Rozważamy grawitujący układ podwójny:

Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał

Andrzej Odrzywołek

Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ

Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL HcL

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL HaL

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL HbL

Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny?

Rozważamy grawitujący układ podwójny:

pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gwiazda, księżyc) rozkład gęstości ρ(r ) ma postać silnie skoncentrowaną dla r = 0, ale całkowita masa i rozmiar R „otoczki” znacznie przekracza masę i rozmiar obszaru centralnego (np: czerwony olbrzym)

masę M traktujemy jak ciało sztywne, a „ jądro” jako masę próbną drugie ciało traktujemy jako masę punktową m w odległości d ­ R stosunek mas m/M dowolny, szczególności może być m  M

m M, Ρ HrL

R

d

Motywacja: asymetryczne supernowe

Motywacja: asymetryczne supernowe

Motywacja: asymetryczne supernowe

Motywacja: asymetryczne supernowe

Motywacja: asymetryczne supernowe

Niecentralny wybuch

Co mogłoby spowodować przesunięcie jądra gwiazdy względem środka masy?

1 niestabilności hydrodynamiczne podczas spalania Si

Arnett & Meakin (2011): „If there were a driving mechanism for core-mantle oscillation, here would be an asymmetry due to the displacement of the core and mantle relative to the center of mass.”

2 rezonans pomiędzy częstością oscylacji jądra wewnątrz otoczki a częstością orbitalną w układzie podwójnym

Najprostsze modele

Model „szkolny”

m M,Ρ₀=const

R

Μ

Jeżeli m  M porusza się po orbi- cie kołowej o promieniu R, a masa M jest kulą jednorodną, to:

ω²_ORB= GM

R³ , ω²_OSC =4

3πG ρ0= GM R³ Ciało próbne jest w „rezonansie”

ωORB = ωOSC z masą m dla do- wolnego promienia orbity d ¬ R.

Dowolna zmiana ρ(r ) lub odsunię- cie masy m usuwa „rezonans”.

Najprostsze modele

Model „gimnazjalny”

m M,Ρ0

R

Μ

Jeżeli masa M jest kulą jednorod- ną, to:

ω²_ORB= G (M + m)

R³ , ω²_OSC = 4

3πG ρ0= GM R³ Ciało próbne jest w „rezonansie”

ωORB= ωOSC gdy:

1 + m M = d

R

³

W tym modelu „zestrojenie” czę- stości jest możliwe także dla d >

R oraz ρ(r ) 6= const.

Masa grawitacyjna i masa bezwładna

Ciekawostka

M,ΡHrL m

d R

Jeżeli masa m porusza się we- wnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych ma- my:

ω_ORB² = GMgrav+ m^M_M^grav

inert

d³ .

Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego Mgrav 6= Minert! W przypadku ρ(r ) = const może- my pokazać, że:

ω_ORB² = G (M + m) R³ , czyli ωORB nie zależy od d .

Układ mechaniczny

Przyjęta procedura badania stabilności

Powyższe proste przykłady pokazują, że można doprowadzić do sytuacji ω_OSC = ω_ORB, ale:

nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie

„pompujemy” energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał

nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych „rezonansów”

nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł „oporów”

Jedyne sensowne podejście to analiza pełnego układu 3 ciał. Podejście

numeryczne zawodzi, a próby trafienia w rezonanse metodą „strzałów” są metodą klasy „zdesperowanej brutalnej siły”.

Układ mechaniczny

Założenia i uproszczenia

Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał:

1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r ); gęstość centralna ρ(0) = ρ0

2 masa punktowa m w odległości d > R

3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią

4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli:

masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej

Planar restricted circular three body problem

¨

x − 2 ω ˙y + k x + G m (x − d ) [(x − d )²+ y²]^3/2

+G m

d² = 0, (1a)

¨

y + 2 ω ˙x + k y + G m y [(x − d )²+ y²]^3/2

= 0, (1b)

gdzie:

2 G (m + M) 4 _{2 2 2 2}

Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0

Wstawiam:

x (t) =  ζ(t), y (t) =  ξ(t)

rozwijam w szereg potęgowy po , odrzucam wyrazy rzędu ²i wyższe, otrzymując układ liniowy:

ζ − 2 ω ˙¨ ξ + (k − 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ˙¨ ζ + (k + q) ξ = 0, (2b) gdzie: k = ⁴₃πG ρ0− ω², q = ^Gm_d3, ω²=^{G (M+m)}_d3 .

Podstawiam ξ, ζ ∝ e^λt i otrzymuję równanie charakterystyczne:

Detλ²+ k − 2q −2ωλ 2ωλ λ²+ k + q



= 0.

System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0.

Niestabilność pojawia się dla:

M d³ < 4

3πρ₀<M + 3m

d³ , lub 4

3πρ₀<1 2

m d³

M − m/8 m + M

Sposoby rozwiązywania problemu stabilności

Procedura eliminacji kwantyfikatorów

Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora:

Re(λ)>0

∃

 λ²−M

d³ +4πρ 3

  λ²−M

d³ −3m d³ +4πρ

3



+4λ²(m + M)

d³ = 0

pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności

Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997

Resolve

ResolveResolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecompositionCylindricalDecompositionCylindricalDecomposition, ReduceReduceReduce,

„nowe” SolveSolveSolve w wer. 8)

Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7 , Poland Mathematica Conference, Kraków, May

Zachowana energia i region Hill’a

Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r ):

E = 1 2˙x²+1

2˙y²+ U(x , y ) (3a)

U(x , y ) = φ(r ) −1

2ω²r²− G m

p(x − d)²+ y²+G m(x + d )

d² , r²= x²+ y² (3b) φ(r ) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x , y ) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań.

rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δE i badamy zachowanie się obszaru Hill’a

U(x , y ) < δE

Typowe przypadki

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HaL

Typowe przypadki

-d 0 d 2 d 3 d

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HbL

Typowe przypadki

-2 d -d 0 d 2 d

m M,ΡHrL

HcL

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kv v

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kv v

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kv v

Wpływ oporu

-2 d -d -R R d 2 d 3 d x

UHxL

opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum)

w przypadku niestabilnym potencjał jest typu „tophill”, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność

Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D

ciała początkowo na orbitach kołowych

dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem

system jest niestabilny dla:

M d³ <4

3πρ <M + 3m (1 + µ/M)⁻¹ d³

lub:

4 3πρ <1

2 m d³

M + µ − m/8

M + µ + m (1 + µ/M)⁻¹.

wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M:

(1 + µ/M)

Pytania bez odpowiedzi

1 Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania gwiazda - masa punktowa ? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy )

2 czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność (wg.

mnie nie, z powodu kształtu potencjału)

3 czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r ) jest powiązana z niestabilnością Roche’a

4 jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego

5 w szczególności, czy jądro może zostać przemieszczone lub nawet wyrzucone z gwiazdy/planety itp.

6 jaki skutki hipotetyczne przemieszczenie jądra będzie miało dla wybuchu supernowej (symulacje 2D/3D w toku, redukcja czasu narastania niestabilności i wzrost energii eksplozji)

7 jaki jest zakres stosowalności modelu trójciałowego, dla centralnej czarnej dziury w gromadzie kulistej

8 czy dla orbit eliptycznych zmienia się kryterium niestabilności (dla ciasnych