Typy zada´ n egzaminacyjnych

Typy zada´ n egzaminacyjnych

TRiL, sem.II, studia niestacjonarne, 2012/13 UWAGA: Na egzamin nale˙zy przynie´ s´ c:

a) indeks,

b) kalkulator (nie mo˙zna korzysta´ c z innych urz adze´

_,

n elektronicznych).

Na zaliczeniu mo˙zna tak˙ze korzysta´ c z pojedy´ nczej kartki formatu A4 wype lnionej dwustronnie pismem zwyk lej wielko´ sci - na tej kartce mo˙ze znajdowa´ c si e dowolna tre´

_,

s´ c (np. wzory na pochodne lub ca lki) z wyj atkiem rozwi

_,

azanych zada´

_,

n.

1. Nie stosuj ac regu ly de l’Hˆ _, ospitala, obliczy´ c nast epuj _, ace granice funkcji: _, a) lim

x→25

√ x − 5

x − 25 , b) lim

x→0

√ x ² + 1 − √ x + 1 1 − √

x + 1 , c) lim

x→0

√ x ² + 1 − 1

√ x ² + 25 − 5 , d) lim

x→0

sin ² (2x) sin(5x) sin(3x) , e) lim

x→0

tg(2x) tg(5x) tg ² (x) .

2. Obliczy´ c pochodne nast epuj _, acych funkcji: _, a) (2

³

√

x ² − x)(4 √

³

x ⁴ + 2

³

√

x ⁵ + x ² ), b)

r x ² − 3x + 2

x ² − 7x + 12 , c) sin ² 3t, d) x sin x 1 + tg x , e) arc tg ⁴ √

x, f) x ² e ^2x sin x, g) cos ²

r 1

x , h)

r sin x +

q x + 2 √

x,

i) ln r 1 + t

1 − t , j) ln r 1 + sin x

1 − sin x , k) ln(ln(ln x))).

3. Wyznaczy´ c k at, jaki z osi _, a OX tworzy styczna do paraboli f (x) = x _, ² − 3x + 8 w punkcie x = 1.

4. W jakim punkcie styczna do linii y = ^x−8 _x+1 tworzy z osi a OX k _, at r´ _, owny ^π ₄ ? Wyznaczy´ c r´ ownanie tej stycznej.

5. W jakim punkcie styczna do linii f (x) = x ³ − 3x ² − 9x + 2 jest r´ ownoleg la: a) do osi OX, b) do prostej 9x + y − 1 = 0?

Wyznaczy´ c r´ ownanie tej stycznej.

6. Znale´ z´ c na krzywej y = e ^x punkt, w kt´ orym styczna do tej krzywej jest r´ ownoleg la do prostej x − y + 7 = 0. Wyznaczy´ c r´ ownanie tej stycznej.

7. Korzystaj ac z regu ly de l’Hˆ _, ospitala obliczy´ c granice nast epuj _, acych funkcji: _, a) lim

x → 0

e ^x + e ^−x − 2

1 − cos 2x , b) lim

x → 0

arc tg 2x

arc sin 5x , c) lim

x → +∞

x

ln(1 + x) , d) lim

x → ⁰

⁺

ln sin x ln sin 5x , e) lim

x → 0

e ^3x − 3x − 1

sin ² 5x , f) lim

x →

^π₂

1 − sin x + cos x

sin 2x − cos x , g) lim

x → 1

 1 ln x − x

ln x



, h) lim

x → +∞ (π − 2 arc tg x) ln x.

8. Znale´ z´ c asymptoty pionowe i uko´ sne wykres´ ow podanych funkcji:

a) f (x) = x ²

x − 2 , b) f (x) = x ² − x − 1

2x , c) f (x) = 2x ³ − x ² + 2x + 2

x ² + 1 , d) f (x) = x ³ (x + 1) ² , e) f (x) = 2x ²

x + 7 , f) f (x) = x ² − 2x

x ² − 5x + 6 , g) f (x) = 2x ²

x + 7 , h) f (x) = x ³

(x − 3) ² , i) f (x) = x ³ + 8

x ² − 4 , j) f (x) = x ³ 1 − x .

9. Wyznaczy´ c przedzia ly monotoniczno´ sci oraz ekstrema nast epuj _, acych funkcji: _,

a) f (x) = x ³ + 3x ² + 3x, b) f (x) = x ³ − 3x + 5, c) f (x) = x ² (x − 6), d) f (x) = 3 − 2x ² − x ⁴ , e) f (x) = x ⁴ − 8x ³ + 22x ² − 24x + 12.

10. Znale´ z´ c punkty przegi ecia oraz przedzia ly wkl _, es lo´ _, sci i wypuk lo´ sci krzywych:

a) f (x) = x ³ − 3x ² − 9x + 9, b) f (x) = x + 36x ² − 2x ³ − x ⁴ . 11. Stosuj ac odpowiednie podstawienia obliczy´ _, c podane ca lki nieoznaczone:

a) Z

(2 − 8x) ¹⁰ dx, b) Z

cos(4x + 5) dx, c) Z

x ² p

⁵

9x ³ + 3 dx, d) Z ln x

x dx.

12. Korzystaj ac z twierdzenia o ca lkowaniu przez cz _, e´ _, sci obliczy´ c podane ca lki nieoznaczone:

a) Z

x sin x dx, b) Z

x ² cos x dx, c) Z

x ³ ln x dx, d)

Z x dx

sin ² x , e) Z

xe ^−7x dx.

13. Obliczy´ c podane ca lki funkcji wymiernych:

a)

Z (3x − 11) dx

x ² − 8x + 15 , b)

Z dx

x ² + 5x + 6 , c)

Z x dx

x ² − 6x + 5 , d)

Z dx

x(x ² + 1) , e)

Z x dx

(x + 1)(x − 2)(x − 3) .

14. Obliczy´ c podane ca lki:

a) Z

sin(3x) cos(5x) dx, b) Z

cos(2x) cos(6x) dx, c) Z

sin(10x) sin(7x) dx.

15. Obliczy´ c pole obszaru ograniczonego liniami:

a) xy = 6 i y = 7 − x, b) y = 6x − x ² i osi OX, c) 4y = 8x − x ² i 4y = x + 6, d) y = x ³ i y = 2x, e) y = 2x − x ² i x + y = 0, f) y = 1

x ² , y = x i y = 4.

16. Obliczy´ c obj eto´ _, s´ c bry ly powsta lej w wyniku obrotu wok´ o l osi OX figury ograniczonej liniami:

a) y = x ² dla x ∈ h−1; 2i, b) y = √

x, x = 3, y = 0, c) xy = 1, x = 1, x = 4, y = 0, d) y = tg x, x = π

4 , y = 0,

e) y = sin x dla x ∈ h0; πi.