WYKŁAD nr 7

(1)

WYKŁAD nr 7

DEKOMPOZYCJA I AGREGACJA W ZADANIACH PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO

Typowy problem optymalizacji, który był przedmiotem dotychczasowych rozważań można sformułować następująco: wyznaczyć takie elementy

n i

X x

x_i= ˆ_i∈ , =1,..., , które minimalizują wskaźnik jakości

(1)

∑

=

= ⁿ

i i

i x

F F

1

) ( przy ograniczeniach G_j(x_i)≤0, i=1,...,n, j=1,...

(2)

∑

= n ≤

i

i x W

H

1

) (

Jak wykazały prezentowane poprzednio przykłady liczbowe, problem ten ma prostą interpretację techniczną. Należy określić elementy (wartości zmiennych decyzyjnych, sterowania) x_i =xˆ_i∈X, i=1,...,n minimalizujące wskaźnik (1) przy ograniczeniach (2) korzystając wprost z warunków Kuhna-Tuckera.

W wielu sytuacjach, szczególnie przy dużej ilości zmiennych i znacznej liczbie ograniczeń łączących poszczególne zmienne, takie podejście nie jest wygodne, wymaga wielu długich i uciążliwych przekształceń.

Jeżeli możliwe jest wydzielenie z analizowanego zadania optymalizacji mniejszych części, które mogą być rozpatrywane oddzielnie jednakże powiązanych ze sobą dodatkowymi zmiennymi lub dodatkowymi ograniczeniami, oznacza to, że dokonaliśmy dekompozycji zadania pierwotnego na zagadnienia cząstkowe na ogół znacznie prostsze w rozwiązaniu. Zdekomponowanie problemu polega najczęściej na rozdzieleniu wielkości W na części spełniających warunek i przydzieleniu tych części zadaniom cząstkowym. Funkcjonał

n w_j

∑

=

≤

1 j

j W

w

F i ograniczenie W nazywamy globalnymi, natomiast funkcjonały oraz ograniczenia F_i G_j lokalnymi.

Dekompozycja (rozdzielenie problemu globalnego) może przebiegać np. jak poniżej: dla indeksu j=1 zbiór indeksów

[

^Kj

]

P

j i

i i

i=1,2,3,4⇒ ∈ , oraz dla zbiór indeksów

=2

[

^Kj

]

j

P

j i

i i

i=5,6,7⇒ ∈ , itp. wówczas lokalne wskaźniki jakości można zapisać

A Wskaźniki lokalne

(2)

( )

∑

( )

=

Kj

Pj i

i i

j F x

S ( ) (3)

gdzie i ,^P_j i^K_j to początek i koniec zbioru indeksów dla wskaźnika o indeksie . i j B Ograniczenia lokalne

...G_j(x_i)≤0, j=1, (4)

C Rozdzielone ograniczenie globalne

j i

j x w

H ( )= (5)

D Jeżeli w dalszej kolejności zostały wyznaczone elementy jako funkcje xˆ_i w_j czyli to można również określić nowe funkcje xˆ_i(w_j) ^fⁱ⁽^w^j⁾⁼^Fⁱ

[

^x^ˆ⁽^w^j⁾

]

^oraz

sformułować kolejny problem optymalizacji w postaci

(6)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∑

= n

i j

w fi w

j 1

) ( min przy warunku ograniczającym

∑

^≤

1 ' j

j W

w (7)

E Działanie takie nazywa się agregacją rozwiązań zadań cząstkowych.

Dekompozycja nie tylko umożliwia rozwiązanie dużego skomplikowanego problemu o wielu zmiennych decyzyjnych, lecz przede wszystkim pozwala na lepsze zrozumienie istoty zależności między zmiennymi w analizowanym modelu.

Dekompozycja jest wtedy sensowna, gdy ilość zmiennych koordynujących nie jest duża.

Przykład 1

Rozpatrzmy następujący system zaopatrzenia w wodę. Cztery aglomeracje o zapotrzebowaniach zasilane są w wodę ze zbiorników nr 1 do 9 w układzie jak na rysunku 1.

4 ..., , 1 , j= A_zj

(3)

7 8 9 A_Z3

x7 x8 x₉

4 5 6

A_Z2

x4 x₅ x₆

A_Z4

q1 q2

q3

Z

1 2 3

A_Z1

x1 x₂ x₃

wydzielony układ cząstkowy

Rys. 1. Analizowany system wodno-gospodarczy

Koszt pozyskania wody ze zbiorników opisany jest funkcjami

a równania ograniczeń, wynikające z powiązań w systemie sprowadzają się do zapisów

9 ..., , 1

2, =

=ax i F_i _i _i

0 :

4 3 2 1 4

3 3 9 8 7 3

2 2 6 5 4 2

1 1 3 2 1 1

≥

−

− + +

≥

−

− + +

≥

−

− + +

≥

−

− + +

Z A q q q g

q A x x x g

z z z z

(8)

Poszukiwać będziemy takich odpływów ze zbiorników xˆ_i, i=1,...,9, które spełnią przyjęte ograniczenia przy minimalnej wartości wskaźnika jakości w postaci

∑

.

=

= ⁹

1 i

Fi

F

Określony powyżej problem można oczywiście rozwiązać bez stosowania dekompozycji, a mianowicie korzystając z warunków K-H przy funkcji Lagrange’a w postaci

(9)

∑

=

⋅ +

= ⁹

1

4 4 3 3 2 2 1 1 i

i g q g g

F

L λ λ λ λ

Przeprowadzenie dekompozycji sprowadza się do wydzielenia i optymalizacji zadań cząstkowych np. w postaci:

(4)

1) ₁ ₁ ₂ ₃ przy ograniczeniu

, ,2 3 1

min S F F F

x x

x = + + g₁

2) ₂ ₄ ₅ ₆ przy ograniczeniu

, ,₅ ₆ 4

min S F F F

x x

x = + + g₂

3) ₃ ₇ ₈ ₉ przy ograniczeniu

, ,8 9 7

min S F F F

x x

x = + + g₃

przyjmując zmienne q₁,q₂,q₃ jako parametry.

Następnie zgodnie z punktem D należy określić funkcje ^fⁱ⁽^q^j⁾⁼^Fⁱ

[

^x^ˆ⁽^q^j⁾

]

^oraz

rozwiązać zaagregowane zadanie optymalizacji w postaci:

4)

∑

przy ograniczeniu .

= 9 =

1 , 1

, ( ), 1,...,3

min

3 1

1 i

q j q

q f q j g₄

Dla przykładu z rysunku 3.31 procedura ta przebiega następująco:

Rozwiązanie zadania cząstkowego (dekompozycja)

(

₁ ₁ ₁ ₂ ₃

)

1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1

1 1 1

1 0,5 S g L 0,5 (ax a x a x ) A q x x x

L = ⋅ +λ ⋅ ⇒ = ⋅ + + +λ ⋅ _z + − − −

3 1 3 1

3 3 3

1

2 1 2 1

2 2 2

1

1 1 1

1

ˆ ˆ ˆ 0

0 ˆ

ˆ ˆ ˆ 0

0 ˆ

ˆ ˆ ˆ 0

0 ˆ

a x x

a x

L

a x

x a x

L

a x x

a x

L

λ λ

=

⇒

=

−

⇒

=

∂

=

⇒

=

−

⇒

=

∂

=

⇒

=

−

⇒

=

∂

∂ ₁

(10)

ˆ 0 ˆ

0 ₁ ₁ ˆ₁ ₂ ₃

1 ∂ = ⇒ + − − − =

∂L λ A_z q x x x (11)

Po podstawieniu (10) do (11) otrzymujemy związek określający mnożnik Lagrange’a

∑

∏

= =

−

⋅

= ³

1 3

1

1 1

1 ( )

ˆ

i i i

z

i A q a

a

λ (12)

a po podstawieniu (12) do (10) optymalne elementy x_j,j=1,...,3 w funkcji nieznanej wartości zmiennej mają postać q₁

3 ..., , 1 , )

ˆ ( ³

1 3

1

1− =

⋅

=

∏ ∑

≠ =

=

j a q

A a x

i i

j ii

z i j

Po przyjęciu _j

i i

j ii

i a b

a

∑

=

∏

=

≠=

3

1 3

1

równanie (12) przyjmuje prostszą formę

) (A₁ q₁ b

x_j = _j⋅ _z − (13)

Analogicznie rozwiązanie drugiego i trzeciego zadania cząstkowego prowadzi do podobnych związków

(5)

) ˆ b (A₂ q₂

x_j= _j⋅ _z − , , 4,...,6

6

4 6

4

=

∏ ∑

≠ =

=

j a a

b

i i

j ii

i j

xˆ_j=b_j⋅(A_z₃−q₃), , 7,...,9

9

7 9

7

=

∏ ∑

≠ =

=

j a a

b

i i

j ii

i

j (14)

Elementy 3x_j,j=1,..., zależą od nieznanej wartości zmiennej , od nieznanej wartości zmiennej , oraz

q1 x_j,j=4,...,6 q2 x_j,j=7,...,9 są wyliczone w funkcji nieznanej wartości . q₃

Rozwiązanie zadania globalnego (agregacja)

Funkcja Lagrange’a zadania zaagregowanego uwzględniająca (13) i (14) oraz ograniczenie g₄ przyjmuje postać

( )

[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]

(

₄ ₁ ₂ ₃

)

3

1

6

4

9

7

2 3 3 2

2 2 2

1

1 ( (

( 5

, 0

q q q A

q A b q

A b q

A b L

z

i i i

z i z

i z

i

−

⋅ +

⎭+

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

⋅

=

∑ ∑ ∑

= = =

λ

(15)

Z warunków K-T tym razem względem zmiennych q₁,q₂,q₃,λ otrzymujemy równania w postaci

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

ˆ 0 ˆ 0 ˆ

ˆ 0 ( ˆ

0

ˆ 0 ˆ

( 0

ˆ 0 ( ˆ

0

3 2 1 4 9

7

3 3 3

6

4

2 2 2

3

1

1 1 1

=

−

⇒

=

∂

=

−

⋅

−

⋅

⇒

=

∂

=

−

⋅

−

⋅

⇒

=

∂

=

−

⋅

−

⋅

⇒

=

∂

∑

=

q q q A L

b q A b q

L

b q A b q

L

b q A b q

L

z i

i z

i i

i z

i i

i z

i

λ

λ λ λ

(16)

Z równań (16) w prosty sposób można wyliczyć optymalne wartości qˆ₁,qˆ₂,qˆ₃

∑∏

=

≠=

− + +

⋅

−

= ³

1 3

1 4

3 2 1 3 2 1

1 ( )

ˆ

i i jj

j z

z z z

z d d A A A A d

A q

∑∏

=

≠=

− + +

⋅

−

= ³

1 3

1 4

3 2 1 3 2 1

2 ( )

ˆ

i i jj

j z

z z z

z dd A A A A d

A q

(6)

∑∏

=

≠=

− + +

⋅

−

= ³

1 3

1 4

3 2 1 2 1 3

3 ( )

ˆ

i jj i j z

z z z

z dd A A A A d

A

q (17)

we wzorze (17) przyjęto:

2 9 2 8 2 7 3

2 6 2 5 2 4 2

2 3 2 2 2 1 1

b b b d

+ +

=

+ +

=

+ +

=

Związki (17) podstawiamy do wzorów (13) i (14) otrzymując w konsekwencji optymalne wartości poszukiwanych odpływów ze zbiorników i = 1, ..., 9, które spełnią przyjęte ograniczenia przy minimalnej wartości wskaźnika jakości

.

ˆ_i, x

∑

=

= ⁹

1 i

Fi

F

Przykład 2

Rozpatrzmy system zaopatrzenia w wodę jak na rysunku 2. Każdy z trzech zbiorników zasila w wodę grupę odbiorców o określonych zapotrzebowaniach.

Zbiornik nr 1 zasila odbiorców A_z₁_,₁,...,A_z₁_,_m (m, liczba odbiorców).

Zbiornik nr 2 zasila odbiorców A_z₂_,₁,...,A_z₂_,_n (n, liczba odbiorców).

Zbiornik nr 3 zasila odbiorców A_z₃_,₁,...,A_z₃_,_p (p, liczba odbiorców).

1 2 2

1, q ,

q =− q₂_,₃ =−q₃_,₂

3 1 1

3, q ,

q =− 2

1

x1,

x₁_,m

1

x2, wydzielony układ

cząstkowy

1

2

z m

A ₁_,

1 z1,

A

1 z3,

A

z p

A ₃_,

1 z2,

A A_z₂_,_n x₂_,n

1

x3,

x₃_,p

Rys. 2. Wyodrębniony system wodno-gospodarczy

(7)

Suma zapotrzebowań (zbiornik nr 1) jest większa niż zapas wody w zbiorniku. W związku z powyższym odbiorcy otrzymują tylko

wody ponosząc przy tym straty oszacowane za pomocą

funkcji kwadratowej .

∑

= m

i z i

A

1 , 1

m i

A

x₁_,_i≤ _z₁_,_i, =1,...,

( )

∑

=

−

⋅

= ^m

i

i i z

i A x

a F

1

2 , , 1 , 1 1 1

Analogicznie dla zbiornika nr 2 i nr 3

∑ ( )

=

−

⋅

= ⁿ

i

i i z

i A x

a F

1

2 , 2 , 2 , 2 2

(18)

∑ (

=

−

⋅

= ^p

i

i i z

i A x

a F

1

2 , 3 , 3 , 3

3

)

Istnieje możliwość przerzutu wody między zbiornikami, które wraz z zapasami

)

wody w zbiornikach

(

i sumarycznymi odpływami ze zbiorników tworzą równania ograniczeń

3 2 1,V ,V V

(19) 0

:

0 :

1 , 3 31 23 3 3

1 , 2 23 12 2 2

1 , 1 13 12 1 1

≥

−

− +

≥

−

− +

≥

− +

−

∑

=

p

i i n

i i m

i i

x q

q V g

x q

q V g

x q

q V g

Ponieważ w systemie nie ma niewykorzystanej wody, znaki nierówności w równaniu (19) można zamienić na znaki równości.

W opisanych warunkach należy określić optymalne wartości przerzutów między zbiornikami qˆ₁₂, qˆ₂₃, qˆ₃₁ oraz optymalne zrzuty ze zbiorników do odbiorców xˆ_{1 i}_,,

p k

x n j

x m

i=1,..., , ˆ₁_,_j, =1,..., , ˆ₁_,_k, =1,..., , zapewniające minimum strat globalnych w systemie wyrażonych w postaci

(20)

∑

=

= ³

1 i

Fi

F

Problem określony równaniami (19) i (20) można rozwiązać bez dekompozycji, posługując się funkcja Lagrange’a w postaci

(

A −x

)

⋅ ⋅

(

A −x

)

+λ ⋅

(

V − ⋅q− ⋅x

)

⋅

=0,5 _z ^T A _z ^T T₁ T₂

L (21)

w której odpowiednie wektory i macierze przybierają następujące wymiary i kształty:

(8)

[ ] [ ] [ ]

[

z z m z z n z z p

]

T

z = A₁_,₁,...,A₁_, A₂_,₁,..., A₂_, A₃_,₁,...,A₃_, A

[ ] [ ] [ ]

[

m n p

]

T = x₁_,₁,...,x₁_, x₂_,₁,...,x₂_, x₃_,₁,...,x₃_, x

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

=

p n

m

a a

, 3 1 , 3 , 2 1 , 2 , 1 1 , 1

0 0

0 0 0

0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

A

dodatnio określona macierz współczynników wag przypisanych do każdego odbiorcy

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 1 0

0 1 1

1 0 1

T1 strukturalna macierz połączeń

międzyzbiornikowych,

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

[ ]

_{( )}^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

T p T

n T

m

, 1 , 1 , 1

2

1 0 0

0 1

0

0 0 1

T strukturalna macierz powiązana z odpływami,

[

V1 V2 V3

]

T =

V wektor zapasów wody w zbiornikach,

[

q₁₂ q₂₃ q₃₁

T =

q

]

wektor przerzutów międzyzbiornikowych,

[

λ1 λ2 λ3

=

λT wektor mnożników Lagrange’a.

Można również przeprowadzić dekompozycję (podział) zadania globalnego na mniejsze części, rozwiązać zadania cząstkowe a następnie dokonać agregacji rozwiązań cząstkowych.

Dekompozycja

Rozwiązanie pierwszego zadania cząstkowego. Otoczenie zbiornika nr 1

( ) ( )

0 :

1 ₁ ₁₂ ₁₃ ₁

1 1 1 1 1

1

≥

⋅

− +

−

⋅

−

=

X 1

X A X

A

q T

q V g

F _z ^T A _z

(22) Funkcję Lagrange’a dla elementów (22) przedstawiono poniżej

(9)

(

1 1

)

1

(

1 1

)

1

(

1 12 13 1

)

1= A −X ⋅ ⋅ A −X +λ ⋅ V −q +q −1^T⋅X

L _z ^T A _z (23)

w której:

[

z z m T

z₁ = A₁_,₁ • • A₁_,

A

]

zapotrzebowania odbiorców zbiornika nr 1,

[

m

T x₁_,₁ x₁_,

1 = • •

X odpływy ze zbiornika nr 1 do odbiorców,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

= •

a m

a

, 1 1

, 1

1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

A dodatnio określona macierz współczynników wag,

[

_{( )}m

T

,

1 1

1 • •

=

1 wektor jednostkowy,

λ1 mnożnik Lagrange’a,

V1 zapas wody w zbiorniku nr 1,

q12 przerzut wody ze zbiornika nr 1 do zbiornika nr 2, q31 przerzut wody ze zbiornika nr 3 do zbiornika nr 1.

Korzystając z warunków Kuhna-Tuckera otrzymujemy

( )

[

^∇^x^L¹ ^x^ˆ^,^λ^ˆ^,^q

]

⁼⁰^,

(

^Az₁⁻^Xˆ₁

)

^T^⋅A₁⁻λˆ₁^⋅¹^T ⁼⁰

(24)

1 1 1 1

1 ˆ

ˆ =A_z − ⁻ ⋅1⋅λ

X A

1 0

1 ∂ =

∂L λ

(

V1−q12+q13−1^T⋅X1

)

=⁰ (25) Podstawiając (24) do (25) oraz przyjmując C₁=V₁−q₁₂+q₁₃ otrzymujemy

( )

ˆ 0 ˆ 0

1 1 1 1

1

1 1 1 1 1

=

⋅

⋅ +

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

λ C

z z

1 1

A 1

1 A

1

T T

T

A A

( ) (

1 1

)

1 1 1

ˆ1 C

λ = 1^T⋅A⁻ ⋅1⁻ ⋅ 1^T⋅A_z − (26)

oraz

( ) (

1 1

)

1 1 1 1

1 1

ˆ1=A_z − ⁻ ⋅1⋅ 1 ⋅ ⁻ ⋅1⁻ ⋅ 1^T ⋅A_z −C

X A ^T A

a po dalszych przekształceniach

(27) q

S D E

Xˆ₁= ₁− ₁⋅ ₁⋅ gdzie:

(10)

( )

[ ]

[

12 23 31

]

1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1

1 0 1

q q q

V

T

z z

=

−

=

−

⋅

−

=

⋅

= ⁻ ⁻ ⁻

q S

A 1 D A E

1 1

1 D

T

T A

A

Rozwiązanie drugiego zadania cząstkowego. Otoczenie zbiornika nr 2

( ) ( )

2 23

12 2

2 2 2 2 2

2

2 1 X

X A X

A

⋅

−

− +

=

−

⋅

−

=

T z T

z

q q V g

F A

(28) Funkcję Lagrange’a dla elementów (28) przedstawiono poniżej

(

2 2

)

2

(

2 2

)

2

(

2 12 23 2

)

2= A −X ⋅ ⋅ A −X +λ ⋅V −q +q −1^T⋅X

L _z ^T A _z (29)

w której:

[

z z n T

z₂ = A₂_,₁ • • A₂_,

A

]

[

n

T x₂_,₁ x₂_,

2 = • •

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

= •

a n

a

, 2 1

, 2

2

0 0 0

0 0

0

0 0 0

[

_{( )}n

T

,

1 1

1 • •

=

λ mnożnik Lagrange’a, 2

V 2 zapas wody w zbiorniku nr 2,

q 12 przerzut wody ze zbiornika nr 1 do zbiornika nr 2, q 23 przerzut wody ze zbiornika nr 2 do zbiornika nr 3.

Rozwiązanie sprowadza się do analogicznej postaci jak poprzednio

(30) q

S D E

Xˆ₂= ₂− ₂⋅ ₂⋅ gdzie:

( )

[ ]

[

12 23 31

]

2

2 2 2 2

2

1 1 2 1

2 2

0 1 1

q q q

V

T

z z

T

=

−

=

−

⋅

−

=

⋅

= ⁻ ⁻ ⁻

q S

A 1 D A E

1 1

1 D

T

A A

(11)

Rozwiązanie trzeciego zadania cząstkowego. Otoczenie zbiornika nr 3

( ) ( )

3 13

23 3

3 3 3 3 3

3

3 1 X

X A X

A

⋅

−

− +

=

−

⋅

−

=

T z T

z

q q V g

F A

(31) Funkcję Lagrange’a dla elementów (31) zestawiono poniżej

(

3 3

)

3

(

3 3

)

3

(

3 23 31 3

)

2= A −X ⋅ ⋅ A −X +λ ⋅V +q −q −1^T⋅X

L _z ^T A _z (32)

w której:

[

z z p

T

z₃ = A₃_,₁ • • A₃_,

A

]

[

p

T x₃_,₁ x₃_,

3 = • •

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

= •

a p

a

, 3 1

, 3

3

0 0 0

0 0

0

0 0 0

[

_{( )}_p

T

,

1 1

1 • •

=

λ mnożnik Lagrange’a, 3

V 3 zapas wody w zbiorniku nr 3,

q 23 przerzut wody ze zbiornika nr 2 do zbiornika nr 3, q 31 przerzut wody ze zbiornika nr 3 do zbiornika nr 1.

Rozwiązanie jest w postaci analogicznej jak w zadaniu cząstkowym nr 1 i nr 2

(33) q

S D E

Xˆ₃= ₃− ₃⋅ ₃⋅ gdzie:

( )

[ ]

[

12 23 31

]

3

3 3 3 3

3

1 1 3 1

3 3

1 1 0

q q q

V

T

z z

T

=

−

=

−

⋅

−

=

⋅

= ⁻ ⁻ ⁻

q S

A 1 D A E

1 1

1 D

T

A A

Agregacja zadań cząstkowych

Dysponując wzorami (27), (30), (33), które określają wektory optymalnych odpływów ze zbiorników w funkcji przerzutów międzyzbiornikowych, następnie wykorzystując zaagregowane zadanie optymalizacji należy wyznaczyć optymalne wartości przerzutów między kolejnymi zbiornikami.

(12)

W tym celu w oparciu o (28), (30), (33) tworzymy wskaźnik jakości, który w dalszej kolejności różniczkujemy względem wektora przerzutów międzyzbiornikowych q

(

q

) (

q

)

F =0,5⋅ E−D⋅S⋅1⋅ ^T⋅I⋅ E−D⋅S⋅1⋅ (34) we wskaźniku (34) przyjęte symbole oznaczają macierze blokowe i wektory

blokowe, których elementami są macierze i wektory używane w trakcie rozwiązywania zadań cząstkowych

( ) ( ) ( )

[

^m ⁿ ^p

]

T

, 31 , 21 ,

11 E E

E E =

( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 3 , 1 2 , 1 1 ,

0 0

p n

m

D D

D

D ,

( ) ( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 , 31 3 , 21 3 , 11

0 0

S S S S

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

1T ,

( ) ( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

p p n n m m

3 , 2 , , 1

0 0

I I I

I

[

q12 q23 q31

]

T =

q

Przyrównując do zera gradient globalnej funkcji kosztów względem wektora przerzutów międzyzbiornikowych, otrzymujemy związki, z których możliwe jest wyliczenie wektora optymalnych przerzutów międzyzbiornikowych.

[ ( )

^∇^q^F ^q^ˆ

]

^T⁼⁰⁻

⁽

^E⁻^D^⋅^S^⋅¹^⋅^q^ˆ

⁾

^T ^⋅^I^⋅^D^⋅^S^⋅¹⁼⁰

( ) ( )

(

1

)

1 q

(

1

)

E

0 q 1 E

1

⋅

=

⋅

=

⋅

−

⋅

−

T T

T

S D I S

D S

D I

S D S

D I

ˆ ˆ

(35)

( )

[

¹ ¹

] ⁽

¹

⁾

^E

qˆ= I⋅D⋅S⋅ ^T ⋅D⋅S⋅ ⁻¹⋅ I⋅D⋅S⋅ ^T⋅

Kończąc podstawiamy otrzymany wzór (35) do wzorów (28), (30), (33) otrzymując tym samym optymalne wartości odpływów z kolejnych zbiorników do wskazanych odbiorców.

q S D E

Xˆ ˆ

1 1 1

1= − ⋅ ⋅

q S D E

Xˆ ˆ

2 2 2

2= − ⋅ ⋅

(36) q

S D E

Xˆ ˆ

3 3 3

3= − ⋅ ⋅

(13)

Wektory (35), (36) zapewniają minimum strat globalnych w systemie wyrażonych w postaci przyjętego wskaźnika jakości

∑

.

=

= ³

1 i

Fi

F

Agregacja parametryczna

Dotychczas poznaliśmy takie pojęcia jak dekompozycja zadania głównego (globalnego) na zadania cząstkowe, następnie agregacja rozwiązań cząstkowych celem otrzymania optymalnego rozwiązania globalnego.

Okazuje się, że przy niewielkiej modyfikacji zadania zaagregowanego można uzyskać wiele rozwiązań zaagregowanych w funkcji przyjętej macierzy, której elementami są współczynniki zwane współczynnikami wagi, preferencji lub aspiracji itp. Otrzymane zaagregowane rozwiązania w zakresie obowiązującego ograniczenia globalnego tworzą zbiór rozwiązań zaagregowanych z parametrem a sam proces tworzenia zbioru rozwiązań można nazwać agregacją parametryczną.

Tworzenie zbioru zaagregowanych rozwiązań przedstawione zostanie na dwóch prostych przykładach.

Przykład 1

Rozpatrzymy system dystrybucji wody jak na rysunku 3, w którym poszukujemy takich wartości zmiennych x_i,i=1,...,4, q_j, j=1,2, które zminimalizują globalne koszty dystrybucji wody w systemie oszacowane jako

(37)

∑

= =

=

= ⁴

1 2 4

1 i

i i i

i ax

F F przy ograniczeniach

0 :

2 3 1

3

4 3 2 2 2

2 1 1 1 1

≤

−

− +

≤

−

− +

≤

−

− +

q q z A g

x x q A g

z z z

(38)

(14)

3 4

A_Z2

x3 x₄

A_Z3

q1 q2

Z

1 2

A_Z1

x1 x₂

wydzielony układ cząstkowy nr 1

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1

0 0 α α

Rys. 3. Analizowany system wodno-gospodarczy

Dekompozycja

Zadanie globalne zdekomponowane zostanie na dwa zadania cząstkowe:

A S₁:min

(

F₁+F₂

)

przy ograniczeniu . g₁ B S₂:min

(

F₃+F₄

)

przy ograniczeniu . g₂

Rozwiązanie sprowadza się do zapisania funkcji Lagrange’a i skorzystanie z warunków K-T.

Ad A

[ ] ( ) [ ]

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

− +

⋅

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

=

2 1 1 1

2 1 22 11 2

1 1 1

0 0

x q x

x A x a x a

x

L λ _z

( )

[

1 1 1

]

1 1

1 X 1 X

X ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅

= ^T A_z q ^T

L A λ (39)

( )

[

^∇^X1^L ^X^ˆ1^,^λ^ˆ

]

^T ⁼⁰ ^X¹^T^⋅A¹⁺^λ^ˆ^⋅¹^T ⁼⁰

(40) ˆ ¹ λˆ

1 1= ⁻ ⋅1⋅ X A

( )

^ˆ ⁰

0 ₁+ ₁ − ⋅ ₁=

=

∂

∂L λ A_z q 1^T X (41)

(15)

podstawiając (40) do (41) otrzymujemy

(42)

( )

( ) ⁽

1 1

⁾

1 1 1

1 1 1 1

ˆ

ˆ 0 q A q

A

z T

T z

+

⋅

=

⋅

− +

− −

−

1 1

A A λ

λ

i ostatecznie

( ) (

1 1

1 1 1 1

1

ˆ1= ⁻ ⋅1⋅ 1^T⋅ ⁻ ⋅1 ⁻ ⋅ A_z +q

X A A

)

⁽⁴³⁾

jeżeli oznaczymy

(

1¹

)

¹

1 1 1

− −

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= 1 1 1

D A ^T A

wówczas

(44)

1 1 1 1

ˆ1=D ⋅A_z +D ⋅q X

Ad B Analogicznie dla drugiego zadania cząstkowego

(45)

2 2 2 2

ˆ2=D ⋅A_z +D ⋅q X

gdzie:

[ ]

( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⋅

=

− −

−

44 33 2

1 1 2 1

2 2

4 3 2

0 0 ˆ

a a

x

T x

A

A 1 1 1

D X

T

Agregacja

a Agregacje zadań cząstkowych można przeprowadzić poprzez rozwiązanie zadania globalnego ze wskaźnikiem jakości w postaci (37) i ograniczeniem globalnym g3 (38) i wówczas otrzymamy jako rozwiązanie jeden wektor optymalnych przepływów oraz jeden wektor odpływów qˆ ^X^ˆ^T ⁼

[

^X^ˆ¹ ^X^ˆ²

]

^{. Jest to}

klasyczne rozwiązanie zaagregowanego zadania optymalizacji.

(46)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ +⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

⎪⎭ ⋅

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ +⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

2 1 2 1 2 1 2 1

0 0 0

0 0

0

q q A

A q q A

F A

z z

T

z z

D D D

D

D D D

D

b Agregacje zadań cząstkowych można również przeprowadzić z wprowadzeniem macierzy ⎥ współczynników wag, (preferencji, aspiracji

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1

0 0 φ

Φ φ (φ₁+φ₂=1)),

a w takiej sytuacji wskaźnik jakości przyjmie postać