Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 6- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
1
Macierze
Niech Np={1,…,p} będzie zbiorem początkowych liczb naturalnych. Niech K oznacza ciało-zwykle ciało liczb rzeczywistych R lub zespolonych C. Rozważmy zbiór Np×Nq par liczb naturalnych.
Def. Macierzą typu (p,q) (inaczej o wymiarach p×q )nazywamy funkcję A : Np×Nq ∋(i,j)→A(i,j)=aij∈K .
Wartości A(i,j)=aij funkcji A na elementach (i,j) nazywamy elementami macierzy.
Jeśli elementy są liczbami rzeczywistymi (zespolonymi), to macierz nazywamy rzeczywistą (zespoloną). Elementy te można zestawić w postaci prostokątnej tablicy:
kolumna ta j
wiersz ty i
pq pj
p
iq ij
i
q j
a a
a
a a
a
a a
a
−
−
=
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
1 1
1 1
11
A
Szczególne typy macierzy
• kwadratowa - tzn. p=q - elementy a11,…,app tworzą tzw. główną przekątną
pp pj
p
ip ij
i
p j
a a
a
a a
a
a a
a
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
1 1
1 1
11
• diagonalna - tzn. kwadratowa z zerowymi elementami poza główną przekątna
pp ii
a a
a
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
0 0
0 0
0
11 0
• jednostkowa – diagonalna z elementami na przekątnej równymi 1 – oznaczenie E lub I)
=
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L E
I k
• trójkątna dolna
pp pi
p
ii i
a a
a
a a
a
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
1 1 11
0 0 0
i górna
pp ip ii
p i
a a a
a a
a
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
0 0
0
1 1
11
.
• zerowa - o wszystkich elementach równych 0- oznaczenie O
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 6- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
2
Działania na macierzach
Ponieważ macierze to szczególne funkcje równość macierzy rozumiemy tak jak równość funkcji.
Def. Dwie macierze są równe, gdy są tego samego typu i odpowiednie elementy obu macierzy są sobie równe.
Dodawanie i odejmowanie macierzy tego samego typu
Niech [ ]
1 1
1 1
11
ij
pq pj
p
iq ij
i
q j
a a a
a
a a
a
a a
a
=
=
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
A , [ ]
1 1
1 1
11
ij
pq pj
p
iq ij
i
q j
b b b
b
b b
b
b b
b
=
=
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
B .
Wówczas [ ]
1 1
1 1
1
1 1 1
1 11
11
ij ij
pq pq pj
pj p
p
iq iq ij
ij i
i
q q j
j
b a b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
B = ±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
=
±
L L
M O M
O M
L L
M O M
O M
L L
A
Mnożenie macierzy A przez liczbę c
] [
1 1
1 1
11
ij
pq pj
p
iq ij
i
q j
a c a c a
c a
c
a c a
c a
c
a c a
c a
c
c =
=
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
A
Transpozycja macierzy A=[aij] typu (p,q) nazywamy macierz typu (q,p)postaci AT =[aji], która powstaje z macierzy A przez zamianą wierszy na kolumny i odwrotnie.
Wnioski 1⋅A=A 0⋅A=O
(α+β)A=αA+βA (αβ)A=α(βA) α(A+B)=αA+αB
Wniosek. Zbiór macierzy tego samego typu z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez skalar tworzy przestrzeń liniową nad danym ciałem K. Elementem neutralnym dodawania jest macierz zerowa. Macierzą przeciwną do macierzy A jest macierz –A.
Dla macierzy można określić jeszcze w pewnych przypadkach określić
Mnożenie macierzy (uwaga na rozmiary macierzy !)
[ ]
ikm p, ) = a
A( , B(m,q) =
[ ]
bkj ,[ ]
=
=
=
∑
= m k
kj q ik
ij p a b
c
) 1 ,
C (
AB .
Przykłady
1. A=
1 2
4
8 B=
−
− 10 6
5
3 Wniosek AB≠BA
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 6- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
3 2. A=
−
−
−
2 3 5
2 1 3
2 2 1
B=
−
−
−
−
5 6 3
9 5 6
2 4 1
C=
−
− 9 1 4
7 3 2
6 2 3
Wniosek. AB=AC, lecz B≠C
3.
−
= −
2 1 3
2 2 A 1
−
−
−
−
=
5 6 3
9 5 6
2 4 1
B . Iloczyn AB istnieje a BA nie.
Własności mnożenia macierzy (o ile iloczyny istnieją) A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
AE=A EA=A (uwaga na wymiary)
Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego przestrzeni skończenie wymiarowych
Niech V i W będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi i dim V=n , dim W = m.
Niech (e1,…,en) i (f1,…,fm) będą uporządkowanymi bazami odpowiednio V i W.
Rozważmy przekształcenie liniowe T : V →W . Weźmy dowolny wektor v∈V. Oczywiście
j n j
vje
v
∑
=
=
1
, więc ( ) ( )
1
i n
j iT v
T v
∑
e=
= .
Widać, że przekształcenie liniowe jest w pełni określone, jeśli znamy jego wartości na wektorach bazy przestrzeni (e1,…,en) przestrzeni V.
Rozważmy j-ty wektor bazy, czyli ej i jego obraz T(ej)∈W. Wobec tego
i m i
ij
j a
T e
∑
f=
=
1
)
( .
Współrzędne obrazu j-tego wektora bazowego będą tworzyć j-tą kolumnę macierzy
=
mn mj
m
in ij
i
n j
a a
a
a a
a
a a
a
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
1 1
1 1
11
A ,
którą nazywamy reprezentacją macierzową przekształcenia T w zadanych bazach przestrzeni.
Dla dowolnego wektora j
n j
v ej
v
∑
=
=
1
o współrzędnych
n i
v v v
M M
1
w bazie (e1,…,en) otrzymujemy
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 6- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
4
∑ ∑
∑
∑
∑
= = = = ==
=
= m
i
i j n j
ij i
m i
ij n
j j j
n j
jT v a a v
v T
1 1
1 1 1
) (
) ( )
(v e f f
Z drugiej strony
i m i
wi
T v
∑
f=
=
1
)
( .
Widać więc, że współrzędne obrazu danego wektora wyznaczamy ze wzoru
∑
== n
j j ij
i a v
w
1
, i=1,…,m , który można zapisać w postaci macierzowej
=
n j
mn mj
m
in ij
i
n j
m i
v v v
a a
a
a a
a
a a
a
w w w
M M
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
M M
1
1 1
1 1
1 11
Uwaga. Przestrzeń (V, K,+,⋅) i wymiarze dim V= n jest izomorficzna z przestrzenią (Kn, K,+,⋅).
Naturalnym izomorfizmem jest przekształcenie, które danemu wektorowi przypisuje ciąg jego współrzędnych w danej bazie. Ciąg współrzędnych zestawiamy w postaci kolumny (macierzy o jednej kolumnie). Powyższa równość macierzowa pokazuje jak wyznaczyć współrzędne obrazu danego wektora przez przekształcenie liniowe. Oczywiście z uwagi na wzmiankowany wyżej izomorfizm, znajomość współrzędnych wektora w danej bazie jest równoważna
znajomości tego wektora.
Motywacja definicji mnożenia macierzy
Rozważmy trzy przestrzenie V, W, U o wymiarach dim V=n, dim W=m, dim U=k i przekształcenia liniowe
T : V →W o reprezentacji macierzowej A i
S : W →U o reprezentacji macierzowej B przy ustalonych bazach w poszczególnych przestrzeniach.
Reprezentacją macierzową złożenia S o jest iloczyn macierzy BA. T
Rzeczywiście zapisując związki między współrzędnymi mamy
∑
== n
j j ij
i a v
w
1
, i=1,…,m ;
∑
=
= m
i i si
s b w
u
1
, s=1,…,k .
Stąd
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
=
= =
= =
=
=
=
=
= n
j j sj n
j m i
j ij si m
i n j
j ij si m
i i si
s b w b a v b a v c v
u
1
1 1
1 1
1
)
( ,
czyli
[ ]
=
∑
− m i
ij si
sj b a
c
1
. Inaczej C=BA.
