4 Analiza input-output i jej zastosowania w modelowaniu ekonomiczno-ekologicznym

4 Analiza input-output i jej zastosowania w modelowaniu ekonomiczno-ekologicznym

W nurcie badań e-e poświęconych modelowemu przedstawieniu powiązań gospodarki i środowiska szczególne miejsce zajmuje analiza i-o, nazywana w pol- skim piśmiennictwie również analizą nakładów i wyników lub analizą przepły- wów międzygałęziowych. Jest to prawdopodobnie najczęściej wykorzystywana w tym kontekście metoda badawcza (zob. Hafkamp 1991, Integrated…1993, Bergh 1996).

Początki analizy i-o sięgają XVIII w., kiedy to Quesnay przedstawił swoje tablice ekonomiczne (zob. Blaug 1994). Dopiero jednak prace Leontiefa z lat trzydziestych i czterdziestych (Leontief 1936, 1941) rozpoczęły lawinowy wprost rozwój tej dziedziny.

Tablica przepływów międzygałęziowych jest systemem rachunków, pozwa- lającym śledzić przepływ dóbr i usług oraz dochodów i wydatków w gospodarce.

Modele i-o w klasycznej postaci służą do oceny wpływu zmian w popycie final- nym na produkcję różnych sektorów gospodarki narodowej i w tej postaci są do dziś wykorzystywane. Klasyczne modele analizy i-o zainspirowały badania teo- retyczne i empiryczne, których owocem było wyodrębnienie analizy i-o jako ważnej dziedziny zastosowań matematyki w ekonomii. Na początku lat pięć- dziesiątych pojawiły się pierwsze zastosowania regionalne z wykorzystaniem analizy i-o (Isard 1951; Isard i Kuenne 1953). W latach sześćdziesiątych zaczęto wykorzystywać analizę i-o do konstrukcji wielkich modeli ekonometrycznych (The Brookings… 1965, Klein 1982). Również w latach sześćdziesiątych w ślad za wzmożonym zainteresowaniem ekonomistów związkami gospodarki i środo- wiska pojawiły się pierwsze opracowania poświęcone tym zagadnieniom, w któ- rych wykorzystano analizę i-o w roli narzędzia badawczego. Zastosowania te dotyczyły problematyki regionalnej (Cumberland 1966), międzyregionalnej (Isard 1968, 1971), a także narodowej (Daly 1968, Victor 1972) i globalnej (Leontief 1973, Carter i in. 1976).

Pomimo upływu lat i krytyki, jakiej można poddać metody i-o, są one nadal i należy przypuszczać, że jeszcze długo będą wykorzystywane. Przyczyna tak wielkiej popularności metod i-o w tkwi prostocie zastosowań, łatwej

Budowa i wykorzystanie wielosektorowych modeli ekonomiczno-ekologicznych

Wydawnictwo Uiniwersytetu Łódzkiego 2002

4.1 Podstawowe modele analizy input-output

4.1.1 Tablice przepływów międzygałęziowych

Tablice przepływów międzygałęziowych są jednym ze sposobów przedsta- wiania przebiegu strumieni produktów w gospodarce. Produktami są w tym kontekście wszystkie dobra i usługi będące przedmiotem płatności w transak- cjach dokonywanych w gospodarce, w szczególności produktami są w tym rozumieniu usługi pierwotnych czynników produkcji.

Miejsce i powiązania tablic przepływów międzygałęziowych z innymi ele- mentami systemu rachunków narodowych prezentowane były w rozdziale 2 (zob. też np. Heesterman 1975, Tomaszewicz 1994, Miller i Blair 1985). Na rysu- nku 4.1 przedstawiony jest schemat typowej tablicy. Jak widać, każdy przepływ produktów klasyfikowany w niej jest według dwóch kryteriów:

– miejsca pochodzenia (wiersze tablicy);

– miejsca przeznaczenia (kolumny tablicy).

Produkty według miejsca pochodzenia dzieli się na:

– pierwotne czynniki produkcji, do których tu zalicza się dobra importowane, siłę roboczą, podatki pośrednie i zyski¹;

interpretacji wyników i możliwości klarownego przedstawienia wzajemnych powiązań elementów złożonych systemów.

Metody i-o przedstawiają szczegółowo gospodarkę od strony produkcji – uwzględniają powiązania międzygałęziowe, a także zapotrzebowanie na nakłady i podaż produkcji. Są one elastyczne, umożliwiając z jednej strony rozszerzenie analizy na inne niż ekonomia dziedziny ludzkiej działalności, a z drugiej – wyko- rzystanie w połączeniu z metodami innego typu.

1 Podział ten nie jest w pełni zgodny z tradycyjnym rozumieniem pierwotnych czynników produkcji, rozumianych jako te, które nie są wynikiem procesów gospodarczych (Samuelson 1970:

46). W tym kontekście wymienia się na ogół pracę i ziemię (lub szerzej – zasoby naturalne). Sama definicja nie jest jednak jednoznaczna. Zarówno praca, jak i zasoby naturalne mogą być traktowa- ne jako majątek (kapitał), podlegają bowiem przemianom pod wpływem procesów gospodarczych (inwestycje w ludzi, poszukiwanie, opracowywanie procesów przetwarzania i pozyskiwanie zasobów naturalnych). Dla potrzeb przepływów międzygałęziowych czynniki pierwotne definiuje się jako czyn- niki produkcji, które nie są wytworami sektorów wyróżnionych w tablicy, a konieczność ich użycia potwierdzona jest przepływem odpowiedniego strumienia pieniężnego (Heerserman 1975: 62).

– wtórne czynniki produkcji, czyli dobra i usługi ekonomiczne, będące wytwo- rami sektorów produkcji.

Produkty według miejsca przeznaczenia klasyfikuje się jako:

– produkty przeznaczone na zużycie pośrednie (wtórne czynniki produkcji dla sektorów);

– produkty przeznaczone na zużycie końcowe², wśród których wyodrębnia się spożycie prywatne, wydatki rządowe, eksport, inwestycje, zmiany zapasów.

W zastosowaniach zarówno klasyfikacje czynników produkcji, jak i pro- duktu końcowego przedstawiane są z dużo większą szczegółowością niż w tym przykładzie. Klasyfikacje użyte tutaj są jednak wystarczająco szczegółowe na etapie omawiania podstawowych zagadnień z zakresu analizy i-o.

Rysunek 4.1 Schemat tablicy przepływów międzygałęziowych

X Xn

… X2

X1

Produkt globalny

Z Zn

… Z2

Z1 zyski

W Wn

… W2

W1 wynagro-

dzenia

T Tn

… T2

T1 podatki pośrednie

wartość dodana

X R E M^j M^g M^c Mn

… M2

M1

import

czynniki pierwotne

Xn

Rn

En

Jn

Gn

Cn

Xnn

… Xn2

Xn1

n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

X2

R2

E2

J2

G2

C2

X2n

X22

X21

2

X1

R1

E1

J1

G1

C1

X1n

… X12

X11

1

sektory

czynniki wtórne

Miejsce pochodzenia zmiany zapasów

eksport

inwestycje

wydatki rządowe spożycie indywidualne

… n 2 1

kategorie sektory

zużycie końcowe zużycie pośrednie

Produkt globalny Miejsce przeznaczenia

Źródło: opracowanie własne na podstawie: Heesterman 1975.

Oznaczmy przez Yi sumę elementów popytu finalnego na produkty i-tego sektora:

(4.1) Yi = Ci+Gi+Ji+Ri

2 Będziemy używali zamiennie, w zależności od kontekstu, pojęć „produkt końcowy” i „pro- dukt finalny” oraz „popyt końcowy” i „popyt finalny”.

natomiast przez Dj, sumę elementów wartości dodanej j-tego sektora:

(4.2) Dj=Tj+Wj+Zj

Związek pomiędzy produkcją globalną, zużyciem pośrednim i produktem końcowym można zapisać w postaci następującego układu równań, znanego jako układ równań bilansowych produkcji:

dla (4.3)

Xi=

j=1

n Xij+Yi i =1, ..., n

Przepływy w tablicy i-o mogą być przedstawiane wartościowo lub iloś- ciowo. Ponieważ wartość = ilość$cena, zatem zależności między elementami tablicy i-o w ujęciu ilościowym i analogicznej tablicy w ujęciu wartościowym są następujące:

(4.4) Xi=Qipi

Yi=Fipi

Xij=Qijpi

gdzie:

pi – cena jednostkowa produktu i-tej gałęzi;

Qi – ilość produktów wytworzonych prze i-tą gałąź;

Qij – ilość produktów wytworzonych przez i-tą gałąź, przeznaczonych na zas- pokojenie popytu pośredniego j-tej gałęzi;

Fi – ilość produktów wytworzonych prze i-tą gałąź, przeznaczonych na zaspokojenie popytu finalnego.

Gdyby ceny dóbr i-tej gałęzi były zróżnicowane w zależności od odbiorcy, wówczas w ostatniej równości zamiast jednorodnego symbolu ceny dostawcy pi

pojawiłby się symbol pij, oznaczający cenę i-tego dostawcy dla j-tego odbiorcy.

Podstawiając (4.4) do (4.3), mamy:

dla (4.5)

Qipi=

j=1

n Qijpi+Fipi i =1, ..., n

a stąd, po obustronnym podzieleniu przez cenę pi, otrzymujemy układ równań produkcji w ujęciu ilościowym:

dla (4.6)

Qi=

j=1

n Qij+Fi i =1, ..., n

Pojedyncze równania układu równań bilansowych produkcji w postaci (4.3) i (4.6) pokazują produkcję globalną i-tego sektora jako sumę produkcji przekaza- nej odbiorcom pośrednim i końcowym, a więc rozdysponowanie wytworzonej produkcji. Wartość produkcji globalnej można przedstawić również jako sumę nakładów poszczególnych czynników (pierwotnych i wtórnych) poniesionych na produkcję, czyli sumę nakładów materiałowych i wartości dodanej:

dla (4.7) Xj=

n

i=1 Xi+Dj j =1, ..., n

Powyższe równania nazywane są równaniami kosztów, a cały układ (4.7) określany jest mianem układu równań kosztów.

Układ równań bilansowych produkcji (4.3) lub (4.6) jest podstawą do wyp- rowadzenia klasycznego modelu Leontiefa, natomiast wychodząc od układu równań kosztów (4.7), wyprowadza się klasyczny model cen w analizie i-o.

4.1.2 Klasyczny model Leontiefa

Warunkiem koniecznym harmonijnego przebiegu procesów produkcyjnych jest zachowanie takich relacji pomiędzy produkcją różnych sektorów, aby rynki produktów tych sektorów pozostawały w równowadze. Relacje produkcji zależą od technologii stosowanej w sektorach. Klasyczny model i-o służy do wyzna- czania wielkości produkcji, zapewniającej równowagę popytu i podaży na ryn- kach produktów, przy uwzględnieniu technologicznych warunków produkcji.

Technologia produkcji może być przedstawiona jako nakłady czynników produkcji niezbędnych do wyprodukowania jednostki produktu określonego sektora, np. wytworzenie 1000 t stali wymaga określonych ilości rudy żelaza, węgla, siły roboczej itp. Proporcje wielkości nakładów czynników produkcji do spodziewanej wielkości wytworzonego za ich pomocą produktu nazywane są technicznymi współczynnikami produkcji. W klasycznym modelu i-o zakłada się, że współczynniki są stałe.

Współczynniki techniczne mogą być szacowane kilkoma sposobami:

– metodami statystycznymi (na podstawie tablicy przepływów międzygałęziowych wyznaczonej w oparciu o dane statystyczne);

– na podstawie norm technicznych (wyznaczonych statystycznie lub w oparciu o dane inżynierskie);

– na podstawie danych inżynierskich (o charakterze nienormatywnym), opartych na znajomości procesów technologicznych;

– metodą ekspercką.

W modelach i-o wykorzystuje się na ogół współczynniki techniczne otrzy- mane pierwszym sposobem, tj. na podstawie tablicy przepływów międzygałę- ziowych. Podejmowane są również próby wykorzystywania danych inżynierskich i norm technicznych (np. Duchin 1988). Metoda ekspercka wykorzystywana jest często w celu określenia potencjalnych kierunków zmian współczynników, a więc na etapie wykorzystania modelu.

Mając do dyspozycji macierz przepływów międzygałęziowych w ujęciu ilościowym, techniczne współczynniki produkcji oblicza się według wzoru:

dla (4.8)

a˜ij= ^Q_Q^ij_j i, j = 1, ..., n

Przy założeniu, że współczynniki techniczne są już oszacowane, przekształ- cając formułę (4.8) do postaci:

(4.9) Qij=a˜ijQj

układ równań bilansowych produkcji możemy zapisać jako:

dla (4.10)

Qi=

j=1

n a˜ijQj+Fi i, j = 1, ..., n a w zapisie macierzowym:

(4.11) Q = A˜Q + F

gdzie:

(4.12) A˜ =

a˜11 a˜12 £ a˜1n

a˜21 a˜22 £ a˜2n

£ £ £ £

a˜n1 a˜n2 £ a˜nn

, Q =

Q1

Q2

£ Qn

, F =

F1

F2

£ Fn

Macierz nazywa się macierzą współczynników technicznych. A˜

Jeśli – co założyliśmy wcześniej – dane są współczynniki techniczne, wów- czas niewiadomymi w równaniu macierzowym (4.11) są n-elementowe wektory Q i F. Chcąc znaleźć jednoznaczne rozwiązanie układu (4.11), liczącego n rów- nań musimy założyć znajomość n spośród ogólnej liczby 2n niewiadomych.

Możliwe są trzy następujące sytuacje:

1) zakładamy znajomość wektora produktów globalnych Q – wówczas z układu równań (4.11) wyznaczona zostanie produkcja końcowa (popyt końcowy) według sektorów;

2) zakładamy znajomość wektora popytu końcowego F – wówczas układ (4.11) służy do wyznaczenia produktów globalnych;

3) zakładamy znajomość pewnej ilości produktów globalnych i pewnej ilości składowych popytu finalnego (razem n wielkości) – wówczas układ (4.11) służy do wyznaczenia pozostałych n produktów globalnych i końcowych.

Najczęściej przyjmowane jest założenie 2. Rozwiązanie przyjmuje wtedy postać:

(4.13) Q = (I − A˜⁻¹)F

Układ ten pokazuje, w jaki sposób popyt końcowy (zapotrzebowanie na pro- dukcję) transformowany jest w produkcję globalną.

4.1.3 Klasyczny model cen

Dynamika cen dóbr i usług występujących w sferze tworzenia produktu krajowego (w szczególności w sferze produkcji) oraz w sferze jego podziału jest zróżnicowana w ramach tych sfer, a także między nimi. Przyczyny tego zróż- nicowania tkwią w międzygałęziowym zróżnicowaniu struktury i dynamiki kosz- tów produkcji (w sferze tworzenia) oraz w gałęziowej strukturze dóbr i usług występujących w sferze podziału. Z tego właśnie powodu rozważa się oddzielnie równania cen uzyskiwanych przez producentów (ceny producentów) i równania cen płaconych przez odbiorców finalnych (ceny odbiorców finalnych).

Ceny producentów

Uwzględniając relację zachodzącą pomiędzy wartością a ilością produkcji (4.4), równanie kosztów (4.7) dla j-tej gałęzi można zapisać w następującej formie:

(4.14) Qjpj=

i=1

n Qijpi+Dj

Z kolei uwzględniając relację (4.9), powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

(4.15) Qjpj=

i=1

n a˜ijQjpi+Dj

a stąd, po obustronnym podzieleniu przez Qj i uporządkowaniu równania mamy:

dla (4.16)

pj=

i=1

n a˜ijpi+dj j =1, ..., n

gdzie dj oznacza jednostkową wartość dodaną w j-tej gałęzi, tj. wartość dodaną w przeliczeniu na jednostkę produkcji globalnej: dj= ^D_Q^j. Zapiszmy układ (4.16)

j

macierzowo:

(4.17) p = A˜^Tp + d

gdzie:

(4.18) p =

p1

...

pn

, d = d1

...

dn

Układ równań (4.17) nosi nazwę układu równań cen producenta (układu równań cen). To samo równanie w formie zredukowanej, tj. po rozwiązaniu względem wektora p, przyjmuje postać:

(4.19) p = (I − A˜^T)⁻¹d

Układ (4.19) pokazuje ceny producentów jako funkcję współczynników techni- cznych (czyli stosowanych technologii produkcji) i jednostkowych nakładów czynników pierwotnych.

Zwróćmy uwagę, że uwzględniając zależności pomiędzy produkcją wyra- żoną ilościowo i wartościowo w postaci (4.4) oraz definicje współczynników technicznych (4.8) możemy zapisać następującą zależność:

(4.20) aij=a˜ij

pi

pj

Współczynniki aij= ^X_X^ij_j nazywane są współczynnikami kosztów. Zależność (4.20) pokazuje związek pomiędzy współczynnikami technicznymi a współ- czynnikami kosztów.

Ceny odbiorców finalnych

Ceny odbiorców finalnych w analizie i-o przedstawia się jako średnie wa- żone cen producentów. Wagami są wskaźniki struktury zużycia końcowego według produktów. W takim razie jeśli wyodrębniono m kategorii zużycia koń- cowego, to układ równań cen odbiorców finalnych przyjmuje postać:

dla (4.21)

p_j^f=

i=1

m bijpi j =1, ..., m

przy czym bij oznacza udział i-tego produktu w j-tej kategorii zużycia końcowego, tzn.

(4.22) bij= ^B_B^ij_j

gdzie:

Bj – wielkość zużycia końcowego j-tej kategorii;

Bij – wielkość zużycia końcowego i-tego produktu w j-tej kategorii.

Współczynniki bij zwane są współczynnikami konwersji lub współczyn- nikami transformacji³. Ponieważ współczynniki te dla danej kategorii zużycia końcowego są udziałami zużycia poszczególnych produktów, więc ich suma z definicji równa jest 1, tzn.

(4.23)

i=1

n ^bij=1

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

(4.24) p^f=

p1f

£ p3f

, B =

b11 £ b1m

£ £ £ bn1 £ bnm

3 Współczynniki te służą w modelach i-o do konwersji popytu finalnego według kategorii w popyt finalny na produkcję określonych sektorów.

Możemy teraz zapisać model cen odbiorców finalnych (4.21) w postaci macie- rzowej:

(4.25) p^f=B^Tp

Podstawiając (4.19) do (4.25), mamy

(4.26) p^f=B^T(I − A)⁻¹d

Ceny odbiorców finalnych można więc przedstawić jako funkcję jednostkowych nakładów czynników pierwotnych, współczynników technicznych i współczyn- ników konwersji.

4.1.4 Modele input-output w zastosowaniach

Model Leontiefa i model cen

W modelu Leontiefa (4.13) oraz w modelu cen producentów (4.19) wyko- rzystuje się wielkość produkcji w ujęciu ilościowym i współczynniki technicz- ne, które również opierają się na produkcji wyrażonej ilościowo. W rachunkach narodowych produkty to na ogół agregaty, których wielkość przedstawiana jest w ujęciu wartościowym⁴, wobec czego nie można im w jednoznaczny sposób przypisać żadnej ceny. Bezpośrednie zastosowanie modeli (4.13) i (4.19) jest więc niemożliwe. Można jednak zapisać te modele w przekształconej postaci:

– wartości produktów w cenach stałych zamiast ilości produktów;

– deflatory⁵ zamiast cen produktów;

– współczynniki kosztów w cenach stałych zamiast współczynników technicznych.

Oznaczając okres bazowy, będący podstawą do wyznaczenia deflatorów i wielkości wyrażonych w cenach stałych superskryptem 0, model Leontiefa można teraz zapisać jako

(4.27) Xt0= (I − At0)⁻¹Yt0

a model cen w postaci

(4.28) pt0 = (I − At0T)⁻¹Yt0

gdzie subskrypt t oznacza czas.

5 Deflatory to inaczej indeksy cen o stałej podstawie, obliczane dla zmiennych agregatowych w wyniku podzielenia wielkości zmiennej wyrażonej w cenach bieżących przez odpowiednią wiel- kość w cenach stałych.

4 Dane o produkcji w ujęciu ilościowym dotyczą jedynie wybranych produktów. W tym kon- tekście obiecującą propozycją wydają się macierze i-o w jednostkach fizycznych (ang. pysical i-o tables lub w skrócie PIOT) – zob. np. Stahmer i in. 1998.

W zastosowaniach często zakłada się stałość w czasie macierzy współczyn- ników kosztów, tzn. przyjmuje się, że: A_t⁰=A0. W takim przypadku model Leontiefa i model cen producenta przyjmują odpowiednio postacie:

(4.29) Xt0= (I − A0)⁻¹Yt0

(4.30) pt0 = (I − A0T)⁻¹dt0

Powyższe wzory bywają również zapisywane prościej:

(4.31) Xt= (I − A)⁻¹Yt

(4.32) pt= (I − A^T)⁻¹dt

tj. bez jawnego określenia okresu bazowego dla danych w cenach stałych, lub nawet:

(4.33) X = (I − A)⁻¹Y

(4.34) p = (I − A^T)⁻¹d

tj. bez uwzględniania subskryptu czasu.

Interesującą własnością macierzy (I − A)⁻¹ jest możliwość dokonania jej rozwinięcia w następujący szereg:

(4.35) (I − A)⁻¹=I + A + A²+A³+ ¢

Ta formuła może służyć do wyliczania przybliżonych wartości pełnych współ- czynników materiałochłonności.

Prognozowanie współczynników i-o

Ważnym problemem związanym z wykorzystaniem analizy i-o jest progno- zowanie współczynników i-o. Przyjmowane w klasycznym modelu Leontiefa założenie o ich stałości jest zbyt dużym uproszczeniem, w przypadku gdy model miałby być wykorzystywany do prowadzenia średnio- czy – tym bardziej – dłu- gookresowych symulacji. Dotyczy to zwłaszcza gospodarek takich jak polska w ostatnim dziesięcioleciu, przechodzących okres zasadniczych zmian społecznych i gospodarczych. Faktu tego nie można pomijać na etapie wykorzystania modelu.

Istnieje wiele metod prognozowania współczynników i-o. Dzieli się je na dwie podstawowe klasy: metody ex post i ex ante (np. Tomaszewicz 1983 i 1994, Miller i Blair 1985).

Metody ex post bazują na danych statystycznych z przeszłości. Typowe podejście polega na sporządzeniu prognoz w oparciu o modele opisowe lub modele trendu, których parametry szacuje się na podstawie szeregów czasowych współczynników. Problemem w tym przypadku jest duża pracochłonność

badań, wynikająca z ogromnej na ogół liczby współczynników macierzy i-o, a tym samym i modeli do oszacowania i przeanalizowania. Dlatego często ogranicza się ich liczbę przez modelowanie wyłącznie tzw. współczynników ważnych (Lipiński 1997), zakładając jednocześnie stałość pozostałych współczynników.

Kolejna grupa z klasy metod ex post to metody budowy prognoz zbilanso- wanych. Gwarantują one spełnienie przez prognozowane współczynniki ich formalnych własności (takich jak nieujemność, suma w kolumnach nie przekra- czająca jedności). Do grupy tej zalicza się metodę RAS (najpopularniejszą, jak się wydaje, metodę prognozowania współczynników i-o) oraz metody oparte na technikach programowania matematycznego.

Klasa metod ex ante nie ma tak bogatej reprezentacji jak metody ex post.

Ogranicza się ona do stosowania metod heurystycznych, opartych na opiniach ekspertów reprezentujących różne sektory gospodarki (na ogół najważniejsze lub ważne z punktu widzenia celu badania), dotyczących przewidywanych zmian sektorowej struktury nakładów lub zmian pojedynczych współczynników energo- czy materiałochłonności. Są to głównie informacje inżynierskie, charakteryzu- jące technologie produkcji, które muszą być „przetłumaczone” na język współ- czynników i-o (Klein 1989).

W praktyce podejście najczęściej wykorzystywane do budowy prognoz współczynników i-o nie opiera się jednak na zastosowaniu wyłącznie jednej z wyżej wymienionych metod. Na ogół stosuje się kombinacje dwóch lub nawet większej ich liczby. Na przykład dla wybranych (ważnych) współczyn- ników i-o konstruuje się prognozy w oparciu o modele ekonometryczne lub koryguje je w oparciu o opinie ekspertów, a następnie informacje te wykorzys- tuje się do sporządzenia metodą RAS prognozy zbilansowanej obejmującej wszystkie współczynniki.

Znane są również techniki ominięcia problemu prognozowania współczyn- ników i-o. Opierają się one na znajomości tablicy i-o z jednego punktu w czasie oraz szeregów czasowych pewnych zmiennych (przede wszystkim produkcji globalnej i końcowej). W oparciu o te dane przy wykorzystaniu relacji i-o oblicza się reszty⁶ ex post pomiędzy wartościami empirycznymi i teoretycznymi obli- czonymi przy założeniu stałości współczynników i-o dla wybranej zmiennej (np. produkcji globalnej czy cen producenta). Następnie stosuje się metody ekonometryczne w celu oszacowania parametrów modelu reszt. Modele reszt przyjmują często formę trendu lub formę autoregresyjną, jednakże listę zmien- nych objaśniających można również rozszerzać o czynniki mające bezpośredni lub pośredni wpływ na zmiany współczynników i-o, jak np. ceny relatywne (Klein 1975, Plich 1990).

6 Stąd określa się tego typu techniki jako „metodę reszt”. W podrozdz. 8.1 zaproponowano metodę oceny i prognozowania zmian strukturalnych bazującą na analizie reszt.

4.1.5 Mnożniki analizy input-output

Mnożniki produkcji

Model Leontiefa wyrażony równaniem (4.33), uzależniający produkt global- ny od produktu finalnego, to zredukowana wersja modelu w postaci strukturalnej

(4.36) X = AX + Y

wynikającej z równań bilansowych produkcji. Zauważmy, że postać zreduko- wana jest jednocześnie postacią końcową modelu, gdyż model Leontiefa jest modelem statycznym. W postaci końcowej zmienne endogeniczne zależą wyłą- cznie od zmiennyh egzogenicznych i parametrów, pokazujących mnożnikowe efekty jednoczesnych sprzężeń modelu. W naszym przypadku oznacza to, że elementy macierzy (I − A)⁻¹ są mnożnikami modelu Leontiefa (por. pkt 3.2.2).

Macierz (I − A)⁻¹, nazywana jest macierzą pełnej materiałochłonności (także macierzą pełnych nakładów materiałowych lub macierzą odwrotną Leontiefa).

Oznaczmy element i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy pełnych nakładów symbolem Aij, tzn.

(4.37) (I − A)⁻¹= Aij

Współczynnik pełnych nakładów Aij jest mnożnikiem oznaczającym wielkość, o jaką zwiększy się produkt globalny i-tej gałęzi, aby produkt finalny gałęzi j-tej mógł wzrosnąć o jednostkę. Warunkiem koniecznym wzrostu pro- duktu finalnego j-tej gałęzi o jednostkę jest jednak wzrost produktów globalnych we wszystkich gałęziach gospodarki, a nie tylko w i-tej gałęzi. Aby możliwy był jednostkowy wzrost produktu końcowego w j-tej gałęzi, produkt globalny w całej gospodarce musi wzrosnąć o

(4.38)

j=

i=1

n Aij

Wielkość j nazywa się prostym mnożnikiem produkcji⁷ (mnożnikiem produkcji) dla j-tej gałęzi. Na prosty mnożnik produkcji składają się trzy różne efekty, które można prześledzić, analizując rozwinięcie macierzy odwrotnej Leontiefa dane wzorem (4.35):

– efekt początkowy, czyli jednostkowa zmiana w popycie finalnym, obrazowana przez macierz I;

– efekt bezpośredni w postaci elementów macierzy A;

– efekt pośredni wyrażony sumą kolejnych potęg (A²+A³+A⁴+ ¢).

7 Ang. simple output multiplier.

Mnożniki produkcji dla wszystkich gałęzi gospodarki można wyrazić w pos- taci wektora wierszowego, obliczanego według następującego wzoru:

(4.39) a = i^T(I − A)⁻¹

Oprócz prostych mnożników produkcji w analizie i-o definiuje się również całkowite mnożniki produkcji. Mnożniki całkowite wyliczane są jednak na podstawie rozszerzonej koncepcji modelu Leontiefa, domkniętego ze względu na sektor gospodarstw domowych (czyli głównie ze względu na indywidualny popyt konsumpcyjny), przez dołączenie go do tablicy i-o w charakterze kolejnego sektora produkcyjnego. W rezultacie całkowite mnożniki produkcji zawierają wszystkie trzy efekty składające się na mnożniki proste, a ponadto tzw. efekt indukowany, wynikający z faktu, iż zwiększenie produkcji spowoduje zwięk- szenie dochodów gospodarstw domowych i dodatkowe (ponad efekt początkowy) zwiększenie popytu finalnego.

Zauważmy jednak, że, po pierwsze, rozszerzenie modelu Leontiefa w scha- rakteryzowany powyżej sposób nie jest jedyną metodą jego domknięcia ze względu na sektor gospodarstw domowych, a po drugie, że tak rozbudowany model w dalszym ciągu pozostaje otwarty ze względu na inne sektory tworzące popyt końcowy (głównie inwestycje, spożycie rządowe, a także eksport). Zatem efekty indukowane (a tym samym mnożniki całkowite) nie są jednoznaczne⁸ – ich siła może ulegać zmianom w zależności od metody użytej w celu domknięcia modelu Leontiefa w zakresie popytu indywidualnego. Można też stwierdzić, że

„mnożniki całkowite” analizy i-o nie są mnożnikami całkowitymi w ogólnym sensie, bo zawierają tylko jeden z możliwych efektów indukowanych, wynika- jący ze sprzężenia pomiędzy dochodami gospodarstw domowych, wydatkami i produkcją. Nie zawierają natomiast efektów indukowanych innymi sprzężenia- mi występującymi w gospodarce⁹.

Warto podkreślić, że modele analizy i-o, a w szczególności model Leontiefa domknięty ze względu na gospodarstwa domowe, są modelami liniowymi, co umożliwia ich rozwiązanie metodami analitycznymi, przez określenie postaci końcowej, a więc i mnożników. Jednakże w przypadku, gdy domknięcia modelu dokonuje się przy użyciu funkcji nieliniowych, wyprowadzenie odpowiednich wzorów może się okazać zbyt trudne i wówczas rozwiązuje się model metodami numerycznymi (symulacje), a odpowiednie mnożniki przyjmują postać mnożni- ków uogólnionych (por. pkt 3.2.2).

9 W modelu gospodarki prezentowanym w części poświęconej zastosowaniom zaproponowa- ny jest inny sposób domknięcia modelu Leontiefa ze względu na popyt indywidualny, a ponadto zendogenizowane są także inne elementy popytu finalnego.

8 Oczywiście, również proste mnożniki produkcji nie są, w tym sensie, jednoznaczne, bo mogą być wyliczone na podstawie odmiennych (w stosunku do propozycji Leontiefa) systemów równań produkcji (zob. np. rozdz. 5 i 7).

Inne mnożniki

Omówione w poprzednim punkcie mnożniki produkcji nie wyczerpują pro- blematyki mnożników analizy i-o. Pojęcie to można uogólnić na dowolny czynnik produkcji lub jej pozaprodukcyjne rezultaty, niezależnie od sposobu ich pomiaru.

Można np. analizować nakłady pracy (w formie zatrudnienia, wynagrodzeń czy dochodów), nakłady dóbr ekologicznych, nakłady energii i efekty zewnętrzne (w tym emisję zanieczyszczeń) w jednostkach naturalnych.

Załóżmy, że analizowany czynnik (rezultat) produkcji pozostaje w pewnych proporcjach w stosunku do wielkości produkcji w gałęziach, w których jest zuży- wany (produkowany). Proporcję tę dla j-tej gałęzi oznaczymy symbolem cj:

(4.40) cj= ^C_X^j

j

gdzie:

j – numer gałęzi;

X – produkt globalny;

C – nakłady czynnika (rozmiary rezultatu).

Zauważmy, że współczynniki cj zdefiniowane są analogicznie do współczyn- ników bezpośrednich nakładów materiałowych, czyli jako nakład czynnika (rezultat produkcji) przypadający na jednostkę produktu j-tej gałęzi. Współ- czynniki tego typu określamy mianem współczynników bezpośrednich nakładów czynnika (rezultatu produkcji). Warto też podkreślić, że o ile produkt globalny mierzony jest na ogół w jednostkach pieniężnych, o tyle czynniki (rezultaty) mogą być wyrażone zarówno w ujęciu pieniężnym, jak i naturalnym. Tablice i-o, w których produkt globalny i czynniki lub rezultaty produkcji np. zużycie energii, zanieczyszczenia itp. – wyrażone są w różnych jednostkach, określa się często jako tablice o strukturze hybrydowej.

Łączną wielkość nakładów czynnika (rozmiarów rezultatu) można zapisać w postaci następującego równania wektorowego:

(4.41) C = c^TX

gdzie:

c – wektor (kolumnowy) współczynników bezpośrednich nakładów czyn- nika (rezultatów produkcji);

X – wektor produktów globalnych w gałęziach.

Podstawiając (4.33) do (4.41) otrzymujemy

(4.42) C = c^T(I − A)⁻¹ Y

Powyższy wzór uzależnia wielkość poniesionych nakładów czynnika (uzyska- nych rezultatów produkcji) od wielkości produktu końcowego. Wyrażenie ujęte w nawiasy kwadratowe to wektor prostych mnożników czynnika (rezultatu)¹⁰:

(4.43)

^T =c^T(I − A)⁻¹

Mnożnik dla j-tej gałęzi interpretujemy jako łączną zmianę nakładów czynnika (rezultatów produkcji) w całej gospodarce, związaną z jednostkową zmianą produktu końcowego j-tej gałęzi.

Można teraz zdefiniować tzw. mnożnik typu I (pierwszego)¹¹

(4.44) MjI= ^c^j_j

Powyższy mnożnik pokazuje łączne nakłady czynnika (rezultaty produkcji) w całej gospodarce, wynikające z jednostkowej zmiany tego czynnika (rezultatu) w j-tej gałęzi (a nie, jak w przypadku mnożnika prostego, wynikające z jednos- tkowej zmiany produktu końcowego j-tej gałęzi).

4.1.6 Techniki dekompozycji strukturalnej

Dekompozycja strukturalna (SDA¹²) jest metodą badania zmian zjawisk eko- nomicznych w czasie. Polega ona na rozdzieleniu zaobserwowanych wielkości zmian na ich źródła. Prawzorów tej metody można doszukiwać się we wczesnych pracach Leontiefa, poświęconych zmianom strukturalnym w gospodarce amery- kańskiej (1941, 1953, Leontief i Ford 1972). Na uwagę zasługują również prace Chenery’ego (Chenery i in. 1962), Carter (1970). Techniki dekompozycji struk- turalnej znaczną popularność zyskały jednak dopiero w ostatnich kilkunastu latach. Co ciekawe, mimo iż własności metody nie są dobrze rozpoznane, liczba publikacji poświęconych zastosowaniom SDA wielokrotnie przewyższa liczbę prac teoretycznych. Do tej ostatniej grupy można zaliczyć publikacje Skolki (1989), Rose’a i Casler’a (1996), a także Dietzenbacher’a i Los’a (1998, 2000) oraz Ang’a (1999).

Techniki SDA bazują na modelach statycznych, ale umożliwiają analizowanie różnic pomiędzy alternatywnymi stanami stacjonarnymi układu gospodarczego,

12Ang. structural decomposition analysis. Metodą pokrewną w stosunku do SDA jest index number analysis (INA), co można przetłumaczyć jako dekompozycję indeksów (lub analizę indek- sów). SDA wykorzystuje model i-o, podczas gdy INA poprzestaje na analizie agregatów na poziomie sektorowym.

11W przypadku modeli domkniętych definiuje się tzw. mnożniki typu II (drugiego), które są ilorazem mnożnika całkowitego i efektu bezpośredniego.

10Podobnie jak w przypadku produkcji, również w przypadku czynników (rezultatów) okreś- lenie „mnożniki całkowite” dotyczy modeli domkniętych.

np. pomiędzy wielkościami produkcji w dwóch różnych okresach¹³. Mimo że dotychczas znane techniki dekompozycji są krytykowane jako zbyt arbitralne (Schumann 1994), ich popularność, mierzona liczbą publikacji, stale rośnie i nie sposób ich wszystkich wymienić (przykładami nowszych publikacji są:

Aying i Saal 2001, Haan 2001, Jacobsen 2000, Albala-Bertrand 1999 itd.).

Przyczyną jest, jak się wydaje, fakt, że SDA jest alternatywą dla estymacji ekono- metrycznej, która co prawda może pokazywać związki w ujęciu dynamicznym, ale wymaga znacznie większej liczby obserwacji.

Idea SDA zasadza się na założeniu, że wielkość badanego zjawiska daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch zmiennych (komponentów):

(4.45) y = x$ z

Jeśli operator oznacza zmiany, które zaszły pomiędzy okresami 0 i 1, to zmiany
y można zapisać w postaci następującej formuły:

(4.46)

y = x1$ z¹−x0$ z⁰ którą z kolei można zapisać jako

(4.47)

y =
x $ z¹+x0$
z

W powyższym wzorze zmiany zmiennej y zostały przedstawione jako ważona suma zmian jej komponentów x i z i w tym sensie zdekomponowane.

Wagami dla zmian x są poziom z w okresie 1, a w przypadku zmian z – poziom x w okresie 0.

Wzór (4.47) pokazuje jeden z dwóch sposobów dekompozycji zmiennej.

W drugim ze sposobów zmieniają się wagi: wagami dla zmian x są poziom z w okresie 0, a dla z – poziom x w okresie 0, tzn.

(4.48)

y =
x $ z⁰+x1$
z

Obie dekompozycje są traktowane równoważnie z teoretycznego punktu widzenia, choć dają odmienne wyniki – zarówno w jednym, jak i w drugim przy- padku mówi się o wyodrębnieniu udziałów zmian komponentów x i z w zmia- nach y¹⁴. Podobną dekompozycję można przeprowadzić w przypadku, gdy zmienna y składa się z większej liczby komponentów. Wówczas jednak liczba równoważnych alternatyw wzrasta i dla n komponentów wynosi n! (czyli jest równa liczbie permutacji z liczby komponentów)¹⁵.

15W zastosowaniach często spotyka się podejścia mieszane, w których stosuje się uśrednione wagi dla zmian komponentów. Więcej informacji na ten temat oraz wyniki analizy wrażliwości różnych podejść można znaleźć w artykule Dietzenbacher’a i Los’a (1998).

14Zauważmy że postępowanie to jest analogią do wyodrębniania wpływu ilości i cen na zmiany wartości za pomocą indeksów Laspeyres’a i Paasche’go

13Wspominaliśmy o tym w pkt 3.1.2 przy okazji klasyfikowania modeli.

Opisany powyżej sposób dekompozycji zmian zjawiska na zmiany w kom- ponentach można uogólnić na sytuacje, w których wielkośći y, x i z są wektorami lub macierzami, jak ma to miejsce, np. w modelu Leontiefa postaci

(4.49) X = (I − A)⁻¹Y

Model ten jest bowiem zbudowany według wzorca (4.45) – wektor produkcji globalnych jest wyrażony w postaci iloczynu macierzy współczynników pełnych nakładów materiałowych (I − A)⁻¹ i wektora popytu finalnego Y. Można więc w tym przypadku przedstawić przyrost produkcji globalnej analogicznie do wzoru (4.47), czyli jako następującą sumę:

(4.50)

X =
(I − A0)⁻¹Y1+ (I − A0)⁻¹
Y

Przyrost produkcji globalnych jest tu ważoną sumą zmian w technologii produkcji (reprezentowanych przez macierz odwrotną Leontiefa) pomiędzy okresem 0 a okresem 1 i zmian w popycie końcowym na produkty sektorów (wektor Y). W roli wag występują odpowiednio popyt końcowy na produkty sektorów w okresie 1 i technologie produkcji z okresu bazowego 0.

Warto w tym miejscu zauważyć powiązania pomiędzy dekompozycją daną np. r(4.47) a wynikami pewnych symulacji wykonanych przy użyciu modelu zawierającego równanie (4.45). Okazuje się, że składniki dekompozycji mogą być wyznaczane poprzez symulacje. Jeśli np. wykonać symulację kontrfaktyczą na takim modelu, przyjmując, że wartości zmiennej x są stałe i pochodzą z okresu 0, to jej wynikiem będzie hipotetyczna wielkość zmiennej y dana równaniem¹⁶

(4.51) y = x0$ z

Odejmując stronami (4.45) i (4.51) mamy

(4.52) y − y = x$ z − x⁰$ z = (x − x⁰) $ z =
x $ z

Jeśli w powyższej zależności skoncentrować uwagę na wyliczeniach dla okresu oznaczonego jako „1”, to otrzymana różnica pomiędzy y i wyniesiey

(4.53) y1−y₁=
x $ z¹

Widać, że pierwszy ze składników dekompozycji (4.47) jest równy prawej stronie powyższego równania. Oznacza to, że składnik ów może być wyznaczony techniką symulacji. Wykonując inne symulacje i znajdując odpowiednie odchy- lenia, jak pokazane zostało to w (4.53), można obliczyć wszystkie składniki dekompozycji, niezależnie od liczby wyróżnionych komponentów.

16W zapisie pomijamy subskrypt czasu.

4.2 Modele produktowo-gałęziowe

W klasycznej analizie i-o zakłada się, że każda gałąź produkcji wytwarza jeden i tylko jeden produkt. Ten rodzaj analizy można określić mianem „gałąź na gałąź”. Ponieważ w analizie gałąź na gałąź każdy produkt wytwarzany jest tylko przez jedną gałąź (sektor) i każda gałąź wytwarza tylko jeden produkt, nie ma potrzeby wprowadzania rozróżnienia pomiędzy produktami i gałęziami.

Założenie to może być jednak uchylane, prowadząc do analizy określanej mianem

„produkt na gałąź” (analizy produktowo-gałęziowej). W podejściu produktowo- -gałęziowym możliwe staje się prowadzenie analiz, w których przepływy dóbr wyrażone są w różnych jednostkach, a w szczególności w jednostkach natural- nych. Przedstawiony tutaj model produktowo-gałęziowy systemu ekonomicz- nego jest podstawą konstrukcji modelu e-e, przedstawionego w punkcie 4.4.2.

4.2.1 Od macierzy produkcji i macierzy zużycia do macierzy produktowo-gałęziowych

Założenie klasycznego modelu Leontiefa o jednorodności produkcji gałęzi w zetknięciu z praktyką okazuje się założeniem bardzo mocnym. W praktyce bowiem przedsiębiorstwa, oprócz produktów wynikających z głównego profilu działalności, prowadzą działalność uboczną, która powiększa wartość wytwo- rzonego przez nie produktu globalnego. W przypadku, gdy produkty pochodzące z działalności ubocznej (ich wartość może w szczególnych przypadkach przek- raczać wartość produktów profilu podstawowego) z punktu widzenia zastoso- wanej klasyfikacji gałęziowej powinny być traktowane jako produkt innej gałęzi, pojawia się problem, którego nie można rozstrzygnąć bez uchylania założenia o jednorodności produkcji gałęzi. Konstruowanie klasycznych tablic przepływów międzygałęziowych (gałąź na gałąź), dla układów gospodarczych, w których produkcja uboczna w gałęziach stanowi istotną część wartości produktu global- nego, może prowadzić do błędnych wniosków na etapie wykorzystania modeli.

Odpowiedzią na opisane powyżej problemy związane z zastosowaniem kla- sycznych tablic przepływów międzygałęziowych są tablice produktowo-gałę- ziowe. W tablicach tych dane dotyczące nakładów pokazane są nie w układzie produktów, do których wytwarzania zostały one zużyte, ale w układzie gałęzi, które je wykorzystały, tzn. przepływy dóbr w gospodarce przedstawione są jed- nocześnie w przekroju gałęziowym i w przekroju produktowym. Dane do takich tablic gromadzi się przy wykorzystaniu dwóch metod. Są to:

– metoda przedsiębiorstw, w której produkt uboczny zaliczany jest do rodzaju działalności wyznaczonego przez podstawowy profil produkcji przedsiębiorstwa wytwarzającego ten produkt;

– metoda produktu, w której produkt zaliczany jest do działalności zgodnie z jego właściwościami, niezależnie od tego, czy mieści się on w profilu pod- stawowym czy ubocznym przedsiębiorstwa.

Metody te¹⁷ dają identyczne rezultaty w przypadku, gdy produkcja wytwarzana przez poszczególne przedsiębiorstwa jest jednorodna, tj. gdy zgodnie z przyjętą klasyfikacją gałęziową – przedsiębiorstwa nie mają produkcji ubocznej.

W związku z dwiema metodami agregacji danych tablicę pokazującą prze- pływy produktów można przedstawić również na dwa sposoby, tzn. jako:

– macierz produkcji¹⁸, której wiersze pokazują produkcję gałęzi według profilu działalności – elementy na głównej przekątnej pokazują wartości produktów profilu podstawowego, a pozostałe elementy wartość wytworzonych produk- tów ubocznych; kolumny tej macierzy pokazują strukturę produktu według gałęzi wytwarzania;

– macierz zużycia¹⁹, w której wierszach przedstawia się rozdysponowanie produktów wytworzonych w układzie gospodarczym pomiędzy różne gałęzie produkcji, a w kolumnach – zapotrzebowanie gałęzi na produkty (materiały niezbędne do produkcji).

Wprowadźmy nastepujące oznaczenia:

m – liczba wytwarzanych w gospodarce produktów;

n – liczba gałęzi w gospodarce;

V – macierz produkcji [vij]n%m; vij oznacza ilość j-tego produktu wytwarzaną przez i-tą gałąź;

U – macierz zużycia [uij]m%n; uij oznacza ilość i-tego produktu zużywaną przez j-tą gałąź;

E – wektor produktów finalnych [eij]m%1;

Q – wektor produktów globalnych [qij]_m%1 według metody produktu;

W – wektor produktów dodanych [wij]n%1;

X – wektor produktów globalnych gałęzi [xij]m%1 według metody przedsię- biorstw.

19Ang. use matrix lub absorption matrix.

18Ang. make matrix.

17Użyte tutaj nazwy „metoda przedsiębiorstw” i „metoda produktu” pochodzą z systemu MPS i (pominąwszy oczywiste różnice pomiędzy systemem MPS i SNA) odpowiadają metodom gromadzenia danych w systemie SNA bazującym na lokalnych jednostkach rodzaju działalności i jednostkach jednakowego produktu – zob. pkt 2.2.1. Używamy ich tutaj, ponieważ w naszym przekonaniu dobrze odzwierciedlają istotę metod.

Schemat tablicy produktowo-gałęziowej, uwzględniający powyższe ozna- czenia, prezentujemy na rysunku 4.2.

Rysunek 4.2 Schemat tablicy produktowo-gałęziowej

X^T Q^T

Produkt globalny

produkt krajowy Produkt W

dodany

V X

macierz produkcji Gałęzie

Q U E

macierz zużycia Produkty

Produkt globalny Produkt

finalny Gałęzie

Produkty

Źródło: Miller i Blair 1985.

Poniżej przedstawiony jest przykład produktowo-gałęziowej tablicy prze- pływów. Dane użyte w przykładzie zostały przygotowane na podstawie tablicy przepływów międzygałęziowych z roku 1990 dla gospodarki Polski. Dla celów przykładu dane te zostały zagregowane do poziomu dwóch sektorów. W gospo- darce wyróżniono dwie gałęzie:

– przemysł (Przemysł), którego główny produkt określamy jako Przem;

– pozostałe gałęzie (Pozostałe), których główny produkt nazywamy Poz.

Łączna wartość produkcji Przemysłu wynosi 59,1 mld zł. Łączna wartość produkcji Pozostałych wynosi 65,3 mld zł, z czego 5,5 mld zł przypada na ubo- czną produkcję dobra Przem. Macierz produkcji zbudowana na podstawie powyższych danych przedstawiona jest w tabeli 4.1.

Wiersze macierzy produkcji pokazują strukturę produkcji gałęzi wyróżnio- nych w gospodarce, a kolumny – strukturę gałęziową produktów. Elementy dia- gonalne obrazują wielkość produkcji głównych produktów w gałęzi, a wielkości poza główną przekątną obrazują produkcję uboczną.

Tabela 4.1 Macierz produkcji dla gospodarki Polski

124.4 59.9

64.5 Produkt globalny

65.3 59.8

5.5 Pozostałe

59.1 0.1

59.0 Przemysł

Gałęzie

Poz Przem

Produkt globalny Produkty

Źródło: obliczenia własne na podstawie: Bilans… 1992.

Uzupełnijmy powyższy przykład dodatkowymi informacjami. Załóżmy, że Przemysł zużywa produkty Przem o wartości 18,6 mld zł i produkty Poz o war- tości 10,4 mld zł, natomiast gałąź Pozostałe zużywa produkty Przem o wartości 15,2 md zł i Poz o wartości 14,2 mld zł. Na podstawie tych danych zbudowana została macierz pokazana w tabeli 4.2. W celu uproszczenia przykładu wiersz importu, występujący w oryginalnej tablicy, potraktowaliśmy jako element wartości dodanej.

Tabela 4.2 Macierz zużycia dla gospodarki Polski

124.4 65.3

59.1 Produkt globalny

66.0 35.9

30.1 Wartość dodana

59.9 35.3

14.2 10.4

Poz

64.5 30.7

15.2 18.6

Przem

Produkty

Pozostałe Przemysł

Produkt globalny Produkty

finalny Gałęzie

Źródło: obliczenia własne na podstawie: Bilans… 1992.

Informacje zawarte w macierzy produkcji i macierzy zużycia można przed- stawić w postaci jednej macierzy produktowo-gałęziowej, co pokazuje tabela 4.3.

Tabela 4.3. Macierz produktowo-gałęziowa dla gospodarki Polski

65.3 59.1

59.9

64.5 Q^T X^T 124.4

Produkt globalny (nakłady)

35.9

30.1 W 66.0

Wartość dodana

65.3 59.8

5.5 Pozostałe

59.1 0.1

59.0 Przemysł

X Gałęzie V

59.9 35.3

14.2 10.4

Poz

64.5 30.7

15.2 18.6

Przem

Q E

U Produkty

Pozostałe Przemysł

Poz Przem

Produkt globalny (wyniki) Produkt

finalny Gałęzie

Produkty

Źródło: obliczenia własne na podstawie: Bilans… 1992.

4.2.2 Model nakładów i wyników oparty na macierzach produktowo-gałęziowych

W tradycyjnym modelu Leontiefa centralne miejsce zajmuje macierz , transformująca popyt finalny w popyt całkowity. W modelach opar- (I − A)⁻¹

tych na tablicach produktowo-gałęziowych można wyprowadzić kilka wariantów takiej macierzy, bo zarówno popyt finalny, jak i popyt całkowity mogą być przedstawione w układzie produktowym lub gałęziowym. Stąd też, w zależności od celu badania, macierz całkowitego zapotrzebowania może być skonstruowana jako macierz typu produkt na produkt, produkt na gałąź, gałąź na produkt lub gałąź na gałąź. Drugim kryterium prowadzącym do różnych postaci macierzy całkowitego zapotrzebowania jest zastosowane w badaniu założenie dotyczące technologii. Mając macierz produkcji, można przyjąć założenie o technologii produktowej lub o technologii gałęziowej (zob. Almon 2000, Rainer i Richter 1992).

Sumując elementy macierzy produkcji w wierszach, otrzymujemy wektor produktów globalnych według gałęzi (wyznaczony metodą przedsiębiorstw):

(4.54) X = Vi

gdzie i jest wektorem, którego wszystkie elementy wynoszą 1.

Dzieląc element vij macierzy produkcji przez wielkość produktu globalnego i-tej gałęzi, otrzymujemy udział j-tego dobra w produkcie globalnym i-tej gałęzi:

(4.55) cij=vij/Xi

a w notacji macierzowej:

(4.56) C = V^TXˆ⁻¹

Współczynniki cij nazywa się współczynnikami towarowej struktury pro- duktu gałęzi²⁰. Założenie o stałości współczynników macierzy C nazywane jest założeniem o technologii produktowej²¹.

Sumując elementy macierzy produkcji w kolumnach, otrzymujemy wektor produktów globalnych (wyznaczony metodą produktu):

(4.57) Q^T=i^TV

Dzieląc element vij macierzy produkcji przez wielkość łącznej produkcji j-tego dobra, otrzymujemy udział produktu i-tej gałęzi w łącznej produkcji j-tego dobra:

(4.58) dij=vij/Qj

lub w notacji macierzowej:

(4.59) D = VQˆ⁻¹

Współczynniki dij nazywa się współczynnikami gałęziowej struktury towa- rów²². Założenie o stałości współczynników macierzy D nazywane jest założe- niem o technologii gałęziowej²³.

Rozważania dotyczące założenia o technologii produkcji skłaniają do sfor- mułowania następujących wniosków:

1) Założenie o technologii gałęziowej oznacza, że gdy różne gałęzie wytwarzają taki sam produkt, to każda z nich stosuje do jego produkcji inną, własną technologię, charakterystyczną dla produktu podstawowego wytwarzanego w tej gałęzi, i że gałęziowa struktura wytwarzania tego produktu jest stała.

23Ang. industry-based technology assumption.

22Ang. commodity output proportion.

21Ang. commodity-based technology assumption.

20Ang. industry output proportion.

2) Założenie o technologii produktowej oznacza, że gdy ten sam produkt jest wytwarzany przez różne gałęzie, to gałęzie te stosują do jego produkcji tech- nologię tej gałęzi, dla której jest on produktem podstawowym, i że produk- towa struktura wytwarzania w każdej z gałęzi jest stała.

W dalszych rozważaniach dotyczących tablic produktowo-gałęziowych i zwią- zanych z nimi modeli i-o uwaga zostanie skoncentrowana wyłacznie na jednym z możliwych wariantów macierzy całkowitego zapotrzebowania. Będzie to gałę- ziowo-produktowa macierz całkowitego zapotrzebowania, wyprowadzona przy założeniu technologii gałęziowej. Analogiczne rozważania można przeprowadzić wprowadzając założenie o technologii produktowej.

W kategoriach macierzy produktowo-gałęziowej współczynniki kosztów (produktowo-gałęziowe współczynniki bezpośredniego zapotrzebowania) przyj- mują postać:

(4.60) bij=uij/Xj

lub w ujęciu macierzowym:

(4.61) B = UXˆ⁻¹

gdzie Xˆ oznacza macierz diagonalną, w której główna przekątna utworzona została z elementów wektora X.

Równanie bilansowe produkcji w konwencji macierzy produktowo-gałęziowej (w notacji macierzowej) ma następującą postać:

(4.62) Q = Ui + E

Wykorzystując zależność (4.61) oraz fakt, że Xˆi = X, powyższe równanie można zapisać w postaci:

(4.63) Q = BX + E

Równanie (4.63) odpowiada równaniu bilansowemu produkcji w tradycyjnym modelu Leontiefa.

Korzystając z tej zależności, możemy zapisać równanie (4.54) w postaci:

(4.64) X = DQ

Podstawiając równanie (4.64) do (4.63) mamy:

(4.65) Q = BDQ + E

Równość tę można przekształcić do postaci:

(4.66) Q = (I − BD)⁻¹E

Podstawiając równanie (4.66) do (4.64) otrzymujemy następującą zależność:

(4.67) X = D(I − BD)⁻¹ E

4.3 Regionalne modele input-output

Modele i-o pomyślane były pierwotnie jako modele konstruowane dla całych gospodarek. W pierwszej połowie lat pięćdziesiątych zaczęto wykorzystywać je również do badania zjawisk ekonomicznych na szczeblu wewnątrz- i międzyre- gionalnym (Isard 1951, Isard i Kuenne 1953). Następne lata przyniosły ogromną liczbę publikacji w tej dziedzinie. Przegląd regionalnych modeli i-o można zna- leźć m.in. w książkach Polenske (1980) i Miernyka (1982).

Regionalne modele i-o mają szczególne znaczenie w badaniach nad powiąza- niami gospodarki i środowiska, albowiem problematyka e-e ma w dużej mierze wymiar regionalny.

Pojęcie regionu w modelowaniu regionalnym nie jest jednoznacznie spre- cyzowane. Regionami mogą być:

– obszary administracyjne państw – wówczas konstruktorzy modeli mają stosunko- wo najmniej kłopotów związanych z bazą danych statystycznych;

– obszary jednorodne pod względem kierunków i natężenia wykorzystania gospodarczego – najwłaściwsze z punktu widzenia celów budowy modeli e-e;

– obszary geograficzne – są one na ogół jednorodne pod względem możliwości ich wykorzystania do celów gospodarczych i pod względem zdolności asymi- lacyjnych środowiska, ale ich modelowanie sprawia najwięcej kłopotów ze Macierz ujęta w nawiasy kwadratowe jest gałęziowo-produktową macierzą całkowitego zapotrzebowania, wyznaczoną przy założeniu technologii gałęziowej.

Jej elementy informują, o ile powinien wzrosnąć produkt globalny i-tej gałęzi, aby popyt finalny na j-ty produkt mógł wzrosnąć o jednostkę.

Wracając do przykładu liczbowego, wyznaczone zostaną macierze B i D:

(4.68) B = 0, 315 0, 233

0, 176 0, 217 , D = 0, 915 0, 002 0, 085 0, 998

Obliczona na tej podstawie macierz całkowitego zapotrzebowania przyjmuje postać:

(4.69) D(I − BD)⁻¹= 1, 432 0, 428

0, 492 1, 422

Współczynnik w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie powyższej macierzy, wynoszący 0,428, informuje o tym, że produkt globalny Przemysłu powinien wzrosnąć o 428 mln zł, aby produkt finalny Poz mógł wzrosnąć o 1 mld zł.