Ruch drgający Ruch falowy

(1)

Wykład 3

Ruch drgający Ruch falowy

Dr Henryk Jankowski 2010/2011

(2)

Mechanika Analityczna

Czasoprzestrzeń – zasada składania ruchów

Galileo Galilei (1564 - 1642) - "Dialogi" (Florencja, Leida)

Siły działające między ciałami

grawitacja, prawa ruchu, różniczki

Isaac Newton (1642 – 1727) – "Principia ..." (Londyn 1686)

(3)

Próba wprowadzenia zasad zachowania

Rene Descartes (1596 – 1650)

"Principia philosophie" (Leida, 1685)

Christian Huygens (1629-1695)

"Rozprawa o ciężkości" (Paryż, 1669)

Gottfried Leibniz (1646-1716)

(4)

Próba wprowadzenia zasad zachowania

Ilość ruchu m⋅ v (Kartezjusz, 1644)

Vis Viva m ⋅ v² (Leibiniz, 1695)

Zasada zachowania "vis viva" w zderzeniach sprężystych (Huygens, 1669)

Zachowanie "momentum" (pędu) w zderzeniach niesprężystych ( John Wallis, 1668)

(5)

Jean le Rond d'Alambert (1717-1783)– "Rozprawa o dynamice"

(Paryż 1743)

"Siła może być wyrażona albo jako pochodna "siły żywej"

względem drogi, albo jako pochodna ilości ruchu (pędu) względem czasu"

termin "energia" Thomas Young, 1807

( ) z

k E y

j E x

i E r

F ^p ^p ^p

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

= G G G

G G

( )

^m ^v

dt r d

FG G G

⋅

=

(6)

Teoria drgań

- częstość drgań podstawowych struny – Brook Taylor (1713)

- równanie różniczkowe drgań poprzecznych pręta

– Daniel I Bernoulli, L. Euler (1734)

- analiza prostego oscylatora harmonicznego – L. Euler (1739)

- sinusoidalne drgania podstawowe

- drgania harmoniczne - Daniel I Bernoulli (1755) - zasada superpozycji

(7)

Ruch wywołany siłą zmienną na przykładzie

ruchu drgającego

(8)

Opis matematyczny ruchu drgającego_1

(9)

Opis matematyczny ruchu drgającego_2

(10)

Przebiegi w ruchu drgającym

(11)

Energia w ruchu drgającym_1

(12)

Energia w ruchu drgającym_2

(13)

Przebiegi w ruchu drgającym

"pełny zestaw"

(14)

Ruch drgający Bryła sztywna_1

(15)

Ruch drgający-Bryła sztywna_2

x y

r

θ F

F

τ r

Moment siły II zasada dynamiki Newtona

F rG G G = ×

τ

ε τ^G = ⋅ ^G

∑

^I

(16)

Ruch drgający-Bryła sztywna_3

Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy przemieszczenie liniowe

prędkość liniowa

przyspieszenie liniowe

przemieszczenie kątowe prędkość kątowa

przyspieszenie kątowe

moment siły praca

energia kinetyczna

moment pędu masa

siła praca

energia kinetyczna moc

pęd

moment bezwładności

moc x

dt v = dx

dt a = dv

m

a m F = ⋅

∫

^⋅

= F dx W

2

2 1 mv E_k =

v F P = ⋅

v m p = ⋅

θ

dt dθ ω =

dt dω ε =

ε τ = I ⋅

I

∫

^⋅

= τ dθ W

2

2 1 Iω E_k =

ω τ ⋅

=

P

p = I ⋅ω

(17)

Wahadło proste matematyczne_1

(18)

Wahadło proste_matematyczne_2

mgcosθ mgsinθ mg

m. x=lθ N l

θ obiekt

wyidealizowany

przybliżenie „małych przemieszczeń”

θ θ ≅ sin

siła „zawracająca:

θ sin mg

F = −

przemieszczenie wzdłuż łuku

θ l x =

l x mg l

mg x mg

F = − θ = − = −

kx F = −

k T = 2π m

g T = 2π l

dla wahadła

(19)

Wahadło fizyczne_1

(20)

Wahadło fizyczne_2

P

C

Mg d

θ θ

P oś obrotu C środek masy

I moment bezwładności względem P M masa ciała

θ τ = −^Mgd

Moment „zawracający”

θ τ = −Mg sin

Przybliżenie „małych amplitud”

θ θ ≅ sin

Jeżeli κ = Mgd _; τ = −κ ⋅θ Jednocześnie: τ θ Iε

dt

I d =

= ²₂ Wtedy:

I I

dt

d ²θ₂ = τ = −κ ⋅θ

Dla ruchu

harmonicznego: Mgd

I

T I π

π κ 2

2 =

=

(21)

Wahadło torsyjne_1

(22)

Wahadło torsyjne_2

R P Q

O

θ_m

2θ_m

moment siły skręconego drutu

τ

θ κ τ = − ⋅

stała skręcenia (moment kierujący) κ

równanie ruchu

2 2

dt I d dt

I d

I ε ω θ

τ = ⋅ = =

2 2

dt I d θ θ

κ ⋅ =

−

π κ^I T = 2

x dt k

x

m d²₂ = − ⋅

m x k dt

x

d²₂ = − ⋅

k T = 2π m

(23)

Ruch harmoniczny tłumiony_1

(24)

(25)

Logarytmiczny dekrement tłumienia_3

(26)

Drgania wymuszone i rezonans_4

(27)

(28)

Most Tacoma

Był to most wiszący, jego główne przęsło miało 840 m długości przy szerokości jedynie 12 m, co było powodem jego niebywałej wiotkości. Już w trakcie budowy, podczas montażu deskowania dla zabetonowania jezdni, pracujący robotnicy

doznawali mdłości wynikających z dużych ugięć mostu. Po oddaniu do eksploatacji, stał się on prawdziwą atrakcją turystyczną, ze względu na

"niesamowite wrażenia" towarzyszące przejazdowi przez most, tak iż nazwany został potocznie

"galopującą Gertie".

Po czterech miesiącach istnienia, rano 7 listopada 1940 r. silny sztorm wiejący od oceanu (56-

67 km/h), spowodował wprowadzenie mostu w drgania, odpowiadające ruchowi falowemu.

Początkowo (godz. 7:00), był to ruch pomostu w płaszczyźnie pionowej (podnoszenie i opadanie o amplitudzie ok. 90 cm z częstością 36 razy na minutę), później ok. godz. 10:00 rytmiczne

wznoszenie i opadanie zamieniło się w dwufalowy ruch skręcający 14 cykli na minutę z wychyleniem do 8,4 m, przy skręceniu dochodzącym do 45 stopni. Ok. 10:30 nastąpiło pierwsze załamanie jednej z płyt pomostu, a ok. 11:00 most rozpadł się ostatecznie. Nie było ofiar w ludziach.

(29)

Film

(30)

Liczby zespolone_1

(31)

Liczby zespolone_2

(32)

Liczby zespolone_3

(33)

Liczby zespolone_4

(34)

Liczby zespolone_5

(35)

Leonhard Euler

Mosty Królewieckie

(36)

(37)

(38)

Świat Mechaniki Analitycznej

Florencja Londyn

Petersburg

Paryż

Berlin

Sztokholm

Bazylea Leida

Frankfurt Hanower

Królewiec

(39)

Ruch falowy

(40)

Fala sinusoidalna kinematycznie_1

(41)

Fala sinusoidalna kinematycznie _2

(42)

Fala sinusoidalna kinematycznie_3

(43)

Fala

sinusoidalna_pokaz

(44)

Interferencja_1

(45)

Interferencja_2

(46)

Interferencja_3 Zasada superpozycji

(47)

Interferencja_4

(48)

Ruch falowy_1

Zjawisko - opis matematyczny

(49)

Ruch falowy_2

Matematyczna istota ruchu falowego

(50)

Ruch falowy_3

Klasyczne równanie falowe

(51)

Ruch falowy_4

Fale sinusoidalne

(52)

Fala płaska- podsumowanie