Imi¦ i nazwisko:
Numer indeksu:
1 2 3 4 5 P
Egzamin z Analizy matematycznej 1 Wrocªaw, 29 stycznia 2009
1. Sformuªuj twierdzenie o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym.(2p) Udowodnij, »e ci¡g (an) dany rekurencyjnie wzorem
a1 =√
2, an+1 = a2n− 3an+ 4 (n ≥ 1) jest zbie»ny i wyznacz jego granic¦.(3p)
2. Oblicz warto±¢ caªki:
Z 4 1
1 1 +√
xdx.(3p) Sformuªuj wszystkie wykorzystane twierdzenia.(2p) 3. Wyznacz caªk¦ nieoznaczon¡:
Z cos x
1 + sin x + (cos x)2 dx.(5p)
4. Podaj wzór Taylora z reszt¡ w postaci Lagrange'a.(2p) Odgadnij wzór na n-t¡ po- chodn¡ funkcji f(x) = ln x (np. na podstawie kilku pierwszych pochodnych)(0p) i zapisz rozwini¦cie Taylora tej funkcji wokóª punktu 1.(1p) Oblicz za jego pomoc¡
przybli»on¡ warto±¢ ln12 z bª¦dem nie przekraczaj¡cym 101.(2p)
5. Udowodnij, »e istnieje ci¡g (σn), którego wyrazy s¡ równe 1 lub −1 i taki, »e
∞
X
n=1
σn
n = 0.(5p)
Mateusz Kwa±nicki
Punktacja: 012 1315 1618 1921 2223 2425
ndst dst dst+ db db+ bdb
Imi¦ i nazwisko:
Numer indeksu:
1 2 3 4 5 P
Egzamin z Analizy matematycznej 1 Wrocªaw, 29 stycznia 2009
1. Sformuªuj twierdzenie o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym.(2p) Udowodnij, »e ci¡g (an) dany rekurencyjnie wzorem
a1 =√
3, an+1 = a2n− 3an+ 4 (n ≥ 1) jest zbie»ny i wyznacz jego granic¦.(3p)
2. Oblicz warto±¢ caªki:
Z 9 1
1 1 +√
xdx.(3p) Sformuªuj wszystkie wykorzystane twierdzenia.(2p) 3. Wyznacz caªk¦ nieoznaczon¡:
Z cos x
1 − sin x + (cos x)2 dx.(5p)
4. Podaj wzór Taylora z reszt¡ w postaci Lagrange'a.(2p) Odgadnij wzór na n-t¡ po- chodn¡ funkcji f(x) = ln x (np. na podstawie kilku pierwszych pochodnych)(0p) i zapisz rozwini¦cie Taylora tej funkcji wokóª punktu 1.(1p) Oblicz za jego pomoc¡
przybli»on¡ warto±¢ ln12 z bª¦dem nie przekraczaj¡cym 101.(2p)
5. Udowodnij, »e istnieje ci¡g (σn), którego wyrazy s¡ równe 1 lub −1 i taki, »e
∞
X
n=1
σn
n = 0.(5p)
Mateusz Kwa±nicki
Punktacja: 012 1315 1618 1921 2223 2425
ndst dst dst+ db db+ bdb
