Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej

(1)

Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej

Andrzej Odrzywołek

Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ

14 maja, poniedziałek, 12:15

A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 1 / 18

(2)

Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny?

Rozważamy grawitujący układ podwójny:

pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gromada kulista gwiazd, R może być nieskończone)

masę M traktujemy jak ciało sztywne

drugie ciało traktujemy jako masę punktową (czarną dziurę) m w odległości d stosunek mas m/M dowolny, szczególności może być m M

m

M, Ρ HrL

R

d

M,ΡHrL m

d R

(3)

Model analityczny i jego weryfikacja

Zbadanie zagadnienia wymaga odpowiedzi na dwa pytania:

1 Jakie są warunki stabilności w ramach założonego modelu (zrobione dla d R)

2 Konfrontacja modelu analitycznego z symulacjami numerycznymi

symulacja N-ciałowa (N ∼ 10³. . . 10⁵); astrofizyczny reprezentant to gromada kulista

symulacja hydrodynamiczna 3D układu podwójnego gwiazd (w planach)

(4)

Układ mechaniczny

Przyjęta procedura badania stabilności

Na prostych przykładach można pokazać, że są sytuacje gdy ω_OSC = ω_ORB, ale:

nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie

„pompujemy” energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał lub N-ciał

nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych „rezonansów”

nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł „oporów”

czy masa M (a konkretnie jej astrofizyczny „reprezentant”) jest stabilna

(5)

Układ mechaniczny

Założenia i uproszczenia

Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał:

1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r ); gęstość centralna ρ(0) = ρ0

2 masa punktowa m w odległości d > R

3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią

4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli:

masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej

(6)

Planar restricted circular three body problem

¨

x − 2 ω ˙y + k x + G m (x − d ) [(x − d )²+ y²]^3/2

+G m

d² = 0, (1a)

¨

y + 2 ω ˙x + k y + G m y [(x − d )²+ y²]^3/2

= 0, (1b)

gdzie:

ω²= G (m + M)

d³ , k = 4

3πG ρ0− ω², x²+ y²¬ R²

(7)

Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0

Wstawiam:

x (t) = ζ(t), y (t) = ξ(t)

rozwijam w szereg potęgowy po , odrzucam wyrazy rzędu ²i wyższe, otrzymując układ liniowy:

ζ − 2 ω ˙¨ ξ + (k − 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ˙¨ ζ + (k + q) ξ = 0, (2b) gdzie: k = ⁴₃πG ρ0− ω², q = ^Gm_d3, ω²=^{G (M+m)}_d3 .

Podstawiam ξ, ζ ∝ e^λt i otrzymuję równanie charakterystyczne:

Detλ²+ k − 2q −2ωλ 2ωλ λ²+ k + q

= 0.

System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0.

Niestabilność pojawia się dla:

M d³ < 4

3πρ₀<M + 3m

d³ , lub 4

3πρ₀<1 2

m d³

M − m/8 m + M

(8)

Sposoby rozwiązywania problemu stabilności

Procedura eliminacji kwantyfikatorów

Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora:

Re(λ)>0

∃

λ²−M

d³ +4πρ 3

λ²−M

d³ −3m d³ +4πρ

3

+4λ²(m + M)

d³ = 0

pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności

Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997

Resolve

ResolveResolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecompositionCylindricalDecompositionCylindricalDecomposition, ReduceReduceReduce,

„nowe” SolveSolveSolve w wer. 8)

Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7 , Poland Mathematica Conference, Kraków, May 2009

(9)

Zachowana energia i region Hill’a

Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r ):

E = 1 2˙x²+1

2˙y²+ U(x , y ) (3a)

U(x , y ) = φ(r ) −1

2ω²r²− G m

p(x − d)²+ y²+G m(x + d )

d² , r²= x²+ y² (3b) φ(r ) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x , y ) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań.

rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δE i badamy zachowanie się obszaru Hill’a

U(x , y ) < δE

(10)

Typowe przypadki

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HaL

(11)

Typowe przypadki

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HbL

(12)

Typowe przypadki

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HcL

(13)

Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D

ciała początkowo na orbitach kołowych

dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem

system jest niestabilny dla:

M d³ <4

3πρ <M + 3m (1 + µ/M)⁻¹ d³

lub:

4 3πρ <1

2 m d³

M + µ − m/8

M + µ + m (1 + µ/M)⁻¹.

wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M:

(1 + µ/M)

(14)

Masa grawitacyjna i masa bezwładna

M,ΡHrL m

d R

Jeżeli masa m porusza się we- wnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych mamy:

ω_ORB² = GM_grav+ m^M_M^grav

inert

d³ .

Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego Mgrav 6= Minert! W przypadku ρ(r ) = const może- my pokazać, że:

ω_ORB² = G (M + m) R³ , czyli ω_ORB nie zależy od d .

(15)

Przypadek d < R

naiwna (błędna) intuicja fizyczna sugeruje, że zawsze M_inert = M_grav dla masy próbnej (punktowej) powyższe jest prawdą - wnioskujemy, że niemożliwa jest jej korotacja z obiektem, dla którego Mgrav 6= Minert

popularny model gromady kulistej, czyli sfera Plummera, ma rozkład gęstości rozciągający się do r → ∞:

ρ(r ) = ρ0

(1 + r²/R²)^5/2 formalnie zawsze jesteśmy „wewnątrz”

ograniczny problem 3 ciał będzie miał jakościowo różne rozwiązania dla d < R oraz d > R, co można pokazać analizując położenie punktów libracyjnych (Lagrange’a)

wyniki zależą od funkcji ρ(r ); rozważam następujące przykłady:

1 masa punktowa (jako klasyczny punkt odniesienia)

2 jednorodna kula o promieniu R

3 sfera Plummera o „promieniu” R

(16)

Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne

-1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2

L3 L1 L2

L4

L₅

M m

(17)

Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne

-1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2

L3 L1 L2

L4

L₅

M m

(18)

Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne

0.01 1 100 10⁴

q=m M -1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0 Hx - xCML

d

M m

L₁ L₂

L₃

(19)

Rozkład punktów libracyjnych

-2 0 2 4 6

-4 -2 0 2 4

L3 L0L1 L2

L4 L5

M

m

(20)

Położenie punktów libracyjnych dla q = 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5 x R

d R Masy

punktowe

L

₂

L

₀

L

₁

CM m

L

₃

(21)

Położenie punktów libracyjnych dla q = 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5 x R

d R Sfera

Plummera

L

₂

L

₀

L

₁

CM m

L

₃

(22)

Położenie punktów libracyjnych dla q = 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5 x R

d R Kula

jednorodna

L

₂

L

₀

L

₁

CM m

L

₃

(23)

Porównanie z symulacją N-ciałową

-2 -1 1 2

(24)

Porównanie z symulacją N-ciałową

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5

(25)

Porównanie z symulacją N-ciałową

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

(26)

Pytania i odpowiedzi

Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy )

TAK (w modelu N-ciałowym) ale:

1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane

2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange’a zmienia się jakościowo

3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności

Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność?

TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne)

Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r ) jest powiązana z niestabilnością Roche’a?

TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/M > 9

Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego?

Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny

(27)

Pytania i odpowiedzi

(28)

Pytania i odpowiedzi

(29)

Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej