ZASTOSOWANIE HIPOTEZY MOHRA DO BADAŃ MODELOWYCH KRUCHEJ WYTRZYMAŁOŚCI NARZĘDZI SKRAWAJĄCYCH

ZASTOSOWANIE HIPOTEZY MOHRA DO BADAŃ MODELOWYCH KRUCHEJ WYTRZYMAŁOŚCI NARZĘDZI SKRAWAJĄCYCH

J

W

Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska e-mail: jerzy.wodecki@polsl.pl

Streszczenie. Poddano analizie zasadność stosowania hipotezy Mohra do bada- nia kruchej wytrzymałości narzędzi skrawających. Przedstawiono wpływ koło- wych i kulistych pustek występujących w materiale na koncentrację napręŜeń, powodujących jego kruche pękanie. Wyznaczono wartość napręŜenia redukowa- nego na podstawie modelu kulistej pustki. Wykazano podobieństwo wyprowa- dzonej zaleŜności i wzoru na wartość napręŜenia redukowanego, wyznaczonego na podstawie hipotezy Mohra.

1. WSTĘP

Prowadząc badania modelowe narzędzi skrawających metodą elementów skończonych, na- leŜy wybrać hipotezę wytęŜeniową, w celu wyznaczenia maksymalnych wartości napręŜeń redukowanych, w miejscach decydujących o wytrzymałości narzędzia [1]. Większość po- wszechnie stosowanych hipotez wytęŜeniowych przyjmuje model ciągłego środowiska o izo- tropowych własnościach. W badaniach kruchej wytrzymałości narzędzi często wykorzystuje się hipotezę Mohra [2, 3], według której wartość napręŜenia redukowanego wyznacza się na podstawie zaleŜności

3 c m 1

red σ

R σ R

σ = − (1)

gdzie: σ1, σ3 – maksymalne i minimalne napręŜenie główne, R_m, R_c – wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie.

Warunkiem stosowania tej hipotezy jest odpowiedni zakres wartości napręŜeń głównych, tzn. σ1 > 0 oraz σ3 < 0.

Kruche pękanie jest nieodłącznie związane z występowaniem w materiale defektów w po- staci mikropęknięć, wtrąceń oraz pustek, których wpływ naleŜy uwzględnić w analizie wy- trzymałości materiałów narzędziowych. Powodują one koncentrację napręŜeń II rodzaju i w ten sposób przyczyniają się do powstawania pęknięć. Te zintensyfikowane napręŜenia występują w bezpośrednim sąsiedztwie wspomnianych nieciągłości materiału, a ich wartość uzaleŜniona jest od kształtu nieciągłości oraz własności materiału, określonych współczynni- kiem Poissona ν.

W artykule przedstawiono wyniki niektórych badań dotyczących wpływu pustek o róŜnym kształcie na wartość napręŜenia intensyfikowanego.

Wyznaczono teŜ ekwiwalentną wartość napręŜenia rozciągającego, działającego na mate- riał z kulistą pustką, powodującego wystąpienie na jej powierzchni napręŜenia intensyfikowa- nego o takiej samej wartości, jak w przypadku obciąŜenia trzema napręŜeniami głównymi.

Uzyskaną zaleŜność porównano ze wzorem na napręŜenie redukowane, wyznaczone na pod- stawie hipotezy Mohra.

Przeprowadzona analiza ma na celu sprawdzenie zasadności stosowania hipotezy Mohra do badania kruchej wytrzymałości narzędzi skrawających.

2. WPŁYW KSZTAŁTU MIKROPUSTKEK W MATERIALE NA LOKALNĄ KONCEN- TRACJĘ NAPRĘśEŃ

Na podstawie teorii spręŜystości przeprowadzono szereg analiz dotyczących wpływu mi- kroskopijnej wielkości szczelin oraz pustek występujących w materiale na koncentrację na- pręŜeń, inicjującą kruche pękanie materiału. Analizowano zagadnienia dwu- i trójwymiarowe.

PoniŜej przedstawiono wyniki niektórych badań, zwracając uwagę na wpływ kształtu pu- stek występujących w materiale na zmianę wartości napręŜeń, jakie występują na ich po- wierzchniach [4, 5, 6].

Wpływ otworu na lokalną koncentrację napręŜeń w zagadnieniu dwuwymiarowym

Mały, kołowy otwór wykonany w tarczy podlegającej równomiernemu rozciąganiu wywo- łuje znaczną, lokalną koncentrację napręŜeń ( rys. 1a) [4]. W analizie napręŜeń przyjęto bie- gunowy układ współrzędnych, w którym wyznaczono składową normalną napręŜenia w kie- runku promieniowym – σr, w kierunku obwodowym – σΘ oraz składową styczną – τrΘ.

Rys.1. Tarcza z otworem poddana równomiernemu: a) rozciąganiu; b) ścinaniu Zagadnienie to zostało rozwiązane przez G. Kirscha. Wartości napręŜeń na brzegu otwo- ru, dla r = a moŜna wyznaczyć z zaleŜności:

σr = τrΘ = 0 (2)

σΘ = S – 2 S cos 2Θ (3)

JeŜeli w tarczy wystąpi napręŜenie rozciągające S, to napręŜenie σΘ osiągnie największą wartość dla Θ = π/2 oraz Θ = 3π/2, to jest w punktach „m” i „n”, połoŜonych na średnicy pro- stopadłej do kierunku rozciągania. W tych punktach (σ_Θ)_max = 3S. W punktach „p’ i „q”, dla

a) b)

2a

r Θ

S x

y

p q

m n

S x

y

p q

m n

S

których Θ = 0 oraz Θ = π, napręŜenie σΘ = – S. Zakładając, Ŝe o pękaniu materiału decyduje maksymalna wartość napręŜenia rozciągającego jaka występuje na obwodzie otworu, moŜna na tej podstawie stwierdzić, Ŝe, chcąc uzyskać w przypadku ściskania tarczy napręŜeniem – S taką samą wartość napręŜenia w punktach „p’ i „q” jak w punktach „m” i „n” podczas rozcią- gania, bezwzględna wartość napręŜenia ściskającego musi być równa trzykrotnej wartości na- pręŜenia rozciągającego.

Mając rozwiązanie odpowiadające jednokierunkowemu rozciąganiu lub ściskaniu, moŜna przez superpozycję otrzymać rozwiązanie odpowiadające rozciąganiu i ściskaniu w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach – rys. 1b. NapręŜenie ściskające zwiększy niebezpie- czeństwo pęknięcia materiału. Największe wartości napręŜenia rozciągającego wystąpią dla Θ = π/2 oraz Θ = 3π/2, to znaczy w punktach „m” i „n”, w których σΘ = 4 S.

W przypadku, gdy otwór ma kształt eliptyczny, a napręŜenie S działa pod kątem prostym do duŜej osi elipsy, największa wartość napręŜenia występuje na końcach duŜej osi elipsy a i wynosi S (1 + 2 a/b). Wartość ta wzrasta nieograniczenie, gdy otwór staje się coraz bardziej smukły. Najmniejsza wartość napręŜenia występuje na końcu małej osi elipsy b i ma wartość – S, taką samą jak dla otworu kołowego [4].

2.2. Analiza napręŜeń na powierzchni pustki w przestrzeni trójwymiarowej

Analizy napręŜeń dookoła małej, kulistej pustki w pręcie poddanym równomiernemu roz- ciąganiu napręŜeniem o wielkości S dokonali R. V. Southwell i J. N. Goodier, badając osio- wo symetryczny rozkład napręŜeń w ciele o kształcie bryły obrotowej [4].

Wyznaczone zostały napręŜenia główne w charakterystycznych punktach – na równiku i na biegunie kulistej pustki – rys. 2a [5].

Rys. 2. Kulista pustka obciąŜona: a) napręŜeniem rozciągającym; b) napręŜeniami głównymi W przypadku, gdy napręŜenie rozciągające o wartości S działa w kierunku napręŜenia głównego σ₁, napręŜenia główne w punkcie „A” mają wartości:

(

)

σ₁ ν = ₁

−

= −

5 7 2

15

27 (4)

S

S

A

B σ3

σ2

σ₁

A

B C

x σ₁

σ3

σ2

y

z

a) b)

0

2 =

σ (5)

(

)

σ₃ ν = ₂

−

= −

5 7 2

3

15 (6)

a w punkcie „B”

0

1= σ ,

(

)

σ ν

σ_{2 3} + = ₃

−

=

= 2 7 5

15

3 (8)

gdzie ν - współczynnik Poissona.

Zakładając, Ŝe kulista pustka znajdzie się w materiale w miejscu, w którym zamiast jedno- rodnego napręŜenia rozciągającego S występują trzy napręŜenia główne σ1 > σ2 > σ3, skiero- wane wzdłuŜ osi x, y, z – rys 2b, moŜna przez superpozycję wyznaczyć wartości napręŜeń w punktach „A”, „B” i „C” pustki. NapręŜenie o największej wartości wystąpi w punkcie „C”.

Oznaczając maksymalną wartość napręŜenia rozciągającego jaka wystąpi w punkcie „C” na powierzchni kulistej pustki (napręŜenia intensyfikowanego) przez σint, moŜna jego wartość wyznaczyć na podstawie zaleŜności

σ_int = k₁ σ₁ + k₂ σ₂ + k₃ σ₃ (9) gdzie: k₁, k₂, k₃ – współczynniki wyznaczone na podstawie wzorów (4), (6) i (8).

Rys. 3. Wykres napręŜeń granicznych dla modelu kulistej pustki, dla róŜnych wartości współczynnika Poissona

-1

-2

-3

-4

-5 0 1 2

1 2

-1 -2

-3 -4

-5

ν=0,2 ν=0,5

ν=0,2

ν=0,5

ν=0,3

ν=0,3 σ1 /St

σ2 /St

(σ2 /St )

(σ3 /St )

Na podstawie równania (9) sporządzono wykres przedstawiający zmianę wartości naprę- Ŝeń granicznych, powodujących pękanie materiału, dla róŜnych stanów obciąŜenia oraz róŜ- nych wartości współczynnika Poissona – rys. 3. Na wykresie wartości napręŜeń głównych podzielono przez wartość napręŜenia rozciągającego St, które w płaskim stanie napręŜeń wy- wołuje pękanie materiału. W ten sposób uzyskano wykres dla płaskich stanów napręŜeń we współrzędnych bezwymiarowych, a graniczna wartość napręŜenia rozciągającego, odpowia- dająca σ1, powodująca pękanie materiału, jest równa 1.

Wykres wskazuje, Ŝe dla stanu napręŜeń σ1 > 0, σ2 = 0 i σ3 < 0, stosunek granicznych wartości napręŜenia rozciągającego do ściskającego wzrasta wraz ze wzrostem wartości współczynnika Poissona. Wartości te zmieniają się od 0,25 do 0,54, dla zmiany ν w zakresie od 0,2 do 0,5.

B. Paul i L. Mirandy [6] rozszerzyli analizę przeprowadzoną przez A. Griffitha, dotyczącą wpływu dwuwymiarowej szczeliny na inicjację pęknięć w spręŜystym materiale. Przeprowa- dzili oni analizę w trójwymiarowym układzie napręŜeń, dla elipsoidalnego modelu pustki o półosiach a, b, c – rys. 4. Została ona obciąŜona napręŜeniem normalnym S w kierunku osi x3

oraz stycznym T w płaszczyźnie x₁ – x₂.

Rys. 4. Elipsoidalna pustka i sposób obciąŜenia

Na rys. 5 przedstawiono w dwuosiowym układzie napręŜeń wykresy określające wpływ kształtu elipsoidalnej pustki (rys. 5a) oraz współczynnika Poissona (rys. 5b), na wartości na- pręŜeń granicznych, decydujących o pękaniu materiału. Wykres dotyczy punktu na elipso- idalnej pustce dla którego α = 0º, przy c/b << 0. Dla porównania, przedstawiono teŜ wyniki uzyskane dla płaskiej szczeliny w analizie Griffitha.

Porównanie wykresów napręŜeń granicznych dla modelu kulistej pustki (rys. 3) i elipso- idalnej pustki (rys. 5) wskazuje na większy udział napręŜeń ściskających w inicjacji pęknięć w materiale w przypadku kulistej pustki. Stosunek granicznych wartości napręŜeń rozciągają- cych do ściskających jest tu większy niŜ dla modelu elipsoidalnej pustki.

Wpływ własności materiału określonych współczynnikiem Poissona jest dla obu modeli podobny. Zwiększenie wartości ν powoduje zwiększenie udziału napręŜeń ściskających w pę- kaniu, co wynika ze wzrostu stosunku granicznej wartości napręŜenia rozciągającego do ści- skającego.

a

b c

x1

x2

x3

a ≥ b >> c

α T

S x3

x1

Rys. 5. Wykres napręŜeń granicznych w dwuosiowym polu napręŜeń dla modelu elipsoidalnej pustki: a) ν = 0,3; b) b/a = 1

3. WYZNACZENIE EKWIWALENTNEJ WARTOŚCI NAPRĘśENIA DLA MODELU KULISTEJ PUSTKI

Na podstawie zaleŜności (4), (6), (8), (9) moŜna wyznaczyć wartość ekwiwalentnego na- pręŜenia rozciągającego σred, które wywoła taki sam stan wytęŜenia materiału w punkcie „C”

(rys. 2b) ze względu na niebezpieczeństwo kruchego pękania, jak złoŜony stan napręŜeń. W obu przypadkach pęknięcie materiału wokół kulistej pustki wystąpi, gdy wartości napręŜenia intensyfikowanego będą takie same i przekroczą określoną, charakterystyczną dla danego ma- teriału wartość odpowiadającą napręŜeniu kruchego pękania.

Dla jednoosiowego rozciągania wartość napręŜenia intensyfikowanego w punkcie ”C”

moŜna wyznaczyć z zaleŜności

( )

int σ

ν

σ ν ⋅

−

= −

5 7 2

15

27 (10)

dla złoŜonego stanu napręŜeń z zaleŜności

3 2

1

int σ

ν - σ ν

ν -

- σ ν

ν -

σ - + ⋅

−

⋅ +

ν ⋅

= 2(7 5 )

15 3 )

5 7 ( 2

3 15 )

5 7 ( 2

15

27 (11)

stąd

3 2 2 1 1

red σ w σ w σ

σ = + ⋅ − ⋅ (12)

gdzie:

ν w₁ ν

5 9

1 5

−

= − ,

ν w₂ ν

5 9

1 5

−

= + .

Zarówno w zaleŜności (12) jak w hipotezie Mohra (1) uwzględniony jest wpływ napręŜe- nia głównego σ3 na wzrost wytęŜenia materiału. NapręŜenie to powinno mieć wartość ujem-

a) b)

-8 -6 -4 -2 0

-2

-4

-6 1

-8 ν=0,5

σ2/St

(σ2/St)

ν=0,3

ν=0

zagadnienie 2-wymiarowe

-8 -6 -4 -2 0

-2

-4

-6 1

-8 b/a = 0

σ2/St

σ1/St

b/a = 0,5

zagadnienie 2-wymiarowe b/a = 1,0

(σ2/St)

(σ3/St)

σ1/St

(σ3/St)

ną, a praktyczne zastosowanie mają rozkłady granicznych wartości napręŜeń wyznaczone dla σ1 > 0 i σ3 < 0.

MoŜna jednocześnie zauwaŜyć, Ŝe zaleŜność wyprowadzona na podstawie modelu kulistej pustki uwzględnia wpływ trzech napręŜeń głównych na wartość napręŜenia redukowanego, natomiast hipoteza Mohra tylko dwóch.

Współczynniki w₁ i w₂ w zaleŜności (12) zaleŜą od wartości współczynnika Poissona ν. Ze wzrostem wartości ν ich wartości rosną, przy czym większą wartość ma współczynnik w₂.

Wstawiając do wzoru (12) odpowiednie wartości współczynnika Poissona, moŜna otrzy- mać zaleŜności dla wyznaczenia wartości napręŜeń redukowanych dla róŜnych materiałów.

Przykładowo, przyjmując dla węglików spiekanych ν = 0,2 otrzymuje się

σ_red = σ₁ – 0,25 σ₃ (13)

Uwzględniając własności węglików spiekanych [2, 7, 8], wartość napręŜenia redukowane- go, wyznaczonego na podstawie hipotezy Mohra wyniesie

σred = σ1 – (0,15 ÷ 0,30) σ3 (14) Podobieństwo zaleŜności (13) i (14) moŜe wskazywać na istotny wpływ na kruchą wy- trzymałość węglików spiekanych nieciągłości struktury, w postaci zbliŜonej do kulistych pu- stek.

4. WNIOSKI

Hipoteza Mohra powstała jako rozszerzenie na materiały o róŜnej wytrzymałości na roz- ciąganie i ściskanie hipotezy Tresci, odnoszącej się do złomu plastycznego. Model kulistej pustki stosowany jest w badaniach kruchego pękania materiału. Porównując wzory (1) i (12), moŜna zauwaŜyć ich podobieństwo.

Obie zaleŜności uwzględniają dodatni wpływ napręŜenia ściskającego σ3 na wartość naprę- Ŝenia redukowanego. W przypadku hipotezy Mohra (1) jest on określony stosunkiem wartości R_m/R_c. W zaleŜności (12) wpływ ten rośnie wraz ze wzrostem współczynnika Poissona ν. Jed- nocześnie, analiza napręŜeń na powierzchni kulistej pustki wykazuje, Ŝe wraz ze wzrostem współczynnika Poissona ν rośnie wartość Rm/Rc (rys. 3).

Poza współczynnikiem Poissona na intensywność oddziaływania napręŜenia ściskającego na wartość napręŜenia inicjującego kruche pękanie wpływa teŜ kształt mikropustek występu- jących w materiale. Przedstawione przykłady wskazują, Ŝe dla okrągłych i kulistych pustek wpływ ten jest większy niŜ dla eliptycznych, czy elipsoidalnych.

Zakładając, Ŝe o pękaniu materiału decyduje zintensyfikowane napręŜenie, jakie powstaje na powierzchniach mikropustek, moŜna stwierdzić, Ŝe przeprowadzona analiza potwierdza zasadność stosowania hipotezy Mohra do badania wytrzymałości materiału w zakresie kru- chego pękania.

NaleŜy jednocześnie zaznaczyć, Ŝe wystąpienie wokół nieciągłości o róŜnym kształcie wa- runków do inicjacji mikropęknięć nie oznacza równocześnie ich dalszego rozwoju, gdyŜ zale- Ŝy to od ogólnego stanu napręŜeń w materiale.

LITERATURA

1. Wodecki J.: Badanie wytrzymałości ostrza noŜa tokarskiego przy uŜyciu metody elemen- tów skończonych. „Modelowanie InŜynierskie” 2007 t. 2 nr 33, s. 159 – 166.

2. Лоладзе Т., Н.: Прочность износостойкость режущего инструмента. Москва:

Издательство "Машиностроение", 1982, s. 84.

3. Зорев Н. Н.: Вопросы механики процесса резания металлов. Машгиз, Москва 1956, s. 166.

4. Timoszenko S., Goodier J.N.: Teoria spręŜystości. Wyd.2. Warszawa : Arkady, 1962, s. 83 ÷85 i 313 ÷ 315.

5. Shaw M. C.: Metal cutting principles. Wyd. 2. New York, Oxford : Oxford University Press, 2005, s. 81 ÷84 i 189 ÷ 193.

6. Paul B., Mirandy L.: An improved fracture criterion for three-dimensional stress states.

Transactions of the ASME Journal of Engineering Materials and Technology 1976, Vol.

98, s. 159 ÷ 163.

7. Бетанели А., И.: Прочность и надежноть режущего инструмента. Тбилиси : Издательство "Сабчота сакартвело", 1973, s. 143 ÷ 158.

8. Kunstetter S.: Narzędzia skrawające do metali – konstrukcja. Wyd. 3.Warszawa : WNT, 1973, s. 40.

APPLYING OF MOHR HYPOTHESIS FOR MODEL RESEARCH ON BRITTLE STRENGTH OF CUTTING TOOLS

Summary. The legitimacy of applying Mohr hypothesis for research on brittle strength of cutting tools was considered. The influence of circular and spherical voids in material on the concentration of the stress, causing brittle fracture was shown. The formula for determination of the value of reduced stress based on the spherical voids was assigned. The similarity between this formula and formula of Mohr hypothesis was pointed out.