to zbiór {b ∈ B : ∃a∈C b = F (a)}
nazywamy obrazem zbioru C i oznaczamy F (C).
Definicja zbioru wartości funkcji. Niech F : A → B. Zbiór F (A) nazywamy zbiorem wartości funkcji F .
Definicja surjekcji.Niech F : A → B. Jeśli zbiór wartości funkcji F jest równy przeciw- dziedzinie B, to mówimy, że funkcja F jest surjekcją lub jest funkcją ”na”.
Definicja przeciwobrazu. Niech F : A → B. Przeciwobrazem zbioru D ⊂ B nazywamy zbiór
{a ∈ A : F (a) ∈ D}
i oznaczamy F−1(D).
Definicja rodziny zbiorów. Niech dane będą zbiory niepuste X, S i niech każdemu elementowi s ∈ S będzie przyporządkowany zbiór As⊂ X. Zbiór
{As : s ∈ S}
(zawarty w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru X) nazywamy rodziną zbiorów lub rodzi- ną podzbiorów złożoną ze wszystkich zbiorów As, gdzie s ∈ S. Zbiór S nazywamy zbiorem wskaźników.
Definicja sumy i iloczynu rodziny zbiorów. Niech R będzie rodziną podzbiorów ustalonego zbioru X. Zbiór
{x ∈ X : ∃A∈Rx ∈ A}
nazywamy sumą rodziny(6) R i oznaczamy SA∈RA. Zbiór {x ∈ X : ∀A∈Rx ∈ A}
nazywamy iloczynem (7) lub częścią wspólną rodziny R i oznaczamy TA∈RA. Jeśli R = {As: s ∈ S}, to sumę tej rodziny zapisujemy Ss∈SAs oraz iloczyn zapisujemy Ts∈SAs.
Niech A, B ⊂ X będą zbiorami. Sumę zbiorów A, B (tzn. sumę rodziny {A, B}) oznaczamy A ∪ B. Iloczyn zbiorów A, B oznaczamy A ∩ B. Jeśli A ∩ B = ∅, to zbiory A, B nazywamy rozłącznymi.
W teorii mnogości dowodzi się następujących własności obrazu i przeciwobrazu.
6Istnienie sumy wynika z Aksjomatu III.
7Istnienie iloczynu wynika z twierdzenia B i Aksjomatu III.
Twierdzenie 1. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów A, B, As, gdzie s ∈ S, zbioru X mamy:
(a) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)), (b) A ⊂ f−1(f (A)),
(c) f (Ss∈SAs) = Ss∈Sf (As), (d) f (Ts∈SAs) ⊂Ts∈Sf (As).
Twierdzenie 2. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów C, D, Cs, gdzie s ∈ S, zbioru Y mamy:
(a) (C ⊂ D) ⇒ (f−1(C) ⊂ f−1(D)), (b) f−1(C \ D) = f−1(C) \ f−1(D),
(c) f (f−1(C)) ⊂ C oraz f (f−1(C)) = C, gdy C ⊂ f (X), (d) f−1(Ss∈SCs) =Ss∈Sf−1(Cs),
(e) f−1(Ts∈SCs) =Ts∈Sf−1(Cs),
Definicja funkcji identyczność. Funkcję idA : A → A określoną wzorem idA(x) = x dla x ∈ A nazywamy identycznością na zbiorze A.
Definicja obcięcia funkcji. Jeśli f : X → Y jest funkcją i A ⊂ X – zbiorem niepustym, to funkcję g : A → Y określoną wzorem g(x) = f (x) dla x ∈ A nazywamy obcięciem lub zawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f |A.
Definicja złożenia funkcji. Jeśli f : X → Y oraz g : Z → W są funkcjami oraz f (X) ⊂ Z, to funkcję h : X → W określoną wzorem h(x) = g(f (x)) dla x ∈ X nazywamy złożeniem funkcji f i g i oznaczamy g ◦f . Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zaś zewnętrzną złożenia g ◦ f .
Definicja funkcji różnowartościowej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różno- wartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych a, b ∈ X, a 6= b zachodzi f (a) 6= f (b).
Definicja bijekcji. Funkcję f nazywamy bijekcją, gdy jest injekcją i surjekcją (tzn. jest różnowartościowa i ”na”).
Definicja funkcji odwrotnej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, gdy istnieje funkcja g : Y → X taka, że dla każdego (x, y) ∈ X × Y zachodzi
y = f (x) ⇔ x = g(y).
Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f−1. Wprost z definicji funkcji odwracalnej mamy:
Twierdzenie 3. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
Twierdzenie 4. Funkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g : Y → X taka, że g ◦ f = idX oraz f ◦ g = idY.
Liczby rzeczywiste
Podstawowymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. W rozdziale tym określimy liczby rzeczywiste drogą aksjomatyczną (1) następnie wyodrębnimy liczby całkowite, wymierne i niewymierne (por. na przykład [8]). Założymy, że istnieje pewien zbiów R, w którym określamy dwa działania i relację mniejszości które spełniają pewne własności (aksjoma- ty). Całą dalszą wiedzę o liczbach rzeczywistych będziemy opierać na tych wyróżnionych własnościach. W punkcie 2.3 podamy definicję zbioru liczb naturalnych. Nie wykażemy jednak istnienia tego zbioru. Zagadnienie to jest dość trudne, wymaga bowiem stosowania zaawansowanych technik logicznych. Na koniec tego rozdziału podamy definicję rozsze- rzonego zbioru liczb rzeczywistych.
2.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych
Zakładamy, że istnieje zbiór, który będziemy oznaczać literą R i nazywać zbiorem liczb rzeczywistych, elementy tego zbioru zaś będziemy nazywać liczbami rzeczywistymi. Zakła- damy, że w zbiorze R określone są działania dodawania ”+” i mnożenia ”·”, czyli funkcje + : R × R → R, · : R × R → R oraz relacja mniejszości <, które spełniają następujące własności zwane aksjomatami:
I. Aksjomaty ciała(2).
1 (Łączność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y, z ∈ R, x + (y + z) = (x + y) + z, x · (y · z) = (x · y) · z.
2. (Przemienność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y ∈ R, x + y = y + x, x · y = y · x.
3. (Rozdzielność mnożenia względem dodawania). Dla każdych x, y, z ∈ R, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
1Liczby rzeczywiste można również określić, przyjmując za znane pojęcie liczb wymiernych i przy ich pomocy definiować liczby rzeczywiste (patrz na przykład [10], [17]).
2Struktury algebraiczne spełniające ten układ aksjomatów nazywamy ciałami.
9
4. (Istnienie elementów neutralnych działań). Istnieją różne elementy 0, 1 ∈ R takie, że dla każdego x ∈ R,
0 + x = x, 1 · x = x.
5. (Istnienie różnicy i ilorazu). Dla każdych x, y ∈ R, istnieje z ∈ R taka, że y = x + z.
Dla każdych x, y ∈ R, x 6= 0, istnieje z ∈ R taka, że y = x · z.
II. Aksjomaty porządku.
1. (Spójność relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R takich, że x 6= y zachodzi x < y lub y < x.
2. (Przechodzniość relacji mniejszości). Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y i y < z, to x < z.
3. (Antysymetria relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R, jeśli x < y to nie zachodzi y < x.
III. Aksjomaty związku między działaniami i relacją mniejszości.
1. Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y, to x + z < y + z.
2. Dla każdych x, y, z ∈ R, 0 < z, jeśli x < y, to x · z < y · z.
IV. Aksjomat ciągłości (zasada ciągłości Dedekinda).
1. Zbioru R nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów A ∪ B takich, że 1) A 6= ∅, B 6= ∅,
2) dla każdych a ∈ A, b ∈ B zachodzi a < b, 3) dla każdego a ∈ A istnieje ˜a ∈ A, że a < ˜a, 4) dla każdego b ∈ B istnieje ˜b ∈ B, że ˜b < b.
Uwaga 2.1.1. Z Aksjomatu I.4 wynika, że R jest zbiorem niepustym. Można udowodnić, że powyższe aksjomaty jednoznacznie charakteryzują zbiór liczb rzeczywistych oraz, że nie są nawzajem sprzeczne (również po dołączeniu aksjomatów teorii mnogości).
Definicja zera i jedynki. Liczbę 0 nazywamy zerem. Liczbę 1 nazywamy jedynką.
Własność 2.1.2. W R istnieje dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka.
Dowód. Istotnie, jeśli pewne 00 i 10 spełniają Aksjomat I.4, to
00 = 0 + 00 = 00+ 0 = 0 oraz 10 = 1 · 10 = 10· 1 = 1.
To kończy dowód.
Definicja elementu przeciwnego. Niech x ∈ R. Element z ∈ R taki, że 0 = x + z nazywamy elementem przeciwnym do x i oznaczamy −x.
Definicja elementu odwrotnego. Niech x ∈ R, x 6= 0. Element z ∈ R taki, że 1 = x · z nazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy 1/x lub x1.
Własność 2.1.3. (a) Każdy x ∈ R ma dokładnie jeden element przeciwny.
(b) Każdy x ∈ R, x 6= 0 ma dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x ∈ R. Z Ak- sjomatu I.5 wynika istnienie z ∈ R takiego, że 0 = x + z. Jeśli ˜z ∈ R również spełnia ten warunek, to z aksjomatów mamy
z = z + 0 = z + (x + ˜z) = (z + x) + ˜z = 0 + ˜z = ˜z,
co należało udowodnić.
Definicja sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y ∈ R.
Wynik działania dodawania x + y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamy składnikami tej sumy.
Wynik działania mnożenia x · y nazywany iloczynem x i y a liczby x, y nazywamy czynnikami tego iloczynu.
Liczbę z ∈ R taką, że y = x + z nazywamy różnicą y i x.
Jeśli x 6= 0, to liczbę z ∈ R taką, że y = x · z nazywamy ilorazem y przez x.
Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie − : R × R → R określone wzorem
x − y = x + (−y) dla x, y ∈ R.
Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R × (R \ {0}) → R określone wzorem
x : y = x · (1/y) dla x, y ∈ R, y 6= 0.
Własność 2.1.4. (a) Dla dowolnych x, y ∈ R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równa x − y.
(b) Dla dowolnych x, y ∈ R, y 6= 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równy x : y.
Dowód. Ad. (a) Niech x, y ∈ R oraz z, ˜z ∈ R będą różnicami x i y, czyli x = y + z, x = y+ ˜z. Z własności 2.1.3(a) liczba −y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatów mamy
z = ((−y) + y) + z = (−y) + (y + z) = (−y) + x = (−y) + (y + ˜z) = ˜z, czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x − y, gdyż
y + (x − y) = y + (x + (−y)) = (y + (−y)) + x = x.
Część (b) dowodzimy analogicznie.
Własność 2.1.5. Dla każdego x ∈ R mamy 0 · x = x · 0 = 0.
Dowód. Ponieważ
0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x,
więc 0 · x jest różnicą 0 · x i 0 · x, czyli 0 · x = 0 (własność 2.1.4(a)). Własność 2.1.6. W R nie ma dzielników zera, to znaczy jeśli dla x, y ∈ R zachodzi x · y = 0, to x = 0 lub y = 0.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją x 6= 0, y 6= 0 takie, że x · y = 0. Wówczas z Aksjomatu I.5 istnieją z, w ∈ R takie, że 1 = xz, 1 = yw. Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2 i własności 2.1.5 mamy
1 = 1 · 1 = (x · z) · (y · w) = (x · y) · (z · w) = 0 · (z · w) = 0,
co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.
W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia ”·” będziemy opuszczać i pisać xy zamiast x · y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub xy.
Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniami dodawania i odejmowania.
Często piszemy y > x zamiast x < y.
Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówimy x jest mniejsze od y lub y jest większe od x.
Własność 2.1.7. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warun- ków:
x = y, x < y, y < x.
Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków musi zachodzić.
Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x.
Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x.
Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x.
Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x. Stąd i z Aksjomatu II.3 mamy, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność daje tezę. Własność 2.1.8. 0 < 1.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że 1 < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1, 1 + (−1) < 0 + (−1)
i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < (−1). Stosując teraz Aksjomat III.2 i wła- sność 2.1.5 dostajemy
−1 = (−1) · 1 < 0 · (−1) = 0, czyli −1 < 0.
To wraz z poprzednim daje, że 0 < (−1) oraz −1 < 0, co w myśl własności 2.1.7 jest
niemożliwe.
Wniosek 2.1.9. Niech x ∈ R. Wówczas zachodzą następujące:
(a) x < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < −x.
(b) Jeśli x 6= 0, to
x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0.
(c) Jeśli x > 0, to
x < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1.
Dowód. Ad. (a) ⇒. Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu II.1 mamy 0 = x + (−x) < 0 + (−x) = −x, więc 0 < −x.
⇐. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < −x, mamy x = 0 + x < (−x) + x = 0, więc x < 0.
Ad. (b) ⇒. Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że nierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 2.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0.
Jeśli 1/x = 0, to z własności 2.1.5 mamy
1 = (1/x) · x = 0 · x = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.
Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności 2.1.5 dostajemy 1 = (1/x) · x < 0 · x = 0,
co jest sprzeczne z własnością 2.1.8 i 2.1.7.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0.
⇐. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0 (gdyż z założenia, x 6= 0) mamy
1 = (1/x) · x < (1/x) · 0 = 0, co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0.
Ad. (c) ⇒. Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że 1/x = 1 lub 1/x < 1.
Jeśli 1/x = 1, to
x = (1/x) · x = 1, co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1.
Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy
1 = (1/x) · x < 1 · x = x < 1, co jest niemożliwe.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1.
⇐. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub x > 1.
Jeśli x = 1, to
1 = (1/x) · x = 1/x > 1, co jest niemożliwe.
Jeśli x > 1, to
1 = x · (1/x) > 1 · (1/x) > 1,
co jest niemożliwe.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić x < 1. Definicja . Przyjmujemy następujące oznaczenia
2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1, 7 = 6 + 1, 8 = 7 + 1, 9 = 8 + 1, 10 = 9 + 1.
Własność 2.1.10. Dla każdych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje z ∈ R, że x < z < y.
Dowód. Z własności 2.1.8 i Aksjomatów I.4., II.2. oraz III.1. mamy 0 < 1 = 0 + 1 < 1 + 1 = 2, czyli 0 < 2.
Zatem, z własności 2.1.9(b) mamy 1/2 > 0.
Wykażemy, że liczba z = (x + y)/2 spełnia tezę własności. Istotnie, z Aksjomatu III.1, x + x < x + y, czyli 2x < x + y.
Ponieważ 1/2 > 0, więc z Aksjomatu III.2 mamy
(2.1) x < (x + y)/2 = z.
Podobnie mamy x + y < 2y i dalej z = (x + y)/2 < y. Stąd i z (2.1) dostajemy tezę. Definicja relacji 6. W R określamy relację 6 w następujący sposób: dla dowolnych x, y ∈ R,
x 6 y wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x = y.
Piszemy również y > x zamiast x 6 y i mówimy x jest niewiększe od y lub y jest nie- mniejsze od x.
Definicja modułu liczby. Wartością bezwzględną lub modułem liczby x ∈ R nazywamy liczbę |x| ∈ R określoną następująco:
|x| =
x, gdy x > 0,
−x, gdy x < 0.
Definicja . Liczbę x ∈ R nazywamy dodatnią, gdy x > 0. Zbiór R+ = {x ∈ R : x > 0}
nazywamy zbiorem liczb dodatnich.
Liczbę x ∈ R nazywamy ujemną, gdy x < 0. Zbiór R− = {x ∈ R : x < 0} nazywamy zbiorem liczb ujemnych.
Liczbę x ∈ R nazywamy nieujemną, gdy x > 0. Zbiór R0+ = {x ∈ R : x > 0}
nazywamy zbiorem liczb nieujemnych.
Liczbę x ∈ R nazywamy niedodatnią, gdy x 6 0. Zbiór R0− = {x ∈ R : x 6 0}
nazywamy zbiorem liczb niedodatnich.
Definicja przedziału. Jeśli a, b ∈ R oraz a < b, to zbiory (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b},
[a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}
nazywamy przedziałami o końcach a, b.
Przedziały typu (a, b) nazywamy otwartymi, typu zaś [a, b] domkniętymi.
Liczbę b − a > 0 nazywamy długością przedziału o końcach a i b. Długość przedziału P oznaczamy |P |.
Uwaga 2.1.11. Przedział otwarty oznaczamy tak samo jak parę uporządkowaną. Nie po- winno to prowadzić do nieporozumień. Używając oznaczenia (a, b), z kontekstu, będzie jasne, co przez to rozumiemy.
Definicja znaku liczby. Znakiem lub signum liczby x ∈ R nazywamy liczbę sgn (x) ∈ R określoną następująco:
sgn (x) =
1, gdy x > 0,
−1, gdy x < 0, 0, gdy x = 0.
ZADANIA
Zadanie 2.1.1. Dla dowolnych x, y, z, w ∈ R mamy:
1. −(−x) = x, 11 x
= x, gdy x 6= 0.
2. −x = (−1)x.
3. xy = wz ⇐⇒ xz = yw, gdy y, z 6= 0.
4. xzyz = xy, gdy y, z 6= 0.
5. xy + wz = xz+ywyz ; xy − wz = xz−ywyz , gdy y, z 6= 0.
6. xywz = xwyz, gdy y, z 6= 0; xy : wz = ywxz, gdy y, z, w 6= 0.
Zadanie 2.1.2. Niech x, y, z, w ∈ R.
1. Jeśli x6 y i y 6 x, to x = y.
2. Jeśli x> 0 i y > 0, to xy > 0.
3. Jeśli x < y i z 6 w, to x + z < y + w.
4. Jeśli x6 y i z 6 w, to x + z 6 y + w.
5. Jeśli x > 0 i y < z, to y/x < z/x.
6. Jeśli x < 0, to 1/x < 0.
7. Jeśli x < 0 i y < z, to yx > zx oraz y/x > z/x.
8. Jeśli x 6= 0, to xx > 0.
9. Jeśli 0 < x < y, to 0 < 1/y < 1/x.
Zadanie 2.1.3. Niech x ∈ R. Dla dowolnego ε > 0, 1. |x| < ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε < x < ε, 2. |x| > ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε > x lub x > ε.
Zadanie 2.1.4. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy:
1. |x|> 0.
2. |xy| = |x||y|; |x||y| = |xy|, gdy y 6= 0.
3. |x + y|6 |x| + |y|, |x − y| > ||x| − |y||.
Zadanie 2.1.5. Dla dowolnego x 6= 0 zachodzi sgn (x) = |x|x .
2.2 Kresy
W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości.
Definicja zbioru ograniczonego. Niech E ⊂ R.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x6 M . Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu.
Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciw- nym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym.
Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E ⊂ R.
Liczbę M ∈ R spełniającą warunki:
1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E,
2) dla każdego M0 < M istnieje x ∈ E, takie że x > M0, nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy sup E.
Liczbę m ∈ R spełniającą warunki:
1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E,
2) dla każdego m0 > m istnieje x ∈ E, takie że x < m0, nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E.
Uwaga 2.2.1. W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry nie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu nie mają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w ten sposób, że wszystkie zbiory będą miały kresy górny i dolny.
Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R.
Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 x0 nazywamy elementem maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E i oznaczamy max E.
Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > x0 nazywamy elementem minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E i oznaczamy min E.
Uwaga 2.2.2. Z własności 2.1.7 dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E ⊂ R ma maksi- mum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum, kresu górnego i dolnego.
Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.2.3. Jeśli x, y ∈ R, to max{x, y} = x + y
2 + |x − y|
2 oraz min{x, y} = x + y
2 −|x − y|
2 .
W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczy- wistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu wprowadźmy pojęcie przekroju Dedekinda i udowodnimy jeden lemat.
Definicja przekroju Dedekinda. Niech A, B ⊂ R. Parę zbiorów (A, B) nazywamy przekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki:
1) A 6= ∅, B 6= ∅, 2) A ∪ B = R,
3) dla każdego x ∈ A oraz każdego y ∈ B zachodzi x < y.
Lemat 2.2.4. Jeśli (A, B) jest przekrojem Dedekinda, to albo istnieje max A albo istnieje min B.
Dowód. Pokażemy najpierw, że istnieje max A lub istnieje min B. Przypuśćmy prze- ciwnie, że nie istnieje max A i nie istnieje min B. Wówczas, z definicji maksimum i mini- mum, dla każdego a ∈ A istnieje ˜a ∈ A, że a < ˜a oraz dla każdego b ∈ B istnieje ˜b ∈ B, że
˜b < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1 (zasada ciągłości Dedekinda).
Do zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że max A i min B nie mogą istnieć jednocześnie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A i istnieje min B. Wówczas z defi- nicji maksimum i minimum oraz z warunku 3) definicji przekroju Dedekinda dostajemy, że max A < min B. Stąd, na mocy własności 2.1.10 dostajemy, że istnieje z ∈ R takie, że max A < z < min B. W szczególności z 6∈ A oraz z 6∈ B. To przeczy warunkowi 2)
definicji przekroju Dedekinda.
Twierdzenie 2.2.5. (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.
Dowód. Niech A = {a ∈ R : istnieje x ∈ E, że a < x} oraz B = R \ A. Z określenia zbiorów A i B wynika, że każdy b ∈ B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Pokażemy najpierw, że (A, B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicji przekroju Dedekinda.
Ad 1) Ponieważ E 6= ∅, więc istnieje x ∈ E. Ponieważ x − 1 < x, więc x − 1 ∈ A i A 6= ∅. Ponieważ E jest ograniczony z góry, więc istnieje b ∈ R takie, że x 6 b dla każdego x ∈ E. Zatem b 6∈ A i w konsekwencji b ∈ B, czyli B 6= ∅.
Ad 2) Z określenia zbiorów A i B mamy A ∪ B = R.
Ad 3) Niech a ∈ A, b ∈ B. Z określenia zbioru A dostajemy, że istnieje x ∈ E, że a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x 6 b, zatem a < b.
Reasumując, (A, B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu 2.2.4 albo istnieje max A albo istnieje min B. Pokażemy teraz, że nie istnieje max A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A. Wówczas max A ∈ A i z określenia zbioru A mamy, że istnieje x ∈ E, że max A < x. Na mocy własności 2.1.10 istnieje c ∈ R takie, że max A <
c < x. Zatem c ∈ A. To jest niemożliwe, gdyż max A < c. Pokazaliśmy więc, że nie istnieje max A oraz istnieje min B.
Pokażemy na koniec, że min B jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ min B ∈ B, więc min B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M0 < min B. Wówczas M0 6∈ B, więc M0 ∈ A. Zatem z określenia zbioru A istnieje x ∈ E takie, że M0 < x.
Pokazaliśmy więc, że min B spełnia warunki 1) i 2) definicji kresu górnego, czyli sup E =
min B.
Analogicznie jak twierdzenie 2.2.5 dowodzimy
Twierdzenie 2.2.6. (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E.
Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast Własność 2.2.7. Niech E ⊂ R.
(i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i sup E = max E.
(ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = min E.
Definicja . Niech E, F ⊂ R, E 6= ∅, F 6= ∅. Przyjmujemy następujące oznaczania:
−E = {x ∈ R : −x ∈ E}.
E + F = {x ∈ R : x = y + z, y ∈ E, z ∈ F }.
E · F = {x ∈ R : x = yz, y ∈ E, z ∈ F }.
Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.2.8. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas inf(−E) = − sup E.
(b) Jeśli E ⊂ F , to sup E 6 sup F .
(c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F , że x6 y, to sup E 6 sup F .
Własność 2.2.9. Jeśli E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to:
(a) inf E 6 sup E.
(b) równość inf E = sup E zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem jednoele- mentowym.
Własność 2.2.10. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas sup(E + F ) = sup E + sup F .
(b) Jeśli E, F ⊂ R+, to sup(E · F ) = sup E · sup F . (c) Jeśli a ∈ R+, to sup({a} · F ) = a sup F .
Dowód. Z twierdzenia 2.2.5 mamy, że istnieją sup E i sup F .
Ad. (a) Niech M = sup E + sup F . Weźmy dowolny x ∈ E + F . Wówczas x = y + z, gdzie y ∈ E, z ∈ F . Ponieważ y 6 sup E i z 6 sup F , więc y + z 6 M . Zatem M jest ograniczeniem górnym zbioru E + F . Weźmy dowolny M0 < M . Wówczas M0 − sup E <
sup F , więc istnieje z ∈ F , że M0 − sup E < z, czyli M0 − z < sup E. Zatem istnieje y ∈ E, że M0 − z < y. W konsekwencji M0 < y + z i x = y + z ∈ E + F . Reasumując sup(E + F ) = M .
Ad. (b) Ponieważ E, F ⊂ R+, więc sup E > 0 i sup F > 0. Niech ˜M = sup E · sup F . Wtedy ˜M > 0. Dla dowolnych y ∈ E, z ∈ F mamy 0 < y 6 sup E, 0 < z 6 sup F , więc yz 6 y · sup F 6 ˜M . Zatem ˜M jest ograniczeniem górnym zbioru E · F . Niech ˜M0 < ˜M . Ponieważ ˜M0/ sup E < sup F , więc istnieje z ∈ F , że ˜M0/ sup E < z. Wtedy z > 0 oraz M˜0/z < sup E, więc istnieje y ∈ E, że ˜M0/z < y, czyli ˜M0 < yz i yz ∈ E · F . Reasumując M = sup E · F .˜
Ad. (c) Dla y ∈ F mamy y 6 sup F , a ponieważ a > 0, więc ay 6 a sup F . Stąd dostajemy, że a sup F jest ograniczeniem górnym zbioru {a} · F . Niech M0 < a sup F . Wtedy M0/a < sup F , więc istnieje y ∈ F , że M0/a < y. Zatem ay ∈ {a} · F oraz
M0 < ay. Reasumując a · sup F = sup({a} · F ).
2.3 Liczby naturalne
Definicja zbioru liczb naturalnych. Niech N będzie rodziną wszystkich podzbiorów N ⊂ R posiadających następujące dwie własaności:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli x ∈ N , to x + 1 ∈ N .
Niech N będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn.
N = \
N ∈N
N.
Zbiór N nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Elementy zbioru N nazywamy liczbami naturalnymi.
Uwaga 2.3.1. Można wykazać istnienie rodziny N. Jest ona niepusta, gdyż oczywiście R ∈ N. Zbiór N posiada własności (i), (ii), więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ∈ N.
Twierdzenie 2.3.2. (zasada Archimedesa). Dla każdego x ∈ R istnieje n ∈ N, takie że n > x.
Dowód. Niech x ∈ R. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje n ∈ N takie, że n > x.
Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 x, czyli x jest ograniczeniem górnym zbioru N.
Stąd, na mocy twierdzenia 2.2.5, istnieje kres górny zbioru N. Oznaczmy ten kres przez M . Ponieważ M − 1 < M , więc z definicji kresu górnego, istnieje liczba n0 ∈ N taka, że M − 1 < n0. Zatem M < n0 + 1. Ponieważ n0 + 1 ∈ N, więc z definicji kresu górnego mamy n0+ 16 M . Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Z twierdzenia 2.3.2 dostajemy natychmiast następujący wniosek.
Wniosek 2.3.3. Zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry.
Dowód poniższego wniosku pozostawiamy czytelnikowi.
Wniosek 2.3.4. Dla dowolnych x, y ∈ R, jeśli y > 0, to istnieje n0 ∈ N takie, że ny > x dla każdego n> n0.
Twierdzenie 2.3.5. (zasada indukcji). Jeśli N ⊂ N oraz N spełnia warunki:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli x ∈ N , to x + 1 ∈ N , to N = N.
Dowód. Z założenia o zbiorze N mamy, że N ⊂ N oraz N ∈ N. Zatem z definicji N
dostajemy, N ⊂ N . W konsekwencji N = N.
Własność 2.3.6. Dla każdego n ∈ N zachodzi n > 1.
Dowód. Niech N = {n ∈ N : n > 1}. Pokażemy, że N spełnia warunki (i), (ii) w twierdzeniu 2.3.5.
(i) Ponieważ 1> 1, więc z definicji zbioru N mamy 1 ∈ N .
(ii) Niech n ∈ N . Wówczas n + 1 > 1 + 1 > 1, więc n + 1 > 1, zatem n + 1 ∈ N . Pokazaliśmy, że N spełnia (i) oraz (ii). Zatem na mocy twierdzenia 2.3.5, N = N. Własność 2.3.7. (a) Dla dowolnych m, n ∈ N mamy m + n ∈ N i mn ∈ N.
(b) Dla każdego n ∈ N mamy n = 1 albo n − 1 ∈ N.
(c) Dla każdego n ∈ N nie istnieje m ∈ N, że n < m < n + 1.
(d) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to m + 1 6 n.
(e) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to n − m ∈ N.
Dowód. Ad. (a) Dla dowolnego m ∈ N oznaczając N = {n ∈ N : m + n ∈ N} łatwo stosując twierdzenie 2.3.5 dostajemy N = N. Podobnie dla m ∈ N biorąc N0 = {n : mn ∈ N} dostajemy N0 = N. To daje (a).
Ad. (b) Niech A = {n ∈ N : n − 1 ∈ N} oraz N00 = {1} ∪ A. Oczywiście N00 ⊂ N.
Pokażemy, że N00 spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia 2.3.5.
(i) 1 ∈ N00 – oczywiste.
(ii) Niech n ∈ N00. Pokażemy, że n + 1 ∈ N00. Istotnie, n ∈ N, więc n + 1 ∈ N oraz (n + 1) − 1 = n ∈ N. Zatem n + 1 ∈ A i w konsekwencji n + 1 ∈ N00.
Reasumując N00= N. Ponadto warunki n = 1, n − 1 ∈ N wykluczają się, więc mamy (b).
Ad (c) Niech N000 = {n ∈ N : nie istnieje m ∈ N, że n < m < n + 1}.
Zauważmy, że 1 ∈ N000. Istotnie, gdyby dla pewnego m ∈ N zachodziło 1 < m < 1 + 1, to wobec części (b) mielibyśmy m − 1 ∈ N oraz m − 1 < 1, co przeczy tezie własności 2.3.6. W konsekwencji 1 ∈ N000.
Niech n ∈ N000. Pokażemy, że n + 1 ∈ N000. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m ∈ N takie, że n + 1 < m < (n + 1) + 1. Wówczas m > 1 + 1 > 1, więc m 6= 1 i z części (b) mamy m − 1 ∈ N. Stąd mamy n < m − 1 < n + 1, co przeczy temu, że n ∈ N000. Zatem n + 1 ∈ N000. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N000 = N.
Ad. (d) Część (d) wynika natychmiast z części (c).
Ad (e) Niech NIV = {m ∈ N : dla każdego n ∈ N takiego, że n > m mamy n−m ∈ N}.
Z części (b) dostajemy 1 ∈ NIV. Załóżmy, że m ∈ NIV. Weźmy dowolny n ∈ N takie, że n > m + 1. Wówczas n 6= 1, zatem n − 1 ∈ N oraz n − 1 > m, więc n − (m + 1) = (n − 1) − m ∈ N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 ∈ NIV. Stosując teraz
zasadę indukcji dostajemy NIV = N.
Udowodnimy, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Za- cznijmy od definicji i dwóch lematów.
Definicja . Dla dowolnego n ∈ N określamy
Fn= {k ∈ N : k 6 n}.
Piszemy również Fn= {1, ..., n} oraz k = 1, ..., n zamiast k ∈ Fn. Lemat 2.3.8. Dla dowolnego n ∈ N,
Fn= {k ∈ N : k < n + 1}.
Dowód. Oznaczmy F0n = {k ∈ N : k < n + 1}. Oczywiście Fn ⊂ F0n. Pokażemy, że F0n⊂ Fn. Weźmy dowolny k ∈ F0n. Wówczas k < n + 1, więc z z własności 2.3.7(c) mamy k 6 n. To daje, że k ∈ Fn i w konsekwencji, że F0n⊂ Fn. Reasumując Fn= F0n.
Lemat 2.3.9. Dla dowolnego n ∈ N,
Fn+1= Fn∪ {n + 1}.
Dowód. W myśl lematu 2.3.8, dla n ∈ N mamy Fn+1 = {k ∈ N : k 6 n + 1}
= {k ∈ N : k < n + 1} ∪ {n + 1} = Fn∪ {n + 1}.
Twierdzenie 2.3.10. (zasada minimum). Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N który nie ma ele- mentu najmniejszego. Połóżmy N = {n ∈ N : Fn ∩ A = ∅}. Pokażemy, że N = N.
Istotnie:
(i) 1 ∈ N , gdyż w przeciwnym razie {1} = F1 ∩ A i wobec własności 2.3.6 liczba 1 byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem.
(ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n+1 ∈ N . Przypuśćmy, że n+1 6∈ N , czyli Fn+1∩A 6= ∅.
Ponieważ n ∈ N , więc Fn∩ A = ∅, zatem, wobec lematu 2.3.9 mamy n + 1 ∈ A. Ponadto z własności 2.3.7(d) dla każdego k ∈ A mamy k > n + 1. W konsekwencji n + 1 jest elementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując n + 1 ∈ N . Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 2.3.5) dostajemy N = N. Oczywiście dla każdego n ∈ N mamy n ∈ Fn, więc z określenia zbioru N dostajemy A = ∅. Otrzymana
sprzeczność kończy dowód.
Twierdzenie 2.3.11. (zasada indukcji o innym początku). Niech n0 ∈ N oraz Nn0 = {n ∈ N : n > n0}.
Jeśli zbiór N ⊂ Nn0 spełnia warunki:
(i) n0 ∈ N ,
(ii) jeśli n ∈ N , to n + 1 ∈ N , to N = Nn0.
Dowód. Niech N będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = Nn0 \ N . Pokaże- my, że A = ∅. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A 6= ∅. Wówczas z zasady minimum (twierdzenie 2.3.10) w zbiorze A istnieje element najmniejszy. Oznaczmy go przez m0. Wówczas, z określenia zbioru Nn0 mamy m0 > n0 oraz m0 ∈ A. Ponieważ z (i), n0 ∈ N , więc n0 6∈ A, zatem m0 > n0 i m0 6= 1. Stąd mamy m0− 1 ∈ N (patrz własności 2.3.7 (b) i (d)). To jest jednak niemożliwe, gdyż wtedy z (ii) mamy m0 = (m0− 1) + 1 ∈ N .
Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 dowodzimy następujące
Twierdzenie 2.3.12. (zasada indukcji skończonej). Niech n0, m0 ∈ N, n0 6 m0 oraz Nn0,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0}. Jeśli zbiór N ⊂ Nn0,m0 spełnia warunki:
(i) n0 ∈ N ,
(ii) dla każdego n < m0, jeśli n ∈ N , to n + 1 ∈ N , to N = Nn0,m0.
Z twierdzenia 2.3.10 dostajemy natychmiast
Twierdzenie 2.3.13. (zasada indukcji). Niech N ⊂ N. Jeśli N spełnia warunki:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli Fn ⊂ N , to n + 1 ∈ N , to N = N.
Definicja liczb parzystych i nieparzystych. Mówimy, że liczba naturalna n jest pa- rzysta, gdy istnieje k ∈ N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy 2N − 1.
ZADANIA
Zadanie 2.3.1. Wykazać, że 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N − 1 = {2n − 1 : n ∈ N}.
Zadanie 2.3.2. Jeśli n, m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N.
2.4 Liczby całkowite i liczby wymierne
Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczb naturalnych nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z.
Dowody poniższych dwóch prostych własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.4.1. N ⊂ Z.
Własność 2.4.2. (a) Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0.
(b) Z ∩ R+ = N, Z ∩ R− = −N.
(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z.
(d) Dla dowolnego a ∈ Z mamy −a ∈ Z.
(e) 1/2 6∈ Z.
Z własnoći 2.3.7 dostajemy
Własność 2.4.3. (a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, że a < b < a + 1.
(b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a + 1 6 b.
(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b − a ∈ N.
Twierdzenie 2.4.4. (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb całkowitych ma element najmniejszy.
Dowód. Niech A ⊂ Z, A 6= ∅ będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M ∈ R będzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2) istnieje liczba n0 ∈ N taka, że n0 > −M . Wówczas {n0} + A ⊂ N. Istotnie, dla a ∈ A mamy n0 + a ∈ Z oraz n0 + a > −M + a > 0, więc z własności 2.4.2(a) mamy n0 + a ∈ N. W konsekwencji {n0} + A ⊂ N. Zatem z twierdzenia 2.3.10 zbiór {n0} + A ma element najmniejszy. Oznaczmy go x0.
Pokażemy, że x0− n0 jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n0+ (x0− n0) = x0 ∈ {n0} + A, więc x0 − n0 ∈ A. Ponadto dla każdego a ∈ A mamy n0 + a > x0, więc
a > x0− n0.
Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 (stosując twierdzenie 2.4.4 zamiast 2.3.10), dosta- jemy następujące dwie wersje zasady indukcji.
Twierdzenie 2.4.5. (zasada indukcji). Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0}.
Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełnia warunki:
(i) a0 ∈ Z,
(ii) jeśli a ∈ Z, to a + 1 ∈ Z, to Z = Za0.
Wniosek 2.4.6. Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0}. Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełnia warunki:
(i) a0 ∈ Z,
(ii) jeśli a ∈ Za0 i {k ∈ Z : a0 6 k 6 a} ⊂ Z, to a + 1 ∈ Z, to Z = Za0.
Z twierdzenia 2.4.4 dostajemy następujący
Wniosek 2.4.7. Każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb całkowitych ma element największy.
Dowód. Niech A ⊂ Z będzie zbiorem ograniczonym z góry. Wówczas zbiór −A jest ograniczony z dołu, więc z twierdzenia 2.4.4, istnieje min(−A). Oznaczając a = min(−A) i stosując definicją minimum i maksimum zbioru dostajemy, że −a = max A. Definicja liczby wymiernej. Mówimy, że liczba x ∈ R jest wymierna, gdy istnieją a, b ∈ Z, b 6= 0, takie że x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę b mianownikiem liczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.
Definicja liczby niewymiernej. Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
Liczbę x ∈ R \ Q nazywamy niewymierną.
Zachodzą następujące własności:
Własność 2.4.8. (a) Z ⊂ Q.
(b) Dla dowolnego r ∈ Q zachodzi −r ∈ Q oraz 1/r ∈ Q, gdy r 6= 0.
(c) Jeśli r, w ∈ Q, to r + w ∈ Q, r − w ∈ Q, rw ∈ Q oraz r/w ∈ Q, gdy w 6= 0.
(d) Dla każdej liczby r ∈ Q istnieją a ∈ Z oraz b ∈ N, że r = a/b.
Definicja całości liczby. Niech x ∈ R. Całością lub entier z liczby x nazywamy max{a ∈ Z : a 6 x} i oznaczamy [x].
Uwaga 2.4.9. Całość [x] jest poprawnie określona. Istotnie, zbiór A = {a ∈ Z : a 6 x}
jest ograniczony z góry i niepusty, bowiem dla liczby −x, z zasady Archimedesa istnieje n0 ∈ N, że n0 > −x. Zatem −n0 < x, więc −n0 ∈ A. Stosując teraz wniosek2.4.7 dostajemy istnienie i jedyność liczby [x].
Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.4.10. Dla każdego x ∈ R mamy
[x] ∈ Z, [x]6 x < [x] + 1.
W szczególności 06 x − [x] < 1.
Udowodnimy teraz twierdzenie o ”gęstości” zbioru Q w R.
Twierdzenie 2.4.11. Dla każych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje r ∈ Q, że x < r < y.
Dowód. Na mocy zasady Archimedesa istnieje n ∈ N, że n > 1/(y − x). W szczegól- ności 1/n < y − x. Oznaczmy a = [nx] ∈ Z. Pokażemy, że liczba r = (a + 1)/n spełnia tezę twierdzenia. Z własności 2.4.10 mamy nx < a+1, więc x < (a+1)/n, czyli x < r. Z drugiej strony (a+1)/n = (a+1−nx)/n+x = (1−(nx−[nx]))/n+x6 1/n+x < (y −x)+x = y,
czyli r < y. Reasumując x < r < y.
ZADANIA
Zadanie 2.4.1. Niech x ∈ R. Udowodnić, że jeśli dla każdego n ∈ N istnieją q, r ∈ N oraz p ∈ Z, że q, r > n oraz 0 < |x − pq| < qr1, to x jest liczbą niewymierną.
Zadanie 2.4.2.* Udowodnić, że jeśli x ∈ R jest liczbą niewymierną, to dla każdego n ∈ N istnieją p ∈ Z, q ∈ N takie, że q > n oraz |x −pq| < q·q1 .
2.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję
Niech n ∈ N oraz, zgodnie z poprzednim punktem, niech Fn= {k ∈ N : k 6 n}.
Definicja określania funkcji przez indukcję skończoną. Niech X będzie niepustym zbiorem, n ∈ N, n > 1, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X. Funkcję ϕ : Fn → X spełniającą warunki
(i) ϕ(1) = x,
(ii) ϕ(k + 1) = f (ϕ(k), k) dla każdego k ∈ Fn−1 ,
nazywamy określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończonej.
Twierdzenie 2.5.1. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X, gdzie n ∈ N, n > 1, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ : Fn→ X określona przez x i f przy pomocy indukcji skończonej. (3)
3Dowód twierdzenia 2.5.1. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (i), (ii), to zbiór A = {k ∈ Fn : ϕ(k) 6= ψ(k)} jest niepusty. Zatem istnieje s = min A. Wówczas s > 1, bo z (i) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy s − 1 ∈ Fn−1 oraz ϕ(s − 1) = ψ(s − 1). Zatem z (ii) otrzymujemy
ϕ(s) = f (ϕ(s − 1), s − 1) = f (ψ(s − 1), s − 1) = ψ(s), co, wraz z faktem s ∈ A, prowadzi do sprzeczności.
Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Niech N będzie zbiorem tych m ∈ Fn, że istnieje funkcja ϕm: Fm→ X
Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N → X. Funkcję ϕ : N → X spełniającą warunki
(j) ϕ(1) = x,
(jj) ϕ(n + 1) = f (ϕ(n), n) dla każdego n ∈ N, nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f .
Twierdzenie 2.5.2. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N → X, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f . (4)
Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję.
Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N × N → N będzie określona wzorem f (a, n) = a · (n + 1) dla n ∈ N
Wtedy funkcję ϕ : N → N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dla n ∈ N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1.
Uwaga 2.5.3. W literaturze dla n ∈ N, liczbę n-silnia określa się również następująco:
n! = 1, gdy n = 1 oraz (n + 1)! = n!(n + 1).
W świetle twierdzenia 2.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdego n ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! ∈ N.
Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby m
n
!
= m!
n!(m − n)! gdzie n, m ∈ Z, 06 n 6 m.
ZADANIA
spełniająca warunki (i0) ϕm(1) = x,
(ii0) ϕm(k + 1) = f (ϕm(k), k) dla każdego k ∈ Fm−1 (przyjmujemy tutaj F0= ∅).
Z (i0) oraz (ii0) mamy 1 ∈ N . Niech teraz m ∈ N , m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕm : Fm → X spełniająca (i0), (ii0). Biorąc ϕm+1 : Fm+1→ X określon¸a wzorami ϕm+1(n) = ϕm(n) dla n ∈ Fmoraz ϕm+1(m + 1) = f (ϕm(m), m) dostajemy, że ϕm+1spełnia (i0), (ii0) dla m + 1. W konsekwencji m + 1 ∈ N . Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = Fn. Przyjmując teraz ϕ = ϕn dostajemy tezę.
4Dowód twierdzenia 2.5.2. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n ∈ N : ϕ(n) 6= ψ(n)} jest niepusty. Zatem istnieje k = min A. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k − 1 ∈ N oraz ϕ(k − 1) = ψ(k − 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k ∈ A.
Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia 2.5.1 dla każdego n ∈ N, zbiór funkcji określonych indukcyjnie przez x i f |X×Fn jest niepusty. Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕn : Fn → X, n ∈ N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną.
Ponadto dla każdego n ∈ N mamy ϕn+1|Fn = ϕn. Określmy funkcję ϕ : N → X wzorem ϕ(n) = ϕn(n), n ∈ N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ1(1) = x, czyli zachodzi (j). Weźmy n ∈ N. Wtedy ϕ(n) = ϕn+1(n), ϕ(n + 1) = ϕn+1(n + 1), zatem z (ii) mamy
ϕ(n + 1) = ϕn+1(n + 1) = f (ϕn+1(n), n) = f (ϕ(n), n).
To daje, że ϕ spełnia (jj) i kończy dowód.
