dr inż. Janusz Zalewski
Elementy algebry
18 listopada 2005
Iloczyn skalarny, macierze, operacje na macierzach
1. Oblicz cos α dla:
¯
u[1, −1, 2] i ¯v[2, 0, 1]
2. Która z podanych par wektorów jest ortogonalna?
1. ¯a[1, 1, 1, 2] ¯b[1, −1, 1, 1]
2. ¯a[1, 0, 1, 0] ¯b[0, 1, 0, 1]
3. ¯a[1, 2, 3, 4] ¯b[−4, −3, 2, 1]
3. Dane są macierze:
A =
"
0 1 1 1 1 2 1 −1
# i B =
1 2 −1
2 2 −3
−1 1 1
0 −1 2
Oblicz AB
4. Dla macierzy kwadratowych:
A =
"
1 2
−1 14
#
B =
"
1 −1 2 3
#
Oblicz: AB =?, BA =?
Zauważ, że detAB = detBA ale AB 6= BA
1
5. Obliczyć wartość wyznacznika metodą Sarrusa oraz przez rozwinięcie względem dowolnego wiersza i dowolnej kolumny (zatem trzema sposobami)
a)
1 2 5 0 3 6 0 4 0
b)
1 2 3
4 3 −1
1 −1 1
6. Znaleźć macierz odwrotną A−1
a) A =
"
1 2
−2 5
#
b) A =
1 2 3 0 3 6 0 4 0
7. Rozwiązać układ równań liniowych:
a)
3x + 2y + z = 5 2x + 3y + z = 1 2x + y + 3z = 1
b)
x + y + z = 0 2x + 3y − 3z = 0 x + 4y − 2z = 0
8. Dla jakiej wartości parametru a układ ma rozwiązanie niezerowe?
2ax + 3y + z = 0 5x − y + 2z = 0 3x + 2y + 3z = 0
9. Dla jakich wartości parametrów a i b rozwiązanie poniżeszego układu równań a) jest zbiorem jednoelementowym, b) nieskończonym, c) pustym ?
3x + 2y + z = b 5x − 8y + 9z = 3 2x + y + az = −1
2
