WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ
dr hab. Rafał Kasztelanic
1100-4BW12, rok akademicki 2019/20
Koherencja
2
Spójność (koherencja): korelacja między fazami drgań = w wyniku superpozycji powstaje stały w czasie obraz interferencyjny.
Spójność czasowa: zdolność do interferencji fal, które wyszły z tego samego punktu przestrzeni w różnym czasie.
Spójność przestrzenna: zdolność do interferencji fal, które wyszły z różnych punktów przestrzeni w tym samym czasie
Układ optyczny
3
𝑢
2𝑥
2, 𝑦
2, 𝑡 = ඵ
−∞
∞
𝑢
0𝑥
1, 𝑦
1, 𝑡 ℎ 𝑥
2− 𝑥
1, 𝑦
2− 𝑦
1𝑑𝑥
1𝑑𝑦
1Dla dowolnego oświetlenia (nieidealne źródło punktowe, efekt Dopplera, itd.):
(w ogólność zależność o czasu ale fala quasi-monochromatyczna i wolno zmienna amplituda)
Rozkład natężenia w obrazie (średnia po czasie):
𝐼
2𝑥
2, 𝑦
2= 𝑢
2𝑥
2, 𝑦
2, 𝑡 𝑢
2∗𝑥′
2, 𝑦′
2, 𝑡
𝐼2 𝑥2, 𝑦2 = ඵ
−∞
∞
𝑑𝑥1𝑑𝑦1 ඵ
−∞
∞
𝑢0 𝑥1, 𝑦1, 𝑡 𝑢0∗ 𝑥′1, 𝑦′1, 𝑡 ℎ 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 ℎ∗ 𝑥2 − 𝑥′1, 𝑦2 − 𝑦′1 𝑑𝑥′1𝑑𝑦′1
Rozkład natężenia w obrazie zależy od uśrednionego po czasie kwadratu modułu amplitudy zespolonej w przedmiocie.
odpowiedź impulsowa przedmiot
obraz
dwa blisko siebie leżące punkty w przedmiocie (fale z dwóch punktów)
Układ optyczny - oświetlenie koherentne
4
Całkowita korelacja:
𝐼
2𝑥
2, 𝑦
2= ඵ
−∞
∞
𝑢
0𝑥
1, 𝑦
1ℎ(𝑥
2− 𝑥
1, 𝑦
2− 𝑦
1) 𝑑𝑥
1𝑑𝑦
12
wzory jak wcześniej czyli:
𝑢
2𝑥
2, 𝑦
2, 𝑡 = ඵ
−∞
∞
𝑢
0𝑥
1, 𝑦
1, 𝑡 ℎ 𝑥
2− 𝑥
1, 𝑦
2− 𝑦
1𝑑𝑥
1𝑑𝑦
1Rozkład amplitudy zespolonej = splot sygnału wejściowego z odpowiedzią impulsową układu
Poszczególne fale najpierw ze sobą interferują a dopiero na ekranie dostaję sygnał natężeniowy.
Funkcja przenoszenia - oświetlenie koherentne
5
ℎ 𝑥
2, 𝑦
2= ඵ
−∞
∞
𝑃 λ𝑑
2𝑥, λ𝑑
2𝑦 𝑒𝑥𝑝 −𝑖2𝜋(𝑥
2𝑥 + 𝑦
2𝑦)
Odpowiedź impulsowa dla układu gdzie mamy jakąś aperturę P:
Funkcja przenoszenia (Funkcja przenoszenia dla oświetlenia koherentnego):
𝐻 ν
𝑥, ν
𝑦= 𝐹𝑇 ℎ 𝑥
2, 𝑦
2= 𝐹𝑇 𝐹𝑇 𝑃 𝑐, λ𝑑
2𝑦 = 𝑃 −λ𝑑
2𝑥, −λ𝑑
2𝑦
równa się odwróconej funkcji źrenicy.
𝑈
2ν
𝑥, ν
𝑦= 𝐻 ν
𝑥, ν
𝑦𝑈
0ν
𝑥, ν
𝑦Można też zapisać: bo:
Splot funkcji przenoszenia z sygnałem wejściowym
Układ optyczny - oświetlenie niekoherentne
6
Całkowita przypadkowość faz i miejsca wychodzenia fal z przedmiotu = brak korelacji
𝑢
0𝑥
1, 𝑦
1, 𝑡 𝑢
0∗𝑥′
1, 𝑦′
1, 𝑡 = 𝐾𝐼
0(𝑥
1, 𝑦
1)𝛿(𝑥
1− 𝑥′
1, 𝑦
1− 𝑦′
1)
𝐼
2𝑥
2, 𝑦
2= 𝐾 ඵ
−∞
∞
𝐼
0(𝑥
1, 𝑦
1) ℎ(𝑥
2− 𝑥
1, 𝑦
2− 𝑦
1)
2𝑑𝑥
1𝑑𝑦
1stała
natężenie w obrazie
kwadrat funkcji przenoszenia
(natężeniowa funkcja przenoszenia) 2 fale nie interferują ze sobą ale od razu biorę ich natężenie
Całkowity brak korelacji:
Układ optyczny - oświetlenie niekoherentne
7
Całkowita przypadkowość faz i miejsca wychodzenia fal z przedmiotu = brak korelacji
𝑢
0𝑥
1, 𝑦
1, 𝑡 𝑢
0∗𝑥′
1, 𝑦′
1, 𝑡 = 𝐾𝐼
0(𝑥
1, 𝑦
1)𝛿(𝑥
1− 𝑥′
1, 𝑦
1− 𝑦′
1)
𝐼
2𝑥
2, 𝑦
2= 𝐾 ඵ
−∞
∞
𝐼
0(𝑥
1, 𝑦
1) ℎ(𝑥
2− 𝑥
1, 𝑦
2− 𝑦
1)
2𝑑𝑥
1𝑑𝑦
1stała
natężenie w obrazie
kwadrat funkcji przenoszenia
(natężeniowa funkcja przenoszenia) 2 fale nie interferują ze sobą ale od razu biorę ich natężenie
Całkowity brak korelacji:
Funkcja rozmycia punktu
PSF – Point Spread Function
Funkcja przenoszenia - oświetlenie niekoherentne
8
𝐼
2𝑥
2, 𝑦
2= 𝐾𝐼
0(𝑥
2, 𝑦
2) ⊗ ℎ(𝑥
2, 𝑦
2)
2𝐼
2ν
𝑥, ν
𝑦= 𝐼
0(ν
𝑥, ν
𝑦) ෩ 𝐻(ν
𝑥, ν
𝑦)
𝐻 ν ෩
𝑥, ν
𝑦= ඵ
−∞
∞
ℎ(𝑥, 𝑦)
2exp −𝑖2𝜋(𝑥ν
𝑥+ 𝑦ν
𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
Natężeniowa funkcja przenoszenia (Funkcja przenoszenia dla oświetlenia niekoherentnego):
Mogę to ogólnie zapisać jako:
Jak przejdziemy do przestrzeni częstości:
Optyczna funkcja przenoszenia
Funkcja przenoszenia - oświetlenie niekoherentne
9
𝐻 ν ෩
𝑥, ν
𝑦= ඵ
−∞
∞
𝐻 ν′
𝑥, ν′
𝑦𝐻
∗ν′
𝑥− ν
𝑥, 𝜈
′𝑦− ν
𝑦𝑑ν′
𝑥𝑑ν′
𝑦Relacja między funkcją przenoszenia koherentną a niekoherentną:
𝐻 ν ෩
𝑥, ν
𝑦= ඵ
−∞
∞
𝐻 ν′
𝑥− ν
𝑥2 , 𝜈
′𝑦− ν
𝑦2 𝐻
∗ν′
𝑥+ ν
𝑥2 , 𝜈
′𝑦+ ν
𝑦2 𝑑ν′
𝑥𝑑ν′
𝑦Po zamianie zmiennych:
𝐻 ν ෩
𝑥, ν
𝑦= ඵ
−∞
∞
ℎ(𝑥, 𝑦)
2exp −𝑖2𝜋(𝑥ν
𝑥+ 𝑦ν
𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
Odpowiedź impulsowa dla układu gdzie mamy jakąś aperturę P:
𝐻 ν ෩
𝑥, ν
𝑦= ඵ
−∞
∞
𝑃 𝑥 − λ𝑑
2𝑥
2 , 𝑦 − λ𝑑
2𝑦
2 𝑃 𝑥 + λ𝑑
2𝑥
2 , 𝑦 + λ𝑑
2𝑦
2 𝑑ν′
𝑥𝑑ν′
𝑦Czyli odpowiedź impulsowa jak odpowiedź od 2 rozsuniętych apertur.
Funkcja przenoszenia - oświetlenie niekoherentne
10
Przenoszenie kontrastu
11
Przedmiot - amplitudowa siatka sinusoidalna:
Można pokazać, że przy oświetleniu niekoherentnym o natężeniu I0na ekranie uzyskamy natężenie:
𝑡 𝑥 = 1 2 + 1
2 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝜋ν
1𝑥
1𝐼
2𝑥
2= 𝐼
02 1 + 𝑎 ෩ 𝐻 ν
1𝑐𝑜𝑠 2𝜋ν
1𝑥
2Dla prążków kontrast liczymy zgodnie ze wzorem:
𝐾 = 𝐼
𝑚𝑎𝑥− 𝐼
𝑚𝑖𝑛𝐼
𝑚𝑎𝑥+ 𝐼
𝑚𝑖𝑛Dla przedmiotu dostajemy:
𝐾
1= 𝑎
Dla obrazu dostajemy:
𝐾
2= 𝑎 ෩ 𝐻 ν
1Stosunek kontrastów:
𝐾
2𝐾
1= ෩ 𝐻 ν
1Czyli przenoszenie kontrastu dla danej harmonicznej (częstości) zależy od modułu funkcji przenoszenia dla tej częstości.
Przenoszenie kontrastu
12
Dla układów idealnych (bez aberracji, zogniskowanych) funkcja przenoszenia dla światła
niekoherentnego (OTF) jest rzeczywista i monotonicznie maleje wraz ze wzrostem częstości aż do wartości granicznej gdzie osiąga wartość 0.
W układach rzeczywistych gdzie występują aberracje lub układ nie jest zogniskowany funkcja przenoszenia dla światła niekoherentnego (OTF) w ogólności jest funkcją zespoloną
Optyczna funkcja przenoszenia
13
Kontrast po przejściu przez układ optyczny zmniejsza się.
Jeżeli obraz wejściowy opisany jest przez Amplitudę (A), częstość (f) oraz fazę początkową () to obraz będzie miał tę samą częstość ale mniejszą amplitudę (A’) i inną fazę początkową (’).
Modulacyjna funkcja przenoszenia (MTF – Modulation Transfer Function):
𝑀𝑇𝐹(𝑓) = 𝐴′(𝑓)
𝐴(𝑓)
Fazowa funkcja przenoszenia (PTF – Phase Transfer Function):
𝑃𝑇𝐹 𝑓 = 𝜑 𝑓 − 𝜑′(𝑓) Optyczna funkcja przenoszenia (OTF – Optical Transfer Function):
𝑂𝑇𝐹 𝑓 = 𝑀𝑇𝐹 𝑓 𝑒𝑥𝑝 𝑃𝑇𝐹(𝑓)
https://www.edmundoptics.com
funkcja zespolona
Odpowiedź impulsowa jako miara jakości układu optycznego
14
Nawet idealny układ optyczny ma jakieś przysłony. Na przysłonach tych zachodzi dyfrakcja.
Wynikiem tego obrazem punktu nie jest punkt ale plamka Airy (dla apertur kołowych).
Dla oświetlenia niekoherentnego:
Funkcja rozmycia punktu = Point Spread Function (PSF) Maksymalne natężenie światła jest w środku ‚idealnej’ plamki.
Jeśli układ optyczny dodatkowo wprowadza pewne zaburzenia to obraz punktu ulega dalszemu rozmyciu. Porównanie natężenia światła w centrum obrazu punktu jest miarą ukłądu optycznego zdefiniowanego przez Strehla.
Ułamek (Stosunek) Strehla:
𝑆𝑅 = 𝑃𝑆𝐹𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧 (0,0) 𝑃𝑆𝐹𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(0,0)
Apodyzacja
15
Dla kołowej apertury:
amplituda
natężenie
Apodyzacja
16
Modyfikuję funkcję przenoszenia przysłoną o zmiennej transmitancji
https://www.telescope-optics.net/apodizing_mask.htm
Apodyzacja
17 https://www.telescope-optics.net/apodizing_mask.htm
18
