Całki niewłaściwe

Całki niewłaściwe

Definiując całkę Riemanna ∫ ^b

a

dx x

f ( ) przyjmowaliśmy dwa fundamentalne założenia

• przedział [a,b] jest ograniczony

• funkcja f : [ a , b ] → R jest ograniczona

Naruszenie któregokolwiek z tych założeń powoduje, że nie możemy zdefiniować całki Riemanna.

W tej sytuacji zdefiniujemy tzw. całki niewłaściwe

I . Całki o granicach nieskończonych

Załóżmy

• f : [ a , ∞) → R

• ∀ A≥ a f∈ R[a,A] ( stąd wynika , że f jest ograniczona na [a,A]

Def. Całką funkcji f w granicach [ a , ∞ ) nazywamy granicę (skończoną lub nie) _{→ ∞} ∫ ^A

a

A lim f ( x ) dx =

∫

∞

a

dx x

f ( ) . Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że ∫

∞

a

dx x

f ( ) jest

zbieżna. Jeżeli granica ta jest nieskończona lub nie istnieje to ∫

∞

a

dx x

f ( ) jest rozbieżna.

Analogicznie definiujemy ∫ _{→ −∞} ∫

∞

−

=

a

A A a

dx x f dx

x

f ( ) lim ( )

Def. Mówimy, że ∫

+∞

∞

−

dx x

f ( ) jest zbieżna jeżeli istnieją skończone całki: ∫

∞

− a

dx x f ( ) i ∫

∞

a

dx x f ( ) ;

wtedy ∫

+∞

∞

−

dx x f ( )

df = ∫

∞

− a

dx x f ( ) + ∫

∞

a

dx x f ( ) .

Uwaga. Wartość całki nie zależy od wyboru punktu a.

Przykład.

 



≤

= >

∫

∞

1 1

1 rozbieżna dla α α dla zbieżna

x

α

dx

Zbieżność całki funkcji nieujemnej

• f : [ a , ∞) → R , f ≥ 0

• ∀ _{A ≥ a} f ∈ R [ a , A ]

A

Tw. (kryterium zbieżności) Jeżeli f ≥ 0 , to ∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna ⇔ f x dx M

A

a a A

M ∀ ≤

∃ ^> ∫ ^{( )}

To ogólne kryterium pozwala wyprowadzić dwa kryteria porównawcze.

Tw. (I kryterium porównawcze)

Niech ∀ _{x ≥ a} 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) . Wówczas:

• ∫

∞

a

dx x

g ( ) - zbieżna ∫

∞

⇒

a

dx x

f ( ) - zbieżna,

• ∫

∞

a

dx x

f ( ) - rozbieżna ∫

∞

⇒

a

dx x

g ( ) - rozbieżna.

a f g

Uwaga. W powyższym kryterium wystarczy że nierówności 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) są prawdziwe począwszy od pewnego A>a czyli dla x≥A>a.

Tw. (II kryterium porównawcze -asymptotyczne) Załóżmy, że istnieje K

x g

x f

x

∞ =

→ ( )

)

lim ( (skończona lub nie). Wówczas:

• K < ∞ ; ∫

∞

a

dx x

g ( ) - zbieżna ∫

∞

⇒

a

dx x

f ( ) - zbieżna,

• K > 0 ; ∫

∞

a

dx x

g ( ) - rozbieżna ∫

∞

⇒

a

dx x

f ( ) - rozbieżna,

• 0 < K < ∞ ; ∫

∞

a

dx x f ( ) i ∫

∞

a

dx x

g ( ) są obie zbieżne albo obie rozbieżne.

Dowód Niech 0 < K < ∞ . Z definicji granicy K x g

x f

x

∞ =

→ ( )

)

lim ( wynika, że

ε ∃ ∀ ≥ ⇒ − ≤ ε

∀ x M | _g ^f ₍ ⁽ _x ^x ₎ ⁾ K |

x M

, czyli K − ε ≤ _g ^f ₍ ⁽ _x ^x ₎ ⁾ ≤ K + ε . Weźmy dowolne ε > 0 takie, że .

> 0

− ε

K Stąd dla x ≥ M mamy 0 < ( K − ε ) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ( K + ε ) g ( x ) . Z I kryterium

porównawczego otrzymujemy tezę. Pozostałe przypadki dowodzi się podobnie. Jeśli K = 0 , to

) ( ) (

0 < f x ≤ ε g x i ze zbieżności całki ∫

a

dx x

g ( ) wynika zbieżność ∫

a

dx x

f ( ) . Jeśli = ∞

∞

→ ( )

) lim (

x g

x f

x ,

czyli x M _g ^f _x ^x C

x M C

≥

⇒

≥

∀

∃

∀ ₍ ⁽ ₎ ⁾ więc dla x ≥ M mamy 0 < Cg ( x ) ≤ f ( x ) i z rozbieżności całki

∫

∞

a

dx x

g ( ) wynika rozbieżność ∫

∞

a

dx x f ( ) .

Przykład. Całka

x

dx

x

e x

∫ e

∞

− 5

) 1

( jest rozbieżna, bo lim lim 1

1 1

) 1

( = ₋ =

∞

→

−

∞

→

^x

x x x

e e x x

e x

e

x i ∫ _x dx

∞

5

1 jest rozbieżna.

Zbieżność całki funkcji dowolnego znaku

Rezygnujemy z założenia f ≥ 0 . Zagadnienie istnienia całki ∫

∞

a

dx x

f ( ) sprowadza się zgodnie z

definicją do zagadnienia istnienia skończonej granicy funkcji F ( A ) = ∫ ^A

a

dx x

f ( ) , gdy A→∞.

Istnienie skończonej granicy funkcji sprowadza się do istnienia skończonej granicy ciągu wartości funkcji dla każdego rozbieżnego do +∞ ciągu argumentów. Z kolei istnienie granicy ciągu liczbowego jest równoważne spełnieniu przez ten ciąg warunku Cauchy'ego. Wobec tego mamy więc następujące Tw. Kryterium zbieżności:

∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna ⇔ ∀ _ε ∃ ∀ ∫ ≤ ε

′

′ ≥

>

A

A M A A

M _, f ( x ) dx

0

Z nierówności ∫ ^≤ ∫ ^b

a b

a

dx x f dx x

f ( ) ( ) i powyższego kryterium stwierdzamy, że jeżeli całka

∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna , to całka ∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna ale nie na odwrót!

Jeżeli ∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna, to ∫

∞

a

dx x

f ( ) nazywamy bezwzględnie zbieżną.

Tw. ∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest bezwzględnie zbieżna ⇒ ∫

∞

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna.

Jeżeli ∫

∞

dx x

f ( ) - jest zbieżna, a ∫

∞

dx x

f ( ) - rozbieżna, to ∫

∞

dx x

f ( ) nazywamy warunkowo zbieżną.

II Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej

Niech

• f : [ a , b ] → R , 0 < a < b < ∞

• ∀ c∈ [ b a , ) f∈ R[a,c]

• ∀ c∈ [ b a , ) f jest nieograniczona na [ b c , ] , czyli b jest jedynym punktem osobliwym.

Np.:

 

 



=

∈<

= −

1 0

) 1

; 0 1

1 )

( ²

x x x x

f

Uwaga: Wartość funkcji w punkcie osobliwym jest nieistotna, tzn. nie ma wpływu na ewentualną wartość całki, bo zmiana wartości funkcji podcałkowej w skończonej ilości punktów nie wpływa na wartość całej całki.

Def. Jeżeli istnieje granica (skończona lub nie) _→

⁻

∫ ^c

b a c

dx x f ( )

lim to tę granice nazywamy całką

niewłaściwą funkcji f na [ b a , ] i oznaczamy ∫ ^b

a

dx x

f ( ) . Jeżeli powyższa granica jest skończona to mówimy, że całka jest zbieżna, a funkcję f nazywamy całkowalną na [ b a , ] . Jeżeli granica ta jest niewłaściwa nie istnieje to całkę nazywamy rozbieżną.

Podobnie definiujemy całkę ∫ ^b

a

dx x

f ( ) , gdy jedynym punktem osobliwym jest a ∫ ^b

a

dx x f ( ) =

∫

→

+

b

a c

c lim f ( x ) dx

Def. Jeżeli a i b są jedynymi osobliwymi punktami to wybieramy dowolny punkt c ∈ ( b a , ) i przyjmujemy, ze z definicji ∫ ⁼ ∫ ^{c +} ∫

a

b

c b

a

dx x f dx x f dx x

f ( ) ( ) ( ) , o ile obie całki po prawej stronie istnieją i są skończone.

Uwaga: Wynik nie zależy od wyboru punktu c.

Jeżeli [ b a , ] zawiera n 1 punktów osobliwych a x ₀ x ₁ ... x _n b , to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na [ b a , ] jeżeli istnieją skończone całki ∫

− k

k

x

x

dx x f

1

)

( , k = 1 , 2 ,..., n . Wówczas

∑ ∫

∫ =

−

= ⁿ

k x

x b

a

k

k

dx x f dx

x f

1

₁

) ( )

( .

Przykład.

 



≥

= <

∫ ^{1 1} ₁

0 rozbieżna dla α α dla zbieżna

x

α

dx

Podobnie jak w przypadku całki ∫

∞

a

dx x

f ( ) można sformułować kryteria zbieżności dla całki ∫ ^b

a

dx x f ( ) , gdy b jest jedynym punktem osobliwym funkcji f.

Zbieżność całki z funkcji nieujemnej

Jeżeli funkcja f jest nieujemna, to ⁼ ∫ ^c

a

dx x f c

F ( ) ( ) jest niemalejącą funkcją, więc skończona granica lim F ( c )

b

c →

⁻

istnieje , gdy F (c ) jest ograniczona.

Tw. Kryterium zbieżności Jeżeli f ≥ 0 , to ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna ⇔ f x dx M

c

a b a c

M ∀ ≤

∃ ^{∈< , )} ∫ ^{( )} (ograniczona).

Otrzymujemy stąd dwa kryteria porównawcze:

Tw. (I kryterium porównawcze)

Niech 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , x ∈< a ,b ) . Wówczas:

• ∫ ^b

a

dx x

g ( ) - zbieżna ^⇒ ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - zbieżna,

• ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - rozbieżna ^⇒ ∫ ^b

a

dx x

g ( ) - rozbieżna.

P ( g ) > P ( f ) [pole]

Tw. (II kryterium porównawcze - asymptotyczne) Załóżmy, że istnieje K

x g

x f

b x

−

=

→ ( )

)

lim ( (skończona lub nie). Wówczas:

• K < ∞ ; ∫ ^b

a

dx x

g ( ) - zbieżna ^⇒ ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - zbieżna,

• K > 0 ; ∫ ^b

a

dx x

g ( ) - rozbieżna ^⇒ ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - rozbieżna,

• 0 < K < ∞ ; ∫ ^b

a

dx x g ( ) i ∫ ^b

a

dx x

f ( ) są obie zbieżne albo obie rozbieżne.

Zbieżność całki z funkcji dowolnego znaku

Podobnie jak w przypadku całki ∫

∞

a

dx x

f ( ) dla całki ∫ ^b

a

dx x

f ( ) funkcji której jedynym punktem osobliwym jest punkt b mamy następujące

Tw. Kryterium zbieżności:

∫ ^b

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna ⇔ ∀ _ε ∃ _δ ∀ _δ ∫ ≤ ε

′

′ <

≤

−

>

A

A b A A

b _, f ( x ) dx

0

Def. Całkę ∫ ^b

a

dx x

f ( ) nazywamy bezwzględnie zbieżną gdy ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - zbieżna

i warunkowo zbieżną gdy ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - zbieżna, ale ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - rozbieżna.

Tw. ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - jest bezwzględnie zbieżna ⇒ ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - jest zbieżna.

Uwagi o innych całkach. (wartość główna w sensie Cauchy’ego)

∫

∫

∞

=

M

1. ∫

∞ −

→ M

M lim f ( x ) dx - istnieje ∫

∞

−

dx x

f ( ) - istnieje

∫

+∞

∞

−

dx x

f ( ) - istnieje ⇒ ∫

∞

∞

−

dx x f ( ) ) vp

( - istnieje

2. c ∈(a,b) jest jedynym punktem osobliwym ( vp ) ( ) lim { ( ) ( ) }

0 ∫ ∫

∫

+

−

→ +

=

+

b

c c

a b

a

dx x f dx x f dx

x f

ε ε

ε

∫ ^b

a

dx x f ( ) ) vp

( - istnieje ∫ ^b

a

dx x

f ( ) - istnieje

∫ ^b

a

dx x

f ( ) - istnieje ⇒ ∫ ^b

a

dx x f ( ) ) vp

( - istnieje

Funkcja Γ Eulera jest dla x > 0 definiowana wzorem

• x t ^x e ^{− t} dt

∞

∫ −

= Γ

0

) 1

( .

Rozbijając całkę niewłaściwą na sumę całek t ^x e ^t dt t ^x e ^t dt t ^x e ^{− t} dt

∞

−

−

−

−

∞

− ∫ ∫

∫ ^{= +}

1 1 1

0 1

0

1 można pokazać, że

całka niewłaściwa występująca w definicji funkcji Γ jest zbieżna. Rzeczywiście dla t ∈ ( 0 , 1 ] i dowolnego x > 0 mamy 0 ≤ t ^{x − 1} e ^{− t} ≤ t ^{x − 1} i ∫ ^{1 t x − dt} = _x ¹ < ∞

0

1 , natomiast dla t ∈ [ ∞ 1 , ) i dowolnego

> 0

x prawdziwe jest oszacowanie ₂

)!

2 ] ([

] [ ] [

1 ([ ] 2 )!

0

_[]2

t x t

e e t t

x t

x

t x t x

x

= +

≤

≤

≤

+

−

−

+

i

)!

2 ] )! ([

2 ] ([

1

2 = +

∫ +

∞

x t dt

x , więc całka t ^x e ^{− t} dt

∞

∫ − 1

1 jest zbieżna.

Z definicji widać , że

• Γ ( 1 ) = 1

Całkując przez części łatwo pokazać , że

• Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) Rzeczywiście

) ) (

( )

( '

) ( ' )

) ( 1 (

0 1 1 0

0

x x dt e t x e

e t t g xt t f

e t g t

t dt f

e t

x ^{x t x t}

t x

t x

t

x = − + = Γ

 



 



−

=

=

=

= =

= +

Γ ⁻

∞

∞ −

−

−

−

−

−

∞

∫

∫ ^.

Stąd Γ ( n + 1 ) = n !

Ponadto wykorzystując całkę podwójną pokażemy, że

• Γ ) ( ₂ ¹ = π

40 ΓHxL