WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

dr hab. Rafał Kasztelanic

1100-4BW12, rok akademicki 2020/21

Holografia

Hologramy tęczowe

Problem przy oświetleniu niekoherentnym:

*

0

exp[ sin ]

BAA  ik  y

k 2

 

Jak uzyskać ostre obrazy przy oświetleniu rozciągłym światłem białym?

Holografia

Hologramy tęczowe

Metoda dwustopniowa:

1. Zapis zwykłego hologramu obrazowego (H₁), Zapis H₁ :

Holografia

Hologramy tęczowe Zapis hologramu H₂:

Fala sprzężona 2. Rekonstrukcja hologramu H₁ falą sprzężoną do wiązki referencyjnej przez szczelinę i

zapis z tego hologramu H₂.

Holografia

Hologramy tęczowe Rekonstrukcja:

Powstały obraz przy rekonstrukcji światłem monochromatycznym widoczny jest tak jak byśmy patrzyli na oryginalny przedmiot przez szczelinę (brak paralaksy w jednym kierunku).

Przy oświetleniu światłem białym dla każdej długości fali mamy szczelinę w innym miejscu lub przez daną szczelinę widzimy obraz tęczowy.

Aby obraz nie był rozmyty w szczelinie (w trakcie rejestracji hologramu) umieszcza się soczewkę cylindryczną o ogniskowej takiej aby na hologramie H₂ powstał obraz szczeliny.

WADA: Ograniczenie paralaksy w jednym kierunku.

Holografia

Hologramy tęczowe Paralaksa:

Tak albo tak, nie jednocześnie (hologramy tęczowe)

Holografia

Hologramy tęczowe

Metoda jednostopniowa:

Rejestracja obiektu O na hologramie. Rzeczywisty obraz I powstaje przed hologramem.

Na hologramie ostra jest szczelina.

Przy rekonstrukcji powstaje rzeczywisty obraz szczeliny, przez którą oglądamy obiekt.

Holografia

Hologramy kolorowe – grube / objętościowe

• Rejestracja na materiale objętościowym tj. takim, którego grubość jest większa od okresu przestrzennego rejestrowanych prążków interferencyjnych.

• Przy rekonstrukcji powstaje tylko jeden obraz pozorny lub rzeczywisty.

• Cechują się selektywnością przestrzenną i chromatyczną.

• Duża gęstość zapisu dzięki zapisowi objętościowemu.

• Ścisła analiza rejestracji i odtworzenia hologramu objętościowego możliwa przez

rozwiązywanie równania falowego w ośrodku o zmiennym współczynniku załamania lub zgodnie z teorią fal sprzężonych.

Holografia

Hologramy generowane komputerowo - CGH

• Modelowanie obiektu

• Obliczanie rozkładu prążków w płaszczyźnie hologramu,

• Możliwość wybrania interesujących nas składowych

• Zapis w materiale lub na urządzeniu – potrzebne kodowanie

• Najprostsze hologramy Fraunhofera (duża odległość), wtedy zwykła FFT

• Zadana amplituda i dowolna faza w odtwarzanym obrazie (kinoform)

hologram rekonstrukcja

Holografia

Hologramy generowane komputerowo - CGH Widmo obrazu:

mające być zapisane na hologramie, dyskretyzujemy (próbkujemy):

gdzie: odstępy między punktami próbkowania.



^,

  ^{ , } 

G    FT g x y



 

 



n m

G

 





  

 



x, y

 

 

 

nm nm

exp

G  A  i 

Amplituda Faza

Holografia

Hologramy generowane komputerowo - CGH Metoda Lohmana:

Każdej próbce:

odpowiada jedna komórka dyskretyzacji o środku w punkcie

Faza i amplituda kodowane są jako prostokątna apertura w nieprzezroczystym tle.

Szerokość apertur jest taka sama.

Wysokość apertury jest proporcjonalnado wartości amplitudy A_nm Przesunięcie koduje fazę

Spełnione musi być:

Komórka dyskretyzacji





nm x y

G  G n





nx n x, my m y



 



nm y

W 



nm x

P 

 

c  

1, 1

2 2

nm nm

W  P  c

Holografia

Hologramy generowane komputerowo - CGH

Holografia

Kodowanie amplitudy i fazy

Pozwalają na optymalizację kodowania przy ograniczonej dziedzinie dostępnych parametrów:

• amplituda

• faza

• amplituda-faza

• głębia

• długość fali

• DOE, HOE, CGH

obraz amplituda faza Stosowane podejścia:

• metoda montecarlo

• Gerchberg-Saxton

• IFTA

• algorytmy genetyczne

• wyżarzanie

Holografia

Propagacja w wolnej przestrzeni (Fresnela) z płaszczyzny hologramu do płaszczyzny rekonstrukcji (odległosc z):

𝐹 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = ඵ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝐻 𝑥 − 𝑣_𝑥, 𝑦 − 𝑣_𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐻 𝑥, 𝑦 = 𝑖𝑘𝑒𝑥𝑝 𝑖𝑘𝑧

2𝜋𝑧 𝑒𝑥𝑝 𝑖𝑘 𝑥² + 𝑦² Funkcja przenoszenia (na odległość z): 2𝑧

Holografia

Kodowanie amplitudy i fazy – IFTA (Iterative Fourier transform algorithm) Przypadkowa faza

Zamieniam amplitudę na obraz

Zostawiam tylko fazę

Gotowy DOE DOE OBRAZ

𝐹 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑖Φ^′ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦

𝐹 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦

𝑓^′ 𝑥, 𝑦 =

𝑓₀ 𝑥, 𝑦 𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑎𝑟𝑔 𝑓 𝑥, 𝑦

𝑓^′ 𝑥, 𝑦 𝐹𝑇

𝐹𝑇⁻¹ 𝐹^′ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦

Φ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = 𝑎𝑟𝑔 𝐹^′ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦

𝐹 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑎𝑟𝑔 𝐹^′ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦

Holografia

Często optymalizacji (nadpisanie amplitudy) dokonuje się w obrębie ograniczonego obszaru.

Poza nim mogą kumulować się błędy.

Przykład możliwości – dwa obrazy w różnych planach:

Holografia

Liczba poziomów:

2 3 4 5

8 16 32 64

128 256 512 1024

Holografia

oryginał

pełny 60 % 25 %

Łamanie hologramu:

Holografia

Zastosowania w życiu codziennym

środki zabezpieczające, bardzo trudne do podrobienia;

gwarancja oryginalności produktu (np. płyty CD);

materiały reklamowe – atrakcja i przyciągnięcie uwagi klienta;

rejestracja kompozycji artystycznych i niedostępnych dla zwiedzających muzea dzieł sztuki szyfrowanie informacji

Holografia

Pamięć skojarzeniowa – wystarczy niepełna informacja do odtworzenia zapisanych danych

Pamięci holograficzne

Holografia

Pamięci holograficzne

Holografia

Uniwersalny dysk holograficzny - Holographic Versatile Disc (6 TB) Struktura płyty HVD

1. Zielony laser zapisu/odczytu (532nm)

2. Czerwony laser pozycjonujący/adresujący (650nm) 3. Hologram niosący informację

4. Warstwa poliwęglanowa

5. Warstwa fotopolimerowa (z danymi) 6. Warstwy dystansujące

7. Warstwa dichroiczna

8. Aluminiowa warstwa odbijająca 9. Podłoże przezroczyste

P. PIT - wgłębienia

Holografia

Elementy optyczne typu:

• Soczewka

• Pryzmat

• Zwierciadło

• Dzielnik wiązki

• Siatka

Wykonane metodami holograficznymi.

optyczne elementy holograficzne (HOE)

Holografia

Hologramy obrazowe

Holografia

zscape

Holografia

Ta sama zasada Wyświetlacze HUD (Head-Up Display)

Holografia

Wyświetlacze holograficzne

Holografia

holovizio

Holografia

Mikrosoczewki

Zapewniają ograniczone wrażenie głębi

Holografia

Obracający się rozpraszacz spinning mirror - "holographic diffuser"

Holografia

Siatki dyfrakcyjne Dot-matrix hologram

Drukarki holograficzne

Holografia

Kinemax (Polskie Systemy Holograficzne)

Holografia

Kinegrams

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

u⁺ u^-

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Dodajemy:

Stosując przybliżenie przyosiowe:

Dostajemy:

Soczewka zmienia fazę fali świetlnej:

gdzie:

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Rozważmy falę płaską padającą prostopadle na soczewkę o ogniskowej f:

A – amplituda padającej fali (przedmiot)

Stałe przesunięcie fazy Fala sferyczna

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Rozważmy falę płaską padającą prostopadle na soczewkę o ogniskowej f:

A – amplituda padającej fali (przedmiot)

Stałe przesunięcie fazy Fala sferyczna

Soczewka – przekształcenie fazy fali świetlnej

Jeśli oświetlimy soczewkę falą sferyczną:

R – promień krzywizny powierzchni falowej.

1

𝑅₊ = 1

𝑅₋ − 1

𝑓 ^R-,R+ – promień krzywizny przed i za soczewką.

Dla R_-= f dostajemy R₊= ∞

Gdy uwzględnimy aperturę soczewki i pominiemy stałą fazę:

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Dyfrakcja Fresnela:

ℎ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑥, 𝑦 ≅ 𝑖 𝑒^{𝑖𝑘0𝑧0} 𝜆𝑧₀ 𝑒^𝑖

𝑘₀

2𝑧₀ 𝑥−𝑥₀ ²+ 𝑦−𝑦₀ ²

𝑈 𝑥₀, 𝑦₀ = ඵ

𝑥,𝑦

ℎ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑥, 𝑦 𝑈_𝑆 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Z wykładu 5, dyfrakcja:



 







Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Dyfrakcja Fresnela:

ℎ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑥, 𝑦 ≅ 𝑖 𝑒^{𝑖𝑘0𝑧0} 𝜆𝑧₀ 𝑒^𝑖

𝑘₀

2𝑧₀ 𝑥−𝑥₀ ²+ 𝑦−𝑦₀ ²

Dyfrakcja Fraunhofera:

ℎ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑥, 𝑦 ≅ 𝑖 𝑒^{𝑖𝑘0𝑧0} 𝜆𝑧₀ 𝑒^𝑖

𝑘₀

2𝑧₀ 𝑥₀²+𝑦₀²

𝑒^𝑖

𝑘₀

𝑧₀ 𝑥𝑥₀+𝑦𝑦₀

𝑈 𝑥₀, 𝑦₀ = ඵ

𝑥,𝑦

ℎ 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑥, 𝑦 𝑈_𝑆 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Z wykładu 7, dyfrakcja:



 







Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Soczewka:

Dyfrakcja Fresnela:





0

, , ,

k k k

ik z i x y i x y i xx yy

z z z

h x y x y i e e e e

z

   



Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Soczewka:

Dyfrakcja Fresnela:





0

, , ,

k k k

ik z i x y i x y i xx yy

z z z

h x y x y i e e e e

z

   



Znoszą się !

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Przedmiot oświetlony falą płaską:

𝑥₀ = 𝑥₂ u^- u⁺

u₁ u₂

Dyfrakcja Fresnela pola u⁺:

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Pole u⁺ to obraz u^- transformowany przez soczewkę:

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Pole u⁺ to obraz u^- transformowany przez soczewkę:

Znoszą się

gdzie:

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Transformata Fouriera

Zeruje się gdy d₁=f

Transformata Fouriera apertury

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Przedmiot oświetlony falą sferyczną rozbieżną:

gdzie:

u^- u⁺ u₁

u₂

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Przedmiot oświetlony falą sferyczną rozbieżną:

Transformata Fouriera

gdzie:

kiedy to się zeruje mamy transformatę Fouriera

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

uwzględniając

- wzór soczewkowy

czynnik skalujący

przeskalowana transformata Fouriera Dla skala transformata Fouriera jak przy fali płaskiej.

Zmiana skali możliwa przez zmianę: λ lub d₁

𝑑₁ = 𝑓

𝑑₃ = 𝑑_𝑠 + 𝑑₁

Soczewka jako element realizujący transformatę Fouriera 2D

Przedmiot oświetlony falą sferyczną zbieżną:

u₁ u₂