PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadania powtórzeniowe

(1)

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadania powtórzeniowe

Zadania I

1. Na podstawie danych z lat 1988-1999 zbudowano model:

,

y_t =120 3 5+ t s = 2000 sztuk, R² = 0,93

opisuj cy liczb sprzedawanych arówek w tysi cach sztuk w pewnej firmie. Wyznaczy prognoz na 2000 rok. Oceni jej dopuszczalno wiedz c, e prognoza mo e by obarczona bł dem co najwy ej 4%.

2. Funkcja trendu wyznaczona na podstawie danych o wielko ci sprzeda y wyrobów masarskich (w tonach) w pewnej firmie w ostatnich 9 miesi cach 1999 r. ma posta :

,

y_t =150 7 5+ t s = 7,2 tony, R² = 0,95 a) wyznaczy prognoz na stycze 2000,

b) oceni dopuszczalno zbudowanej prognozy,

c) dla poziomu ufno ci 1 - α = 0,98 zbudowa prognoz przedziałow (przyj , e rozkład reszt jest normalny), okre li wielko bł du wzgl dnego,

d) dla poziomu ufno ci 1 - α = 0,98 zbudowa prognoz przedziałow (przyj , e rozkład reszt jest nieznany), okre li wielko bł du wzgl dnego,

e) oceni trafno prognozy punktowej je li rzeczywista wielko sprzeda y w styczniu 2000 roku wyniosła 260 ton.

3. Na podstawie danych z jedenastu miesi cy:

Y 2,1 1,2 4,2 3 6,1 9,9 13,1 14,2 17 19,2 25 X 1,5 2,4 3,9 5,6 6,5 8 8,3 9,4 9,5 10,3 11 wyznaczono równanie regresji

, ,

Y = −5 17 2 25 + X

Przewidywana warto X w dwunastym miesi cu wynosi 11,5. Wyznacz prognoz punktow i przedziałow dla Y na dwunasty miesi c przyjmuj c poziom ufno ci 0,99.

4. Do budowy miesi cznych prognoz wielko ci sprzeda y m ki (w tonach) w pewnej firmie u ywano modelu:

y^t =300+ 500t

s = 10,15 tony, R² = 0,92

którego parametry oszacowano na podstawie danych od styczna 1998 do marca 1999.

Rzeczywista wielko sprzeda y m ki w kwietniu 1999 wyniosła 320 ton, w maju 1999 za 310 ton. Oceni trafno zbudowanych prognoz.

5. Y - udział braków w produkcji pewnej firmy (w promilach), Dane z lat 1994-2000:

Rok 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Y 13 12 10 10 9 9 8

Dla modelu trendu liniowegoY =β₀+β₁t+ε wyznaczy estymatory parametrów strukturalnych i poda interpretacj ich warto ci. Wyznaczy prognoz punktow i przedziałow (przyj poziom ufno ci równy 0,98) udziału braków w produkcji w roku 2001.

Obliczy bł d wzgl dny tej prognozy.

6. W modelu liniowej regresji zadłu enia (Y - tys. PLN) podmiotów gospodarczych z tytułu

kredytów wzgl dem warto ci produkcji sprzedanej

(2)

(X - mln PLN) dla 80 podmiotów z sektora produkcyjnego otrzymano:

cov(X, Y) = -2,88; X = 5,5; S(X) = 0,6; Y = 183,0; S(Y) = 8,0 Poda prognoz punktow i przedziałow dla x = 9.

7. Dla modelu Y =β₀+β₁X +ε uzyskano w próbie losowej o liczebno ci n = 20 m.in.

nast puj ce rezultaty:

X = 5; V(X) = 20%; x_i² = 520;

S(Y) = 3; V(Y) = 20%; y²_j = 4680 , x y_i _j = 1450 Poda prognoz punktow i przedziałow dla x = 10.

8. Na podstawie danych:

X 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12 13,4 14,7

Y 17 16,2 13,3 13 9,7 9,9 6,2 5,8 5,7

otrzymano nast puj ce wyniki:

7 ,

=735

i XiYi ; =81,3

i Xi ; =96,8

i Yi ; 63

,

2 =865

i Xi ; ² =1194

i Yi

Oszacowa parametry modelu Y =β₀+β₁X +ε. Poda prognoz punktow i przedziałow dla x = 15.

9. Y - wydajno (szt./h), X - czas od zainstalowania maszyny (miesi ce), Zbadano n = 11 maszyn, otrzymano nast puj ce wyniki:

25 ,

=682

i XiYi ; =86

i Xi ; =98,26

i Yi ;

2 =868

i Xi ; ² =1087,91

i Yi

Poda prognoz punktow i przedziałow dla x = 10.

10. Y – wydatki miesi czne na ywno w rodzinie (setki. zł), X – dochody miesi czne na jednego członka rodziny (tys. zł), Zbadano n = 9 rodzin, otrzymano nast puj ce wyniki:

( )( )

¹²^,⁰²

9 1

=

−

=

i xi x yi y ; ⁹ 6,4

1

=

i xi ; ⁹ 124

1

=

i yi ;

52 ,

9 5

1 2 =

=

i xi ; ⁹

( )

¹⁵¹^,⁵⁶

1

2 =

−

=

i yi y

Poda prognoz punktow i przedziałow dla x = 10.

(3)

11. Dany jest model produkcji oszacowany na podstawie danych kwartalnych z lat 1995 - 2001.

e t

X X

Yˆ =0,59 ₁⁰^,⁷⁸ ₂⁰^,³⁸ ⁰^,⁰¹² Y - warto produkcji (mln zł)

X1 - zatrudnienie (tys. osób)

X₂ - warto brutto rodków trwałych (mln zł) t - zmienna czasowa (t = 1 dla I kwartału 1995) Podaj interpretacj parametrów 0,78 i 0,38.

Wyznacz prognoz na I kwartał 2002, je li zatrudnienie w tym okresie ma wynosi 56 600 osób, a warto brutto rodków trwałych osi gnie poziom 5 886 mln zł.

(odp. 1,11 mln zł).

12. X - nakłady (tys. zł), Y zysk (tys. zł). Maj c dane x 20 50 60 80 90 110

y 10 30 40 60 100 120

Wyznacz kwadratow funkcj regresji. Oce jej dopasowanie do danych statystycznych. Jaki b dzie zysk przy nakładach 100000 zł.?

Zadania II

1. Niech Y - roczny zysk firmy (mln. zł), X1 - rednia miesi czna płaca (tys. zł.), X2 - wielko rocznej produkcji (tys. szt)

Rozpatrujemy model Y = β₀+β₁X₁+β₂X₂+ε. Mamy dane z pi ciu kolejnych lat:

i wiemy, e Y = −0 4, − X₁+2 2, X₂; S_e²=0,1

(

^{X X}^T

)

⁻ ⁼ ⁻⁻

− −

1 10 2 8 7,6

8 10 8

7,6 8 6 8 ,

,

W 6-tym roku działalno ci firmy planowana jest roczna produkcja na poziomie 4100 szt.

i rednia miesi czna płaca 2800 zł. Obliczy przewidywany zysk (okre li prognoz punktow i przedziałow przyj poziom ufno ci równy 0,95).

2. Na podstawie danych z lat 1980-1996 oszacowano liniowy model ekonometryczny

2

1 10

18

ˆ 200 x x

Y = + + t = 1, 2, 17

wiemy, e; S_e²= 331 S_e²

( )

−

− =

5 1 1

1 4 0

1 0 2 X 1

X^T

trendy dla zmiennych obja niaj cych:

t Xˆ 6 0,2

1 = + Xˆ 20 0,5t

2 = + t = 1, 2, 17

Obliczy przewidywan warto Y w roku 2001 (okre li prognoz punktow i przedziałow przyj poziom ufno ci równy 0,9).

Y 3 4 5 5 6

X1 1 1 1,5 2 2,5 X2 2 2,5 3 3,5 4

(4)

3. Dany jest model oszacowany na podstawie danych kwartalnych z 15 lat poprzednich

t t

t

t t t

Z Z

Z t Y

X Y

K

R K

P

3 3 , 1 2 3 , 6 1 4 6 , 0 ˆ 20

5 , 0 3 , 0 ˆ 7

1 , 2 3 , 1 ˆ 13

1

+

− + +

=

+ +

=

+ +

=

−

t = 1, 2, ... (zmienna czasowa, numery kwartałów).

Z1, Z2, Z3 - zmienne zerojedynkowe (jedynka dla odpowiedniego kwartału).

Wyznacz prognoz na pierwszy kwartał kolejnego roku dla wszystkich zmiennych obja nianych tego modelu, je li dla tego kwartału X = 22,4; R = 30.

(odp. 121,5, 35, 60,6)

4. Rozpatrzmy model liniowy popytu oszacowany na podstawie danych z lat 1990-2001

2 1 0,0756 4905

, 0 6171 ,

ˆ 18 X X

Y = − +

Y - popyt , X1 - cena, X2 - rednia płaca.

a) Poda interpretacj parametrów,

b) Jaka powinna by rednia płaca w 2002 roku aby warto popytu była wi ksza od 100, wiedz c, e w 2002 roku cena mo e by w granicach 99 - 112?

c) Na jaki popyt mo na liczy w 2002 roku przy płacach w granicach 1800 - 2600 i cenie 99 - 112?

Zadania III

1.

Sprzeda multimedialnych programów do nauki j zyka angielskiego (w szt.) w pewnej ksi garni od stycznia do grudnia 1999 r. kształtował si nast puj co:

64, 63, 64, 65, 63, 64, 65, 62, 62, 63, 62, 64

a) okre li składowe szeregu czasowe,

b) stosuj c redni ruchom 3-elementow , wyznaczy prognozy wygasłe sprzeda y programów od pa dziernika do grudnia 1999 roku,

c) stosuj c redni ruchom 5-elementow , wyznaczy prognozy wygasłe sprzeda y programów od pa dziernika do grudnia 1999 roku,

d) wybra jedn z powy szych metod, korzystaj c z kryterium redniego wzgl dnego bł du ex post wyznaczonych prognoz wygasłych,

e) wyznaczy prognoz sprzeda y na stycze 2000 r. wybran metod ,

f) oceni trafno prognozy, wiedz c, e w styczniu 2000 roku sprzedano 65 szt. tych programów.

2.

Dla 12 obserwacji tworz cych szereg czasowy suma warto ci obserwacji wynosi 125 a suma ich kwadratów jest równa 1304.

Ile wynosi współczynnik zmienno ci tych obserwacji.

Czy poziom waha przypadkowych jest wysoki?, Jakie składowe mo e mie ten szereg?

3.

Maj c dane z trzech kolejnych okresów 100, 110, 118 wyznacz prognoz naiwn na kolejny okres.

4.

5.

(5)

6.

Obserwuj c pewne zjawisko przez 6 miesi cy zanotowano wyniki 60, 62, 61, 61, 60, 62.

Nast pnie stosuj c model Browna otrzymano y1* = 61, y2* = 60,75, y3* = 61,0625.

Wyznacz stał wygładzania tego modelu. Wyznacz prognoz na siódmy miesi c. Oce bł d wzgl dny prognoz przeszłych.

7.

Ilo sprzedanego mleka (w litrach) w sklepie „ uczek” w kolejnych 15 tygodniach kształtowała si nast puj co:

110, 112, 108, 111, 109, 113, 110, 111, 110, 112, 110, 113, 112, 113, 111

a) okre li składowe szeregu czasowego,

b) stosuj c prosty model wygładzania wykładniczego dla α = 0,3 i y₁₂^∗ = 111, wyznaczy prognozy wygasłe sprzeda y mleka w 13, 14 i 15 tygodniu,

8.

Do budowy miesi cznych prognoz wielko ci sprzeda y m ki (w kg) w pewnym sklepie w 1999 roku u ywano prostego modelu wygładzania wykładniczego dla α = 0,75.

Przewidywana wielko ci sprzeda y m ki w grudniu 1999 wynosiła 98 kg, rzeczywista za 101 kg.

a) oceni przydatno modelu do budowy prognozy na stycze 2000 r.

b) je li mo na wyznaczy t prognoz .

9.

Obserwuj c pewne zjawisko przez 6 miesi cy zanotowano wyniki 60, 58, 57, 56, 60, 64.

Dlaczego w tym przypadku nale y raczej stosowa model Holta ni Browna?

Czy uzasadnione jest w tym przypadku stosowanie modelu Wintersa?

Nast pnie stosuj c model Holta otrzymano F1 = 60, F2 = 58, F3 = 56,2, S1 = -2; S2 = -2;

S₃ = -1,9.

Wyznacz stałe wygładzania tego modelu.

Wyznacz y₃^*, y₄^*.

10.

Warto usług (w tys. zł) w pewnej firmie w poszczególnych kwartałach lat 1996-1999 kształtowała si nast puj co:

74, 82, 80, 82, 90, 84, 92, 96, 94, 106, 116, 134, 158, 170, 176, 180

Sporz dzi prognozy warto ci usług na I i II kwartał roku 2000 stosuj c model Holta.

Przyj

a) α = 0,9 β = 0,4 b) α = 0,4 β = 0,9

Oceni jako otrzymanych prognoz.

11.

Prognosta, na podstawie danych z pierwszych 12 dni marca 2000 roku wyznaczył, wykorzystuj c model Holta przewidywana wielko popytu na pewien towar (w tonach) i otrzymał:

F₁₂ = 4,26 S₁₂ = 0,31 tony, α = 0 β = 0,45 s^* = 0,28 ton.

a) jakie składowe wyst powały w szeregu czasowym, b) wyznaczy prognoz na 13 dzie marca 2000 roku, c) oceni jako zbudowanej prognozy.

12.

Liczba zawartych umów leasingowych w pewnej firmie finansowo-leasingowej w poszczególnych kwartałach lat 1996-1999 kształtowała si nast puj co:

20, 10, 4, 11, 33, 17, 9, 18, 45, 23, 14, 11, 25, 60, 30, 13

Sporz dzi prognozy liczby umów na rok 2000 stosuj c model Wintersa.

Przyj

a) α = 0,4 β = 0,8 γ = 0,3 b) α = 0,6 β = 0,9 γ = 0,1 Oceni jako otrzymanych prognoz.