REGULATOR UŁAMKOWY PIαααα

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 46, ISSN 1896-771X

141

REGULATOR UŁAMKOWY PI ^α ^α ^α ^α

W STEROWANIU RUCHEM PODŁUŻNYM SAMOLOTU W WARUNKACH

ZEWNĘTRZNYCH ZAKŁÓCEŃ

Krzysztof Kamil Żur

^1,2a

1

Katedra Zarządzania Produkcją, Wydział Zarządzania, Politechnika Białostocka, ul. Ojca Stefana Tarasiuka 2, 16-001 Kleosin

2

Zakład Inżynierii Produkcji, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka, ul. Wiejska 45c, 15-351 Białystok

e-mail:

^a

k.zur@pb.edu.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono układ sterowania kątem pochylenia samolotu, odbywającego lot podłużny, zakłócony modelem turbulencji Drydena. Rolę automatycznego pilota w układzie sterowania spełnia regulator ułamkowy PI^α. Model układu sterowania oraz badania symulacyjne wykonano w środowisku programu Matlab-Simulink.

Przedstawiono wady i zalety regulatora ułamkowego PI oraz porównano go z klasycznym regulatorem PI na przykładzie układu sterowania lotem podłużnym samolotu w warunkach zewnętrznych zakłóceń.

Słowa kluczowe: Sterowanie, model turbulencji Drydena, regulator ułamkowy, ruch podłużny samolotu

FRACTIONAL ORDER REGULATOR PI

^α^α^α^α

IN ANALYSIS OF CONTROL OF LONGITUDINAL FLIGHT OF AIRPLANE IN TURULENCE CONDITIONS

Summary

Angle of pitch control system of airplane disturbed by model Drydena in longitudinal movement was shown in the paper. Unconventional fractional order controller PI in control system was designed in order auto-pilot. All simulation investigations was made by using Matlab-Simulink software. Finally, advantages and disadvantages above controller was shown in automatic control system angle of pitch.

1. WSTĘP

Projektując automatyczny układ sterowania ruchem podłużnym samolotu, trzeba brać pod uwagę wiele warunków spełniających wysokie kryteria jakości oraz dokładności, jakie są niezbędne podczas wykonywania zadań specjalnych.

Biorąc pod uwagę właściwości mechaniki lotu samolotu, można dostać największe możliwości projektowe, gdy układ automatycznego sterowania kątem pochylenia samolotu wykazuje niewielkie przeregulowania (5%) oraz krótki czas regulacji (3÷5s) [5,9].

Mając układ spełniający powyższe wymagania jakości regulacji, można zbudować nadrzędne układy sterowania takie jak układ sterowania kątem toru lotu, prędkością lotu oraz wysokością lotu, które tworzą całościową strukturę układu sterowania ruchem podłużnym samolotu.

(2)

142

Najważniejszą rolę w układach sterowania pełni automatyczny pilot, którego odpowiednikiem w UAR jest regulator.

W wielu pracach [1], [2] stosowano klasyczne regulatory proporcjonalno - całkujące PI lub proporcjonalno - różniczkujące PD. W ostatnim czasie pojawiły się niekonwencjonalne regulatory ułamkowego rzędu [11], najczęściej stosowane w układach elektrycznych [3].

2. UKŁAD STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU PODCZAS ZEWNĘTRZNYCH ZAKŁÓCEŃ

Sterowanie kątem pochylenia samolotu ma kluczowe znaczenie w ogólnym sterowaniu ruchem podłużnym samolotu, gdyż jakość sterowania kątem pochylenia samolotu decyduje o jakości sterowania prędkością lotu, wysokością lotu oraz kątem toru lotu.

Układ ten stanowi podukład całościowej struktury sterowania ruchem podłużnym samolotu, na którym buduje się strukturę sterowania pozostałymi zmiennymi lotu. Chcąc zbudować układ sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba w pierwszej kolejności zbudować ogólny model symulacji ruchu podłużnego. Równania opisujące ruch podłużny samolotu, wyprowadzone z ogólnych równań ruchu zawartych w pracy [1,6,7], mają postać:

( ) ( )

0 u g w g δp p

g

u g w g dw q δp p

dt

du + g υ cosΘ = X u - u + X w - w + X δ , dt

dw +q u = Z u - u + Z w - w + Z δ , dt

dq dw dw

= M u - u + M w - w + M - + M q + M δ ,

dt dt dt

dυ = q, dt

⋅ ⋅

⋅

 

 

 

∑

⁽¹⁾

gdzie:

du dt

- przyrost prędkości poziomej samolotu [m/s²],

dw dt

- przyrost prędkości pionowej samolotu [m/s²],

dt dq

-

przyrost prędkości kątowej pochylenia samolotu [rad/s²],

dυ dt

- przyrost kąta pochylenia samolotu [rad/s], Θ0 - kąt pochylenia w locie ustalonym [rad], ug - prędkość podmuchu poziomego wiatru [m/s], wg - prędkość podmuchu pionowego wiatru [m/s], Xu, Xw, Xδp, Zu, Zw, Zδp, Mu, Mw, Mdw/dt, Mq, Mδp, - wymiarowe pochodne aerodynamiczne, δp

= [δH, δT]; δH - wychylenie steru wysokości [^o], δT - położenie dźwigni ciągu [%].

Równania (1) można po niewielkich przekształceniach zapisać w postaci równań stanu [9] dla ruchu podłużnego samolotu poddanemu zewnętrznym zakłóceniom [1]:

u w 0 δH δT

u w 0 0 δH δT H

u w q δH δT T

du

dt u

X X 0 -g cosΘ X X

dw

Z Z u -g sinΘ w Z Z δ macierz wektor

dt = + +

dq M M M 0 q M M δ zakłóceń zakłóceń

dt 0 0 1 0 0 0

υ dυ

dt

 

   

   ⋅     

       

   ⋅  ⋅     ⋅      ⋅

                 

       

           

     

 

 

 .

 

(2)

Model turbulencji Drydena jest uproszczoną formą modelu turbulencji Theodore von Karmana i jego gęstość spektralna mocy wyraża się wzorem [2,7]:

( )

2 2 2

D R 2 2 2

σ L 1 + 3L Ω

Φ Ω = ,

π ⋅ (1 + L Ω )

⁽³⁾

(3)

gdzie: Ω =

samolotu w locie ustalonym, L - wysokość atmosfery, w której

wg modelu Drydena poprzez generator białego parametrów podmuchu (

Wzory transmitancji Drydena mają postać [2

gdzie:

Przykładowe przebiegi czasowe sygnału podmuchu poziomego u Drydena dla

odchylenia standardowego

= ω/u0 - częstotliwość uogólniona, wyrażona ilorazem gęstości spektralnej mocy turbulencji i prędkości samolotu w locie ustalonym,

wysokość atmosfery, w której

wg modelu Drydena poprzez generator białego parametrów podmuchu (rys. 1).

Rys. 1. Ogólny schemat generatora

transmitancji filtrów dla odpowiednich składowych wektora atmosfery Drydena mają postać [2,7]:

Przykładowe przebiegi czasowe sygnału podmuchu poziomego u (teoretyczne wartości) prędkości wiatru

odchylenia standardowego

Rys. 2.

częstotliwość uogólniona, wyrażona ilorazem gęstości spektralnej mocy turbulencji i prędkości samolotu w locie ustalonym,

wysokość atmosfery, w której wystąpił podmuch. Autor wg modelu Drydena poprzez generator białego

ys. 1).

Ogólny schemat generatora

filtrów dla odpowiednich składowych wektora atmosfery ]:

G (s) = K ,

K = ,

0 v 0 0

v v v

K = 3U ,

πL L

w w w

w 0 w

K = 3σ ,

πL U L

σu = σν = σw

Przykładowy przebieg czasowy poziomego podmuchu wiatru wg modelu Drydena Krzysztof Kamil Żur

częstotliwość uogólniona, wyrażona ilorazem gęstości spektralnej mocy turbulencji i prędkości samolotu w locie ustalonym, σ

wystąpił podmuch. Autor

wg modelu Drydena poprzez generator białego szumu oraz filtr liniowy o odpowiedniej transmitancji, zależnej od

Ogólny schemat generatora poziomego podmuchu wiatru u

filtrów dla odpowiednich składowych wektora atmosfery

u u

G (s) = K ,

v v

G (s) = K ,

w w

G (s) = K ,

2

0 u 0

u u

K = 2U σ ,

πL L

2

0 v 0 0

v v v

v v

K = 3U σ , λ = ,

πL L

2

w 0 0

w w w

w 0 w

K = σ , λ = ,

πL U L

w = 7 m/s przedstawia rys

Przykładowy przebieg czasowy poziomego podmuchu wiatru wg modelu Drydena Krzysztof Kamil Żur

143

częstotliwość uogólniona, wyrażona ilorazem gęstości spektralnej mocy turbulencji i prędkości - odchylenie standardowe prędkości powietrza, wystąpił podmuch. Autorzy prac

szumu oraz filtr liniowy o odpowiedniej transmitancji, zależnej od

poziomego podmuchu wiatru u

u u

u

G (s) = K 1 , s + λ

⋅

v

v v 2

v

s + β

G (s) = K ,

(s + λ )

⋅

w

w w 2

w

s + β

G (s) = K ,

(s + λ )

⋅

2

0 u 0

u u

σ U

K = , λ = ,

L L

0 v 0 0

v v v

v v

U U

λ = , β

L L

w 0 0

w w w

w 0 w

U U

λ = , β

L U L

Przykładowe przebiegi czasowe sygnału podmuchu poziomego u (teoretyczne wartości) prędkości wiatru U0 = 21 m/s,

= 7 m/s przedstawia rys.2 oraz rys

Przykładowy przebieg czasowy poziomego podmuchu wiatru wg modelu Drydena Krzysztof Kamil Żur

częstotliwość uogólniona, wyrażona ilorazem gęstości spektralnej mocy turbulencji i prędkości odchylenie standardowe prędkości powietrza,

zy prac [2,6,7] proponują wygenerować sygnał

poziomego podmuchu wiatru ug(s) wg modelu Drydena

G (s) = K ,

λ

G (s) = K β ,

λ

2

G (s) = K β ,

λ )

0 u 0

u u

= ,

0 v 0 0

v v v

v

U U

β = ,

3L

w 0 0

w w w

w

U U

β = .

3L

Przykładowe przebiegi czasowe sygnału podmuchu poziomego ug i pionowego w

= 21 m/s, długości fali 2 oraz rys.3.

Przykładowy przebieg czasowy poziomego podmuchu wiatru wg modelu Drydena

roponują wygenerować sygnał

(s) wg modelu Drydena

V

_g

= [ u

_g

= .

i pionowego wg według modelu turbulencji długości fali Lu = L

roponują wygenerować sygnał turbulencji szumu oraz filtr liniowy o odpowiedniej transmitancji, zależnej od

(s) wg modelu Drydena

] w , ,

_g _g

g

ν

w

według modelu turbulencji

= Lν = Lw = 750 m oraz

turbulencji szumu oraz filtr liniowy o odpowiedniej transmitancji, zależnej od

wg modelu

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

według modelu turbulencji

= 750 m oraz

(4)

Mając model turbulencji Drydena zapisać je w postaci:

du

dt X X 0 -g cos

dw dt

dq M M M 0 M M

dt dυ dt

 

 

     

     

  =   ⋅   ⋅

     

         

 

 

gdzie ug, wg -

Ogólny model ruchu podłużnego samolotu zakłóconego modelem turbulencji Drydena przedstawia rys

Rys. 4.

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego (rys. 4) uzupełnić mechanizmem

Rys. 3.

Mając model turbulencji Drydena zapisać je w postaci:

u w 0

u w 0 0

u w q

X X 0 -g cos

Z Z u -g sin

M M M 0 M M

0 0 1 0 0 0

   

   

=   ⋅   ⋅

   

   

- odpowiednio podmuch poziomy i pionowy modelu turbulencji Drydena.

Rys. 4. Ogólny model symulacji ruchu podłużnego samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń wykonany w programie

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego ys. 4) uzupełnić mechanizmem

Przykładowy przebieg czasowy pionowego podmuchu wiatru wg modelu Drydena Mając model turbulencji Drydena, moż

u w 0

u w 0 0

u w q

X X 0 -g cos

Z Z u -g sin

M M M 0 M M

0 0 1 0 0 0

 ⋅   

   

 ⋅   

=   ⋅   ⋅

   

   

odpowiednio podmuch poziomy i pionowy modelu turbulencji Drydena.

Ogólny model symulacji ruchu podłużnego samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń wykonany w programie

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego ys. 4) uzupełnić mechanizmem wykonawczym: prędkościowym lub pozycyjnym

Przykładowy przebieg czasowy pionowego podmuchu wiatru wg modelu Drydena

można umieścić go w ogólnych równaniach stanu ruchu podłużnego (2) oraz

u w 0

u w 0 0

X X 0 -g cosΘ u

Θ w macierzy

+ +

M M M 0 M M

q

0 0 1 0 0 0

υ

   

   

     

=   ⋅     ⋅

     

   

   

Ogólny model symulacji ruchu podłużnego samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń wykonany w programie Matlab

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego wykonawczym: prędkościowym lub pozycyjnym

144

umieścić go w ogólnych równaniach stanu ruchu podłużnego (2) oraz

δH δT

X X

Z Z

w macierzy

+ +

M M M 0 M M

0 0 1 0 0 0

   

   

=   ⋅   ⋅

   

   

Ogólny model symulacji ruchu podłużnego samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń wykonany w programie Matlab-Simulink

δT

δT H

δT T

wspó δ

w macierzy

+ +

δ zak

Drydena

0 0 1 0 0 0

    

      

   

=   ⋅     ⋅  

   

    

   

 

współczynniki

w macierzy

zakłóceń Drydena







 

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego (rys.5).

łczynniki

g g

u w ,



  

  ⋅  

     

 



Ogólny model ruchu podłużnego samolotu zakłóconego modelem turbulencji Drydena przedstawia rys. 4.

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego umieścić go w ogólnych równaniach stanu ruchu podłużnego (2) oraz

(10)

4.

Chcąc zbudować model układu sterowania kątem pochylenia samolotu, trzeba ogólny model ruchu podłużnego

(5)

Automatyczny pilot za pomocą

w odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał sterujący na podstawie sygnału uchybu regulacji.

Kolejnym bardzo ważnym e

współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1

Jako tłumik

wynikł z faktu, iż regulator PI ma właściwości filtru dolnoprzepustowego, eliminującego wysokoczęstotliwościowe składowe sygnał

3. REGULATOR UŁAMKOWY PI

Regulator ułamkowy PI

gdzie: Kp, Ki

Wykładnik potęgi zero lub jeden

regulator proporcjonalno

bardzo niewygodna w zapisie. Trzeba zastosować wzór

(

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

gdzie: a - punkt pracy układu, R

W regulatorze ułamkowym PI rozwinięcie operatora zespolonego dla PI^0,2 przedstawia rys

Rys. 5. Ogólny model symulacji automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń, wykonany w programie Matlab

Automatyczny pilot za pomocą

odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał sterujący na podstawie sygnału uchybu regulacji.

Kolejnym bardzo ważnym e

współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1

tłumik pochylenia, tak jak w przypadku automatycznego pilota,

wynikł z faktu, iż regulator PI ma właściwości filtru dolnoprzepustowego, eliminującego wysokoczęstotliwościowe składowe sygnałów.

REGULATOR UŁAMKOWY PI

Regulator ułamkowy PI

gdzie: Kp, Ki - współczynniki wzmocnienia, s

Wykładnik potęgi α musi mieć należeć do zbioru liczb z przedziału (0,

zero lub jeden, odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny regulator proporcjonalno-całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest bardzo niewygodna w zapisie. Trzeba zastosować wzór

) ( )

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

punkt pracy układu, R

W regulatorze ułamkowym PI ie operatora zespolonego dla przedstawia rys. 7.

Ogólny model symulacji automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu w środowisku zewnętrznych zakłóceń, wykonany w programie Matlab

Automatyczny pilot za pomocą mechanizmu, przy zadanej wartości kąta pochylenia, ustawia ster wysokości odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał sterujący na podstawie sygnału uchybu regulacji.

Kolejnym bardzo ważnym elementem jest tłumik pochylenia samolotu, który ma na celu zwiększenie współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1

pochylenia, tak jak w przypadku automatycznego pilota,

wynikł z faktu, iż regulator PI ma właściwości filtru dolnoprzepustowego, eliminującego wysokoczęstotliwościowe

REGULATOR UŁAMKOWY PI

Regulator ułamkowy PI^α zapisuje się transmitancją o postaci [3

G (s) = Kp + ,

współczynniki wzmocnienia, s

musi mieć należeć do zbioru liczb z przedziału (0,

odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest bardzo niewygodna w zapisie. Trzeba zastosować wzór

( ) ( x -a ) x -a x -a

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

1! 2! n!

′ ′′

punkt pracy układu, Rn(x, a) -

W regulatorze ułamkowym PI^α nastawi ie operatora zespolonego dla α

Krzysztof Kamil Żur

mechanizmu, przy zadanej wartości kąta pochylenia, ustawia ster wysokości odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał sterujący na podstawie sygnału uchybu regulacji.

lementem jest tłumik pochylenia samolotu, który ma na celu zwiększenie współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1

REGULATOR UŁAMKOWY PI

zapisuje się transmitancją o postaci [3

PIα

G (s) = Kp + ,

współczynniki wzmocnienia, s^α - operator Laplace’a podniesiony do potęgi

odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest bardzo niewygodna w zapisie. Trzeba zastosować wzór

( ) (

x - a x - a x -a

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

1! 2! n!

′ ′′

- reszta rozwinięcia szeregu Taylora.

nastawiono parametry współczyn α = 0,2 przedstawia rys

145

mechanizmu, przy zadanej wartości kąta pochylenia, ustawia ster wysokości odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał

lementem jest tłumik pochylenia samolotu, który ma na celu zwiększenie współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1

REGULATOR UŁAMKOWY PI

^α^α^α^α

zapisuje się transmitancją o postaci [3

α

G (s) = Kp + Ki , s

operator Laplace’a podniesiony do potęgi

odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest bardzo niewygodna w zapisie. Trzeba zastosować wzór na szereg Taylora o postaci

)

² ⁿ

x - a x - a x -a

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

1! 2! n!

reszta rozwinięcia szeregu Taylora.

parametry współczyn

= 0,2 przedstawia rys. 6, a ogólny schemat blokowy regulatora ułamkowego Krzysztof Kamil Żur

lementem jest tłumik pochylenia samolotu, który ma na celu zwiększenie współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera wysokoczęstotliwościowe składowe wywołane drganiami sprężystymi samolotu [1,2,6

pochylenia, tak jak w przypadku automatycznego pilota, wybrano

zapisuje się transmitancją o postaci [3,5]:

G (s) = Kp + ,

operator Laplace’a podniesiony do potęgi

musi mieć należeć do zbioru liczb z przedziału (0,1) [5,8

odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest

na szereg Taylora o postaci

( )

( ) (

2 n

x -a x -a

n

x - a

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

1! 2! n!

reszta rozwinięcia szeregu Taylora.

parametry współczynników wzmocnienia: Kp oraz Ki.

6, a ogólny schemat blokowy regulatora ułamkowego Ogólny model symulacji automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu

w środowisku zewnętrznych zakłóceń, wykonany w programie Matlab-Simulink

lementem jest tłumik pochylenia samolotu, który ma na celu zwiększenie współczynnika tłumienia drgań krótkookresowych. Sygnał prędkości kątowej pochylenia samolotu zawiera

,2,6].

wybrano regulator ułamkowy PI

operator Laplace’a podniesiony do potęgi α.

1) [5,8], ponieważ

odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest

na szereg Taylora o postaci [10]:

2

)

n

x -a x -a x - a

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

1! 2! n!

ników wzmocnienia: Kp oraz Ki.

6, a ogólny schemat blokowy regulatora ułamkowego Ogólny model symulacji automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu

regulator ułamkowy PI

], ponieważ α przyjmując wartość odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest

f x = f a +f a +f a +...+f a + R (x,a),

ników wzmocnienia: Kp oraz Ki. Przykładowe 6, a ogólny schemat blokowy regulatora ułamkowego mechanizmu, przy zadanej wartości kąta pochylenia, ustawia ster wysokości odpowiednim położeniu. Rolę automatycznego pilota w UAR pełni regulator, który generuje odpowiedni sygnał

α. Wybór wynikł z faktu, iż regulator PI ma właściwości filtru dolnoprzepustowego, eliminującego wysokoczęstotliwościowe

(11)

zyjmując wartość odpowiednio przekształca regulator ułamkowy w regulator klasyczny proporcjonalny lub klasyczny całkujący. Transmitancja z ułamkiem w wykładniku potęgi operatora zespolonego jest

(12)

Przykładowe 6, a ogólny schemat blokowy regulatora ułamkowego

(6)

Rys. 6. Schemat blokowy rozwinięcia Schemat blokowy rozwinięcia

Rys. 7. Schemat blokowy regulatora ułamkowego PI Schemat blokowy rozwinięcia s⁻¹

Schemat blokowy regulatora ułamkowego PI 5

1

w szereg Taylora siedemnastego stopnia, wykonany w programie

Schemat blokowy regulatora ułamkowego PI

146

Schemat blokowy regulatora ułamkowego PI^0,2 wykonany w programie

wykonany w programie

wykonany w programie Matlab-Simulink

w szereg Taylora siedemnastego stopnia, wykonany w programie Matlab-Simulink

Simulink

(7)

4. BADANIA SYMU

POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone na ,,Koliber” (rys. 9).

Współczynniki macierzy stanu i sterowania (wymiarowe pochodne aerodynamiczne) opracowan Awioniki i Sterowa

wykorzystującego 71,2% mocy zespołu napędowego.

Autor wprowadził dodatkowo do przestrzeni stanu

pionowego i poziomego podmuchu wiatru, występującego na wysokości lotu ,,Kolibra” o odchyleniu standardowym

= σw = 7 m/s.

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI siedemnastego stopnia. Wartością zadan

Regulator ułamkowy ma bardzo szybki czas narastania (1,5 s), jednakże nie osiąga wartości ustalonej (rys.10).

Prawdopodobnie jest to spowodowane rozwinięciem stopnia.

Rys. 10. Odpowiedzi automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu PZL

(z regulatorem ułamkowym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia

BADANIA SYMU

POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone na ys. 9).

Współczynniki macierzy stanu i sterowania (wymiarowe pochodne aerodynamiczne) opracowan

Awioniki i Sterowania na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m, wykorzystującego 71,2% mocy zespołu napędowego.

go i poziomego podmuchu wiatru, występującego na wysokości lotu ,,Kolibra” o odchyleniu standardowym

= 7 m/s.

Prawdopodobnie jest to spowodowane rozwinięciem

BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone na

Rys. 9. Samolot sportowo

nia na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m, wykorzystującego 71,2% mocy zespołu napędowego.

Prawdopodobnie jest to spowodowane rozwinięciem

(z regulatorem ułamkowym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia Krzysztof Kamil Żur

LACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone na

Rys. 9. Samolot sportowo

nia na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m, wykorzystującego 71,2% mocy zespołu napędowego.

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI siedemnastego stopnia. Wartością zadaną jest kąt pochylenia

Prawdopodobnie jest to spowodowane rozwinięciem operatora Laplace’a

(z regulatorem ułamkowym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia Krzysztof Kamil Żur

147

LACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone na przykładzie samolotu sportowo

Rys. 9. Samolot sportowo-szkoleniowy PZL

nia na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m,

Autor wprowadził dodatkowo do przestrzeni stanu [9] samodzielnie opracowany model turbulencji Drydena dla go i poziomego podmuchu wiatru, występującego na wysokości lotu ,,Kolibra” o odchyleniu standardowym

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI ą jest kąt pochylenia samolotu

operatora Laplace’a

(z regulatorem ułamkowym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia Θ = 1,6⁰

LACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

przykładzie samolotu sportowo

szkoleniowy PZL-110 ,,Koliber” [4]

samodzielnie opracowany model turbulencji Drydena dla go i poziomego podmuchu wiatru, występującego na wysokości lotu ,,Kolibra” o odchyleniu standardowym

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI samolotu Θ = 1,6°

operatora Laplace’a s^0,2 w szereg Taylora tylko do siedemnastego

LACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

przykładzie samolotu sportowo-szkoleniowego PZL

110 ,,Koliber” [4]

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI

°.

w szereg Taylora tylko do siedemnastego

LACYJNE UKŁADU STEROWANIA KĄTEM POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

szkoleniowego PZL

Współczynniki macierzy stanu i sterowania (wymiarowe pochodne aerodynamiczne) opracowano w Katedrze nia na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m,

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI

Rys. 10. Odpowiedzi automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu PZL-110 ,,Koliber”

POCHYLENIA SAMOLOTU Z REGULATOREM UŁAMKOWYM PI

^α^α^α^α

szkoleniowego PZL-110

w Katedrze nia na Politechnice Rzeszowskiej. Dane dotyczą lotu podłużnego ,,Kolibra” na wysokości 750 m,

samodzielnie opracowany model turbulencji Drydena dla go i poziomego podmuchu wiatru, występującego na wysokości lotu ,,Kolibra” o odchyleniu standardowym σu

Automatyczny pilot oraz tłumik pochylenia reprezentuje w modelu symulacji regulator ułamkowy PI^0,2

110 ,,Koliber”

(8)

Autor rozwiązał kompensator)

zadaną, nie zmieniając przy tym

,,Koliber” (z regulatorem ułamkowym PI oraz dodatkowym wzmocnieniem K sygnałów sterujących), zakłóconego

Na rys.12 przedstawiono

PI. Wartością zadaną był kąt pochylenia samolotu wynoszący w warunkach zakłóceń

ułamkowym PI

Można stwierdzić, że j

nie wymaga dodatkowego wzmocnienia Autor rozwiązał problem

kompensator) sygnału sterującego zadaną, nie zmieniając przy tym

,,Koliber” (z regulatorem ułamkowym PI oraz dodatkowym wzmocnieniem K sygnałów sterujących), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia

przedstawiono

PI. Wartością zadaną był kąt pochylenia samolotu wynoszący w warunkach zakłóceń atmosfery

ułamkowym PI^α.

Rys. 12. Odpowiedzi automatycznego układu sterowania kątem pochyleni

(z regulatorem klasycznym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena,

Można stwierdzić, że jakość regulacji ukła nie wymaga dodatkowego wzmocnienia

problem nieosiągnięcia wartości ustalonej

sygnału sterującego wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość zadaną, nie zmieniając przy tym krótkiego czasu narastania (1,5 s) i czasu regulacji (1,8 s) (

wyniki symulacji układu sterowania kątem pochylenia

PI. Wartością zadaną był kąt pochylenia samolotu wynoszący

atmosfery identycznych jak w symulacji układu sterowania kątem pochylenia z regulatorem

akość regulacji ukła nie wymaga dodatkowego wzmocnienia

nieosiągnięcia wartości ustalonej

wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość krótkiego czasu narastania (1,5 s) i czasu regulacji (1,8 s) (

identycznych jak w symulacji układu sterowania kątem pochylenia z regulatorem

(z regulatorem klasycznym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia

akość regulacji układu sterowania

w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym

148 nieosiągnięcia wartości ustalonej

wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość krótkiego czasu narastania (1,5 s) i czasu regulacji (1,8 s) (

(z regulatorem klasycznym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia

sterowania z regulatorem klasycznym PI (rys. 12)

w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym poprzez użycie dodatkowego wzmocnienia wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość krótkiego czasu narastania (1,5 s) i czasu regulacji (1,8 s) (

Rys. 12. Odpowiedzi automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu PZL (z regulatorem klasycznym PI), zakłóconego modelem turbulencji Drydena,

na wartość zadaną kąta pochylenia Θ = 2°

z regulatorem klasycznym PI (rys. 12)

w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym poprzez użycie dodatkowego wzmocnienia wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość krótkiego czasu narastania (1,5 s) i czasu regulacji (1,8 s) (rys. 11).

,,Koliber” (z regulatorem ułamkowym PI oraz dodatkowym wzmocnieniem K sygnałów sterujących), zakłóconego modelem turbulencji Drydena, na wartość zadaną kąta pochylenia Θ = 1,6

wyniki symulacji układu sterowania kątem pochylenia samolotu z regulatorem klasycznym PI. Wartością zadaną był kąt pochylenia samolotu wynoszący

a samolotu PZL-110 ,,Koliber”

z regulatorem klasycznym PI (rys. 12)

w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym poprzez użycie dodatkowego wzmocnienia wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość

ys. 11).

Rys. 11. Odpowiedzi automatycznego układu sterowania kątem pochylenia samolotu PZL-110

= 1,6°

samolotu z regulatorem klasycznym PI. Wartością zadaną był kąt pochylenia samolotu wynoszący Θ

110 ,,Koliber”

z regulatorem klasycznym PI (rys. 12) jest lepsza, gdyż w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym poprzez użycie dodatkowego wzmocnienia (jako wychodzącego z automatycznego pilota, co w wyniku pozwoliło osiągnąć wartość

samolotu z regulatorem klasycznym

= 2°, identycznych jak w symulacji układu sterowania kątem pochylenia z regulatorem

lepsza, gdyż w postaci kompensatora o zmiennym wzmocnieniu (wywołanym zmiennym

(9)

149

sygnałem wejściowym i zakłóceniem) oraz osiąga w podobnie krótkim czasie wartość zadaną. Przy doborze odpowiednich nastaw regulatora klasycznego PI układ nie wykazuje żadnego przeregulowania.

5. WNIOSKI

Regulator ułamkowy PI^α wykazuje podczas symulacji bardzo krótki czas narastania (1,5 s) oraz krótki czas regulacji (~2 s). Sygnał w granicach 2s znajduje się w polu tolerancji, wynoszącym 5% wartości zadanej. Wadą regulatora jest nieosiągnięcie wartości ustalonej bez dodatkowego wzmocnienia. Można wysunąć hipotezę, że prawdopodobnie jest to spowodowane rozwinięciem operatora Laplace’a w szereg Taylora tylko do siedemnastego rzędu. Być może rozwijając operator Laplace’a do około setnego rzędu (mimo wielkiego nakładu obliczeniowego), sygnał osiągnąłby wartość zadaną bez dodatkowego wzmocnienia, utrzymując przy tym krótki czas narastania i regulacji. Można zastanowić się nad wyborem ułamka w wykładniku zmiennej zespolonej, gdyż także ułamek może mieć znaczenie w jakości regulacji. W badaniach symulacyjnych regulator klasyczny PI wystarczająco tłumi zakłócenia wywołane modelem Drydena i nie wymaga skomplikowanych obliczeń matematycznych.

Literatura

1. Bociek S., Gruszecki J.: Układy sterowania automatycznego samolotem. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1999. .

2. Mclean D.: Automatic Flight Control System. New York: Prentice-Hall, 1990.

3. Yangquan Ch., Ivo P., Dingyu X.: Fractional Order Control. American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA 2009.

4. http://www.lotnictwo.net.pl.

5. Brzózka J.: Ćwiczenia z automatyki w Matlabie i Simulinku. Warszawa: MIKOM, 1997.

6. Etkin B.: Dinamika poljota. Moskwa: Maszynostrojenije, 1964.

7. Etkin B.: The turbulant wind and its effect on flight. University of Toronto Institute for Aerospace Review 1980, No 44.

8. Osiowski J.: Zarys rachunku operatorów. Warszawa: WNT, 1965.

9. Ogata K.: Metoda przestrzeni stanów w teorii sterowania. Warszawa: WNT, 1974.

10. Trajdos-Wróbel T.: Matematyka dla inżynierów. Warszawa: WNT, 1965.

11. Kaczorek K.: Wybrane zagadnienia teorii układów niecałkowitego rzędu. Białystok: Ofic. Wyd. Pol.

Białostockiej, 2009.

Proszę cytować ten artykuł jako:

Żur K. K.: Regulator ułamkowy PI

^α

w sterowaniu ruchem podłużnym samolotu w warunkach

zewnętrznych zakłóceń. „Modelowanie Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 141 – 149.

REGULATOR UŁAMKOWY PIαααα