Instytut Matematyczny UWr www.math.uni.wroc.pl/∼jwr/BO2020 III LO we Wrocławiu
6. Wyznacz największą wartość wyrażenia ab + bc + cd + da
(a + b + c + d)2 ,
gdzie a, b, c, d przebiegają liczby rzeczywiste dodatnie spełniające warunek a 2b .
7. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, że a99+ b99= c100.
8. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, że a3+ b4= c5.
9. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, że a5+ b6= c7.
10. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, że a4+ b5= c6.
11. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, że a6+ b9= c10.
12. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3+ b4+ c5= d4.
13. Udowodnij istnienie nieskończenie wielu takich trójek liczb całkowitych dodatnich a, b, c, że
a2+ b2= c2, a ponadto NWD(a, b, c) = 1.
Wskazówka: Przyjmij a = x − y oraz c = x + y, a następnie podstaw za x oraz y od- powiednie wyrażenia.
14. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a3+ b4+ c5= d4,
a ponadto NWD(a, b, c, d) = 1.
Wskazówka: Przyjmij b = x − 1 oraz d = x + 1, a następnie podstaw za x odpowiednią liczbę.
15. Znajdź takie liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, że a4+ b5+ c7= d4,
a ponadto NWD(a, b, c, d) = 1.
16. Rozstrzygnij, czy równanie
a8+ b24+ c25+ d48+ e49= f8
ma rozwiązanie w dodatnich liczbach całkowitych a, b, c, d, e, f spełniających warunek NWD(a, b, c, d, e, f ) = 1.
- 2 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2020/21, klasy 1A, 2Ap, 2Ag, 3A
