Zadanie 1. Niech f(x) = 3

Zadanie 1. Niech

f (x) =^q3 x²(x − 1)(x + 2).

Wiadomo, że dla x 6∈ {−2, 0, 1} zachodzą wzory: f⁰(x) = ¹₃x^−1/3(x−1)^−2/3(x+2)^−2/3(4x²+ 3x−4), f⁰⁰(x) = ²₉(2x⁴+3x³−10x²−4)x^−4/3(x−1)^−5/3(x+2)^−5/3. Ponadto, 4x²+3x−4 = 0 ⇐⇒ x = x₁ ≈ −1.443 lub x = x₂ ≈ 0.693 oraz 2x⁴ + 3x³ − 10x²− 4 = (x − x₃)(x − x₄)(2x²+ px + q), gdzie x3 ≈ −3.1508, x₄ ≈ 1.744, a p, q są takimi liczbami, że p² < 8q.

(a) Znajdź maksymalne przedziały, na których funkcja f rośnie i te, na których f maleje.

(b) Znajdź styczne do wykresu funkcji f w punktach (0, 0), (1, 0) i (−2, 0).

(c) Znajdź maksymalne przedziały, na których funkcja f jest wypukła i te, na których f jest wklęsła.

(d) W oparciu o uzyskane informacje naszkicuj wykres funkcji f . Zadanie 2. Znajdź największą taką liczbę ` > 0, że nierówność

`|x − y| ¬ |√

9 + x²−^q9 + y²|

zachodzi dla wszystkich x, y ­ 4 lub wykaż, że taka stała nie istnieje.

Zadanie 1. Niech

f (x) =√³

e^−3x − e^−9x.

Wiadomo, że dla x 6∈ {−2, −, 1} zachodzą wzory: f⁰(x) = e^−3x(3 − e^6x)(e^6x− 1)^−2/3, f⁰⁰(x) = e^−3x(9 − 18e^6x+ e^12x)(e^6x− 1)^−5/3, ln 3 ≈ 1.1. Funkcja 9 − 18e^6x+ e^12x ma dwa pierwiastki: x₁ ≈ −0.11, x₂ ≈ 0.48.

(a) Znajdź maksymalne przedziały, na których funkcja f rośnie i te, na których f maleje.

(b) Znajdź styczną do wykresu funkcji f w punkcie (0, 0).

(c) Znajdź maksymalne przedziały, na których funkcja f jest wypukła i te, na których f jest wklęsła.

(d) W oparciu o uzyskane informacje naszkicuj wykres funkcji f . Zadanie 2. Znajdź największą taką liczbę ` > 0, że nierówność

`|x − y| ¬ | sin x − sin y|

zachodzi dla wszystkich x, y ∈ (−^π₂,^π₂) lub wykaż, że taka stała nie istnieje.