a) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −2, 0) i jest prostopad la do wektora ~ n = [0, −3, 2];

Lista nr 5 GP, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2015/16 P laszczyzny i proste w R

³

1. Napisa´ c r´ ownania og´ olne i parametryczne p laszczyzn spe lniaj acych podane warunki:

_,

a) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −2, 0) i jest prostopad la do wektora ~ n = [0, −3, 2];

b) p laszczyzna przechodzi przez punkty P

1

(0, 0, 0), P

2

(1, 2, 3), P

3

(−1, −3, 5);

c) p laszczyzna przechodzi przez punkty P

1

(1, −3, 4), P

2

(2, 0, −1) oraz jest prostopad la do p laszczyzny OXZ;

d) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −1, 3) oraz jest r´ ownoleg la do wektor´ ow ~a = [1, 1, 0], ~b = [0, 1, 1];

e) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (0, 3, 0) i jest r´ ownoleg la do p laszczyzny π : 3x − y + 2 = 0;

f) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (2, 1, −3) i jest prostopad la do p laszczyzn π

1

: x + y = 0, π

2

: y − z = 0.

2. Napisa´ c r´ ownanie og´ olne p laszczyzny przechodz acej przez o´

_,

s OY i punkt A(4, 0, 3). Narysowa´ c t e p laszczyzn

_,

e.

_,

3. Napisa´ c r´ ownanie og´ olne p laszczyzny przechodz acej przez punkt A(2, −1, 1) i prostopad lej do p laszczyzn

_,

π

₁

: 3x + 2y − z + 4 = 0 i π

₂

: x + y + z − 3 = 0. Narysowa´ c j a.

_,

4. Napisa´ c r´ ownania parametryczne i kierunkowe prostych spe lniaj acych podane warunki:

_,

a) prosta przechodzi punkt P (−3, 5, 2) i jest r´ ownoleg la do wektora ~ v = [2, −1, 3];

b) prosta przechodzi przez punkty P

1

(1, 0, 6), P

2

(−2, 2, 4);

c) prosta przechodzi przez punkt P (0, −2, 3) i jest prostopad la do p laszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

d) prosta przechodzi przez punkt P (7, 2, 0) i jest prostopad la do wektor´ ow ~ v

₁

= [2, 0, −3] i ~ v

₂

= [−1, 2, 0].

5. Napisa´ c r´ ownanie prostej prostopad lej do osi OZ poprowadzonej z punktu A(2, −3, 4).

6. Zbada´ c wzajemne po lo˙zenie p laszczyzn:

a) π

1

: x − y + 2z − 1 = 0, π

2

: 2x − 2y + 4z + 3 = 0, b) π

1

: x − y − z + 1 = 0, π

2

: x + y + z + 1 = 0, c) π

1

: −x − 2y + 3z − 4 = 0, π

2

: x + 2y − 3z + 4 = 0, d) π

1

:







x = −1 + s − 2t y = 3 − 2s + t z = 2 − s + 3t

, π

2

: 5x − 3y + z + 4 = 0,

e) π

1

:







x = 4 − s

1

y = t

1

z = 1 + 3s

1

− 2t

1

, π

2

:







x = −3 + 2s

2

+ t

2

y = −4 − s

2

− t

2

z = −2s

2

+ 3t

2

Obliczy´ c kosinus k ata mi

_,

edzy p laszczyznami.

_,

7. Zbada´ c wzajemne po lo˙zenie prostych:

a) l

₁

:







x = 2 − t

₁

y = 3 − t

₁

z = 4 + t

₁

, l

₂

:







x = 1 + t

₂

y = 2 + t

₂

z = 5 − t

₂

; b) l

₁

: 1 − x = y − 3 = z

−6 , l

₂

: x − 4

2 = −y = z − 1 2 ;

c) l

1

:

 2x + y − 3z + 4 = 0

3x − y + 2z + 1 = 0 , l

2

:

 −x + 3y + z − 5 = 0 4x − y + 5z − 2 = 0 . Obliczy´ c kosinus k ata mi

_,

edzy prostymi.

_,

8. Zbada´ c wzajemne po lo˙zenie prostej l :

^x−1₋₁

=

^y−1₁

=

^z₁

i p laszczyzny π : x + z − 3 = 0. Obliczy´ c kosinus k ata mi

_,

edzy nimi.

_,

9. Narysowa´ c p laszczyzn e π : x + y − z = 0 oraz prost

_,

a przechodz

_,

ac

_,

a przez punkty A(0, 0, 4), B(2, 2, 0). Wyznaczy´

_,

c punkt

przebicia p laszczyzny przez prost a i obliczy´

_,

c kosinus k ata mi

_,

edzy nimi.

_,

10. Obliczy´ c odleg lo´ s´ c punktu A(4, 3, 0) od p laszczyzny wyznaczonej przez punkty M

₁

(1, 3, 0), M

₂

(4, −1, 2), M

₃

(3, 0, 1).

11. Obliczy´ c odleg lo´ s´ c punktu M (2, −1, 3) od prostej: l :

^x+1₃

=

^y+2₄

=

^z−1₅

. 12. Obliczy´ c odleg lo´ s´ c mi edzy dwiema prostymi:

_,

a) l

1

: x − 2

1 = y + 1

2 = z + 3

2 i l

2

: x − 1

1 = y − 1

2 = z − 1 2 ; b) l

1

: x + 1

1 = y

1 = z − 1

2 i l

2

: x

1 = y + 1

3 = z − 2 4 ; c) l

1

: x = −2y = z i l

2

: x = y = 2;

d) l

1

:







x = −2 + 3t y = 3 + t z = 1 − 2t

i l

2

:







x = −6s y = 2 − 2s z = 3 + 4s

;

e) l

1

:







x = 1 − t y = −3 + 2t z = 5 + 3t

i l

2

:







x = 4 + s y = 1 − 3s z = 2 + 5s

.