ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE V II (1962)
Kp. Engelking (Warszawa)
Cztery twierdzenia o przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej
W rodzinie podzbiorów prostej В mających miarę Lebesgue’a skoń
czoną wprowadza się relację równoważności przyjmując ( A ~ B ) = (/л(A - B) = 0).
Symbol А —В oznacza różnicę symetryczną zbiorów 4 i B, tj. zbiór ( A - B ) w ( B—A). Zbiór klas abstrakcji relacji ~ stanowi przestrzeń metryczną. Odległość dwu klas (JL) i {B} określa się wzorem
д( {А}, {В}) =:(л( А^В) ,
gdzie fi (A) oznacza miarę Lebesgue’a zbioru A. Łatwo sprawdzić, że tak określona odległość nie zależy od wyboru reprezentantów A i В w klasach {.A} i {B}. W dalszym ciągu, zgodnie z przyjętym zwyczajem, będziemy używać tego samego symbolu na oznaczenie zbioru i klasy zbiorów z nim równoważnych. Wszystkie występujące w dalszym ciągu równości i in
kluzje zbiorów będą rozumiane z dokładnością do zbiorów miary zero.
Oznaczmy zdefiniowaną powyżej przestrzeń przez 90Ł Była ona zbadana najpierw przez Frćcheta [2], [3] i ISTikodyma [5]. Z podstawowymi jej własnościami można zapoznać się z książek Halmosa [4] lub Sikorskiego [6]. Dowodzi się w szczególności, że jest to przestrzeń metryczna ośrod
kowa, zupełna, wypukła i lokalnie wypukła. Ponieważ jest grupą to- pologiczńą ze względu na różnicę symetryczną i ponieważ przesunięcia są w niej izometriami, 99? jest metrycznie jednorodna (tj. dla każdych dwu zbiorów A i В elementów przestrzeni istnieje izometria / przestrzeni na siebie taka, że f ( A) = B).
W analogiczny sposób można skonstruować przestrzeń metryczną dla dowolnego pierścienia z miarą i 1) (8, fi). Okazuje się, że rozpatrując
P) Pierścieniem z miarą ([4], Sec. 41) nazywamy or-pierścień Boole’a 8, na ele
mentach którego określona jest funkcja fi spełniająca zwykłe aksjomaty miary (prze
liczalnie addytywnej) i taka, że fi(F) Ф 0 dla F Ф 0. Pierścień z miarą nazywamy bezatomowym, jeśli 8 nie zawiera atomów, tj. jeśli dla każdego E Ф 0 istnieje 0 Ф F £ E.
Pierścień z miarą nazywamy ośrodkowym, gdy przyporządkowana mu w opisany wy
żej sposób przestrzeń metryczna jest ośrodkowa. Miarę fi będziemy nazywali pólskoń- czoną, jeśli jedność X pierścienia 8 ma miarę nieskończoną, ale daje się przedstawić w postaci sumy przeliczalnej ilości elementów o mierze skończonej.
44 R. E n g e l k i n g
podzbiory mierzalne prostej ograniczamy się jedynie pozornie, jest bowiem prawdziwe (zob. [4], twierdzenie C i ćwiczenie (6), Sec. 41) następujące
Twierdzenie oizometru. Przestrzeń metryczna XI' przyporządkowana w opisany wyżej sposób dowolnemu ośrodkowemu bezatomowemu pierście
niowi (S, у ) z miarą półskończoną (skończoną taką, że p( X) — m) jest izo- metryczna z przestrzenią XI (z podprzestrżenią X lm C złożoną z podzbiorów odcinka (0, m)).
Wynika stąd więc w szczególności (wobec dobrze znanych własności miary Lebesgue’a), że przestrzeń XV przyporządkowana w opisany wyżej sposób dowolnemu podzbiorowi mierzalnemu przestrzeni euklidesowej n -wymiarowej Iin jest izometryczna z gdy miara owego podzbioru jest nieskończona, i z X l m (patrz twierdzenie o izometrii), gdy miara owego podzbioru wynosi m.
Celem tej pracy jest podanie dowodów kilku twierdzeń, anonsowanych w [1], dotyczących metrycznych i topologicznych własności przestrzeni XI.
W dalszym ciągu przez zbiór będziemy zawsze rozumieć mierzalny w sensie Lebesgue’a podzbiór prostej. Zaczniemy od podania dwu definicji.
Dla danego układu zbiorów A x, A 2, ..., Ak i ciągu (ax, a2, ..., ak) złożonego z zer i jedynek przyjmujemy
A( ax, ..., ak) = Ai 1 A 22 ... r\ A kk, gdzie
A 1 — A' = I i - A i A° = A.
Każdy ze zbiorów A( ax, a2, ..., ak) nazywamy składową układu zbiorów -^■l? A 2, ••• > X k.
Dwa układy skończone A x, A 2, . . . , A k oraz B x, B 2, . . . , B k nazy
wamy podobnymi, gdy dla każdego ciągu skończonego (ax, a2, ..., ak) złożonego z zer i jedynek mamy
y [ A ( a x, a2, ... , a*)] = p\_B(au a2, ..., aA)].
Z twierdzenia o izometrii wynika następujący
к к
Lemat 1. JeśliR = U A t = (J Bir A t ^ Af = Вг rs Bj = 0 dla i Ф j
г = 1 г = l
oraz y(Ai) = у(В^ (i = 1, 2, ..., k), to istnieje izometria f przekształcająca XI na siebie taka, że f(Ai) — Bt dla i — 1, 2 , ..., k.
D ow ód. Istotnie, na mocy twierdzenia o izometrii, przestrzenie przyporządkowane zbiorom A t i Bt są izometryczne między sobą, są bo
wiem izometryczne z przestrzenią Xt m., gdzie p(Ai) — [i(Bi) = mi. Niech fi oznacza odpowiednie izometrie dla i = 1, 2, ..., k. Łatwo sprawdzić,
że przekształcenie / określone wzorem
f W = U f M ^ A i )
г = 1
jest izometrią XI na siebie spełniającą żądane warunki.
Cztery twierdzenia o przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej 45
Natychmiastowym wnioskiem z lematu 1 jest następujący
Lemat 2. Niech dane będą dwa podobne układy zbiorów o mierze skoń
czonej A x, A 2, ..., An oraz Bx, B 2, . . . , Bn. Istnieje izometria / przekształ
cająca 9Я na siebie taka, że f { At) — Bi (i = 1, 2, ..., n).
D ow ód. Istotnie, wystarczy za zbiory Ai oraz Bi lematu 1 przyjąć odpowiednie składowe układów A x, A 2, ..., An oraz B x, B 2, ..., Bn i sko
rzystać z faktu, że zbiory A{ oraz В,ь są sumami tych składowych, które na ć-tym miejscu mają A,L i Bi odpowiednio (nie zaś А[ i В[).
U w aga. Zanotujmy jeszcze, że udowodniliśmy właściwie więcej, mianowicie przy izometrii / każdy zbiór będący sumą składowych zbio
rów A Xt A 2, ..., A n przechodzi na zbiór będący sumą odpowiednich skła
dowych zbiorów B x, B 2, ..., Bn.
Uwagę tę wykorzystamy w dalszym ciągu.
Lemat 3. Dła każdego układu A x, A 2, A 3 zbiorów istnieje izometria f przestrzeni ^ na siebie taka, że f(Ai) лл f(Aj) — 0 dla i Ф j.
D ow ód. Niech (Ax ^ A 2) w (Ax ^ A 3) kj (A2 A 3) = X oraz f(A) = A-~X.
Zauważmy, że
( A- Х ) ^ (В - Х ) = [ ( А—Х) w (Х - А )] лл [(B—X) w ( X —B)1 =
= (А г, В - Х ) w (.X - { A w B)).
W naszym przypadku jednakże, gdy A i В są jakimikolwiek dwoma różnymi zbiorami spośród A x, A 2, A 3, mamy
I n B C I C i u - B . Wynika stąd natychmiast, że
f(Ai) rs f (Aj) = (At- Х ) r, (Aj—X) = 0 dla i фу.
Twierdzenie 1. Dla dowolnych dwu układów zbiorów o mierze skoń
czonej A x, A 2, A 3 oraz B X, B 2, B 3 takich, że
6 {-A-i, Aj) = q (Bj, Bj) {i, j = 1 , 2 , 3 ) , istnieje izometria f przestrzeni Xft na siebie taka, że f(Ai) = Bi.
D ow ód. Niech g i h będą istniejącymi na mocy lematu 3 izometriani na siebie takimi, że
{(1) g ( A i ) g ( A j ) = 0 dla i Ф j
(2) h(Bi) r, h(Bj) = 0 dla i Фу.
Na mocy (1) i (2) składowymi układów zbiorów g( Ax), g{A2), g(A3) i h(Bx), h(B2), h(B3) mającymi miarę skończoną są same te zbiory. Twier
46 R. E n g e l k i n g
dzenie nasze wyniknie więc z lematu 2, jeśli uda nam się udowodnić, że
(3) = /*(*№)) (i = 1 , 2 , 3 ) .
Ostatnia równość jest wnioskiem z faktu, że g i Ti są izometriami i z tego, że układ równań
Qi X^X, ) = ft(Xl) + /, ( X 2) + o,
*a) = 0 4- /а(Х 2) + ^(Х 3), Q{Xi? * 3) — A*(-^x) + ń-f fi{X3) ma co najwyżej jedno rozwiązanie.
Podamy obecnie przykład wskazujący na to, że liczba 3 występująca w twierdzeniu 1 nie da się powiększyć.
Przykład 1. Rozpatrzmy w przestrzeni dwa układy zbiorów (2) ►
А г = ( 0, 4), A 2 = { 4,6), = (6,8), A 4 = (0,1) w (4, 5) w (6, 7) w (8, 9), oraz
B X = A X, ^ 2 = ^2, 5 з = ^ з , Б4 = (8,10).
Me trudno sprawdzić, że д(Ас, A}-) = q(B{, Bj) { i , j — 1 , 2 , 3, 4).
Załóżmy, że istnieje izometria / przestrzeni w siebie taka, że / Ш =
Rozpatrzmy zbiory pomocnicze
0 ! = (3,4) w ( 5 ,6 ) '(7.r 3) ^ (9,:1 0), c 2 = (2,3) w (5, 6) w (7, 8) w (1 0,1 1),
^3 = (1,2) w (5, 6) w (7, 8) ( u , 1 2).
Łatwo zauważyć, że dla г = 1 ,2 , 3
(6) Q(Ci, АД = 8,
(6) Q {Qi, -4-i) = 6 = f?(^-i, ^4), (7) e (c 4, Л ) = 4 - e (0„ A , ) oraz że
(8) e {Ci i Cj) = 4 : dla г ф ]
Mech
(9) A =/(<?*), t = 1 , 2 , 3 . (2) (a, b) oznacza odcinek a < x < b.
ftzlery twierdzenia o przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej 47
Na mocy (5) mamy В4) = 8, skąd
(1 0) ^(_0* ) >6.
Sumując przy ustalonym i równości
q {Di
,
Bj)=
Ц (Di)+
у (Bj) — 2 y [Di r\ Bj) dla j — 1, 2, 3, 4 i korzystając z (5), (6), ‘(7), otrzymujemy6 + 4 -}-4 + 8 = 4,м(1)г-) + 4 + 2 + 2 + 2 — 2 у [Dir\ (Bx ^ B 2w B 3 -B4)], skąd
2 2 ^ 1 0 + 2p(Di) oraz
у (Di) < 6 . Mamy więc w oparciu o (1 0)
(U) y(Di) = 6.
Ze wzorów (5), (6), (7), faktu, że / jest izometrią, (9) i (11) wynika na
tychmiast, że
fi(B1 Di) = 2, n( B2 r ^ D i ) = 2, fi(B3 r ^ D i ) = 2, 1+ ^ Ą = 0.
Na mocy (8) wynikałoby stąd istnienie na odcinku (0 , 4) trzech zbio
rów o mierze 2 i wzajemnych odległościach 4, co nie jest oczywiście możliwe.
Założenie istnienia / prowadzi więc do sprzeczności.
Twierdzenie 2. Dla dowolnej czteropunktowej przestrzeni metrycz
nej X = {p0, р л, p 2, p 3} z metryką q istnieją zbiory A 1} A 2, A 3 będące su
mami skończonej liczby przedziałów takie, że przyjmując A 0 = 0 otrzymu
jemy podprzesfrzeń {M0, A 1} A 2, Л3} przestrzeni Xfl izometryczną z X . D o wód. Można oczywiście tak przenumerowaó elementy X , że bę
dzie
(12) 6{PoiPi) + Q{PoiPt) <9{РиРз ) + е(Р2,Рз)‘
Niech
<*i = Q (pG > Pi) oraz ay = q (pt ,Pj) (i, i = 1 , 2 , 3 ) . Możemy przyjąć, że
(13) a i = 1 ^ a2 ^ a3.
Połóżmy:
_ Л13+лЗ + 1 —Л2зН~ ®2“Ь а3 # l “b^ 2 ^ 1 2
Ml 3 = Г ) Мчз — ~ ^ 1 Ml2 o *
48 R. E n g e l k i n g
Niech A x — ( 0 , 1). Zauważmy, że spełnianie warunku trójkąta przez q daje nam nierówności
# 1 2 ^ ^ 2 ^ ^*1 2~ł~ 1 • Wynika z nich natychmiast, że
(14) 0 < ^ 1 2< l < a 2.
Istnieje więc taki zbiór A 2 będący sumą dwu przedziałów, jednego zawar
tego w А г i drugiego rozłącznego z А г, że
/^(-d2) = <ж2, A 2) = jMj2.
Spełnianie warunku trójkąta przez q oraz nierówności (12) i (13) gwarantują, jak nietrudno sprawdzić, spełnienie następującego ciągu nierówności:
0 ^ 3 ^ 1 , О ^ [Л23 ^ Л2,
(15) ^3+^23 < a 3,
i“23 ftlZ ^ a2 /^12>
№ 13 t123 ^ /^12 •
Z (15) wynika możliwość określenia zbioru A 3 jako sumy przedziałów tak, żeby były spełnione warunki
(16) fi(A3) = $3, [л{А-у r\ -43) = Hi3, /л{А2 r>, A 3) = Ц23.
Nietrudny rachunek pokazuje, że teza twierdzenia 2 jest spełniona.
Przykład 2. Pokażemy obecnie, że istnieje przestrzeń metiyczna pięciopunktowa nie dająca się zanurzyć izometrycznie w
Niech X = {a1, a2, sly s2, s3}, gdzie g(au a2) = 1 = р(в£, s3) (г ^ j , i , j = 1 , 2 , 3 ) oraz @(et.£, = i (» = 1, 2, 7c = 1 , 2 , 3 ) . Załóżmy, że X daje się zanurzyć izometrycznie w przestrzeni 932. Niech odpowiadające punktom przestrzeni X zbiory będą oznaczone dużymi literami z tymi samymi indeksami. Można oczywiście przyjąć А г 0. Mamy wówczas
(17) /л( А2) = 1
oraz, ponieważ /e($f) = \ i g{8i, A 2) =
(18) 8t C A t (i = 1 , 2 , 3 ) .
Ponieważ ponadto g{8i, fy) = 1 dla i Ф j, więc r\ 8j — 0 dla i Ф j, nie jest to jednak zgodne z (17) i (18), w zbiorze bowiem o mierze 1 nie mogą być zawarte trzy rozłączne zbiory o mierze
Cztery twierdzenia o przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej 49
Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń. Шеек I = ( —1, 1), I + = (0,1), I~ — ( —1, 0). Przyjmijmy dla każdego А С I
A+ A - 1-
oraz
(19)
1 ^ I+,
—A — {а: — aeA}.
Przyjmijmy ponadto dla А С I
A, = A+r^ [ —(^L-)], A t = A + - l A 3 =--.(A-)-[(-A+)-).
Mech 9ft* oznacza podprzestrzeń 9ft złożoną ze zbiorów zawar
tych w I.
Lemat 4. Niech I* będzie dowolnym właściwym pododcinkiem I ma
jącym z nim wspólny lewy koniec. Istnieje homeomorfizm f przestrzeni 9ft*
na siebie takiy ze dla А. С I mamy fi^A.} ^ № = o.
Dowód. Możemy oczywiście założyć, że I* = I~. Istotnie, przekształ
cenie liniowe odcinka I na siebie, przy którym odcinek I* przechodzi na I~, a lewy koniec jest nieruchomy, indukuje homeomorfizm prze
strzeni 9ft* na siebie, przy którym podzbiory I* przechodzą na pod
zbiory I~.
Niech dany będzie A C I . Przyjmijmy
f{A) — A x w A 3 w [A2 w ( —A 2)],
gdzie zbiory А г, A 2, A 3 są określone związkami (19). Nie trudno spraw
u j = 1 , 2 , 3 , i ^ j ,
dla i, j = 1 , 2 , 3 . Wynika stąd w oparciu o wzory (19), że
ff(A) = A.
Widzimy więc, że / jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym przestrzeni 9ft* na siebie. Dla zakończenia dowodu, że / jest homeomorfiz- mem, zauważmy, że ponieważ operacje A ~, A +, mnożenie, dodawanie i odejmowanie zbiorów są ciągłymi funkcjami w 9ft* i 9ft* x 9)1*, odpo
wiednio (zob. [4], Sec. 42), więc A x, A 2, A 3, a przeto i f (A) są funkcjami ciągłymi A. Własność homeomorfizmu / sformułowana w tezie zachodzi w sposób oczywisty na mocy definicji /.
Lemat 5. Dla Jcażdego nieładu skończonego A 11 A 2, ..., An różnych elementów przestrzeni 9)1 istnieje hemeomorfizm f przestrzeni 9ft na siebie
R oczniki PTM — Prace M atem atyczne VII. 4
dzić, że
A-i r'\ Aj = 0 dla oraz że
( - A i ) rN Aj ■= 0
о R. E n g e l k i n g
aki, że zbiory f(Ai) leżą w rozłącznych zbiorach będących sumami skończonej
* lości odcinków.
Do wó d przebiega przez irdukcję. Dla n — 1 twierdzenie jest oczy
wiście prawdziwe. Załóżmy, że zostało jnż udowodnione dla m < n.
Niech dany będzie układ J.x, A 2, ..., An złożony ze zbiorów parami różnych. Można przyjąć, że istnieje zbiór A{ taki, że
(20) ju(^J Af гл Ai) > 0 oraz /г((J Ay- r\ A '•) > 0.
i¥=i
Istotnie, gdyby taki zbiór nie istniał, mielibyśmy dla każdego i
\J A C A\ lub U Af CAi .
?>г тфг
Nie trudno sprawdzić, rozpatrując kilka przypadków, że wynikałaby stąd identyczność dwu zbiorów naszego układu lub rozłączność jednego z nich z sumą pozostałych. Pierwsza sytuacja nie może jednak mieć miejsca ze względu na założenia twieidzenia, druga natomast pozwala sprowadzić zagadnienie do przypadku układu złożonego z n —1 zbiorów.
Możemy oczywiście założyć, że An jest wyróżnionym zbiorem. Przyjmijmy oznaczenia:
(2 1) U A t = B*, An гл B* = B t , A n-В * = B*.
i<n Na mocy (20) mamy
(2 2) y(Bt) > 0.
Oczywiście y(B*) > 0, jeśli Б* Ф 0; przyjmijmy Bt = 0. Na mocy twierdzenia 2 istnieje ж układ zbiorów B0, B u B 2, B 3, będących su
mami skończonej ilości odcinków, izometryczny z układem Bt , В*, Bt , B*.
Dokonując ewentualnie przesunięcia możemy zapewnić sobie, że
(23) B0 = 0 .
Z faktu, że układy B t , Б*, B *, Bt i Б0, B x, B 2, B3 są izometryczne, z tego, że B t = 0, i z (23) wynika, że
(24) M-B*) = pW .
Z (24), (22) i (21) wynika, że
(25) В 2С В г, B3 r\ Bx — 0, y { B 2) > 0.
Układ B x, B 2, B 3 spełniający (25) i izometryczny z układem Б*, Б*, Б*
może być znaleziony w oparciu o twierdzenie 2 również wtedy, gdy Б* = 0. Na mocy twierdzenia 1 istnieje izometria h przestrzeni na siebie taka, że
(26) h { B t ) = B i , i = 0 , 1 , 2 , 3 lub i = 1 , 2 , 3 .
Cztery twierdzenia o przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej 51
Zauważmy jeszcze, że zgodnie z uwagą uczynioną na końcu dowodu lematu 2 można zakładać, że
(27) *U «) = MB* w B*) = P 2 w Bt . Ponadto, oczywiście,
(28) h{Ai) C B x dla i < n ,
bo h zachowuje inkluzje (h(0) = 0).
Podprzestrzeń 9)7' przestrzeni 9)7 złożona ze zbiorów zawartych w В г jest oczywiście izometryczna z podprzestrzenną złożoną z podzbiorów odcinka o długości równej y { Bx). Można założyć ponadto, że przy tej izometrii zbiorowi B 2 odpowiada pododcinek mający z naszym odcinkiem wspólny lewy koniec. hTa mocy lematu 4 wynika stąd istnienie homeomor- fizmu g' przestrzeni 9)7 na siebie takiego, że
H'{BX) ns g' (B2) = 0.
Przyjmijmy dla Ae M
(29) g(A) ^ ( A r . B D ^ g ' i A r . B J .
Ше trudno sprawdzić, że g jest homeomorfizmem 9)7 na siebie. Mech к — gh. Zauważmy, że na mocy (27), (28) i (29)
AU,») " *U<) = M B t w B t ) ^ к{А,) = g h( B t ^ B t ) r. gMAi) =
= g(B2 ^ B 3) gMAi)
c
C [g'(B2) w B 3) Г, дЦА{) С [g'(B2) ^ P 3] ^ g{Bx) = 0.
Podzielmy teraz prostą В na dwa zbiory o mierze nieskończonej będące sumami przedziałów, powiedzmy P i Q, takie że
(30) k(An) C P , MAi ) Cl e( Bt ) CQ dla i < k .
Oczywiście przestrzeń O podzbiorów mierzalnych O jest izometryczna z 9)7, na mocy więc założenia indukcyjnego istnieje homeomorfizm /' O na siebie taki, że zbiory f k ( A i), i = 1, 2, ..., n —1, są zawarte w roz
łącznych zbiorach będących sumami skończonej ilości przedziałów. M e trudno sprawdzić, że homeomorfizm / określony wzorem
Д А ) = Te(A) P ^j f \ k( A) Q) spełnia tezę naszego lematu.
Twierdzenie 3. Dla każdych dwu układów różnych zbiorów A x, A 2,
• • •, An oraz P n P 2, ..., Bn należących do przestrzeni 9)7 istnieje homeo- morfizm f przestrzeni 9)7 na siebie taki, że
f U<) = Bi, i = 1, 2, ..., n .
52 R. E n g e l k i n g
Dowód. Na mocy lematu 5 można założyć, że dane są dwa rozkłady A — {A *, A *, . . . } oraz В = {В*, В* , ...} na sumy skończonej ilości od
cinków takie, że
(31) Ai C A t , Bi C B t dla i < n, (32) n{At) = /n(Bt) = 1 dla * > ю .
Przestrzenie podzbiorów mierzalnych A* i Б* są izomorficzne z prze
strzeniami podzbiorów mierzalnych odcinka o mierze ju(A*) i /л(В*) odpowiednio. Przekształcenie liniowe przekształcające jeden z tych od
cinków na drugi indukuje homeomorfizm obu przestrzeni. Oznaczmy ten homeomorfizm przez Można zakładać, że dla i < n jest fi(Ai) = Bit mamy bowiem do czynienia z przestrzeniami jednorodnymi. Homeomor
fizm przestrzeni na siebie określony wzorem
oo
f(A) = U f i U ^ A t )
ś=i
spełnia oczywiście tezę naszego twierdzenia.
Przytoczymy jeszcze na koniec następujące proste
Twierdzenie 4. Przestrzeń zawiera kostką Bilberta, jest więc przestrzenią topologicznie uniwersalną dla przestrzeni metrycznych ośrod
kowych.
Dowód. №ech kostka Hilberta będzie dana jako zbiór ciągów nie
skończonych {o?*}, 0 < Xi < 1, z odległością
OO
1
° ( ш , {у i)) = 2 j y •
i —1
Przyjmijmy
F{{Xi}) = ® +
Me trudno zauważyć, że F jest zanurzeniem izometrycznym kostki Hilberta w Ж
Prace cytowane
f il R. E n g e lk in g , On the space of measurable sets of real numbers, Bull. Acad.
Pol. Sci. 2 (1961), str. 75-76.
[2] M. F re c h e t, Sur les diverses modes de convergence, Calcutta Math. Soc.
Bull. 11 (1920), str. 167-206.
[3] — Sur la distance de deux ensembles, Calcutta Math. Soc. Bull. 15 (1924), str. 1-8.
[4] P. R. H alm os, Measure Theory, New York 1950.
Cztery twierdzenia o 'przestrzeni podzbiorów mierzalnych prostej 53
Math.
[5] O. N ikodym , Sur u ne generalisation des integrates de M. S. Badon, Fund.
15 (1930), str. 131-179.
[6] R. S ikorski, Funkcje rzeczywiste I , Warszawa 1958.
P. Энгелышнг (Варшава)
ЧЕТЫРЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОСТРАНСТВЕ ИЗМЕРИМЫХ ПОДМНОЖЕСТВ ПРЯМОЙ
Р Е З ЮМ Е
Статья посвящена метрическим и тополочическим свойствам пространства 931 изм римых подмножеств прямой (см. [4], Sec. 42 и 43).
Доказаны следующие теоремы:
ТЕОРЕМА 1. Для всяких двух систем множеств А \, Ач, А% и В г , В 2, В2 та
ких, что Q(Ai, Aj) — q(B{, Bj) (i — 1 ,2 ,3 ) существует такая изометрия f про
странства 931 на себя, что f(At) — Bi (i — 1 ,2,3).
Приводится пример, указывающий на то, что число 3, выступающее в тео
реме 1, нельзя увеличить.
ТЕОРЕМА 2. Всякое четырехточечное метрическое пространсво изометрично подмножеству 931, но существует пятиточечное метрическое пространство, не обладающее етим свойством.
Обе эти теоремы — метрического характера. В топологии им соответствуют
ТЕОРЕМА 3. Д ля всяких двух систем разных множеств А г, А 2, ..., А п и В г, В 2, ..., Вп существует такой гомеоморфизм / пространства 931 на себя, что f(Ai) = Bi (i = 1, 2, ..., п).
ТЕОРЕМА 4. Пространство 932 содержит подмножество, гомеоморфное гиль
бертову параллелепипеду и поэтому оно топологически угшверсалъно для метри
ческих пространств со счотным базисом.
R. En g e l k in g (Warszawa)
FOUR THEOREMS ON THE SPACE OF MEASURABLE SETS OF REAL NUMBERS
S U M M A R Y
In the paper we consider some metric and topological properties of the space 931 of measurable sets of real numbers (viz. [4], Sec. 42 and 43).
The following theorems are proved:
Theorem 1. For any two systems A lf A 2, A3 and B lf B 2, B3 of elements of 931 such that q(A{, Aj) — q(Bj , Bj) (i , j — 1 ,2 , 3) there exists an isometry f of 932 onto itself such that f(Ai) — Bt (i = 1 ,2,3).
An example is also constructed showing that number 3 in theorem 1 cannot be replaced by a greater number.
54 К. E n g e l k i n g
Th eo rem 2. Every metric space consisting of four points is isometric with a subset of 2ft. There exists a five-points metric space which cannot be isometriedlly embedded in 2ft.
The above theorems are of metric character. Their topological counterparts
are ’
Theo rem 3. For any two systems A x, A 2, ...» A n and B 1, B 2, ..., Bn of different elements of 2ft there exists a homeomorphism f of 2ft onto itself such that f{Af) = Bi (i = 1 ,2 ,...,» ) .
Th eo r em 4. 2ft contains topologically the Hilbert cube, and therefore 2ft is a topol
ogically universal space for metric separable spaces.
