Dlaczego system GPS Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

(1)

(2)

Dlaczego system GPS Dlaczego system GPS lataj

lataj ą ą cym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest?

(Dżipiesomania)

dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. PWr, Instytut Fizyki PWr

e-mail: wlodzimierz.salejda@pwr.wroc.pl http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/

IX DFN’2006,

Wrocław, 21 września 2006

(3)

Dlaczego system GPS

Dlaczego system GPS lataj lataj ą ą cym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest?

Plan wystąpienia Plan wystąpienia

1. 1. Budowa i funkcjonowanie Budowa i funkcjonowanie 2. 2. Wyznaczanie położenia Wyznaczanie położenia

3. 3. Fizyka GPS, czyli latający Einstein Fizyka GPS, czyli latający Einstein

4. 4. Podsumowanie Podsumowanie

(4)

Dlaczego system GPS

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest?

Gdzie jestem i dokąd zmierzam?

Dwa ważne pytania i problemy:

1. 1. Gdzie znajduję się w danej chwili? Gdzie znajduję się w danej chwili?

2. 2. Jak dostać się z miejsca A do B? Jak dostać się z miejsca A do B?

Wyznaczenie aktualnego położenia Wyznaczenie aktualnego położenia (pozycjonowanie) oraz nawigacja, to (pozycjonowanie) oraz nawigacja, to dwa odwieczne problemy, z którymi dwa odwieczne problemy, z którymi

radzić sobie musieli dawniej wędrowcy, radzić sobie musieli dawniej wędrowcy, podróżnicy, żeglarze, a dziś kierowcy, podróżnicy, żeglarze, a dziś kierowcy, marynarze, piloci, turyści, globtroterzy, marynarze, piloci, turyści, globtroterzy, wędrownicy.

wędrownicy.

(5)

Co to jest nawigacja (aeronawigacja)?

Nawigacja to dział wiedzy żeglarskiej Nawigacja to dział wiedzy żeglarskiej lub lotniczej obejmujący zespół wiado- lub lotniczej obejmujący zespół wiado- mości i umiejętności potrzebnych do mości i umiejętności potrzebnych do prowadzenia statków morskich lub po- prowadzenia statków morskich lub po- wietrznych do określonego celu i

wietrznych do określonego celu i określania na

określania na mapie ich położenia.mapie ich położenia.

NAWIGACJA LOTNICZA, proces, a także wiedza o procesie kierowania NAWIGACJA LOTNICZA, proces, a także wiedza o procesie kierowania

lotem statku powietrznego w przestrzeni lotem statku powietrznego w przestrzeni

NAWIGACJA MORSKA, proces prowadzenia statku mor. bezpieczną NAWIGACJA MORSKA, proces prowadzenia statku mor. bezpieczną i możliwie najszybszą trasą do punktu przeznaczenia, co wymaga i możliwie najszybszą trasą do punktu przeznaczenia, co wymaga umiejętności określania pozycji statku i wytyczania właściwego umiejętności określania pozycji statku i wytyczania właściwego kursu statku

kursu statku

GPS ang. Global Positioning System, NAVSTAR-GPS, globalnyGPS ang. Global Positioning System, NAVSTAR-GPS, globalny system nawigacyjny, system radionawigacyjny o zasięgu świat,

wykorzystujący sztuczne satelity

(6)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

Satelitarny Układ Nawigacji Globalnej Satelitarny Układ Nawigacji Globalnej

Pierwszy GPS sfinansował i dziś kontroluje Pierwszy GPS sfinansował i dziś kontroluje Departament Obrony USA.

Departament Obrony USA.

 GPS generuje i wysyła sygnały GPS generuje i wysyła sygnały

elektromagnetyczne, które przetwarzają elektromagnetyczne, które przetwarzają

odbiorniki GPS, co umożliwia użytkownikowi odbiorniki GPS, co umożliwia użytkownikowi wyznaczyć swoje położenie, prędkość i czas.

wyznaczyć swoje położenie, prędkość i czas.

 Cztery GPS satelitarne sygnały są używane do Cztery GPS satelitarne sygnały są używane do wyznaczenia położenia w 3-wymiarowej

wyznaczenia położenia w 3-wymiarowej

przestrzeni oraz czasu (offset niedokładności przestrzeni oraz czasu (offset niedokładności

czasu odbiornika).

Nazwa ang.

Global Navigation Satellite System ( ( GNSS ) )

http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html; http://www.trimble.com/gps/

GPS — co to jest?

(7)

Dlaczego system GPS

Dlaczego system GPS lataj lataj ą ą cym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest?

Elementy strukturalne GPS

• 24 (29) satelity orbitujące na wysokości 20 183 km w 6 różnych płaszczyznach nachylonych do płaszczyzny równika pod kątem 54

^o

o czasie obiegu Ziemi równym 11 h i 58 minut wyposażonych w dwa zegary atomowe mierzące czas z dokładnością 4 nanosekund(!) na dobę.

• System naziemnych stacji m.in. monitorujących funk- cjonowanie i położenia satelitów, synchronizujących zegary atomowe, sterujących funkcjonowaniem GPS.

Nawigacja odbywa się w układzie ziemskim (nieinercjalnym, obracającym się wraz z Ziemią); GPS używa układu

poruszającego się razem z Ziemią po orbicie okołosłonecznej

oraz układu gwiezdnego (nieruchomego, inercjalnego).

(8)

Dlaczego system GPS latająlatającym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

Elementy składowe GPS — segment satelitarny Elementy składowe GPS — segment satelitarny

Składa się z 24 satelitów (space vehicles SVs), które wysyłają sygnały w przestrzeń okołoziemską. Bywa, że segment ten zawiera więcej niż 24 satelitów, ponieważ niektóre z nich są zastępowane przez nowo-cześniejsze.

Obecnie orbituje 29.

Każdy satelita okrąża Ziemię w czasie 12 godzin (bez 2 sek.) na wysokości 20 183 km. Satelita pojawia się raz na 24 godziny nad tym samym punktem globu (4 mi- nuty wcześniej każdego dnia). Na GPS składa się 6 orbi- talnych płaszczyzn, po których krążą nominalnie 4

pojazdy; odległość kątowa między płaszczyznami wynosi 60 stopni. Płaszczyzny te są nachylone do płaszczyzny równika pod kątem 55^O. Taka konstelacja zapewnia

użytkownikowi kontakt elektromagnetyczny z 5, 6, 7 lub 8 satelitami niezależnie od miejsca położenia na Ziemi.

http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html

(9)

Elementy składowe GPS — segment satelitarny Elementy składowe GPS — segment satelitarny

Płaszczyzny te są nachylone do płaszczyzny równika pod kątem 55^O. Taka

konstelacja satelitów GPS zapewnia użytkownikowi kontakt elektromagnetyczny z 5, 6, 7 lub 8

satelitami niezależnie od miejsca położenia odbiornika na Ziemi.

Na pokładzie każdego satelity znajdują się 4 zegary atomowe — 2 cezowe i 2 rubidowe. Mierzą czas z dokładnością do 4 nanosekund na dobę.

Satelity emitują elektromagnetyczne sygnały, które wykorzystują odbiorniki naziemne do wyznaczania położenia na powierzchni Ziemi oraz czasu.

(10)

Dlaczego system GPS latająlatającym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? SatelitySatelity

Producent: Lockheed Martin USA; www.lockheedmartin.com/GPS/

GLONASS, satelita, Rosja



(11)

Dlaczego system GPS latająlatającym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

Zdjęcia ze startu rakiety nośnej

(12)

Segment kontroli, czyli stacje naziemne (1) Segment kontroli, czyli stacje naziemne (1)

Jest to rozmieszczony na kuli ziemskiej system naziemnych Jest to rozmieszczony na kuli ziemskiej system naziemnych stacji monitorujących (sterujących i kontrolujących)

stacji monitorujących (sterujących i kontrolujących)

funkcjonowanie satelitów (pod adresem GPS Master Control and funkcjonowanie satelitów (pod adresem GPS Master Control and Monitor Network znajduje się mapa tego segmentu).

Monitor Network znajduje się mapa tego segmentu).

Elementy segmentu naziemnego (1)

1. 1.Główne naziemne centrum GPS znajduje się w bazie Główne naziemne centrum GPS znajduje się w bazie sił powietrznych w stanie Colorado USA (tzw. Master sił powietrznych w stanie Colorado USA (tzw. Master Control Station);

Control Station); wysyła i odbiera sygnały ze wszystkich wysyła i odbiera sygnały ze wszystkich satelitów. Komputery pokładowe satelitów wyznaczają satelitów. Komputery pokładowe satelitów wyznaczają położenia satelitów (efemerydy) oraz poprawki czasu dla położenia satelitów (efemerydy) oraz poprawki czasu dla zegarów pokładowych (time offset). Stacja naziemna wysyła zegarów pokładowych (time offset). Stacja naziemna wysyła dane dotyczące położenia satelity oraz czasu do każdego dane dotyczące położenia satelity oraz czasu do każdego satelity. Satelity przesyłają, drogą radiową, te dane (swoje satelity. Satelity przesyłają, drogą radiową, te dane (swoje aktualne położenie i czas) do odbiorników naziemnych GPS aktualne położenie i czas) do odbiorników naziemnych GPS

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? Elementy składowe GPSElementy składowe GPS

GPS Control Monitor

(13)

Elementy segmentu naziemnego (2) 2. Wspomagająca naziemna stacja kon- trolna (Backup Master Control Station) zlokalizowana w stanie Maryland.

3. Cztery naziemne anteny zapewniające:

 stałą łączność pomiędzy centrum naziemnym a satelitami,

 śledzenie trajektorii satelitów,

 pomiary telemetryczne (zdalne).

TELEMETRIA dziedzina techniki (miernictwa i telekomunikacji) zajmująca się zdalnym mierzeniem wielkości fiz. i przekazywaniem (zwykle automatycznym) wyników tych pomiarów na odległość

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? Elementy składowe GPSElementy składowe GPS

GPS Control Monitor

(14)

Elementy segmentu naziemnego (3)

4. Sześć stacji monitorujących rozmieszczonych w pobliżu równika

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? Elementy składowe GPSElementy składowe GPS

http://www.enavigator.pl/

(15)

Segment użytkowników Segment użytkowników

Składa się z odbiorników GPS i społeczności użytkowników. Odbiorniki GPS konwertują sygnały Składa się z odbiorników GPS i społeczności użytkowników. Odbiorniki GPS konwertują sygnały satelitarne na położenie, prędkość i czas. W celu wyznaczenia położenia (X,Y,Z) oraz czasu t są satelitarne na położenie, prędkość i czas. W celu wyznaczenia położenia (X,Y,Z) oraz czasu t są niezbędne sygnały pochodzące od 4 satelitów.

niezbędne sygnały pochodzące od 4 satelitów.

Nawigacja to podstawowe zadanie GPS. Odbiorniki GPS wykorzystuje lotnictwo, statki, pojazdy Nawigacja to podstawowe zadanie GPS. Odbiorniki GPS wykorzystuje lotnictwo, statki, pojazdy naziemne oraz indywidualni użytkownicy.

naziemne oraz indywidualni użytkownicy.

Dokładny czas (timing) jest wykorzystywany w obserwatoriach astronomicznych, telekomunikacji, Dokładny czas (timing) jest wykorzystywany w obserwatoriach astronomicznych, telekomunikacji, w laboratoriach specjalistycznych (precyzyjne pomiary czasu i częstotliwości), do testowania teorii w laboratoriach specjalistycznych (precyzyjne pomiary czasu i częstotliwości), do testowania teorii względności, monitorowania względnego ruchu fragmentów skorupy ziemskiej (kontynentów).

względności, monitorowania względnego ruchu fragmentów skorupy ziemskiej (kontynentów).

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest? Elementy składowe GPSElementy składowe GPS

(16)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? Odbiorniki GPSOdbiorniki GPS

(17)

Niska dokładność Niska dokładność

Standardowa bezpłatna usługa pozycjonowania Standardowa bezpłatna usługa pozycjonowania

 100 metrów w kierunku poziomym 100 metrów w kierunku poziomym

 160 metrów w kierunku pionowym 160 metrów w kierunku pionowym

 340 nanosekund 340 nanosekund

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? Dokładność danychDokładność danych

http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html`

Większa dokładność Większa dokładność

Autoryzowani użytkownicy z odpowiednim sprzętem Autoryzowani użytkownicy z odpowiednim sprzętem

 10-20 metry w kierunku poziomym 10-20 metry w kierunku poziomym

 30 metrów w kierunku pionowym 30 metrów w kierunku pionowym

 200 nanosekund 200 nanosekund

(18)

Naukowcy, laboratoria naukowe, sportowcy, farmerzy (USA), żołnierze, piloci, ratownicy, turyści, kierowcy samochodów dostawczych i transportowych, firmy transportowe (dyspozytorzy), systemy penitencjarne, żeglarze, drwale, strażacy, geografowie, geodeci i inni

używają odbiorników GPS,

co zwiększa ich produktywność, czyni życie bezpieczniejszym i łatwiejszym.

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? UżytkownicyUżytkownicy

(19)

Jak działa GPS?

1. Odbiornik GPS wyznacza odległość od satelity ze wzoru:

ODLEGŁOŚĆ (DROGA) = PRĘDKOŚĆ  CZAS 2. GPS odmierza i mierzy bardzo dokładnie CZAS.

3. GPS monitoruje trajektorie satelitów oraz wysyła informacje o ich parametrach; znajomość

dokładnego położenia satelitów w przestrzeni jest niezbędna.

4. Trilateracja satelitarna pozwala wyznaczyć

położenie obiektu na powierzchni Ziemi lub w jej przestrzeni okołoziemskiej

5. Wprowadzenie poprawek wynikających z

położenia satelity oraz drogi przebywanej przez sygnał elektromagnetyczny w warstwach

atmosfery

(20)

Triangulacja, trilateracja Triangulacja, trilateracja

Triangulacia, trilateracja itp

GPS dokonuje trilateracji, ponieważ wyznacza położenie obiektu na

powierzchni Ziemi lub

w przestrzeni okołoziemskiej

(21)

Triangulacja Triangulacja

TRIANGULACJA [łac.], metoda wyznaczania współrzędnych punktów geodezyjnych w terenie za pomocą układu trójkątów

tworzących tzw. sieć triangulacyjną

(22)

Triangulacja Triangulacja

TRIANGULACJA [łac.], metoda wyznaczania współrzędnych punktów geodezyjnych w terenie za pomocą układu trójkątów tworzących tzw. sieć triangulacyjną, w której wierzchołkami trójkątów są mierzone punkty. Początkiem pracy jest precyzyjny

pomiar odcinka tzw. bazy triangulacyjnej o długości ok. 2–3 km. Następnie mierzy się kąty między bokami sieci i rozwiązuje się trójkąty, tzn. oblicza długości boków;

ponadto metodami astr. wyznacza się współrzędne geogr. wybranych punktów sieci (tzw. punkty Laplace'a) i azymuty niektórych boków. Na tej podstawie oblicza się współrzędne geogr. i geod. pozostałych punktów.

Zależnie od potrzeb mierzony obszar, np. państwa, pokrywa się sieciami I rzędu (trójkąty o bokach 20–50 km) lub niższych rzędów (II 10–20 km, III 1–3 km). Punkty tych sieci są oznaczone za pomocą trwałych znaków podziemnych, naziemnych (kam.

tablice lub słupki) oraz widocznych z dużych odległości sygnałów (konstrukcje drewn. lub metal.) lub wież triangulacyjnych.

Sieci triangulacyjne stanowią podstawę geod. pomiarów poziomych (geodezyjna osnowa). Stosuje się również aerotriangulację, czyli pomiary na przestrzennych modelach terenu uzyskanych na podstawie zdjęć lotn. (stereofotogrametria, stereogram). Przy rozwiązywaniu trójkątów sieci triangulacyjnej korzysta się z precyzyjnych pomiarów odległości, m.in. za pomocą dalmierzy laserowych. Ostatnio państwa rozwinięte wykorzystują do celów geodezyjnych sztuczne satelity. Pozwala to na zbudowanie sieci triangulacyjnej i wyznaczenie współrzędnych jej punktów na obszarze całego globu i na międzykontynentalne łączenie sieci triangulacyjnych; do tego celu wykorzystuje się system GPS. Twórcą triagulacji był W. Snellius (1615).

(23)

Trilateracja Trilateracja

TRILATERACJA [łac.], metoda

wyznaczania na powierzchni Ziemi

współrzędnych punktów geodezyjnych za pomocą układu trójkątów, w których

mierzy się wszystkie boki (np. za pomocą dalmierza laserowego); t. uzupełnia

tradycyjną triangulację.

(24)

Trilateracja Trilateracja

GEODEZYJNY PUNKT, utrwalony na powierzchni Ziemi (za pomocą kamiennych tablic, słupów, wież triangulacyjnych) punkt o znanych współrzędnych,

wyznaczonych względem przyjętego układu; rozróżnia się p.g. astronomiczno-geodezyjne (Laplace'a punkt), triangulacyjne (triangulacja), grawimetryczne

(grawimetria), wysokościowe, tzw. repery (niwelacja),

poligonowe i fotopunkty (fotogrametria).

(25)

Tri(Cztero)lateracja w GPS Tri(Cztero)lateracja w GPS

GPS używa satelitów krążących po orbitach jako układu odniesienia, w którym wyznacza położenie danego obiektu.

Załóżmy, że znamy położenie r1 satelity i odległość d₁ obiektu od pierwszego satelity.

Gdzie znajduje się z całą pewnością nasz obiekt?

Geometria podpowiada:

Gdzieś na sferze S₁ o:

1. Środku w punkcie r

₁

chwilowego położenia satelity pierwszego.

2. Promieniu d

₁

.

(26)

Tri(Cztero)lateracja w GPS Tri(Cztero)lateracja w GPS

Załóżmy, że znamy położenie r2 i odległość d2 do drugiego satelity.

Gdzieś na sferze S

₂

o:

1. Środku w punkcie

r₂

chwilowego położenia drugiego satelity.

2. Promieniu d

₂

.

Odpowiedź dokładniejsza:

Na okręgu O

_1,2

, który wyznaczają

punkty przecięcia się sfer S

₁

i S

₂

.

(27)

Tri(Cztero)lateracja w GPS Tri(Cztero)lateracja w GPS

Załóżmy, że znamy położenie r3 i odległość d3 do trzeciego satelity.

Gdzieś na sferze S

₃

o:

1. Środku w punkcie

r₃

chwilowego położenia trzeciego satelity.

2. Promieniu d

₃

.

Odpowiedź precyzyjniejsza:

W jednym z punktów r

_3,1

lub r

_3,2

,

w których sfera S

₃

przecina okrąg O

_1,2

.

(28)

Tri(Cztero)lateracja w GPS Tri(Cztero)lateracja w GPS

Załóżmy, że znamy położenie r4 i odległość d4 do czwartego satelity.

Gdzieś na sferze S

₄

o:

1. Środku w punkcie

r₄

chwilowego położenia czwartego satelity.

2. Promieniu d

₄

.

Odpowiedź dokładna/precyzyjna:

W jednym punkcie, w którym cztery

sfery S

₁

, S

₂

, S

₃

i S

₄

przecinają się!

(29)

Tri(Cztero)lateracja w GPS. Jak wyznaczana jest odległość do satelity? Tri(Cztero)lateracja w GPS. Jak wyznaczana jest odległość do satelity?

Wyznaczanie odległości d

₁

, d

₂

, d

₃

i d

₄

. d

_i

= c  t

_i

,

gdzie i = 1, 2, 3, 4.

Czynnikami decydującymi o dokładności d

₁

, d

₂

, d

₃

i d

₄

są:

1. Pomiary czasów t

₁

, t

₂

, t

₃

i t

₄

.

2. Znajomość prędkości rozchodzenia się fal

elektromagnetycznych w atmosferze ziemskiej.

(30)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

Tri(Cztero)lateracja w GPS

(31)

Tri(Cztero)lateracja w GPS Tri(Cztero)lateracja w GPS

Podsumowanie

1. Położenie obiektu jest wyznaczane na podstawie znajomości jego odległości od satelitów.

2. Konieczna jest dokładna znajomość położenia 4 satelitów.

(32)

Jak pozycjonuje GPS?

Położenie odbiornika znajduje się w miejscu, w Położenie odbiornika znajduje się w miejscu, w którym przecinają się 4 sfery o środkach w miejscu którym przecinają się 4 sfery o środkach w miejscu chwilowego położenia satelitów(Intersection of chwilowego położenia satelitów(Intersection of Range Spheres)

Range Spheres)

Satelita wysyła sygnały do odbiornika. Na ich Satelita wysyła sygnały do odbiornika. Na ich

podstawie odbiornik określa położenie satelitów w podstawie odbiornik określa położenie satelitów w chwili wysłania sygnału.

chwili wysłania sygnału.

Co najmniej 4 satelity są potrzebne do określenia Co najmniej 4 satelity są potrzebne do określenia położenia odbiornika i czasu. Współrzędne

położenia odbiornika i czasu. Współrzędne położenia są określane w różnych układach położenia są określane w różnych układach

odniesienia (Earth-Centered, Earth-Fixed X, Y, Z odniesienia (Earth-Centered, Earth-Fixed X, Y, Z (ECEF XYZ) coordinates; ECEF X, Y, and Z

(ECEF XYZ) coordinates; ECEF X, Y, and Z

Czas jest potrzebny do skorygowania czasu zegarów Czas jest potrzebny do skorygowania czasu zegarów odbiornika, których dokładność jest niska (dlatego odbiornika, których dokładność jest niska (dlatego odbiorniki są względnie tanie) GPS SV and Receiver odbiorniki są względnie tanie) GPS SV and Receiver XYZXYZ

(33)

Korekty Korekty

Kwestią najważniejszą Kwestią najważniejszą jest dokładny pomiar jest dokładny pomiar czasu. GPS wyznacza czasu. GPS wyznacza czas potrzebny na czas potrzebny na przebycie drogi od przebycie drogi od

satelitów do odbiornika satelitów do odbiornika uwzględniając:

uwzględniając:

 małą dokładność zegara małą dokładność zegara odbiornika;

odbiornika;

 różne prędkości różne prędkości

rozchodzenia się fal rozchodzenia się fal elektromagnetycznych elektromagnetycznych w warstwach atmosfery, w warstwach atmosfery,

 efekty relatywistyczne efekty relatywistyczne

(34)

Co jeszcze mierzy GPS?

System wyznacza prędkość odbiornika: System wyznacza prędkość odbiornika:

 na podstawie zmiany jego położenia lub na podstawie zmiany jego położenia lub

 z wykorzystaniem efektu Dopplera — z wykorzystaniem efektu Dopplera —

zmiana częstości fali elektromagnetycznej zmiana częstości fali elektromagnetycznej wywołana ruchem obiektu.

wywołana ruchem obiektu.

Każdy satelita jest wyposażony w 4 Każdy satelita jest wyposażony w 4 zegary atomowe: dwa cezowe i dwa

zegary atomowe: dwa cezowe i dwa rubidowe.

rubidowe.

Praca pokładowych zegarów Praca pokładowych zegarów atomowych jest monitorowana przez atomowych jest monitorowana przez naziemne stacje.

naziemne stacje.

(35)

Jak GPS wyznacza położenie? (1) Jak GPS wyznacza położenie? (1)

Fizyczna zasada działania GPS

Wyznaczenie czasoprzestrzennego położenia obiektu na powierzchni Ziemi: (T

_Z

,R

_Z

)

  ² ^,

2 2

i Z

i

Z r c T t

R   

gdzie i = 1, 2, 3, 4, t

_i

oraz r

_i

są czasem i położeniem i-tego satelity.

Satelity przekazują do obiektu naziemnego położenia r

_i

oraz czasy t

_i

wysłania sygnału. Odbiornik GPS porównuje t

_i

z czasem własnym i wyznacza odległość c(T

_Z

-t

_i

) przebytą przez sygnał

elektromagnetyczny wysłany przez satelitę. Położenie (T

_Z

,R

_Z

)

wyznacza odbiornik GPS rozwiązując układ 4 powyższych równań

względem 4 niewiadowych, tj. (T

_Z

,R

_Z

), gdzie R

_Z

jest wektorem.

(36)

Jak GPS wyznacza położenie?

Jak GPS wyznacza położenie? (2) (2)

Algorytm matematyczny wyznaczenie czasoprzestrzennego położenia obiektu na powierzchni Ziemi: (T

Z

,R

Z

) na podstawie 4 sygnałów

emitowanych z pokładów 4 satelitów GPS.

Załóżmy, że obiekt o współrzędnych (T_Z,R_Z) odbiera jednocześnie 4 sygnały

wyemitowanych przez 4 satelity znajdujące się w położeniach: r₁ , r₂ , r₃ , r₄ w chwilach czasu odpowiednio t1, t2,t3 i t4 . Wtedy szukane położenie

(TZ,RZ) znajdujemy rozwiązując jednocześnie układ czterech równań | RZ — ri |²= c²(TZ — ti)² dla i=1,2,3,4. Sygnały wysyłane przez satelity

przekazują do obiektu naziemnego: położenie ri i-tego satelity, czas wysłania sygnału t_i; odbiornik GPS porównuje t_i z czasem własnym i wyznacza odległość c(T-t_i) przebytą przez sygnał elektromagnetyczny wysłany przez satelitę.

(37)

Jak GPS wyznacza położenie?

Jak GPS wyznacza położenie? (3) (3)

Trilateracja

(38)

Korekta błędów Korekta błędów

Korekta wyznaczonych wartości odległości uwzględnia realia 1. Prędkość fal elektromagnetycznych jest stała w ośrodku

jednorodnym (np. w próżni). Fale elektromagnetyczny z satelity docierają do odbiornika GPS poprzez przestrzeń okołoziemską przechodząc po drodze przez jonosferę (obszar zjonizowanych cząsteczek gazu) oraz przez

troposferę, w której zawarta jest para wodna. Powoduje to niepewności w „pomiarze” odległości.

JONOSFERA [gr.], warstwa atmosfery ziemskiej odznaczająca się obecnością znacznej liczby swobodnych elektronów i jonów, powstałych w wyniku jonizacji atomów

i cząsteczek zawartych w powietrzu.

(39)

Korekta błędów — jonosfera Korekta błędów — jonosfera

JONOSFERA [gr.], warstwa atmosfery ziemskiej odznaczająca się obecnością znacznej liczby swobodnych elektronów i jonów, powstałych w wyniku jonizacji atomów i cząsteczek zawartych w powietrzu. Jonizacja zachodzi gł. pod wpływem promieniowania słonecznego (nadfioletowego i rentgenowskiego), a także

promieniowania kosm. i meteorów. Jonosfera rozciąga się od wys. 50–60 km do wys. 800 km nad powierzchnią Ziemi. Koncentracja elektronów i jonów w jonosferze zależy od przebiegu procesów jonizacji i rekombinacji jonów;

wydajność tych procesów zależy od natężenia i długości fali promieniowania, od wielkości strumienia meteorów, a także od składu chem. i gęstości powietrza (zmieniających się z wysokością), pory doby i aktywności słonecznej. Jony

powstające w jonosferze to gł.: O⁺, NO⁺, N, NO. W jonosferze rozróżnia się warstwy (oznaczone literami D, E, F₁, F₂) o różnej koncentracji elektronów i jonów. Warstwa D (wys. 50–90 km) istnieje tylko w ciągu dnia i odznacza się obecnością jonów ujemnych, które nie występują w pozostałych warstwach; warstwy: E (wys. 90–140 km), F₁ (wys. 140–230 km) i F₂ (wys.

250–800 km) składają się gł. z jonów dodatnich, swobodnych elektronów i obojętnych cząsteczek (warstwa F₁ występuje tylko w dzień). Warstwa F₂ odznacza się największą ze wszystkich warstw koncentracją elektronów i odgrywa istotną rolę w rozchodzeniu się fal radiowych, które w jonosferze ulegają załamaniu, odbiciu, pochłanianiu i polaryzacji. Odbicie fal radiowych od jonosfery, dzięki któremu można je przesyłać na duże odległości, jest związane z obecnością w niej

swobodnych elektronów; fale dłuższe ulegają odbiciu już od niżej leżących warstw, o mniejszej koncentracji elektronów;

warstwy te są przepuszczalne dla fal krótszych, które odbijają się dopiero od warstw wyższych o większej koncentracji elektronów. Częste zmiany składu jonosfery powodują zakłócenia w łączności radiowej (np. zanik fal określonej

częstotliwości). Obserwacje rozchodzenia się fal radiowych w jonosferze wykorzystuje się do jej badania. Istnienie ośr.

zjonizowanego w górnych warstwach atmosfery Ziemi zasugerował 1883 Belfour Stewart w celu wyjaśnienia wahań

natężenia ziemskiego pola magnetycznego. W 1902 G. Marconiemu udało się przesłać sygnały radiowe przez O. Atlantycki dzięki ich odbiciu się od jonosfery. Bezpośrednich dowodów istnienia jonosfery dostarczyły 1925 badania E.V. Appletona nad rozchodzeniem się fal radiowych w górnych warstwach atmosfery. W latach 20. XX w. rozpoczęto systematyczne badania jonosfery za pomocą fal radiowych, a po II wojnie świat. zaczęto wykorzystywać rakiety umieszczając w nich aparaturę pomiarową (m.in. spektrometry masowe); obecnie coraz powszechniej stosuje się do tego celu sztuczne satelity.

(40)

Korekta błędów — troposfera Korekta błędów — troposfera

Korekta wyznaczonych wartości odległości uwzględnia realia

2. Fale elektromagnetyczne docierają z satelitów do odbiornika GPS poprzez przestrzeń okołoziemską przechodząc po drodze przez troposferę, co

powoduje określone niepewności w „pomiarze”

odległości.

TROPOSFERA [gr.], warstwa atmosfery ziemskiej rozciągająca się od powierzchni Ziemi do wys. 16–18 km nad równikiem, 10–12 km nad

umiarkowanymi szer. geogr. i 7–10 km nad obszarami podbiegunowymi

(41)

Korekta błędów — jonosfera Korekta błędów — jonosfera

TROPOSFERA [gr.], warstwa atmosfery ziemskiej rozciągająca się od powierzchni Ziemi do wys. 16–18 km nad równikiem, 10–12 km nad umiarkowanymi szer. geogr. i 7–10 km nad obszarami

podbiegunowymi; w warstwie tej temperatura maleje jednostajnie

ze wzrostem wysokości i na górnej granicy t. osiąga wartość od

-55°C (nad obszarami podbiegunowymi) do -80°C (nad obszarami

równikowymi); t. zawiera ponad 99% znajdującej się w atmosferze

pary wodnej, toteż wszystkie procesy związane z kondensacją pary

wodnej zachodzą niemal wyłącznie w tej warstwie; w t. jest także

skupiona przeważająca część masy powietrza atmosf.; procesy

zachodzące w t. mają decydujący wpływ na pogodę i klimat, jest

ona zatem gł. przedmiotem badań meteorologii.

(42)

Korekta błędów Korekta błędów

Niepewności dotyczące prędkości fal

elektromagnetycznych są modelowane i na podstawie przyjętych modeli

jonosfery oraz troposfery są wyznaczane stosowne poprawki/korekty odległości

d ₁ , d ₂ , d ₃ i d ₄

dzielących obiekt od 4 lub więcej

satelitów.

(43)

Czas i historia sztuki Czas i historia sztuki

Co to jest czas?

Odpowiedź wybitnego malarza XX wieku

w jego obrazach

(44)

Dlaczego system GPS latającym Einsteinem jest?

Czas — wizje malarskie Salvatore Dali (1)

Salvatore Dali

The Persistence of Memory, 1931 Trwałość pamięci

(45)

Dlaczego system GPS latającym Einsteinem jest? (2)

Wariacje malarskie S.

Dali na temat

czasu i pamięci

(46)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest? (3) (3)

One Second Before Awakening from a Dream Caused by the

Flight of a Bee Around a Pomegranate, 1944 Jedna sekunda przed

wybudzeniem spowodowanym lotem pszczoły wokół drzewa

granatu, 1944, Salvatore Dali

Jedna sekunda według S. Dali

(47)

Czas i teoria względności Czas i teoria względności

Co to jest czas? Odpowiedzi fizyków.

 Podstawowa wielkość fizyczna

 Czwarta współrzędna 4-ro wymiarowej czaso- przestrzeni (płaski 4-ro wymiarowy

Wszechświat) — rewolucyjna idea A. Einsteina

 Definicja encyklopedyczna: CZAS, fiz. wielkość służąca do chronologicznego uszeregowania

zdarzeń.

(48)

Czas — ujęcie encyklopedyczne (1) Czas — ujęcie encyklopedyczne (1)

Koncepcja klasyczna — wg. I. Newtona czas jest wielkością bezwzględną, absolutną (stąd tzw. czas absolutny), niezależną od przestrzeni i jakichkolwiek czynników fizycznych (upływa

jednakowo we wszystkich układach odniesienia).

W teorii względności A. Einsteina czas i przestrzeń są

traktowane równoprawnie, tworząc czterowymiarowe continuum

— czasoprzestrzeń (czas jest czwartą współrzędną obok współrzędnych przestrzennych). W myśl tej teorii pojęcie jednoczesności zdarzeń zależy od układu odniesienia (czas

własny, dylatacja czasu), a czas nie ma charakteru absolutnego.

(49)

Czas — ujęcie encyklopedyczne (2) Czas — ujęcie encyklopedyczne (2)

Ogólna teoria względności opisuje związek czasoprzestrzeni z polem grawitacyjnym

i rozkładem materii; zgodnie z tą teorią czas jest zależny od rozkładu materii; niezmienniczy,

niezależny od wyboru układu odniesienia

charakter mają nie odstępy czasu i odległości

przestrzenne, ale odległości między zdarzeniami

w czasoprzestrzeni.

(50)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (1) (1)

GPS odmierza czas z dokładnością 4•10

^-9

⁼ 4 nanosekundy ^na

dobę. Co to praktycznie oznacza?

Doba ma 24 • 3600 • 10

⁹

= 8,64 • 10

¹³

nanosekund  10

¹⁴

ns.

Niepewność względna pomiaru wynosi

Oznacza to pomiar wielkości 10

¹⁴

z dokładnością do 5.

Niepewność względna wyrażona w procentach wynosi (5

^

10

^-12

)%

100 10

5 10

10 4,63 8,64

4

₁₄ ₁₄ ₁₂

13

      





(51)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (2) (2)

GPS odmierza czas z dokładnością 4•10

^-9

sekundy na dobę!

Co to praktycznie oznacza?

Po upływie jednej doby zegary atomowe na pokładach satelitów muszą być korygowane z dokładnością do 4 nanosekund!

Efekty przewidziane szczególną i ogólną teorią względności są rzędu

setek i tysięcy nanosekund!

Nie uwzględnienie tych efektów

uczyniłoby GPS bezużytecznym!

(52)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (3) (3) Efekty

1. Pole grawitacyjne wpływa na tempo upływu czasu — zegary

atomowe spóźniają lub spieszą się w zależności od ich odległości od źródła pola grawitacyjnego znajdującego się w środku Ziemi;

praktycznie oznacza to istnienie efektu zwanego przesunięciem ku fioletowi częstości fal elektromagnetycznych emitowanych z

satelity w kierunku powierzchni Ziemi (zegary na powierzchni Ziemi idą wolniej od satelitarnych; im bliżej centrum pola

grawitacyjnego, tym wolniejszy upływ czasu); jest to efekt

wynikający z przestrzennego położenia zegarów ziemskich i

satelitarnych w polu grawitacyjnym

(53)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (4) (4) Efekty

2. Dylatacja czasu — zegary atomowe orbitalne i ziemskie są w ruchu względnym, co powoduje przesunięcie dopplerowskie częstości

(zmianę częstości; tempo upływu czasu na zegarach ruchomych jest wolniejsze; zegary będące w ruchu spóźniają się względem zegarów spoczywających).

3. Efekt Sagnac’a — dobowy ruch obrotowy Ziemi oraz ruch orbitalny satelitów; wnosi błędy pomiaru czasu rzędu 200•10

^-9

czyli 200 nanoseknd (na dobę)

4. Efekt grawitomagnetyczny — dobowy obrót pola magnetycznego Ziemi, wpływa na tempo upływu czasu; poprawki są rzędu

pikosekund (10

^-12

sekundy) na dobę; są do zaniedbania!

(54)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (5) (5)

Efekty — zajmiemy się dalej oszacowaniem wpływu dwóch pierwszych (stacjonarnego pola

grawitacyjnego oraz dylatacji czasu) na

funkcjonowanie GPS, tj. pomiar czasu

(55)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (5) (5)

Metryka Schwarzschilda

2 ,

1

₂

2 2

2

c v c

t c

s  



 



  

 



 





d d

gdzie  jest potencjałem Newtona, t czasem mierzonym

w inercjalnym układzie odniesienia umieszczonym w

nieskończoności,  prędkością styczną obiektu na orbicie

kołowej; ds to przedział czasoprzestrzenny.

(56)

Teoria względności i GPS

Teoria względności i GPS (6) (6)

Zastosujemy metrykę Schwarzschilda dwukrotnie, tj. do zegara na

powierzchni Ziemi i na orbicie; z otrzymanych wyrażeń tworzymy iloraz

2 ,

1

₂

2 2

2

c v c

t c

s  



 



  

 



 



 d d

gdzie 

_Z

( 

_S

) to czas mierzony na Ziemi (satelicie), M

_Z

—masa Ziemi, R

_Z

(R

_S

) — promienie trajektorii kołowych zegara na powierzchni Ziemi (na orbicie); dokładność ilorazu i tym samym GPS jest rzędu O(c

^-2

)

2 , 1

1 2

2 2 2

2 2 2 2

c v c

R GM

c v c

R GM

S S

Z

Z Z

Z



 



 





S Z

d d



(57)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest? cym Einsteinem jest?

Teoria względności i GPS (7) Teoria względności i GPS (7)

Jakiego rzędu są efekty relatywistyczne?

Przesunięcie grawitacyjne częstości w stronę fioletu Zaniedbujemy ruch zegarów ziemskich i satelitarnych

2 , 1 1 2

2 2

c R

GM c R

GM

S Z Z

Z





S Z

d d



R

_S

=26 561 km; (1-x)

^1/2

 1-x/2; d

_Z

=GM

_Z

/(R

_Z

c

²

)

=10

^-10

i d

_S

=GM

_Z

/(R

_S

c

²

)=1,67•10

^-10

,otrzymujemy

  ¹ ^,

2 1 1 2

1 2

₂ ₂

d d D

c R

GM c

R GM

S Z

S Z Z

Z

     





S Z

d d



gdzie D=(d

_Z

— d

_S

)/2>0. Oznacza to, że stosunek częstości zegara na orbicie i na Ziemi wynosi f

_S

/f

_Z

=1 — D<1.

Przesunięcie ku fioletowi!

(58)

Teoria względności i GPS (8) Teoria względności i GPS (8)

Przesunięcie ku fioletowi oznacza, że zegar na orbicie spieszy się względem ziemnego (zegary na

orbicie idą szybciej), bo f

_S

/f

_Z

=1 — D<1.

W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów osiąga t= 45 700 ns =45,7 mikrosekund.

W tym czasie światło przebywa odległość

l = 13 710 m  14 km.

(59)

Teoria względności i GPS (9) Teoria względności i GPS (9)

Przesunięcie kinematyczne częstości w stronę czerwieni.

Uwzględniamy ruch zegarów ziemskich i satelitarnych

, 1

1

2 2 2

2

c v

S Z



 

S Z

d d



v

_S

=3 874 m/s, v

_Z

=465 m/s; (1-x)

^1/2

 1-x/2

  ¹ ^,

2 1 1

2 1 2

₂ ₂ ² ²

2 2

2

B v

c v c

v c

v

Z S

S

Z

     





S Z

d d



gdzie B>0. Oznacza to, że stosunek częstości zegara na orbicie i na Ziemi wynosi f

_S

/f

_Z

=1 + B>1.

Przesunięcie ku czerwieni!

Zegary atomowe na orbicie spóźniają się!

(60)

Teoria względności i GPS (10) Teoria względności i GPS (10)

Przesunięcie ku czerwieni powoduje, że zegar na orbicie spóźnia się względem ziemskiego (idzie

wolniej), bo f

_S

/f

_Z

=1 + B>1.

W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów osiąga t= 7 100 ns =7,1 mikrosekundy.

W tym czasie światło przebywa odległość

l = 2 130 m  2 km.

(61)

Teoria względności i GPS (11) Teoria względności i GPS (11)

Jakiego rzędu są wspomniane 2 efekty relatywistyczne?

Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskich i

satelitarnym ( efekt przesunięcia częstości ku fioletowi i czerwieni)

jest rzędu t= 39 000 ns =39 mikrosekund.

W rezultacie zegar atomowy na orbicie spieszy się względem ziemnego (idzie szybciej) o 39 mikrosekund na dobę.

W tym czasie światło przebywa odległość l = 11 700 m  12 km.

. 1 2 1

2 2

1 2

₂

2 2

2

      



 D B

c v c

R GM c

v c

R

GM

_S

S Z Z

Z Z S

Z

d d



(62)

Teoria względności i GPS Teoria względności i GPS

W celu udokładnienia pomiaru czasu (oprócz przesunięcia częstości ku fioletowi i czerwieni) i zwiększenia

dokładności pozycjonowania GPS, używa się bardziej zaawansowanych metryk przestrzeni okołoziemskiej uwzględniających:

 efekt Sagnaca,

 rzeczywisty kształt Ziemi, która nie jest idealną kulą,

 dynamikę pola grawitacyjnego i magnetycznego Ziemi wynikającego z jej ruchu obrotowego względem osi

północ-południe.

(63)

Dlaczego system GPS latajlatająącym Einsteinem jest?cym Einsteinem jest?

Teoria względności

Teoria względności — efekt Sagnac’a efekt Sagnac’a Jeśli dwa impulsy światła są wysłane w przeciwnych kierunkach wokół nieruchomej kołowej pętli o promieniu R, to będą one

poruszały się po tej samej drodze, którą przebędą w tym samym czasie (patrz rysunek po lewej stronie).

Prawa strona rysunku ilustruje sytuację, gdy pętla wiruje; symbol  oznacza drogę kątową pętli w czasie ruchu impulsów światła. Dla dodatnich wartości , impuls biegnący zgodnie z kierunkiem obrotu przebywa nieco dłuższą drogę, w wyniku czego osiąga koniec pętli nieco później.

http://www.mathpages.com/rr/s2-07/2-07.htm