Krak´ow 28.10.2019
Zestaw zada´ n nr. 3
• Zadanie 1
Ile jest wszystkich liczb sze´sciocyfrowych o r´o˙znych cyfrach, u lo˙zonych z cyfr: 0,1,2,3,4,5,6?
• Zadanie 2
Poka˙z przez indukcje matematyczna
‘, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1 zachodza
‘ r´owno´sci:
a) 1 − 2 + 3 − 4 + .... + (2n − 1) − 2n = −n
b) 1 + 3 + 6 + .... + n(n + 1)/2 = n(n + 1)(n + 2)/6 c)Pnk=1k = 12n(n + 1)
• Zadanie 3
Wyka˙z, ˙ze zachodzi
n k
!
= n − 1 k − 1
!
+ n − 1 k
!
u˙zywaja‘c interpretacji kombinatorycznej.
• Zadanie 4
Podaj algorytm znajduja‘cy maksymalna‘ liczbe‘ w n-elementowej tablicy przy pomocy iteracji.
• Zadanie 5
Podaj iteracyjny algorytm na sprawdzanie czy liczba n jest liczba‘ pierwsza‘, o z lo˙zono´sci O(n) oraz o z lo˙zono´sci O(q(n)).
• Zadanie 6
Poka˙z przez indukcje
‘ ˙ze n-ka
‘t wypuk ly ma n(n−3)2 przeka
‘tnych.
• Zadanie 7
Wykorzystuja‘c technike‘ dziel i zwycie‘˙zaj zaproponuj algorytm o z lo˙zono´sci obliczeniowej O(nlogn), kt´ory zlicza ilo´s´c inwersji w podanej serii liczb. Jako sprawdzaja
‘cy zaproponuj prosty algorytm zliczania inwersji o z lo˙zono´sci Q(n2).
• Zadanie 8 Wykorzystuja
‘c technike
‘ dziel i zwycie
‘˙zaj zaproponuj algorytm o z lo˙zono´sci obliczeniowej O(nlogn), kt´ory znajduje pare‘ najbli˙zszych punkt´ow w podanej serii par (x, y). Jako sprawdzaja‘cy zaproponuj prosty algorytm o z lo˙zono´sci Q(n3).
1
