ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄSKIEJ___________________________________ 1982
Seria; AU TO MA TY KA z. 63 Nr kol. 735
Marek KIMMEL
Instytut Au to ma ty ki Politechniki śląskiej
ZASTOSOWANIE TEORII PROCESÓW MA RK OW A DO BADANIA G R A N IC ZN YC H PROCESÓW OYSKRETNYCH
S t r e s z c z e n i o . Zbadano włas no śc i pewnej klasy orocesów dy skret- nych, oosługując się modelem w postoci łańcucha Markowe z D r z e l i - czalną przestrzenią stanu. Udowodniono twierdzenie praniczne d l a pewnych wari an tó w procesu.
1. WPROWAOZENIE
W wielu procesach przemysłowych o charakterze dyskretnym wyst ęp uj e sy
stem linii montażowych przedstawiony schematycznie no rysunku 1, zwany w ę zł em montażu [2]. W systemie tym n linii montażowych (identycznych) dostarcza synchronicznio Dółprodukty, « odstępach czasu równych c (tzw.
cykl linii). Półprodukty te są kontrolowane (orzyjęto, że czas kontroli jest z o n i e d b y w a l n y ) , a następnie egzemplarze bez usterek kierowane są do magazynu M, skąd odbierane są przez m ( m < n ) linii montażowych, poru
szających się z cyklem równym również c.
Rys. 1. System l in i i montażowych
Z a k ł a d a się, że k a ż d y z p ó ł p r o d u k t ó w d o s t a r c z o n y c h p r z e z J e d n ą z linii
" w e j ś c i o w y c h " ma u s t e r k ę z D r a w d o o o d o b i e ń s t w o m a = l - o o r a z , że m e c h a n i z m n o w s t a w a n i a u s t o r e k Jest c z y s t o losowy. W y s t ą D l e n i o u s t e r k i w d a n y m
egzemplarzu na danej linii jest niezależne od faktu wy st ąp ie ni e usterki w pozostałych egzemplarzach półproduktu nd dowolnej linii. Ozna cz my Drzez liczbę egzemplarzy półproduktu znajdujących eię w magazynie w chwili i • c. OeZeli pominiemy czasy transportu we wn ąt rz msgezynu (lub. co na J e dno wychodzi, założymy, że są stałe), wó wc za s łatwo sprawdzić, ża o b ow ią
zuje zależność rekurencyjna :
N 4 , « max|N, + w - m ; O i. i » 0,1,2,..., (l)
1+1 I i i+1
gdzie w ± jeet zmienna losowę o rozkładzie Sernoulliego o porametrach (n,p). Rozkłady zmiennych losowych N, maja znaczenie przy projektowaniu węzła; rzutuję one w oczywisty aoosób no pr oj ektowana wielkość magazynu,
Oest również widoczno, źe op isany system jest czasowo- dy sk re tn ym u k ł a dem obsługi masowej z m kanałami obsługi, strumieniem wejściowym z m o ż
liwością zgłoszeń w i el ok ro tn yc h 1 d e t e rm in is ty cz ny m czasem obsługi równym c [4], W związku z tym można by zastosować do an alizy systemu ogólną teo
rię systemów obsługi masowej.
Ogólne metody teorii kolejek i tam pozwalają Jednak zwykle na z n a
lezienie rozkładów granicznych w formie niejawnej (np; uwikłanych w rów
naniu funkcjonalnym). Otrzymanie ich w postaci jawnej Jest zwykle trudne (por. uwagi na ten temat w [6]). Dlatego w pracy niniejszej użyto metody bezpośredniej, bazując na spostrzeżeniu, że ciąg ^ N ^ J e a t łańcuchem M a r kowa o przeliczalnej przestrzeni stanów. Wypisanie Jawnej postaci maci e
rzy pr aw do podobieństw przejście tego łańcucha oozwala również łatwo mo de
lować zjawiska przejściowa w systemie (l).
W punkcie 2 pracy przedstawiono opis dy namiki procesu w postaci wzoru rokurencyjnego dla funkcji tworzącej prawdopodobieństwa. W punkcie 3 roz
waża się rozkłady graniczne w szczególnym przypadku m =» 1; w pu nk
cie 4 - dla m ■ 2, n * 3. Punkt 6 zawiera uwagi dotyczące orzyoadku og ól
nego.
Przytoczymy jeszcze onrę definicji, twierdzenie dotyczące łańcuchów Markowa i twierdzenie dotyczące funkcji tworzących. Rozpatrzmy jednorodny łańcuch Markowe z dy sk re tn ym czasam i ze zbiorem st an ów I « jo,i,2,...j.
Niech będzie orawdooo do bi eń st wem przejścia.ze etanu i do stanu J w czasie t s T, gdzie T « . jl,2,..,|. Rozkłod prawdopodobieństwa * (?°>
o 1 ,...) ne I nazywa się stacjonarnym, jeśli p-* » o 1 #^., dla wszyst- is.0
kich J ^ O , t e T.
Definicja 1 [^4, s. 72], Łańcuch Markowa nazywa się kontrakcję, jeśli dla dowolnej pary stanów i1 oraz 12 istnieje ston J orez chwila teT taka , że
, > O oraz # J . > O,
X2J (2)
Za st os ow an ie teorii procesów Markowa. 43
Definicja 2 [4, s. 73j . Łańcuch Ma rkowa nazywa się n i e n r z y w i e d l n y , Jeś
li dla dowolnej D a r y stanów i.J istnieje t e T takie, że > O Twierdzenie 1 (4, s. 73j . Załóżmy, że istnieje rozkład st ac jonarny p =
* (P° , p1 ... . ) . Wted y nastęoujęce zdanie sę równoważne:
o) lin = p ^ O dla dowolnych i.J.
t - ~ ■>
b) łańcuch Jest kontrakcja i Jest n i e o r z y w i e d l n y .
Definicja 3 [l]. Funkcja tworzącą Dr awdoDodobioństwa (f t p) rozkładu 9 ” (p°. p Jest to funkcja analityczna G(s) zmiennej rzeczywistej s c [o.l]. określona wzorem:
G(s) p 1s i . (3)
i*0
Twierdzenie 2 [i]. Funkcja analityczna G(s) zmiennej s e [ o , i] Jest FTP pewnego rozkładu 9 = (p0 ,pł ,...) wtedy i tylko wtedy. Jeżeli:
a) G (l) - 1,
b) ws pó ł c z y n n i k i rozwinięcia G(s) w szereg Taylora wokó ł s » 0 sę nie- uj e m n e .
Zachodzi również:
p i _ d i G ( 0 ) # , (4)
ds
e[n(N-1) . .. (N-i*l)] - lin --
S -l- ds
(5)
gdzio zmienna losowa N dib rozkład p . Cięg r o zk ła dó w dę ży do roz
kładu ę (przy 1— «»«») wtedy i tylko wtedy. Jeżeli ciąg FTP ^G^(s)| roz
kładów 9^ dą ży do FTP G(s1 ; G(s) Jest FTP rozkładu p . ^
2. D Y N A MI KA PROCESU
h )
Elementarne rozważania zwlęzene ze wzorem (i) i z rozkładom Sernoul- liego wskazuję, że nieskończona macierz ^ = [ ^ r a j = [ ^ r s ] pr aw dooodo- b l eństw przejścia łańcucha | m a elementy dane wzorami:
* o s-i-r+m q n - s + r - m (s_r + m ^ >' r-m < s ^ r - m + n ,
(6)
O ; dla pozostałych s.
* r s
dla r > m ; o r a z : ra-r
Z
1 „ n - l / mp q v. x ; i s i-o
B-r+u n-s+r-m/n
P P v____
(7) ) ; 1 +£ a «5 r - m + n ,
n
dla oozostałych s.
dla 0 < r < m-1. Oast to macierz pasmowa o szerokości pasma równej n+1.
Oznaczmy rozkład zmiennej losowej przez ę A - (p°,p*,...), a FTP rozkładu P, - przez G,(s). Za chodzi następujące twierdzenio.
Tw ie rd ze ni e 3. Przy w y mi en io ny ch wyżej założeniach zachodzi:
m-1 y
z
r-0D o w ó d . Zast os ow an ie definicji FTP • wzoru m-r
Z
u n - u / n \ /.P q (u )(l - U-O
? i ! i 9 i * rt r-0
oraz zmiana kolejności sumowania w sumach dw uk ro tn yc h dowodzę, ż e :
G i + 1 (s) = A + 8,
gdzie
a.o r r + m + n
\ ' r " V 1 t-r+m n-t+r-m/n , t
A m 2 -j? ± 2 - j P q t-r+m'
r = m Lt=»r-ro
(8 )
m-1
■ S i
r-0 .1 -0
r-m+n
\ 1 t-r+m n-t+r-m/n t
Z _ , p p t-r+m
t»l
Zamiana wskaźnika sumacyjnego t w sumach w e wn ęt rz ny ch według wzor u u =
■ t-r +m dowodzi słuszności wzoru ( 8 ) . O
Re ku rencyjna zależność (8) Dozwala mode lo wa ć ewolucję ro zk ła dó w p A , przy za danym rozkładzie początkowym P Q . Oast to jednak niewygodne 1 do
syć trudne do zaprogramowanie na komputerze. W praktyce wygodniej jest stosować bezpośrednio równania (6), (7).
Za st osowanie teorii procesów Markowa. 45
Właściwym zastos ow an ie m wzor u (8) Jest wy ko rzystanie go do znalezienia postaci FTP G(s) rozkładu granicznego, do którego dężę rozkłady p ^ P r*y i— . Istotnie, Jeżeli taki rozkład istnieje, wówczas (na mocy tw. 2) G^fs) G ( s ) . Pr ze ch od zę c do granicy w (8) i dokonujęc odpowiednich prze
kształceń otrzymujemy:
G ( s)
£
p v - u o ( ® o - « r ł u )lr»0 L u - 0 ->
ra / \ n
3 - (ps+q) (9)
Jeżeli rozkład graniczny p « (p°,p istnieje.
U w a g a . Łońcuch | N i| Jo®* nieprzywiedlny i Jest kontrakcjo; łatwo tego dowieść, korzystajgc zo wzoru (l). Tak więc, no mocy twierdzenia 1, w y s t arczy wykazać, że istnieje rozkład stacjonarny z FTP danę wz or em (9).
Rozkład ten istnieje wtedy i tylko wtedy, kiedy funkcjo G(s) określono w z or em (9) Jest rzeczywiście FTP pewnego rozkładu.
Ro zw aż my dwa przypadki, w których możne to wykazać.
3. PRZY PA DE K B « 1
Wzór (9) przybiera obecnie postać:
G(s) - P° ? n(a~ 1n - (10)
s-(pa+q)
W y le cz en ia czynnika (s-l) z mianownika funkcji (por. (]3j, gdzie ten sam problen w y ni kł z nieco innego modelu) i zastosowanie wzoru na sumę nie
skończonego szeregu geometrycznego pozwala wykazać, że za chodzi warunek (b) twierdzenia 2, o ile tylko p < l/n. Stosujęc regułę de 1'Hoapitala przy przejściu granic zn ym a i ” , można się przekonać, że G(l) » 1 dla:
p° - (11)
q
o ile tylko p < i/n. llwzględniejęc uwagę z punktu 2 i wa runek (a) twier
dzenie 2, ot rz ymujemy kolejny rezultat.
Twierdzenie 4 . Oeżeli m = 1, p < l/n, wó wczas istnieje rozkład gra
niczny p łańcucha J i. przy czym FTP G(s) rozkładu p dana Jest w z o rami (10) i (li). ' ’
Wniosek 1 . Zast os ow an ie wzoru (5) oozwala stwierdzić, że
« » - ' - 2 1 V ( « )
l&U
Wa rtość oczekiwana "w stanie ustalonym", liczby Dółproduktów w magazynie dąży więc do ni es ko ńc zo no śc i przy p — ■- l / n . Oest to zgodne z intuicja.
S y st em obsługi "zatyka" się, jeżeli intensywność strumienia zgłoszeń zr ównuje się z prędkością obsługi — . Podobne wzory obowiązuję dla w y ż szych momentów. Wyniki badań symulacyjnych, ilustrujących Drzebiegi pr ze j
ściowe (przed ustaleniem się rozkładu arenlczneqo) zamieszczono w pracech [2. 3],
4. PRZY PA OE K m = 3. n « 3
P o da my obecnie sposób rozumowania, który nrzy odpowiednio w i ęk sz yc h kompli ka cj ac h zapisu może posłużyć do rozwiązania zadania w orzyoadku o- gólnym. Zauważmy na wstępie, że G(s) (wzór (9)) przybiera obecnie p o s tać :
G (s) = ^s-1) [s(3g°pq2 > p 1q 3 ) t (s+l)p°q3 _ (1 3 ) s2 - (o s + q )
W prze ci wi eń st wi e do wz or u (19). trudno jest obecnie sprawdzić wa runek (b) twierdzenia 2. Wa runek (a) prowadzi natomiast do zależności:
p ° (2q 3 + 3pq2 ) + p1q3 = 2 - 3p. (l4l która me sens pr obabilistyczny o ile tylko o < ^. 2 Sp ra wd ze ni e istnienia rozkładu stacjo na rn eg o wymaga sięgnięcia do równań (6), (7). W y ni ka z nich, że rozkład st ec jo na rn y musi spełniać ni es ko ńc zo ny układ Y ć w n a ń :
ę » (q +3pq +3o q)p° + (q +3oa )p + q p ,
ęr+1 > P 3p r ♦ 3p2 q ę r+1 + 3 o q V +2 + q 3 pr+3 < r = 0.1.
lub równoważny:
p2 * i j ( l - q 3-3oq2 )p° - ^ y ( o 3+3 oq2 lp1 .
(151
... _ 3 j
q*
(1 6 ) r+3 3p r+2 1 - 3 p 0q r+1 /On' r
9 ? + ---- P - (|) P , r - 0 , 1 , 2 _________
Zast os ow an ie teorii p r o c es ów Merkows. A 7
Zdef in iu je my we ktor kolumnowy <5r = (pr + 2 ,pr + 1 ,pr )T oraz ma cierz k w ad ra
towa :
A
.3(E) W .
q o o
O c z y w i ś c i e :
6 *"+ 1 “ $ r6-r r = 0,1,
(17)
(18) , c f. r o
6 =Jt 6 •
Ma cierz Ą ma nastęoujace wa rtości własne:
iV i - i . A -g 3 * [ ( 3 p 2 q + o3- l ) * V ( l - 3 D2q - p3 ) 2 + 4 p3q3J / 2 q 3 .
D a k w ia d o m o j^5. s . 5eJ z a c h o d z i :
<% X H Xr V-1
(19)
gdzie X Jest macierzę utworzona z w e k t or ów w ł a s ny ch macierzy $ , n a t o miast H Jest maclerzę di ag on al na : H = diag (by b/2 , ). Zastosowanie w z o rów (18), (19) i wy ko n a n i e żmudnych, chociaż elemen ta rn yc h pr zekształceń pozwala stwierdzić, po oodstawieniu p 2 ze wzor u (16) , ż e :
„2+r . r+2 r+2
p = A + 8Ł2 + CU, (2 0 )
g d z i e :
A - 5 | [ (V » S > (f > 3 + * 2 * 3 + [*3 ' * 2 - ♦ W ) ] p 1
[(iV3-i)(|)3 ♦ (A2-Jt3)jp° * [(l-&2 ) - ^ J ^ ( q 3 + 3pq2 )Jp^
[(l_* 2 )(q )3 + " ” 4 ?(q3 + Jpq2 )] ?1 8 = §
C - 5
O » (A2 - A 3 )(1-A2 )(1-A3 ).
Łatwo sprawdzić, że A » O dla dowolnych p°, p^. Ze wzoru na wartości własne wynika, że : *
a 2 < 0 , A 3 > 0 , |a 2 | > | * 3 |. (21)
IV takim razie, jeżeli p ma być rozkładem prawdopodobieństwa (tzn, p ^ 0 ) , musi zachodzić:
& 3 < 1 , (22)
B - 0, (23)
C/ D > 0 , (24)
Elementarne rozważania dowodzę, że wa runek (22), Jest równoważny w a r u n k o wi: p < 2/3, Wa runek (24) Jest równoważny warunkowi:
p1 - p° gp3 - W - q 3 ♦ f(3p q2 ♦ q 3 )2 +. * p 3_q.3 . (2 5 ) 3q3 + 3pq2 + V(3pq2 + q3 )2 + 4 p 3q 3 '
Wiedzęc, ża D < 0 , ot rz ym uj om y po wstawi en iu (25) do wzoru na C:
( c ę + Y ^ ) ( ( b - Y ^ ) - ( + ) (cj -if) < 0 ,
gdzie :
, 3 , 2 _ 3 , 2 3 . /, 2 3\2 , 3 3 Of « 3q + 3pq , ¡?>° 2p - 3pq - q , - (3pq + q ) + 4p q . Ale lewa strona tej nierówności wy no si 2(ji~of) , skęd niemsl na ty ch
miast otrzymujemy, że wa runek (24) Jest równoważny warunkowi: p < 2 / 3 , Os ta tecznie więc widzimy, że warunki: p < 2/3 oraz (25) zapewniaję nle- ujemność rozwiązań ę 1 , i > 0 , układu równań (15), podczas gdy warunek (14) zapewnia, że 2 ^ ^ p 1 = i. Istnieje więc rozkład stacjonarny. Do
w i ed li śm y następ uj ąc eg o wyniku.
Tw ie rd ze ni a 5 . Oeżeli p < 2 / 3 , wó wczas istnieje rozkład g r an ic zn y dla n = 3, o » 2. Oego FTP G(s) , Jest o k r e ś l o n a w z o r a m i : (13) oraz (14), (25).
Wn i o s e k 2 . Łatwo obliczenia oparte na różniczkowaniu g(s) dowodzę, że graniczna wartość oczekiwana lim E(n ) jest dowolnie duża dla p — 2/3
i-e-OO (por. wn io se k i).
Za st os ow an ie teorii p r oc es ów Markowa. 49
5. UWAGI O PR ZY PA DK U OG Ó L N Y M I Z A S T OS OW AN IA CH
Metoda użyta w punkcie 4 do wyka za ni a iatnionle rozkładu granicznego, może być z powodzeniem zastosowana dla d o wo ln yc h m i n . Oest ona bo
wiem zależno tylko od pasmowej struktury ma ci er zy prawdopodobieństw pr ze j
ścia. Ogólniejsze wy niki 3ę w przygotowaniu.
Oak Już waoomn ia no na wstępie, podstawowym za st osowaniem w y n i k ó w procy Jest oszacowanie wielkości maga zy nó w przy pr ojektowaniu systemu linii m o n
tażowych. Inne metody procesów Ma rkowa (por. £5]) pozwalaję ocenić. Jak często za pr ojektowana skończona objętość okaże się niewystarczajęca.
Na jistotniejsze postulaty dla za st os ow ań "projektowych" przedstawiono w pracy [2].
Prac8 niniejsza Jest Jednę z serii prac autora, poświęconych dynamice losowych pr ocesów dyskretnych. W prac y [3, część ij zdef in io wa no szerokę klasę procesów, za ch od zę cy ch w węźle montażu (rozumianym ogólniej niż w prezentowanej pracy). Praca [3, część IlJ poświęcona Jest przypadkowi jednej linii wejściowej i jednej linii w y j ś c i o w e j , .których cykle maję się do siebie Jak liczby całkowite. W pracy [3, część III] rozważano między innymi przypadek linii pr od ukcyjnych obiekty ko mp lementarne (otrzymano tara rezultaty negatywne, świadczęce o braku rozk ła dó w granicznych). Podobnej tematyce poświęcona Jest także ni eo pu bl ik ow en a praca dyplomowa, znajduję- ca się w dy sp oz yc ji autora.
LITERATURA
[1] Foliar W , : Wstę p do rachunku prawdopo do bi eń st wa i Jogo zastosowań.
T.I. PWN, Wa rszawa 1966.
[2] Kimrael M. : Zast os ow an ie teorii pr ocesów punktowych do projektowania węzła montażu. ZN Politechniki ŚlęakieJ , A u to ma ty ka z. 54, Gliwice 1980.
[3] Kimmel M. : Nietypowe zadania teorii kolejek, zwięzane z dyskretnymi procesami przemysłowymi. Części: I, II, III. Z N Politechniki Ś l ę a kieJ, Au to ma ty ka z. 61 (w druku).
[4] Kl im ów G.P. : Teoria obsługi masowej. WNT, Yfarszawa 1979.
[5] Langrock P . , Oahn w .: Elnfuh ru ng in die Theorie der Ma rk ov sc he n Ketten und Ihre Anwendungen. BSB B.fe. Te ub ne r V s rh gs ge se ls ch af t , Leipzig 1979.
[6] Pokes A.G. : Discrete Dams with M a rk ov ia n Inputs. Stocha st ic Processes and Their Applications. 11, 1981, 57-78.
Recenzent: Doc. dr hab. inż. Den W| G L A R Z
Wpły nę ło do Redakcji 15.05.1982 r.
nPHMEHEHHE TEOPHJi HAPKOBCKHX IIPOIJECCOB 3 . HCCJIE,HOBAHHH TPAHOTHiiX CBOdCTB iHCKPETHHX IIPOUECCOB
P e 3 io m e
P a3pafioTana MOflejib onHoro K Jiacca ^HCKpeiHnx n p ou ecco^ b a iu e i;enn I.IapKO- B a , llpsiBefleHM xeopeKti o rpaHH'Wfctx CBOiiciBax csicTeMbi n aHajiorm i c Teopneii M accoBoro oficjiysmBaHHH.
AP PL IC AT IO N OF MA RK OV PROCESSES TO IN VESTIGATION | OF LIMIT PROPERTIES O F CE RTAIN DISCRETE PROCESSES
S u m m a r y
A study of tho orooerties of soma class of di sc re te orocesses is p e r formed. The orocess is modelled by a M a r k o v chain with denuraerable state space. Limit theorem is nroved for e special case of the orocess.
f
