Alfabety, łańcuchy i języki.

(1)

Alfabety, łańcuchy i języki.

DefiDicje podstawowe

Alfabet – dowolny skończony i niepusty zbiór symboli Σ Łańcuch (słowo) nad danym alfabetem Σ – dowolny skończony ciąg elementów zbioru Σ^.

Σ – zbiór wszystkich słów nad alfabetem * Σ^.

Długość w – liczba symboli alfabetu w słowie w.

Słowo puste ε – ciąg długości 0, jest to słowo nad każdym alfabetem.

Podsłowo. Słowo u jest podsłowem słowa v∈∈∈∈Σ^*, jeżeli istnieją słowa x,y∈∈∈∈Σ^*, takie że v ==== xuy.

Prefiks. Słowo u jest prefiksem słowa v∈∈∈∈Σ^*, jeżeli istnieje słowo y∈∈∈∈Σ^*, takie że v ====uy.

Sufiks. Słowo u jest sufiksem słowa v∈∈∈∈Σ^*, jeżeli istnieje słowo x∈∈∈∈Σ^*, takie że v ==== xu.

(2)

Operacje wykoDywaDe Da słowach.

•••• KoDkateDacja (złożeDie)

Konkatenacją dwóch łańcuchów jest łańcuch powstały przez wypisanie pierwszego z nich a następnie drugiego:

jeżeli w a Ka_n

==== 1 i v b Kb_m

==== 1 , to wv a Ka_nb Kb_m

1

==== 1 .

Łańcuch pusty jest jedynką dla operatora konkatenacji:

w w

w ==== ε ====

ε .

Działanie konkatenacji jest łączne:

(((( ))))

^uw ^v ⁼⁼⁼⁼ ^u

(((( ))))

^wv

•••• TraDspozycja (odwrotDość).

Jeżeli w a Ka_n

==== 1 , to w^R ==== a_nKa₁^.

( )

^uw ^R ⁼ ^w^R^u^R

w w^RR ₌₌₌₌

ε ε ^R ====

• PotęgowaDie.

w⁰ ==== ε

wⁿ⁺⁺⁺⁺¹ ₌₌₌₌ wⁿw

m n m

nw w

w ₌₌₌₌ ⁺⁺⁺⁺

(3)

Językiem Dad alfabetem

_Σ

nazywamy dowolny podzbiór L zbioru

_Σ^*

wszystkich słów nad tym alfabetem.

Operacje wykoDywaDe Da językach.

•••• Operacje teoriomDogościowe:

2

1 L

L ∪∪∪∪ – suma

2

1 L

L ∩∩∩∩ – przekrój (część wspólna)

2 1 \ L

L – różnica L

L ==== Σ^* \

−−−− – dopełnienie

•••• TraDspozycja (odwrotDość): ^L^R ⁼⁼⁼⁼

{{{{

^w^R ^:^w^∈^∈^∈^∈^L

}}}}

(((( ))))

^Σ^* ^R ⁼⁼⁼⁼ ^Σ^*

(((( ))))

^L^R ^R ⁼⁼⁼⁼^L

•••• KoDkateDacja:

{{{{

^∈^∈^∈^∈ ^∧^∧∧^∧ ^∈^∈^∈^∈

}}}}

⁼⁼⁼⁼ ^^_ ^∃∃∃∃ ^∃∃∃∃ ⁼⁼⁼⁼ ^^_

==== xy x L y L z ∈∈∈∈ ∈∈∈∈ z xy L

L

L y L

x ₁ ₂

:

: ₁ ₂

2 1

{{{{ }}}} {{{{ }}}}

^L ^L

L ε ==== ε ====

∅

====

∅

====

∅

∅∅

∅ L

L

((((

^L¹^L²

))))

^R ⁼⁼⁼⁼ ^L^R²^L¹^R

(4)

Łączność:

((((

^L¹^L²

)))) (((( ))))

^LL¹ ^L²

L ====

((((

^L¹^L²

))))

^L ⁼⁼⁼⁼ ^L¹

(((( ))))

^L² ^L

Rozdzielczość względem sumy:

((((

^L¹ ^L²

)))) (((( )))) (((( ))))

^LL¹ ^LL²

L ∪∪∪∪ ==== ∪∪∪∪

((((

^L¹ ^∪^∪^∪^∪ ^L²

)))) (((( )))) (((( ))))

^L ⁼⁼⁼⁼ ^L¹^L ^∪^∪^∪^∪ ^L²^L

Rozdzielczość względem sumy indeksowanej rodziny zbiorów:

(((( )))) U

U

I i

i I

i

i LL

L L

∈∈

∈∈∈

∈

 ====



 





(((( )))) U

U

I i

i I

i

i L L L

L

∈∈

 ====



 





Uwaga!

Podobne prawa rozdzielczości nie zachodzą dla iloczynu zbiorów.

(5)

•••• Potęga: ^L⁰ ⁼⁼⁼⁼

{{{{ }}}}

^ε ^,^Lⁿ⁺⁺⁺⁺¹ ⁼⁼⁼⁼ ^Lⁿ^L^.

L x

x x

L _i

n n i

n ==== ∀∀∀∀ ∈∈∈∈

≤≤≤≤

1K :1

m n n

m m

nL L L L

L ==== ==== ⁺⁺⁺⁺

•••• DomkDięcie KleeDe’go:

L x

n x x L

L _i

n n i

n

n ==== ≥≥≥≥ ∧∧∧∧ ∀∀∀∀ ∈∈∈∈

==== ≤≤≤≤ ≤≤≤≤

∞∞

==== 1 1

0

*

U

K : 0

*

*L L

L ====

(((( ))))

^L^* ^* ⁼⁼⁼⁼ ^L^*

((((

^L¹ ^∪^∪^∪^∪ ^L²

))))

^* ⁼⁼⁼⁼

(((( ))))

^L^*¹^L^*² ^*

•••• DomkDięcie dodatDie:

L x

n x x

L

L _i

n n i

n

n ==== >>>> ∧∧∧∧ ∀∀∀∀ ∈∈∈∈

==== ≤≤≤≤ ≤≤≤≤

∞

∞∞

∞

====

++++

1 1 1

0 :

U

K

^L⁺⁺⁺⁺ ⁼⁼⁼⁼ ^L

(((( ))))

^L^*

L L

L⁺⁺⁺⁺ ⁼⁼⁼⁼ ^* ^⇔^⇔^⇔^⇔ ^ε ^∈^∈^∈^∈

Prawa moDotoDiczDości:

L L L L LL

LL L

L₁ ⊂⊂⊂⊂ ₂ ⇒⇒⇒⇒ ₁ ⊂⊂⊂⊂ ₂ ∧∧∧∧ ₁ ⊂⊂⊂⊂ ₂

n

n L

L L

L₁ ⊂⊂⊂⊂ ₂ ⇒⇒⇒⇒ ₁ ⊂⊂⊂⊂ ₂

* 2

* 1 2

1 L L L

L ⊂⊂⊂⊂ ⇒⇒⇒⇒ ⊂⊂⊂⊂