WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

dr hab. Rafał Kasztelanic

1100-4BW12, rok akademicki 2020/21

Dyfrakcja – zasada Babineta

2

+ =

E₁ E₂ 0

𝐸₁ + 𝐸₂ = 0 ֜ 𝐸₁ = −𝐸₂

Ekrany

Pole na ekranie

To samo tylko w przeciw fazie

Obraz dyfrakcyjny od dwóch nawzajem uzupełniających się ekranów jest taki sam

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

pierścienie Newtona

Czarny krążek w środku !

• Światło przy odbiciu zmienia swoją fazę o π/2 gdy odbija się od ośrodka o wyższym współczynniku załamania

• Przy odbiciu od ośrodka o niższym współczynniku załamania faza się nie zmienia

• Przy przejściu przez granicę między ośrodkami faza się nie zmienia

en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_rings

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

4

pierścienie Newtona

Obszar wewnątrz otworu (kołowy) mogę podzielić na strefy, z których droga optyczna do danego punktu ekranu różni się o wielokrotność połowy długości fali.

Płytka strefowa

Możemy taki element traktować jak siatkę dyfrakcyjną o tak lokalnie

dobranym okresie aby ugięte promienie (1 rząd ugięcia) trafiały w ognisko.

Soczewka Newtona

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

𝑟_𝑛 = 𝑛λ𝑓 + 𝑛²λ²

4 ≈ 𝑛λ𝑓

Inne warianty

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

6

Soczewka Fresnela a płytka strefowa

1 ± 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟² 2

1 ± 𝑠𝑔𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟² ) 2

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

www.comsol.com/blogs/how-to-implement-the-fourier-transformation-from-computed-solutions/

Propagacja za soczewką Fouriera

Elementy dyfrakcyjne – soczewka Fresnela

8

0.25 0.5 0.75 1 1.25

1.5 1.75 2 2.25 2.5

2.75 3 3.25 3.5 3.75

4 4.25 4.5 4.75 5

Elementy dyfrakcyjne

Soczewka dyfrakcyjna - zmiana okresu siatki (soczewka skupiająca)

Zmieniająca się długość i szerokość linii siatki

Elementy dyfrakcyjne – soczewka refrakcyjno-dyfrakcyjna

10

G, Skinner, at all, „A-diffractive-refractive-achromat-consists-of- a-fine-PFL-upper-brown-and-a-refractive,”

www.edmundoptics.com

physics.stackexchange.com/questions/233925/diffraction-of-light-and-separation-of-its-colors

Korekcja aberracji chromatycznej

Elementy dyfrakcyjne – soczewka refrakcyjno-dyfrakcyjna

Soczewki wewnątrz gałkowe:

• sferyczne soczewki refrakcyjne jednoogniskowymi,

• strefowe dwuogniskowe i trójogniskowe soczewki refrakcyjne,

• dwuogniskowe soczewki hybrydowe refrakcyjno-dyfrakcyjne,

• apodyzowane hybrydowe soczewki refrakcyjne z asferycznym komponentem refrakcyjnym.

W hybrydowych soczewkach dwuogniskowych komponent refrakcyjny zapewnia ostre odwzorowanie przestrzeni przedmiotowej dalekiej, struktura dyfrakcyjna zapewnia ostre widzenie przedmiotów bliskich

Rozprawa doktorska Macieja Sokołowskiego

Elementy dyfrakcyjne – soczewka refrakcyjno-dyfrakcyjna

12 www.cxnews.pl/pierwsza-soczewka-trzyogniskowa-do-widzenia-bliskiego-posredniego-i-dalekiego,509.html

Apodyzacja - zmniejszającą się od centrum do peryferii soczewki wysokość pierścieni dyfrakcyjnych

Dystrybucja światła do bliży, odległości pośrednich i dali, jest uzależniona od rozmiaru źrenicy.

Podczas dobrych warunków oświetleniowych wzmacniane jest widzenie bliskie i pośrednie podczas gdy w warunkach słabego oświetlenia, kiedy źrenica jest rozszerzona, więcej energii lokowane jest do widzenia dalekiego.

Elementy dyfrakcyjne – siatki Dammana

Podział wiązki (beam shaping)

Elementy dyfrakcyjne – siatki Dammana

14

Założenia:

• struktura siatki fazowej: symetryczna i powielana

• macierz punktów symetryczna

• macierz punktów periodyczna

• separacja wzdłuż osi X i Y

gdzie: oznaczają punkty zmiany transmitancji siatki 𝑔 𝑥 = ෍

𝑛=0 𝑁

−1 ^𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑥 −𝑥_𝑛+1 + 𝑥_𝑛 2

𝑥_𝑛+1 + 𝑥_𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 0.5 𝑥_𝑛 𝑛 = 1, … , 𝑁

Jak znaleźć x_m? NIE ISTNIEJE ANALITYCZNE ROZWIĄZANIE !

Elementy dyfrakcyjne – siatki Dammana

Znajdowanie x_m - metody iteracyjne:

• Gradientowe,

• Symulowane wyżarzanie,

• Algorytmy genetyczne,

• IFTA.

Uogólnienia siatek Dammana (pozwalają na dowolne rozmieszczenie punktów):

Periodyczność zadanego kształtu siatki szaroodcieniowe

Elementy dyfrakcyjne – DOE

16

Dyfrakcyjne elementy optyczne (DOE – Diffractive Optical Element)

Elementy dyfrakcyjne – DOE

Przestrzenny modulator światła – SLM (spatial light modulator)

Elementy dyfrakcyjne

18

Siatki dyfrakcyjne o zmiennym okresie

• Siatka o liniowo zmiennym okresie, warunek wolna zmiana w porównaniu ze stałą siatki:

Działa jak soczewka o aberracji chromatycznej Dla wiązki monochromatycznej może być

wykorzystana do odchylania wiązki:

Siatka a regulowanym okresie:

2

( ) exp i x

f x f





 

  

 

Elementy dyfrakcyjne

Siatki dyfrakcyjne jako przełączniki

Elementy dyfrakcyjne - DBR

20

Lustro DBR na membranie (przestrajanie)

Rozproszony reflektor Bragga – DBR (Distributed Bragg reflector)

en.wikipedia.org/wiki/Fiber_Bragg_grating

Elementy dyfrakcyjne – inne zastosowania

Metoda korekty OPC (Optical Proximity Correction)

Elementy dyfrakcyjne

22

phase contrast filter (PCF)

Elementy dyfrakcyjne

Elementy podfalowe

- Klasyczna siatka dyfrakcyjna

- Siatka podfalowa

- Jednorodny wsp. załamania

Samoobrazowanie

24

Rozważmy dyfrakcję Fresnela na sinusoidalnej siatce dyfrakcyjnej:

Transmitancja siatki:

Funkcja przenoszenia Dla dyfrakcji Fresnela:

Transformata Fouriera siatki:

okres siatki

̅

Samoobrazowanie

Liczymy obraz w odległości 1/L:

Obliczamy FT^-1:

Ostatecznie natężenie:

Samoobrazowanie

26

Obraz Talbota (dokładna kopia):

Obraz o odwróconym kontraście:

Podobraz Talbota:

Samoobrazowanie

Holografia

28



Układy holograficzne:

 Odbiciowe

 Transparentne

 Fourierowskie

 Tęczowe

 Kolorowe – grube

 Plazmoniczne



Hologramy generowane komputerowo



Kodowanie amplitudy i fazy



Zabezpieczenia



IFTA



Pamięci holograficzna



Kino/Projektory holograficzne

Holografia - historia

Nazwa ‘hologram’ pochodzi od greckich słów hōlos (χώλος) i grápho (γράπχο) lub grámma (γράμμα), które po polsku oznaczają: pełna informacja lub cały rysunek.

Najważniejsze wydarzenia historyczne:

Rok wydarzenie

1920 Mieczysław Wolfke przedstawia podstawową zasadę wykorzystywaną w holografii 1947 Dennis Gabor formułuje podstawy teoretyczne holografii

1960 Wynalezienie lasera umożliwia rozwój holografii jako nauki i techniki.

Opracowanie przez Emmeta Leitha i Jurisa Upatnieksa obecnie stosowanego mechanizmu produkcji hologramów

1962 Pomysł połączenia holografii z fotografią kolorową wysunięty przez Jurija Denisiuka 1964 Emmet Leith i Juris Upatnieks wykonują pierwszy hologram z użyciem lasera.

Robert Powell i Karl Stetson publikują pierwszy artykuł o interferometrii holograficznej

1965 Hologram odbiciowy.

Nowy środek do zapisu hologramów – żelatyna dwuchromianowa.

Hologramy stają się dostępne dla „zwykłych ludzi” (nie naukowców) i zaczynają

Holografia - historia

30

Rok wydarzenie

1967 Larry Siebert do wykonania hologramu wykorzystuje laser impulsowy.

Steven A. Benton przedstawia hologramy tęczowe.

1968 Udostępnienie zwiedzającym pierwszej na świecie wystawy hologramów

1970 System stabilnego stołu do produkcji hologramów, co czyni holografię dostępną artystom.

1971 Denis Gabor dostaje Nagrodę Nobla z fizyki za odkrycie zasad holografii.

Lloyd Cross otwiera pierwszą Szkołę Holografowania.

Lloyd Cross opracowuje technikę produkcji ruchomych, trójwymiarowych obrazów.

1974 Technikę produkcji hologramów tłoczonych.

1976 Prototyp projektora filmów holograficznych

1983 Pierwsze holograficzne zabezpieczenie karty kredytowej (MasterCard International, Inc.)

1984 Magazyn National Geographic jako pierwszy umieszcza hologram na swojej okładce

Holografia - historia

Denis Gabor Emmet Leith Juris Upatnieks Jurij Denysiuk Steven A. Benton

Holografia

32

Hologram transmisyjny –

Metoda opracowana przez Emmeta Leitha i Jurisa Upatnieksa.

Podczas tworzenia hologramu fale świetlne – zanim dotrą do kliszy – przechodzą przez przedmiot.

Hologram odbiciowy –

Metoda opracowana przez Jurija Denisyuka. Fale świetlne po odbiciu od przedmiotu kierowane są na kliszę.

Hologram tęczowy –

Metoda opracowana przez Stevena Bentona. Hologramy takie mają małą głębię (do 5 cm) albo nie mają jej wcale - możemy zobaczyć różne widoki obiektu przesuwając głowę na przykład z lewej strony do prawej względem kliszy, a ruszając głową góra-dół zobaczymy zmieniające się kolory tęczy.

Hologram objętościowy Hologram impulsowy –

Metoda opracowana przez Larry’ego Siebersa. Do produkcji hologramu impulsowego używa się szybkiego lasera, dającego krótką i intensywną wiązkę światła, a zapis obrazu trwa ułamki sekund.

Holografia

Hologramy odbiciowe

• Zapis z 2 stron

• Wysoka energia wiązki

• Pozwala na tworzenie hologramów grubych

Holografia

34

Hologramy transparentne - zapis

Obiekt odbiciowy

Obiekt transparentny

• Zapis z 1 strony

• Niska energia wiązki

• Hologramy cienkie

Holografia

Hologramy transparentne – odczyt (rekonstrukcja)

Prążki - fringe

Holografia

36

Podstawowe równanie holografii

  ,

  ,   ,

H r r r r

I x y  A x y  A x y  A  A  A A  A A

 

 

H H

t x y 



• Grubość emulsji < długości fali

• Wiązka przedmiotowa A₀ i wiązka odniesienia A_r spójne (amplitudy zespolone) Pole falowe na powierzchni hologramu dane jest wzorem:

Przyjmujemy liniową zależność transmitancji amplitudowej (t_H) uzyskanego hologramu od intensywności pola świetlnego:

gdzie  jest stałą proporcjonalności.

  ,     , ,

H H i i r i r i r i

u x y  t x y A x y A A  A A  A A A  A A A

Czyli pole falowe za hologramem składa się z 4 składników. Rekonstrukcja przez oświetlenie hologramu wiązką A_i :

Tu są rekonstruowane obrazy

~

Holografia

 





A x yr  A ik



  ,

  ,

exp  sin 

exp  sin 

I

x y A ^ A x y ^ A A ik  y ^ A A ^ ik  y

  ,

  ,

exp  sin 

exp[ sin ] u

x y A B  A x y B BAA  ik  y  BAA  ik  y

Załóżmy, że fala odniesienia (referencyjna) ma postać:

Wtedy sygnał zarejestrowany na kliszy:

Gdy oświetlimy ją teraz prostopadle padającą wiązką B, to rozkład amplitudy zespolonej za hologramem:

~

~

(fala płaska pod kątem θ)

Podstawowe równanie holografii

Holografia

38

Podstawowe równanie holografii

  ,

  ,

exp  sin 

exp[ sin ] u

x y A B  A x y B BAA  ik  y  BAA  ik  y

Równomiernie osłabiona

Fala płaska prostopadła do hologramu

Quasi-płaska fala o amplitudzie zmodyfikowanej rozkładem intensywności w wiązce przedmiotowej

Wiązka rozbieżna rozchodząca się w kierunku  Proporcjonalna do amp. zesp. fali przedmiotowej.

Obraz pozorny w takiej samej odległości jak przy rejestracji Wiązka zbieżna rozchodząca się w kierunku  Proporcjonalna do amp. sprz. zesp. fali przedmiotowej.

Obraz rzeczywisty w takiej samej odległości jak przy rejestracji

~

Holografia

Podstawowe równanie holografii

Ze względu na możliwe pokrywanie się sygnałów i możliwość skalowania często stosuje się jako wiązkę oświetlającą i/lub referencyjną falę sferyczną.

Odczyt również za pomocą fali sferycznej.

Zmieniając położenie źródła fali sferycznej odczytującej względem położenia fali

referencyjnej zmienia się skala rekonstruowanego przedmiotu.

Holografia

40

Hologramy obrazowe

Jest to szczególny rodzaj hologramów gdy płaszczyzna rejestracji hologramu pokrywa się z obrazem obiektu (wiązka odniesienia o dowolnej geometrii):

Dzięki temu przy rekonstrukcji obraz pojawia się blisko płaszczyzny hologramu z pełnym wrażeniem 3D i paralaksą.

Przy oświetleniu światłem białym powstają obrazy wielobarwne, ale ze względu na małą średnicę źrenicy oka i przy nie za dużej głębi można uzyskać obrazy z małym zniekształceniem. Warunkiem jest punktowe źródło światła.

Holografia

Hologram Fourierowski

Hologramy gdzie zapisywany jest wynik interferencji fali referencyjnej z widmem obiektu:

• hologram Fresnela – odtwarza obraz w skończonej odległości,

• hologram Fouriera – odtwarza obraz w nieskończoności.

Holografia

42

Hologram Fourierowski

Stosowane są przede wszystkim w przetwarzaniu obrazów – filtry Vander Lugta, oraz w pamięciach holograficznych:

Przezrocze h po przejściu przez soczewkę L₂ w płaszczyźnie P₂ daje sygnał:

Wiązka odchylona przez pryzmat:





^{ } 



p x y x y

u ikf H

  f  

 









r x y y

u

 





Holografia

Hologram Fourierowski

W wyniku interferencji dostajemy (to jest zapisane na hologramie/filtrze):

     

         

2

2 2 *

2 2

, exp 2 sin 1 ,

1 , , exp 2 sin , exp 2 sin

x y y x y

x y x y y x y y

I A i f H

f

A A

A H H i f H i f

f f

f

     



         

 



  

    

~

Holografia

44

Hologram Fourierowski Filtracja:

Transformata Fouriera przeźrocza P₁(z zapisanym sygnałem g) oświetla filtr H:

𝑔 𝑥₁, 𝑦₁ 𝑈⁻ = 𝐺 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦

𝑈⁺ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = 𝑈⁻ 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 𝐻 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦 = 1

λ𝑓𝐴²𝐺 + 1

λ³𝑓³ 𝐻²𝐺 + 1

λ²𝑓² 𝐴𝐻𝐺𝑒𝑥𝑝 𝑖2𝜋𝑣_𝑦𝑓𝑠𝑖𝑛𝜃 + 1

λ²𝑓² 𝐴𝐻𝐺𝑒𝑥𝑝 −𝑖2𝜋𝑣_𝑦𝑓𝑠𝑖𝑛𝜃

Holografia

Hologram Fourierowski

         

       

2 *

3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3

*

3 3 3 3 0 3 3 3 3 0

, , 1 , * , ,

, * , , ,

u x y A g x y g x y h x y h x y

f

A A

g x y h x y f g x y h x y f

f f



   

 

 

    

     

Obraz sygnału wejściowego Splot sygnału wejściowego z autokorelacją h

splot korelacja

korelacja splot

Po kolejnej TF w płaszczyźnie P₃ otrzymujemy: