Przedmiot obejmuje wykład, ćwiczenia i zajęcia wyrównawcze zawierające uzupełnienie wykładu i ćwiczeń

Dane kontaktowe

Michał Wilczyński e-mail: michal.wilczynski@pw.edu.pl

Informacje związane z zajęciami będą umieszczane na stronie:

http://www.if.pw.edu.pl/~wilczyns oraz w zespole na którym prowadzony jest wykład w programie TEAMS.

Przedmiot obejmuje wykład, ćwiczenia i zajęcia wyrównawcze zawierające uzupełnienie wykładu i ćwiczeń

Fizyka I

I semestr studiów stacjonarnych I stopnia na kierunku Biogospodarka

Konsultacje

1) poniedziałki 16:30-17:30 2) środy 16:00-17:00

Terminy konsultacji mogą ulec zmianie

Konsultacje poprzez TEAMS w zespole konsultacje (kod 8g5e9wg )

Program ramowy

1) Kinematyka: wprowadzenie wielkości służących do opisu ruchu: wektor wodzący, droga, prędkość, przyspieszenie, związki między tymi wielkościami. Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po linii prostej. Składanie ruchów. Wielkości służące do opisu ruchu po okręgu: prędkość i przyspieszenie kątowe. Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po okręgu. Układ jednostek SI. Wielkości wektorowe i skalarne w fizyce.

Informacje o wektorach i pochodnych, całka oznaczona.

2) Dynamika: Układy inercjalne. Zasady dynamiki Newtona. Przykłady sił (np. siła reakcji podłoża, siła tarcia, siła naciągu nici, siła sprężystości, siła dośrodkowa).

3) Pęd pojedynczego ciała i układu ciał. Zasada zachowania pędu. Środek masy Energia kinetyczna. Zderzenia ciał sprężyste i niesprężyste. Przykłady

4) Praca i jej związek z energią, siły zachowawcze i energia potencjalna. Zagadnienie zachowania energii. Przykłady

5) Moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej. Moment bezwładności. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym. Równanie ruchu obrotowego bryły. Przykłady

6) Ruch harmoniczny prosty i wielkości go opisujące. Energia ruchu harmonicznego.

Wahadła. Drgania harmoniczne tłumione i wymuszone. Fale: Klasyfikacja fal, podstawowe wielkości charakteryzujące ruch falowy. Zasada superpozycji. Fale akustyczne.

7) Elementy termodynamiki. Parametry charakteryzujące stan równowagowy układu gazowego. Ciepło, praca i energia wewnętrzna, I zasada termodynamiki. Równanie

stanu gazu doskonałego. Teoria kinetyczna gazu doskonałego. Podstawowe przemiany termodynamiczne.

8) E

lektrostatyka: Ładunek elektryczny. Prawo Coulomba. Natężenie pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego Kondensatory – pojemność i energia pola elektrycznego kondensatora, szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów.

9) Prąd elektryczny: Natężenie i gęstość natężenia prądu elektrycznego. Prawo Ohma, opór, przewodność właściwa i opór właściwy. Obwody prądu stałego-przemiany energii, Prawa Kirchhoffa. Szeregowe i równolegle łączenie oporników.

10) Pole magnetyczne: Indukcja pola magnetycznego, Siła Lorentza- działanie pola na poruszające się ładunki i przewodnik z prądem. Wyznaczanie indukcji pola

wytworzonego przez przewodniki z prądem przy pomocy prawa Ampera i Biota- Sawarta. Oddziaływanie przewodników z prądem. Podział materiałów ze względu na ich własności magnetyczne.

11) Indukcja elektromagnetyczna: Prawo Faradaya, reguła Lenza, cewka indukcyjna i energia pola magnetycznego w cewce. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Drgania w

obwodach elektrycznych w skład których wchodzą kondensator i cewka.

12) Wirowe pola elektryczne i magnetyczne. Równania Maxwella. Fale elektromagnetyczne i mechanizm ich rozchodzenia się. Światło jako fala elektromagnetyczna; prędkość światła, polaryzacja światła. Interferencja i dyfrakcja fal świetlnych, spójność światła. Elementy optyki geometrycznej: zjawisko odbicia i załamania światła, całkowite wewnętrzne odbicie.

Literatura

1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 1-4, PWN Warszawa 2003.

2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom 1-2, PWN, Warszawa 1983.

3. J. Orear – Fizyka, tom 1 i 2, WNT, Warszawa, 1990.

4. C. Bobrowski, Fizyka –krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.

5. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, OWPW Warszawa 2010.

6. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami, część I i II, skrypt do zajęć z fizyki dla studentów I roku, Oficyna Wydawnicza Scripta Wrocław 2005.

7. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami (kurs powtórkowy) , Oficyna Wydawnicza Scripta Wrocław 2002.

8. K. Jezierski, K. Sierański, I. Szlufarska, Repetytorium zadania z rozwiązaniami, kurs powtórkowy dla studentów 1 roku i uczniów szkół średnich, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2003.

9. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 1, Oficyna

Wydawnicza Scripta, Wrocław 2000.

10. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 2, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 1999.

11. J. Walker, Podstawy fizyki, zbiór zadań, PWN, Warszawa 2005

Zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I

1) Zaliczenie wykładu będzie miało formę dwóch kolokwiów. Odbędą się na uczelni w trakcie ćwiczeń rachunkowych. W przypadku braku możliwości zorganizowania kolokwiów na uczelni odbędą się one zdalnie (np. poprzez program TEAMS). Kolokwia będą obejmować 1-2 pytanie opisowe i kilka pytań testowych dotyczących zagadnień omawianych w ramach udostępnianych Państwu prezentacji (omawianych podczas wykładu, ćwiczeń i częściowo zajęć wyrównawczych). Za każde z kolokwiów będzie można otrzymać do 20 punktów. W przypadku wątpliwości co do oceny z kolokwiów może być przeprowadzona przed wystawieniem oceny dodatkowo rozmowa ustna (np.

poprzez program TEAMS).

2) W ramach ćwiczeń będzie możliwość

a) uzyskania do 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych lub aktywność na ćwiczeniach.

b) uzyskanie do 20 punktów za rozwiązanie zadań na kolokwium zorganizowanym przed końcem semestru. W przypadku możliwości zorganizowania kolokwium na uczelni będzie one zorganizowane na uczelni. W przypadku braku takiej możliwości będą Państwo proszeni o terminowe przesłanie skanów zadań rozwiązanych w trakcie kolokwium w domu na mój adres pocztowy. Przed wystawieniem oceny z zadań może odbyć się ustna rozmowa na ich temat poprzez program TEAMS.

Zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I

3) Zaliczenie ćwiczeń i wykładu odbywać się będzie na oddzielne oceny określone w oparciu o uzyskaną liczbę punktów. Do zaliczenia wykładu wymagane jest uzyskanie conajmniej 20 punktów z kolokwiów teoretycznych. Do zaliczenia ćwiczeń niezbędne jest uzyskanie łącznie 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych i na kolokwium oraz obecność na wszystkich ćwiczeniach. Dopuszczalna jest jedna obecność nieusprawiedliwiona.

4) Oceny z wykładu i ćwiczeń będą uzależnione od ilości uzyskanych punktów. Ocena końcowa z przedmiotu jest zależna od ilości wszystkich uzyskanych punktów. W przypadku braku zaliczenia wykładu poprzez kolokwia będzie możliwość jego zaliczenia na drodze pozytywnej odpowiedzi ustnej. Do zaliczenia przedmiotu wymagane jest zaliczenie wykładu i ćwiczeń.

• Mechanika zajmuje si

ę

badaniem ruchu ciał materialnych a tak

ż

e okre

ś

leniem warunków przy których ciała pozostaj

ą

w spoczynku .

• Mechanika klasyczna: Teoria, która przewiduje jakościowo i ilościowo rezultaty eksperymentów na obiektach, które nie są:

– Zbyt małe: atomy i cząstki subatomowe – Mechanika Kwantowa

– Zbyt szybkie: obiekty bliskie prędkości światła – Szczególna Teoria Względności – Zbyt gęste: czarne dziury, wczesne stadium wszechświata – Ogólna Teoria

Względności

• Mechanika klasyczna zajmuje się obiektami znanymi w życiu codziennym!

Mechanika

Kinematyka

Kinematyka-dział mechaniki zajmujący się

opisem ruchu ciała bez analizowania przyczyn

go powodujących

Ruch prostoliniowy punktu materialnego

Określenie położenia ciała w ruchu prostoliniowym

x O

Do scharakteryzowania położenia ciała wystarczające jest określenie jego położenia względem ustalonego punktu O na osi Ox. Wielkość x, której moduł jest odległością ciała od tego punktu, może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne i stanowi jedyną niezerową składową jego wektora wodzącego

Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych wzdłuż prostej po której porusza się ciało.

x wzrasta w trakcie ruchu x maleje w trakcie ruchu

i x r

r r

=

Jeżeli w trakcie ruchu ciało nie zawraca to droga przebyta przez ciało od chwili t=t

_p

do t=t

_k

wyraża się wzorem ^{S = x} ( ^{t = t}

_k

) ^{− x} ( ^{t = t}

_p

)

i r

-wersor będący wektorem o długości równej 1 oraz kierunku i zwrocie osi Ox

i r

r r ^{i = 1}

r

x<0

r r

x>0

Prędkość w ruchu prostoliniowym

O i x

r V

r V

r

V>0 V<0

V V =

r

i V V

r r

=

= 1 i

r

Wielkość jest równa szybkości (wartości) prędkości.

t

t x t

t V x

t V

V

x t

∆

−

∆

= +

=

=

∆ →

) ( )

lim ( )

(

0

.

V jest równa stosunkowi zmiany współrzędnej x przyjętej do określenia położenia ciała do czasu w którym ta zmiana nastąpiła , przy założeniu iż czas ten dąży do zera

W układzie SI prędkość mierzymy w m/s.

W przypadku ruchu prostoliniowego wielkość V=V określamy często niezbyt formalnie mianem prędkości, choć wektor prędkości

w przypadku ruchu wzdłuż osi Ox to

∆ t

→ 0

∆t

i V V

r r

= ^{i = 1}

r

Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym

O i x

r V

V r

r i = 1

r

V>0 a>0 V<0

a<0

i a a

r r

=

W trakcie ruchu wielkości a i V mogą zmieniać znak.

Mogą one przyjmować wartości dodatnie jak i ujemne. Gdy są one takiego samego znaku ( wektory i maja ten sam zwrot) to szybkość (wartość prędkości) ciała rośnie, gdy przeciwnego ( wektory i maja przeciwny zwrot) to szybkość ciała maleje.

a

a r = a r

V r

a r a r

V>0 a<0

V a r r

a r V

r

a jest równa stosunkowi zmiany pr ę dko ś ci do czasu w którym ta zmiana nast ą piła , przy zało ż eniu i ż czas ten d ąż y do zera

.

∆ t

→ 0

∆t Przyspieszenie w układzie SI mierzymy w m/s

²

.

t

t V t

t a V

t a

a

x t

∆

−

∆

= +

=

=

∆ →

) ( )

lim ( )

(

0

W dowolnym ruchu droga pokonana przez ciało w czasie od t=t

₁

do t=t

₂

jest równa polu pod wykresem zależności wartości prędkości (szybkości) od czasu zakreskowanemu na czerwono. Pole to jest równe polu prostokąta ograniczonego od góry przez prostą V=V

sr

zakreskowanego na niebiesko V

_sr

ma sens średniej szybkości w trakcie ruchu

Analizowaną drogę można określić licząc całkę oznaczoną po czasie t (będącej zmienną całkowania stojącą we wzorze po symbolu d) z szybkości

^{Vr(t) ≥0}

w granicach od t=t

₁

(dolna granica całkowania) do t=t

₂

(górna granica całkowania)

Droga jako pole pod wykresem szybkości od czasu

t₂ t t₁

S )

(t V

r

) (t V

r

Vsr

∫ ( )

=

2

1

t

t

dt

t

V

S

Ruch ze stałą szybkością

t V t

S

r

= ) (

Związek drogi pokonanej od chwili t=0 z wartością prędkości

i czasem trwania ruchu t w przypadku gdy określa wzór

t

_k

t

) (t V

r

V r

k

k V t

t t S

r

=

= ) (

V r

S(t)

t

Wykresem zależności S(t) jest prosta o współczynniku

kierunkowym równym t

V S

r

=

V r

Droga S(t=t

_k

) pokonana od chwili t=0 do chwili t=t

_k

jest równa polu odpowiedniego prostokąta pod wykresem zależności szybkości od czasu

const V =

r

O

Vt x

t

x ( ) = ₀ +

V const

t

V ( ) = =

t

t x t

t t x

V

t

∆

−

∆

= +

→

∆

) ( )

lim ( )

(

0

t

t x t

t t x

V

t

∆

=

−

∆

= =

=

∆ →

) 0 (

) lim (

) 0

(

0

x ( t = ∆ t ) = x ( t = 0 ) + V ( t = 0 ) ∆ t to dowolny ^{∆ t}

Zależność położenia ciała od czasu określa wzór x ( t ) = x ₀ + Vt

gdzie ^x

₀

^{= x ( t = 0 ),}

Wzór okre ś laj ą cy x(t) obowi ą zuje niezale ż nie od znaku V

Dowód:

t V t

S

r

= ) Zależność drogi od czasu (

Ruch prostoliniowy jednostajny ^{V r = const a r = 0}

( ) ^{t x} ( ^t ) ^{V t}

x t

x t

x t

S

r

±

=

⇒ =

=

−

= ( ) ( 0 ) 0

) (

gdy V

V

r

= V

V

r

−

=

const V

const

V = ⇒ =

r r

gdy x ro ś nie w trakcie ruchu gdy x maleje w trakcie ruchu

Gdy

(

^t

)

V t

x t V t V t

x t V t t x t t

x( = 2∆ ) = ( = ∆ )+ ∆ = ( =0)+ ∆ + ∆ = ( = 0)+ 2∆

W ruchu bez zawracania

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

at V

t

V ( ) = ₀ +

Gdy a i V są tego samego znaku to szybkość ciała rośnie

V(t) V₀

t

a>0

a<0

a(t)

a

t a>0

a<0

a

Gdy a i V mają przeciwne znaki to szybkość ciała maleje Załóżmy iż V>0 ( ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox,

wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor ). Wówczas szybkość

Gdy a=const i a>0 to ruch jest jednostajnie przyspieszony, zaś gdy a=const i a<0 to ruch jest jednostajnie opóźniony. W ruchu w którym szybkość maleje wielkość

określamy mianem opóźnienia.

i r

const t

a ( ) =

) 0

0

= V ( t = V

t

t V t

t t V

a

t

∆

−

∆

= +

→

∆

) ( )

lim ( )

(

0

t

t V t

t t V

a

t

∆

=

−

∆

= =

=

∆ →

) 0 (

) lim (

) 0

(

0

t t

a t

V t

t

V ( = ∆ ) = ( = 0 ) + ( = 0 ) ∆

∆ t dowolny

( nie zależy od czasu)

V V =

r

a a

a

_op

r

=

−

=

const t

a ( ) =

Załóżmy iż V >0 (ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox, wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor , ) i

r

2

2 k k

o

a t t

V +

S(t)

t

_k

t O

V(t)

V₀

t V(t)=V₀+at

t_k

V_k=V₀+at_k

2 ) 2 (

2 0 0

k k o

k k k

t at V

at t V t V

t S

+

=

= + ⋅

= +

=

0

) 2 0 (

) (

) (

2 0

k k

k k

t at V t

x t

t x t

t

S = = = − = = +

Droga pokonana przez ciało od chwili t=0 do t=t

_k

jest równa zakreskowanemu polu trapezu .

V V =

r

V V =

r

Rysunki dla a>0

Zakładając iż ruch analizujemy od chwili t=0 zależność drogi od czasu wyraża wzór

) 2 (

2 0

t at V t

S = +

) 2 (

2 0

0

t at V x

t

x = + +

) 0

0

= V ( t = V

) 0

0

= t x ( = x

Wzór obowiązuje zawsze w ruchu w którym niezależnie od znaku wielkości x

₀

, V

₀

i a . W szczególności w takim ruchu prędkość

może zmienić znak (co odpowiada zmianie zwrotu wektora prędkości ).

Gdy V<0 w pewnym zakresie czasu to Uwaga

Gdy w trakcie całego ruchu V>0, a a=const<0 (czyli mamy do czynienia z ruchem jednostajnie opóźnionym ) to niekiedy wprowadza się wielkość zwaną opóźnieniem a

_op

=-a i można zapisać wzory na zależność szybkości i drogi pokonanej od czasu w postaci

const a

a =

_x

=

) 0 (

) ( )

( t ≠ x t − x t = S

) 2 0 ( ) ( ) (

2 0

t at V t

x t x t

S = − = = +

at V

V t

V ( ) =

_x

=

₀

+

i V V

r

=

W przypadku ruchu ze stałym przyspieszeniem wzdłuż osi Ox zależność położenia ciała od czasu określa wzór

gdzie

t a V

t

V ( ) =

₀

−

_op

r

) 2 (

2 0

t t a

V t

S = − ^op gdzie ^{V0 = V(t =0)} r

Gdy w każdym z tych ruchów przyspieszenia nie zależą od czasu to każdy z ruchów składowych jest ruchem jednostajnie zmiennym.

Można te ruchy analizować przy pomocy wzorów będących uogólnieniem wzorów dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego

k z j y i x r

r r r r

+ +

k =

V j

V i

V

V

_{x y z}

r r r r

+ +

=

const

a_x = ^ay =^const const

a_z =

2 0

0 2

) 1

(t x V t a t

x = + _x + _x

V

_x

( t ) = V

_0x

+ a

_x

t

2 0

0 2

) 1

(t y V t a t

y = + _y + _y

2 0

0 2

) 1

(t z V t a t

z = + _z + _z

t a V

t

V_y( ) = _0y + _y

t a V

t

V

_z

( ) =

_0z

+

_z

) 0

0

= V ( t = V

_{x x}

) 0

0 =V (t =

V _{y y}

) 0

0 =V (t = V _{z z}

W przypadku ruchu płaskiego zachodzącego w płaszczyźnie z=0 i obraniu osi układu Ox i Oy w płaszczyźnie ruchu, ruch można opisać jako złożenie dwóch ruchów zachodzących wzdłuż osi Ox i Oy. Gdy a_x=0 to ruch wzdłuż osi Ox jest ruchem jednostajnym.

Składanie ruchów

Ruch w przestrzeni trójwymiarowej można traktować jako złożenie ruchów w trzech prostopadłych kierunkach określonych przez osie układu współrzędnych Ox ,Oy,Oz wyznaczonych przez wersory .

) 0

0

= x ( t = x

) 0

0

= y ( t = y

) 0

0

= z ( t = z

k a j a i

a

a

_{x y z}

r r r r

+ +

=

Pełny ruch jest opisany przez wektory przyspieszenia , prędkości i wodzący

a r V

r

r r

-

wersory określające zwroty osi Ox,Oy i Oz układu kartezjańskiego odpowiednio

k j i

r r r

, ,

składowe wektorów wodzącego, prędkości i przyspieszenia

z y

x

a a

a , ,

x,y,z ; V

_x

,V

_y

,V

_z

;

Ruch w polu siły ci ęż ko ś ci

Ciało poruszające się w pobliżu powierzchni Ziemi przy zaniedbaniu wpływu na ruch ciała innych sił niż siła ciężkości porusza się z przyspieszeniem

const g

a r = r =

) 0 (t = V

r

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu jest skierowana w kierunku równoległym do pionu to ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym po linii prostej (rzut pionowy)

) 0

0

= V ( t = V

r r

równym przyspieszeniu ziemskiemu skierowanym w kierunku środka Ziemi .

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu

tworzy pewien kąt z kierunkiem pionowym to ciało porusza się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory

) 0

0

= V ( t = V

r r

oraz

const g

a r = r =

j g g

a r r v

−

=

= .

Ruch ciała jest złożeniem ruchu jednostajnego w

kierunku równoległym do powierzchni Ziemi (wzdłuż osi Ox) i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku prostopadłym ( wzdłuż osi Oy) (rzut ukośny)

81 2

,

9 s

g m gr = =

V0

r

O x

y

V0

r

= 0 V

r

g a

a

_x

= 0

_y

= − g r

g r

j r

= 1

j

r

Tor w ruchu płaskim

W przypadku ruchu odbywającego się w płaszczyźnie xOy

określonego poprzez zależności składowych wektora wodzącego od czasu

można wyznaczyć równanie toru eliminując czas z powyższych równań i zapisując wynik końcowy w postaci np. funkcji typu

lub lub

) (

) (

t g y

t f x

=

=

) (x h

y = h ^{~ ~} ₍ x _, y _{) = 0}

(**) (*) Bt

y

At x

= Np. gdy zależność od czasu opisują funkcje =

to równanie przyjmuje np. postać x lub lub

A

y = B

^{y − B}_A ^{x = 0}

)

~ ( y h

x =

B y

x = A

Przykłady ruchu ciała w polu siły ci ęż ko ś ci zostan ą omówione w

ramach zaj ęć wyrównawczych i w czasie ć wicze ń rachunkowych

Ruch na płaszczyźnie i przestrzeni-Wektor wodzący, przemieszczenie, droga

wektor określający przemieszczenie ciała w trakcie jego ruchu od punktu początkowego (w którym znajdował się w chwili czasu t₁ ) do końcowego (w którym znajdował się w chwili czasu t₂=t₁+∆t ) równy zmianie (przyrostowi) wektora wodzącego.

określa położenie ciała (traktowanego jako punkt materialny) względem

początku układu współrzędnych (w pewnej ustalonej chwili czasu t). Długość tego wektora jak i jego składowe wyrażamy w układzie SI w metrach

( ^t

₂

^{, t}

₁

) ^r ( ^t

₂

^t

₁

^t ) ^r ( ) ^t

₁

r

r r r r r

−

∆ +

=

=

∆

=

∆

) r (t r r r

1) =

2)

3)

S- droga-wielkość skalarna określająca długość toru po którym poruszało się ciało w takcie ruchu

x y

( ) ^t

₁

r r

r r

∆

A

( ) ^t

₂ B

r r O

S

Droga S =długość toru tor ruchu

Długość wektora nie jest w ogólności równa drodze pokonanej

przez ciało. Jednak długość tego

wektora jest równa drodze wtedy, gdy ciało porusza się po linii prostej w tym samym kierunku (nie zawracając) lub też czas trwania ruchu jest nieskończenie krótki

r r

∆

-wektor wodzący (promień wodzący)

-

(można go wówczas przybliżyć przez odcinek prostej).

Prędkość (chwilowa) jest równa stosunkowi -wektora przemieszczenia ciała (przyrostu jego wektora wodzącego) do ∆ t -czasu w którym to przemieszczenie nastąpiło, gdy długość tego czasu dąży do zera .

Prędkość

Gdy to kierunek wektora jest styczny do toru ruchu, jego długość równa zaś przyrostowi drogi przebytej przez ciało

Kierunek wektora jest taki jak i styczny do toru ruchu .

r r

∆

→ 0

∆t

V r

r r

∆

→ 0

∆t

S r = ∆

∆ r

r r

∆

( ) ^t

V r

tor ruchu

O( początek układu współrzędnych)

( ) ^t

r r

( ^{t t} )

r r + ∆

→ 0

∆t

r r

∆

( )

t

t r t

t r t

t r

V

t t

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) lim (

lim )

(

0 0

r r

r r

Prędkość jest w ogólności funkcją czasu.

Mo ż na go okre ś li ć jako pierwsz ą pochodn ą wektora wodz ą cego po

czasie ( )

t

t r t

t r dt

r t d

V

t

∆

−

∆

= +

=

∆ →

) lim (

)

(

0

r r

r r

Pierwsza pochodna r po t

Szybkość (wartość prędkości) chwilowa

Wartości prędkości, szybkość (chwilowa) jest równa długości wektora prędkości (chwilowej). Opisuje jak szybko ciało się przemieszcza nie precyzując kierunku w jakim się porusza.

( ) dt

dS t

t S t

t S t

t S

V

t t

=

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( )

lim (

lim

0 0

r

Wyra ż a si ę ona przez stosunek przebytej drogi ∆ S w czasie do tego czasu , gdy długo ść tego czasu d ąż y do zera ∆t → 0

∆ t

Pierwsza

pochodna S po t

Przyspieszenie jest równe stosunkowi zmiany wektora prędkości do czasu w którym ta zmiana nastąpiła, gdy długość tego czasu dąży do zera .

( ) ( ) ( )

dt V d t

t V t

t V t

t V a

t t

r r

r r

r =

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

lim

0

lim

0

Przyspieszenie

Istnienie niezerowego przyspieszenia może być związane ze zmianą wartości prędkości (szybkości) ciała oraz (lub) zmianą kierunku wektora prędkości (kierunku ruchu ciała) Można dokonać rozkładu przyspieszenia a r

na przyspieszenie styczne do toru ciała a r

_s

oraz przyspieszenie normalne prostopadłe do toru a r

_n

.

W ruchu w którym szybkość ciała V = const r

mamy 0

r r

s

=

a .

W ruchu po linii prostej mamy a r

_n

= 0 .

a r

s

a v

n

a r

n

s

a

a

a r r r +

=

pierwsza pochodna

wektora prędkości po

czasie

k z j

y i

x r

r r r r

+ +

=

k V j

V i

dt V r

V d

_{x y z}

r r r r

r

+ +

=

=

Wektory wodz ą cy , pr ę dko ś ci i przyspieszenia w układzie trójwymiarowym kartezja ń skim . Zwi ą zki miedzy składowymi tych wektorów

x y

rr

A

O

x

y i

r j

r

=1

=

= j k i

r r r

) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

=

=

=

k r

z

z

rr

V

r

a r

( ) ( ) ( )

dt dz t

t z t

t t z

V

z t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

( ) ( ) ( )

dt dx t

t x t

t t x

V

x t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

( ) ( ) ( )

dt dy t

t y t

t t y

V

y t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

x y

V r

O _{V i}

x

r j

V_y r

k j i

r r r

=

=

k V_z

r

z

αx

αy

αz

x

x

V

V cos α

r

=

y

y

V

V cos α r

=

z

z

V

V cos α

r

=

2 2

2

z y

x V V

V

V = + +

r

( ) ( ) ( )

dt dV t

t V t

t t V

a

^{x x x}

x t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

( ) ( ) ( )

dt dV t

t V t

t t V

a

^{y y y}

y t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

x y

V r

O _{V i}

x

r j

V_y r

k j i

r r r

=

=

k V_z

r

z

αx

αy

αz ( )

) (

) (

t V V

t V V

t V V

z z

y y

x x

=

=

=

y

y

a

a r cos β

=

x

x

a

a r cos β

=

z

z

a

a r cos β

=

x y

ar

O _{a i}

x

r j

a_y r

k j i

r r r

=

=

k a_z

r

z

βx

βy

βz

k V j

V i

V

V

_{x y z}

r r r r

+ +

=

k a j

a i

dt a V

a d

_{x y z}

r r r r

v = = + +

( ) ( ) ( )

dt dV t

t V t

t t V

a

^{z z z}

z t

=

∆

−

∆

= +

→

∆

lim

0

2 2

2

z y

x

a a

a

a r = + +

Ruch po okręgu

Do opisu położenia (punktu materialnego) poruszającego się po okręgu może służyć zamiast wektora wodzącego np. kąt ϕ między wektorem wodzącym a osią OX układu o początku w środku okręgu pokazany na rysunku, będący w ogólności funkcją czasu ^{ϕ =ϕ}

( )

^t . Zakładamy przy tym iż może się on zmieniać w zakresie (^{− ,∞ ∞}) i mierzymy go w radianach.

Jednemu pełnemu obiegowi okręgu odpowiada zmiana kąta

ϕ

_o

2 π

radianów.

Prędkość kątowa (chwilowa) t

t t

t t

dt d

t

t

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

=

∆ → ∆ →

) ( )

lim (

lim

0 0

ϕ ϕ

ϕ

ω ϕ

Przyspieszenie kątowe

t

t t

t t

dt d

t

t

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

=

∆ → ∆ →

) ( )

lim (

lim

0 0

ω ω

ω ε ω

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe dowolnego punktu spoczywającego na obracającej się tarczy jest jednakowe.

Wielkości te mogą służyć do opisu ruchu obrotowego bryły, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na osi obrotu.

] / [ rad s ω

] / [ rad s

²

ε

Ruch po okr ę gu-pr ę dko ść i przyspieszenie k ą towe

x y

( )

^t

rr

( )

^t

ϕ

r

0 1=0 ϕ

0 2 =90 ϕ

x y

( )

^t

rr

( )

^t

ϕ

r

S(t)

• Drogi liniowej S(t) (przebytej od chwili t =0)

od czasu t z drogą kątową ( mierzymy w radianach ⁾ R -promień okręgu

• Szybkości z prędkością kątową ω

( ) ^{( ) ( 0 )}

)

( t = R ∆ t = R t − t =

S ϕ ϕ ϕ

( ) ^t

ϕ

∆

ω

R V =

r

Ruch po okr ę gu-zwi ą zki ogólne

ϕ

R

ϕ ω

ϕ ϕ

dt R R d

R t t

R t

S dt

V dS

t t

t

=

=

∆ =

= ∆

∆

= ∆

∆

= ∆

=

∆

lim

→0 ∆

lim

→0 ∆

lim

→0

r

Ruch jednostajny po okr ę gu Pr ę dko ść k ą towa i szybko ść ciała jest stała

Zale ż no ść k ą ta od czasu

( ) ^{t ϕ ω t}

ϕ = ₀ +

( ⁰ )

0

= ϕ t = ϕ

const R

V

const = =

= ω

ω , ^r

gdzie

Dobieraj ą c odpowiednio osie układu współrz ę dnych mo ż na przyj ąć i ż ϕ

₀

= 0

t t

t t

t = ∆ ) = ( = 0 ) + ( = 0 ) ∆

( ϕ ω

ϕ

const

ω = ∆ t _dowolny

Przyspieszenie k ą towe jest równe zeru ε _{= 0}

t t t

t t

t

∆

=

−

∆

= =

=

∆ →

) 0 (

) lim (

) 0

(

0

ϕ ω ϕ

t

t t

t t

t

∆

−

∆

= +

→

∆

) ( )

lim ( )

(

0

ϕ ω ϕ

x y

( )

t rr

( )

t ϕ

r

R

Ruch jednostajny po okr ę gu

Droga przebyta w tym czasie

f = T ¹

T-okres ruchu, czas potrzebny do wykonania 1 obiegu okr ę gu [s]

T R

R S

R S

ω ϕ

π

=

∆

=

= 2

ω π

= 2 T

Cz ę stotliwo ść (liczba obiegów okr ę gu w jednostce czasu) [Hz=1/s]

π ω

= 2

f

Szybkość ciała jest stała Ale kierunek wektora

prędkości zmienia się stale.

Zatem prędkość zmienia się stale, czyli mamy

niezerowe przyspieszenie

Z podobie ń stwa trójk ą tów BCD i ABO

R r V

V r

r r

= ∆

∆

Rozpatrzmy ruch w trakcie ∆ t → 0

R t V V

V ∆

∆ =

r r

r

R V t

V ²

r r

∆ =

∆

R

R V t

V t

a V

a

d t t

2 2

0

0

lim

lim = = ω

∆

= ∆

∆

= ∆

=

∆ → ∆ →

r r r

r r

Przyspieszenie do ś rodkowe w ruchu jednostajnym po okr ę gu

OA AB BD

BC =

r

( ) ^t

V r

(

^{t t}

)

V +∆ r

( ^{t t} ) ^V ( ) ^t

V V

r r

r

−

∆ +

=

∆

O A

B

C

D

( ) ^t

V r

−

r r

∆

( ) ^t

r r

( ^{t t} )

r r + ∆

V t

t V t

V

ozn

r r

r

.

) (

)

( = + ∆ =

Wektor przyspieszenia do ś rodkowego jest skierowany w kierunku ś rodka okr ę gu po którym porusza si ę ciało

R

t V S

r = = ∆

∆ r r

const V =

r

Przyspieszenie jest sumą przyspieszenia normalnego (dośrodkowego) i stycznego a r a r

_d

a r

_s

+

=

t a V

t t

∆

= ∆

→

∆

lim

0 t

t

s

a e

a r r

= gdzie

a r s

a r d

V r

0 ,

,

.

≠

=

≠

≠

= dt

const d const

V V

ozn

ω

ε r ω

Ruch po okr ę gu ze zmienn ą szybko ś ci ą (warto ś ci ą pr ę dko ś ci)

Gdy a

_t

>0 ( szybko ść ro ś nie)

to zwrot zgodny ze zwrotem Gdy a

_t

<0 (szybko ść maleje)

to ma zwrot przeciwny ni ż a ^r

s

a ^r

s

V r

V r

a r

a r

a r s

> 0 dt dV

< 0 dt dV

d

n

a

a r r

= a r

_s

V e

_t

V r

r r =

2 2

2

a a

a r

_d

r

_s

r

= +

R a r

_s

= ε

R R V

a

_d

2 2

=

= ω

r

const dt

d =

= ω

ε

( ) ^{t ω ε t}

ω = ₀ +

( ) 2

2 0

0

t t

t ϕ ω ε

ϕ = + +

gdzie ^ω ₀ ^{= ω} ( ^{t = 0} ) ^{, ϕ} ₀ ^{= ϕ} ( ^{t = 0} ) ^,

Ruch jednostajnie zmienny po okr ę gu

Wzory analogiczne do tych obowi ą zuj ą cych w ruchu jednostajnie

zmiennym wzdłu ż osi x po zast ą pieniu a

_x

→ ε , V

_x

→ ω , x → ϕ

V r

. _ω^r

O x

y

, oś OZ,

ϕ

k r

V r

ω^r

O x

y

ϕ

Pr ę dko ść k ą towa jako wektor

Wektor prędkości kątowej ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu (prostopadłym do płaszczyzny rysunku). Zwrot wektora prędkości kątowej można ustalić przy pomocy reguły prawej ręki. Gdy palce prawej ręki wskazują kierunek obiegu ciała po okręgu, to prawy kciuk wskazuje zwrot wektora prędkości kątowej.

> 0 ω

] , 0 , 0

[ ω

ω

ω = k = r r

< 0 ω

ω ω r =

dt

d ϕ

ω =

V r

. _ε^r

O x

y

, oś OZ,

ϕ

k r

Przyspieszenie k ą towe jako wektor

Zakładamy iż płaszczyzna okręgu nie ulega zmianie w czasie.

Wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest taki sam jak

prędkości kątowej gdy szybkość ciała rośnie i przeciwny gdy szybkość ciała maleje.

> 0 dt

d ω ^{ε = ω = ω = [ 0 , 0 , ω ] =} [ ^{0 , 0 , ε} ]

dt k d

dt d dt

d r r

r

V r

ε^r

O x

y

ϕ

< 0

dt

d ω