Kolorowania i permutacje, orbity i stabilizatory

Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków

UTP Bydgoszcz

08

Przykład. Zbiór X to zbiór ścian sześcianu. Kolorujemy pięć ścian na niebiesko (przypisujemy takiej ścianie liczbę 1) oraz jedną na czerwono (przypisujemy jej liczbę 2).

Możemy sześcian tak obrócić, by czerwona ściana znalazła się w dowolnym miejscu. Jest zatem tylko jedno istotnie różne kolorowanie (o ile możemy

Przykład.

Zbiór X to zbiór ścian sześcianu. Kolorujemy cztery ściany na niebiesko oraz dwie na czerwono.

Tym razem są dwa istotnie różne kolorowania (jeśli możemy obracać kostkę). Albo na czerwono są pokolorowane ściany przeciwległe, albo ściany ze wspólną krawędzią (sąsiednie).

Definicja.

Niech X będzie zbiorem n-elementowym oraz niech k ∈ {1, 2, . . . , n}.

Kolorowaniem zbioru X nazywamy dowolną funkcję c : X → {1, . . . , k}.

Przykład. Zbiór X to wierzchołki sześcianu ponumerowane od 1 do 8.

Każdemu wierzchołkowi przyporządkowujemy albo liczbę 1 (kolor niebieski), albo 2 (kolor czerwony), albo 3 (kolor zielony).

3 4

5 6

7 8

c(1) = c(3) = c(8) = 1

c(2) = c(5) = c(7) = 2

c(4) = c(6) = 3

Przykład. Obróćmy kostkę dookoła osi przechodzącej przez środki dolnej i górnej ściany (jak na rysunku).

1 2

3 4

5 6

7 8

2 3

4 1

6 7

8 5

Obrót ten jest permutacją wierzchołków 1 2 3 4 5 6 7 8 4 1 2 3 8 5 6 7

! , którą można rozłożyć na rozłączne cykle (1432)(5876).

Przykład. Obróćmy kostkę dookoła osi przechodzącej przez środki dolnej i górnej ściany (jak na poprzednim slajdzie).

Kolorowania na rysunku po prawej i po lewej stronie nie są istotnie różne (dokładna definicja będzie podana później).

Jeszcze później wykażemy, że są 333 istotnie różne kolorowania wierzchołków sześcianu trzema kolorami.

Przykład.

Kolorowania na rysunku po lewej (funkcja c) i po prawej stronie (funkcja d ) nie są istotnie różne.

Kostka po prawej stronie (jeśli pominiemy numery wierzchołków) jest obrazem koski po lewej stronie (jeśli pominiemy numery wierzchołków) w obrocie dokoła osi przechodzącej przez środki dolnej i górnej ściany (jak na poprzednim slajdzie).

3 4

5 6

7 8

3 4

5 6

7

8 c(1) = c(3) = c(8) = 1

c(2) = c(5) = c(7) = 2 c(4) = c(6) = 3 d (2) = d (4) = d (7) = 1 d (1) = d (6) = d (8) = 2

Permutacja α i permutacja odwrotna:

n 1 2 3 4 5 6 7 8

α(n) 4 1 2 3 8 5 6 7

n 1 2 3 4 5 6 7 8

α⁻¹(n) 2 3 4 1 6 7 8 5

1 2

3 4

5 6

7 8

1 2

3 4

5 6

7

8 c(1) = c(3) = c(8) = 1

c(2) = c(5) = c(7) = 2 c(4) = c(6) = 3 d (2) = d (4) = d (7) = 1 d (1) = d (6) = d (8) = 2 d (3) = d (5) = 3

α = (1432)(5876), α = (1234)(5678)

1 2

3 4

5 6

7 8

1 2

3 4

5 6

7

8 c(1) = c(3) = c(8) = 1

c(2) = c(5) = c(7) = 2 c(4) = c(6) = 3 d (2) = d (4) = d (7) = 1 d (1) = d (6) = d (8) = 2 d (3) = d (5) = 3

Wtedy (zapis z α):

c(1) = 1 = d (4) = d (α(1)), c(2) = 2 = d (1) = d (α(2)), c(3) = 1 = d (2) = d (α(3)), c(4) = 3 = d (3) = d (α(4)), c(5) = 2 = d (8) = d (α(5)), c(6) = 3 = d (5) = d (α(6)),

α = (1432)(5876), α = (1234)(5678)

1 2

3 4

5 6

7 8

1 2

3 4

5 6

7

8 c(1) = c(3) = c(8) = 1

c(2) = c(5) = c(7) = 2 c(4) = c(6) = 3 d (2) = d (4) = d (7) = 1 d (1) = d (6) = d (8) = 2 d (3) = d (5) = 3

Także (zapis z α⁻¹):

d (1) = 2 = c(2) = c(α⁻¹(1)), d (2) = 1 = c(3) = c(α⁻¹(2)), d (3) = 3 = c(4) = c(α⁻¹(3)), d (4) = 1 = c(1) = c(α⁻¹(4)), d (5) = 3 = c(6) = c(α⁻¹(5)), d (6) = 2 = c(7) = c(α⁻¹(6)),

−1 −1

Grupą (G , ⊗) nazywamy zbiór G z określonym w nim działaniem ⊗ (czyli funkcją ⊗ : G × G → G ) spełniającym warunki:

∀_a,b,c∈G (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) (łączność),

∃_e∀_a∈G a ⊗ e = e ⊗ a = a (istnieje element neutralny)

∀_a∈G∃_z∈G a ⊗ z = z ⊗ a = e (istnieje element odwrotny) Jeśli dodatkowo:

∀_a,b∈G a ⊗ b = b ⊗ a (przemienność), to grupę nazywamy przemienną.

Przykład.

Zbiór liczb rzeczywistych R z działaniem + („zwykłe” dodawanie) jest grupą (przemienną). Elementem neutralnym jest 0.

Przykład.

Zbiór liczb rzeczywistych R z działaniem · („zwykłe” mnożenie) nie jest grupą. Nie ma elementu odwrotnego do 0.

Niech P będzie prostokątem, id to przekształcenie identycznościowe, s₁ to symetria względem osi przechodzącej przez środki poziomych boków, s2 to symetria względem osi przechodzącej przez środki pionowych boków, s3 to symetria środkowa względem środka prostokąta.

Przykład. Grupa izometrii prostokąta:

zbiór {id , s₁, s₂, s₃} z działaniem składania przekształceń.

Elementem neutralnym jest id .

Elementem odwrotnym do każdego z przekształeń jest to samo

PRZYPOMNIENIE: Kolorowanie zbioru X (k kolorami) to funkcja c : X → {1, . . . , k}.

Definicja.

Dwa kolorowania c oraz d zbioru X nazywamy nierozróżnialnymi (ze względu na grupę G ), jeżeli istnieje taka permutacja α ∈ G , że dla każdego x ∈ X mamy

c(x ) = d (α(x )).

Dwa kolorowania są istotnie różne (rozróżnialne), gdy nie są nierozróżnialne.

Pytanie. Ile jest kolorowań istotnie różnych?

Twierdzenie.

Niech G będzie k-elementową grupą permutacji n-elementowego zbioru X . Każdą permutację rozkładamy na rozłączne cykle. Oznaczmy przez k1

liczbę permutacji o jednym cyklu, przez k₂ liczbę permutacji o dwóch cyklach, ..., przez k_n liczbę permutacji o n cyklach.

Wtedy liczba istotnie różnych (ze względu na grupę G ) kolorowań zbioru X przy użyciu m kolorów wynosi:

1

k · k₁· m¹+ k2· m²+ · · · + kn· mⁿ
.

Wersja: bez przekształceń.

Mamy jednoelementowągrupę permutacji (k = 1) składającą się z permutacji identycznościowej: (1)(2)(3)(4).

Jest jedna permutacja (k₄ = 1) zawierającaczterycykle.

Liczba istotnie rozróżnialnych kolorowań m kolorami to:

1

1 · 0 · m¹+ 0 · m²+ 0 · m³+1· m⁴
= m⁴. Podstawiając m = 2 otrzymamy 2⁴ = 16.

Wersja: bez przekształceń. Liczba możliwych kolorowań to: 16.

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

Wersja: z obrotami o wielokrotności 90^◦ wokół środka kwadratu.

Są cztery permutacje:

1 2

3 4

2 3

4 1

3 4

1 2

4 1

2 3

(1)(2)(3)(4) (1432) (13)(24) (1234)

obrót o 0^◦ obrót o 90^◦ obrót o 180^◦ obrót o 270^◦

Wersja: z obrotami o wielokrotności 90^◦ wokół środka kwadratu.

Mamy czteroelementowągrupę permutacji składająca się z:

(1)(2)(3)(4), (1432), (13)(24), (4123).

Jest jedna permutacja zawierającaczterycykle,jedna permutacja zawierająca dwacykle orazdwiepermutacje zawierająca jedencykl.

Liczba istotnie różnych kolorowań m kolorami to:

1

4·^1· m⁴+ 0 · m³+1· m²+2· m^1. Podstawiając m = 2 otrzymamy ¹₄ · 24 = 6.

Wersja: z obrotami o wielokrotności 90^◦ wokół środka kwadratu.

Jest sześć istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami:

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

Wersja: z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

Są dwie permutacje:

1 2

3 4

3 2

1 4

(1)(2)(3)(4) (13)(2)(4)

Wersja: z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

Mamy dwuelementowągrupę permutacji składająca się z:

(1)(2)(3)(4), (13)(2)(4).

Jest jedna permutacja zawierającaczterycykle orazjedna permutacja zawierająca trzycykle.

Liczba istotnie różnych kolorowań m kolorami:

1

2·^1· m⁴+1· m³+ 0 · m²+ 0 · m^1. Podstawiając m = 2 otrzymamy ¹₂ · 2⁴+ 2³
= 12.

Wersja: z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

Jest dwanaście istotnie rozrożnialnych kolorowań dwoma kolorami:

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

Fakt.

Grupa obrotów sześcianu generuje 24 permutacje.

Mamy:

jedną permutację identycznościową;

3 · 3 = 9 obrotów wokół osi: środek ściany-środek przeciwległej ściany;

są trzy takie osie i trzy obroty (o 90^◦, 180^◦ oraz 270^◦), czwartego obrotu o 0^◦ nie uwględniamy (generuje on permutację

identycznościową, którą już uwzględniliśmy);

4 · 2 = 8 obrotów (o 120^◦ oraz 240^◦) wokół osi łączących przeciwległe wierzchołki (trzeciego obrotu o 0^◦ nie uwględniamy);

6 obrotów (o 180^◦) wokół osi łączących środki przeciwległych krawędzi (obrotów o 0^◦ nie uwględniamy).

Przedstawimy te obroty przy pomocy permutacji rozłożonych na cykle.

Ilustracja JEDNEJ permutacji identycznościowej

oraz pierwszych TRZECH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi łączącej środki dolnej i górnej ściany.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) (1234)(5678)

permutacja identycznościowa obrót o 270^◦

1 2

3 4

5 6

7 8

2 3

4 1

6 7

8 5

3 4

1 2

7 8

5 6

4 1

2 3

8 5

6 7

(1432)(5876) (13)(24)(57)(68) obrót o 90^◦ obrót o 180^◦

Ilustracja kolejnych TRZECH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez środki lewej i prawej ściany.

Po lewej stronie umieszczona jest kostka sprzed obrotów.

(1485)(2376) obrót o 270^◦

1 2

3 4

5 6

7 8

4 3

7 8

1 2

6 5

8 7

6 5

4 3

2 1

5 6

2 1

8 7

3 4

(1584)(2673) (18)(27)(36)(45) obrót o 90^◦ obrót o 180^◦

Ilustracja kolejnych TRZECH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez środki przedniej i tylnej ściany.

Po lewej stronie umieszczona jest kostka sprzed obrotów.

(1265)(3784) obrót o 270^◦

1 2

3 4

5 6

7 8

2 6

7 3

1 5

8 4

6 5

8 7

2 1

4 3

5 1

4 8

6 2

3 7

(1562)(3487) (16)(25)(38)(47) obrót o 90^◦ obrót o 180^◦

Ilustracja kolejnych DWÓCH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 8

oraz DWÓCH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez wierzchołki 3 oraz 5.

(136)(2)(475)(8) (186)(247)(3)(5)

obrót o 120^◦ obrót o 240^◦

3 2

6 7

4 1

5 8

6 2

1 5

7 3

4 8

6 7

3 2

5 8

4 1

8 4

3 7

5 1

2 6

(163)(2)(457)(8) (168)(274)(3)(5)

Ilustracja kolejnych DWÓCH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez wierzchołki 1 oraz 7

oraz DWÓCH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez wierzchołki 4 oraz 6.

(1)(245)(386)(7) (183)(257)(4)(6)

obrót o 120^◦ obrót o 240^◦

1 4

8 5

2 3

7 6

1 5

6 2

4 8

7 3

3 7

8 4

2 6

5 1

8 5

1 4

7 6

2 3

(1)(254)(368)(7) (138)(275)(4)(6)

Ilustracja następnych TRZECH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez środki przeciwległych krawędzi.

Po lewej stronie umieszczona jest kostka sprzed obrotów.

(15)(28)(37)(46) obrót o 180^◦

1 2

3 4

5 6

7 8

7 6

5 8

3 2

1 4

2 1

5 6

3 4

8 7

5 8

7 6

1 4

3 2

(17)(26)(35)(48) (12)(35)(46)(78) obrót o 180^◦ obrót o 180^◦

Ilustracja kolejnych TRZECH permutacji będących obrotami sześcianu wokół osi przechodzącej przez środki przeciwległych krawędzi.

Po lewej stronie umieszczona jest kostka sprzed obrotów.

(17)(28)(34)(56) obrót o 180^◦

1 2

3 4

5 6

7 8

4 8

5 1

3 7

6 2

2 1

5 6

3 4

8 7

7 8

4 3

6 5

1 2

(14)(28)(35)(67) (17)(23)(46)(58) obrót o 180^◦ obrót o 180^◦

Wniosek.

Grupa obrotów sześcianu składa się z 24 permutacji zbioru wierzchołków {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Są to:

(1234)(5678), (1432)(5876), (1265)(3784), (1562)(3487), (1485)(2376), (1584)(2673),

(1)(245)(386)(7), (1)(254)(368)(7), (136)(2)(475)(8), (163)(2)(457)(8), (168)(274)(3)(5), (186)(247)(3)(5), (138)(275)(4)(6), (183)(257)(4)(6), (13)(24)(57)(68), (16)(25)(38)(47), (18)(27)(36)(45), (15)(28)(37)(46), (17)(26)(35)(48), (12)(35)(46)(78), (17)(28)(34)(56), (14)(28)(35)(67), (17)(23)(46)(58),

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8).

Jest sześć permutacji mającychdwacykle,siedemnaście permutacji mającychcztery cykle orazjedna permutacja mającaosiemcykli.

Liczba istotnie różnych (rozróżnialnych ze względu na grupę obrotów) kolorowań wierzchołków sześcianu m kolorami wynosi

1

24 · 6· m²+17· m⁴+1· m⁸
.

Podstawiając m = 3 (trzy kolory) otrzymamy 333 kolorowania.

Podobnie, dla m = 1 otrzymamy jedno kolorowanie, dla m = 2 otrzymamy 23 kolorowania, ...

Dla permutacji α zbioru X oznaczmy przez λ(α) liczbę wszystkich cykli permutacji α, a przez λi(α) liczbę cykli długości i permutacji α.

Obserwacja. λ(α) = λ1(α) + · · · + λn(α).

Przykład.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

λ1(α1) = 4, λ2(α1) = 0, λ3(α1) = 0, λ4(α1) = 0, λ1(α2) = 2, λ2(α2) = 1, λ3(α2) = 0, λ4(α2) = 0.

Oczywiście

λ1(α1) + λ2(α1) + λ3(α1) + λ4(α1) = 4 oraz λ (α ) + λ (α ) + λ (α ) + λ (α ) = 3.

Definicja. Założmy, że G jest grupą permutacji zbioru X . Indeks cyklowy grupy G to wielomian

P_G(x₁, . . . , x_n) = 1 kG k

X

α∈G

x₁^λ1(α)x₂^λ2(α)· . . . · x_n^λn(α).

Przykład.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

λ₁(α₁) = 4, λ₂(α₁) = λ₃(α₁) = λ₄(α₁) = 0, λ1(α2) = 2, λ2(α2) = 1, λ3(α2) = λ4(α2) = 0.

Wyznaczymy indeks cyklowy.

Indeks cyklowy grupy G to wielomian

P_G(x1, . . . , xn) = 1 kG k

X

α∈G

x₁^λ1(α)x₂^λ2(α)· . . . · x_n^λn(α).

W tym przykładzie

λ₁(α₁) = 4, λ₂(α₁) = λ₃(α₁) = λ₄(α₁) = 0, λ1(α2) = 2, λ2(α2) = 1, λ3(α2) = λ4(α2) = 0.

Indeks cyklowy tej dwuelementowej grupy permutacji to P_G(x₁, x₂, x₃, x₄)

= _{kG k}¹ x₁^λ1(α1)x₂^λ2(α1)x₃^λ3(α1)x₄^λ4(α1)+ x₁^λ1(α2)x₂^λ2(α2)x₃^λ3(α2)x₄^λ4(α2)

= ¹₂ x₁⁴x₂⁰x₃⁰x₄⁰+ x₁²x₂¹x₃⁰x₄⁰

= ¹ x⁴+ x²x
.

Twierdzenie.

Załóżmy, że X jest n-elementowym zbiorem oraz G jest grupą permutacji zbioru X . Ponadto, niech K będzie zbiorem kolorowań zbioru X za pomocą m kolorów oraz niech wielomian PG(x1, x2, . . . , xn) będzie indeksem cyklowym grupy G . Wtedy:

1 liczba kolorowań zbioru X (rozróżnialnych ze względu na grupę G ) jest równa P_G(m, m, ..., m);

2 liczba kolorowań (rozróżnialnych ze względu na grupę G), w których kolor 1 występuje k₁ razy, kolor 2 występuje k₂ razy, ..., kolor m występuje km razy (k1+ k2+ · · · + km = n), jest równa

współczynnikowi przy wyrazie w₁^k1w₂^k2. . . w_m^km w wielomianie W (w1, w2, . . . , wm) = P_G

m

X

i =1

w_i,

m

X

i =1

w_i², . . . ,

m

X

i =1

w_iⁿ

! .

Obserwacja.

Wielomian z ostatniej linii poprzedniego slajdu powstał przez podstawienie:

x₁ = w₁+ w₂+ · · · + w_m, x2 = w₁²+ w₂²+ · · · + w_m², . . .

x_n= w₁ⁿ+ w₂ⁿ+ · · · + w_mⁿ

do indeksu cyklowego P_G(x1, x2, . . . , xn).

grupę G ) jest równa P

(m, m, ..., m)

Przykład. ^{1 2}

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

Podstawiając do P_G(x₁, x₂, x₃, x₄) = ¹₂(x₁⁴+ x₁²x₂) wartości

x₁ = x₂ = x₃= x₄ =m = 2 otrzymamy liczbę istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami wynoszącą: ¹₂(2⁴+2²·2) = 12.

Jest dwanaście istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami (wersja z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4):

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

kolor 2 występuje k

razy, ..., kolor m występuje k

razy jest równa współczynnikowi przy wyrazie w

w

. . . w

w wielomianie

W (w

, w

, . . . , w

) = P

w

,

w

, . . . ,

w

Przykład A. Znajdź liczbę istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami (wersja z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4), w której pierwszy kolor (niebieski) występuje jeden raz, a drugi (czerwony) trzy razy.

Przykład B. Znajdź liczbę istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami (wersja z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4), w której pierwszy kolor (niebieski) występuje dwa razy, a drugi

Znajdziemy liczbę istotnie różnych kolorowań dwoma kolorami

wierzchołków kwadratu w wersji z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

Podstawiając do PG(x1, x2, x3, x4) = ¹₂(x₁⁴+ x₁²x2)wartości x₁ = w₁+ w₂ oraz x₂ = w₁²+ w₂² otrzymamy

W (w₁, w₂)

= ¹₂ (w₁+ w₂)⁴+ (w₁+ w₂)²(w₁²+ w₂²)

= ₂¹ w₁⁴+ 4w₁³w₂+ 6w₁²w₂²+ 4w₁w₂³+ w₂⁴

+w₁⁴+ 2w₁³w₂+ w₁²w₂²+ w₁²w₂²+ 2w₁w₂³+ w₂⁴

= ₂¹ 2w₁⁴+ 2w₂⁴+ 8w₁²w₂²+ 6w₁³w₂+ 6w₁w₂³

= w₁⁴+ w₂⁴+4w₁²w₂²+ 3w₁³w2+3w1w₂³.

kolor 2 występuje k

razy, ..., kolor m występuje k

razy jest równa współczynnikowi przy wyrazie w

w

. . . w

w wielomianie W (w

, w

, . . . , w

).

W (w₁, w₂) = w₁⁴+ w₂⁴+4w₁²w₂²+ 3w₁³w₂+3w₁¹w₂³. Mamy zatem trzy rozróżnialne kolorowania dwoma kolorami (wersja z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4), w której pierwszy kolor (niebieski) występuje jeden raz, a drugi (czerwony) trzy razy

oraz czteryrozróżnialne kolorowania dwoma kolorami (wersja z symetrią wzgędem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4), w której

przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4), w której pierwszy kolor (niebieski) występuje jeden raz, a drugi (czerwony) trzy razy.

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4),w której pierwszy kolor (niebieski) występuje dwa razy, a drugi (czerwony) dwa razy.

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

Obserwacja.

Jeżeli rozłożymy permutację α na rozłączne cykle, to otrzymamy podział zbioru X na rozłączne podzbiory.

Przykład. α = (1432)(5876) generuje podział zbioru

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} na dwa podzbiory {1, 2, 3, 4}oraz {5, 6, 7, 8}.

1 2

3 4

5 6

7 8

Obserwacja. Dowolny element każdego z takich podzbiorów jest obrazem innego elementu tego podzbioru w pewnej potędze permutacji.

1 2

3 4

5 6

7 8

Przykład. α = (1432)(5876) generuje podział na {1, 2, 3, 4} oraz {5, 6, 7, 8}. Wtedy:

8 = α(5), 8 = α²(6) = α(α(6)), 8 = α³(7) = α(α(α(7))), 8 = α⁴(8).

Niech G będzie grupą działającą na zbiorze X . W zbiorze X określamy relację ∼ następująco:

x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje permutacja α ∈ G taka, że y = α(x ).

Fakt.

Relacja ∼ jest relacją równoważności (jest zwrotna, symetryczna i przechodnia).

Dzieli ona zatem zbiór X na klasy abstrakcji. Klasę abstrakcji wyznaczoną przez element x ∈ X oznaczymy O(x ) = {α(x ) : α ∈ G }.

Definicja. Takie klasy abstrakcji nazywamy orbitami działania grupy G albo G -orbitami. Zatem G -orbitą elementu x nazywamy zbiór

{α(x) : α ∈ G } oznaczany O(x).

Fakt. G -orbity tworzą podział zbioru X .

Przykład. Niech X będzie zbiorem wierzchołków kwadratu, a G dwuelementową grupą permutacji {α1, α2}, gdzie α₁ = id , a α2 to permutacja będąca symetrią względem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

G -orbity tworzą podział zbioru X na trzy podzbiory.

O(1) = O(3) = {1, 3}, O(2) = 2, O(4) = 4,

gdyż O(1) = {α₁(1), α₂(1)} = {1, 3}, O(3) = {α₁(3), α₂(3)} = {3, 1}, O(2) = {α (2), α (2)} = {2}, O(4) = {α (4), α (4)} = {4}.

Definicja.

Niech x ∈ X oraz niech G będzie grupą permutacji zbioru X .

Stabilizatorem elementu x nazywamy zbiór S (x ) = {α ∈ G : α(x ) = x }.

Przykład. Niech X będzie zbiorem wierzchołków kwadratu, a G

dwuelementową grupą permutacji {α₁, α₂} będących symetrią (złożeniem symetrii) względem prostej przechodzącej przez wierzchołki 2 oraz 4.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

Stabilizatory:

S (1) = {α1}, S(2) = {α₁, α2}, S (3) = {α }, S(4) = {α , α }

Twierdzenie.

Dla każdego x ∈ X mamy kS (x )k · kO(x )k = kG k.

Przykład.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

Orbity i stabilizatory:

O(1) = {1, 3}, O(3) = {3, 1}, O(2) = {2}, O(4) = {4}.

S (1) = {α1}, S(2) = {α₁, α2}, S(3) = {α₁}, S(4) = {α₁, α2} Zatem kS (1)k · kO(1)k = 1 · 2 = 2, kS (2)k · kO(2)k = 2 · 1 = 2, kS(3)k · kO(3)k = 1 · 2 = 2, kS(4)k · kO(4)k = 2 · 1 = 2.

Definicja.

Załóżmy, że G jest grupą przekształceń zbioru X oraz że α ∈ G . Charakterem przekształcenia α nazywamy liczbę takich x ∈ X , dla których α(x ) = x (liczbę punków stałych permutacji), czyli

χ(α) = k{x ∈ X : α(x ) = x }k.

Przykład.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

χ(α1) = k{1, 2, 3, 4}k = 4, χ(α2) = k{2, 4}k = 2.

Załóżmy, że G jest grupą przekształceń zbioru X . Wtedy liczba orbit t(G ) w zbiorze X (ze względu na grupę G ) wynosi

t(G ) = 1 kG k · ^X

α∈G

χ(α).

Przykład.

1 2

3 4

α1= (1)(2)(3)(4)

3 2

1 4

α2= (13)(2)(4)

Liczba orbit jest więc równa 1

kG k· ^Xχ(α) = 1

2· χ(α₁) + χ(α1)
= 1

2 · (4 + 2) = 3.

[V ]² to zbiór wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru V .

Definicja. Grafem prostym nazywamy parę G = (V_G, E_G), gdzie V_G jest skończonym niepustym zbiorem oraz EG jest podzbiorem zbioru [VG]². Elementy ze zbioru V_G to wierzchołki grafu, a elementy ze zbioru E_G to krawędzie (nie mogą się powtarzać, nie mogą mieć obu końców w tym samym wierzchołku).

Przykład. V_G = {v1, v2, v3, v4},

E_G = {{v₁, v₂}, {v₁, v₄}, {v₂, v₄}, {v₃, v₄}, {v₂, v₃}}

v4

v₃

v₁

Definicja. Grafem prostym skierowanym nazywamy parę G = (VG, EG), gdzie V_G jest skończonym niepustym zbiorem oraz E_G jest podzbiorem zbioru V_G × V_G. Elementy ze zbioru V_G to wierzchołki grafu, a elementy z VG × V_G to krawędzie. Jeśli krawędzią e jest uporządkowana para (p, q), to p nazywamy początkiem krawędzi e, natomiast q końcem tej krawędzi.

Przykład. V_G = {v₁, v₂, v₃, v₄},

EG = {(v2, v1), (v2, v3), (v2, v4), (v4, v1), (v4, v3)}

v₂ v₄

v₃

v₁

α1= id = a b c d a b c d

! ^a

b

d

c

α₂= a b c d c b a d

! ^c

b

d

a

α₃= a b c d

a d c b

! ^a

d

b

c

a b c d ^!

c

d

a

Obserwacja. Każda permutacja α z poprzedniego slajdu spełnia warunek:

dla dowolnych dwóch wierzchołków p oraz q grafu:

(p, q) jest krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy (α(p), α(q)) jest krawędzią.

α1= a b c d a b c d

!

α2= a b c d c b a d

!

α3= a b c d

a d c b

!

α4= a b c d

c d a b

!

Znajdziemy orbity działania tej grupy.

O(a) = {α1(a), α2(a), α3(a), α4(a)} = {a, c, a, c} = {a, c}

= O(c) = {α₁(c), α₂(c), α₃(c), α₄(c)}

O(b) = {α₁(b), α₂(b), α₃(b), α₄(b)} = {b, b, d , d } = {b, d }

= O(d ) = {α₁(d ), α₂(d ), α₃(d ), α₄(d )}.

α1= (a)(b)(c)(d ), α2= (ac)(b)(d ), α3 = (a)(bd )(c), α4 = (ac)(bd ) Znajdziemy teraz stabilizatory kolejnych wierzchołków.

S (a) = {α₁, α₃}, S (b) = {α₁, α₂}, S (c) = {α₁, α₃}, S (d ) = {α1, α2}.

Orbity i stabilizatory:

kS(a)k · kO(a)k = 2 · 2 = 4 = kG k kS(b)k · kO(b)k = 2 · 2 = 4 = kG k kS(c)k · kO(c)k = 2 · 2 = 4 = kG k kS(d )k · kO(d )k = 2 · 2 = 4 = kG k

Charakter przekształcenia:

χ(α₁) = k{a, b, c, d }k = 4 χ(α₂) = k{b, d }k = 2 χ(α3) = k{a, c}k = 2 χ(α4) = k∅k = 0

Zastosujemy lemat Burnside’a.

Liczba orbit jest równa 1

kG k ·^χ(α1) + χ(α2) + χ(α3) + χ(α4)^= 1

4· 4 + 2 + 2 + 0
= 2.

α₁= (a)(b)(c)(d ), α₂= (ac)(b)(d ), α₃ = (a)(bd )(c), α₄ = (ac)(bd ) Jest jedna permutacja (α₄) mającadwa cykle,dwiepermutacje (α₂ oraz α3) mające trzycykle oraz jedna permutacja (α1) mająca czterycykle.

Liczba istotnie różnych (rozróżnialnych ze względu na grupę G ) kolorowań wierzchołków grafu m kolorami wynosi

1

4 · 1· m²+2· m³+1· m⁴
. Podstawiając m = 2 (dwa kolory) otrzymamy 9 kolorowań.

α1= (a)(b)(c)(d ), α2= (ac)(b)(d ), α3 = (a)(bd )(c), α4 = (ac)(bd ) Dla permutacji α zbioru A oznaczyliśmy przez λ_i liczbę cykli długosci i permutacji α.

W naszym przypadku:

λ₁(α₁) = 4, λ₂(α₁) = 0, λ₃(α₁) = 0, λ₄(α₁) = 0, λ₁(α₂) = 2, λ₂(α₂) = 1, λ₃(α₂) = 0, λ₄(α₂) = 0, λ1(α3) = 2, λ2(α3) = 1, λ3(α3) = 0, λ4(α3) = 0, λ1(α4) = 0, λ2(α4) = 2, λ3(α4) = 0, λ4(α4) = 0.

λ1(α1) = 4, λ2(α1) = 0, λ3(α1) = 0, λ4(α1) = 0, λ₁(α₂) = 2, λ₂(α₂) = 1, λ₃(α₂) = 0, λ₄(α₂) = 0, λ₁(α₃) = 2, λ₂(α₃) = 1, λ₃(α₃) = 0, λ₄(α₃) = 0, λ₁(α₄) = 0, λ₂(α₄) = 2, λ₃(α₄) = 0, λ₄(α₄) = 0.

Indeks cyklowy tej czteroelementowej grupy permutacji to P_G(x₁, x₂, x₃, x₄)

= _{kG k}¹ x₁^λ1(α1)x₂^λ2(α1)x₃^λ3(α1)x₄^λ4(α1)+ x₁^λ1(α2)x₂^λ2(α2)x₃^λ3(α2)x₄^λ4(α2) +x₁^λ1(α3)x₂^λ2(α3)x₃^λ3(α3)x₄^λ4(α3)+ x₁^λ1(α4)x₂^λ2(α4)x₃^λ3(α4)x₄^λ4(α4)

= ¹₄ x₁⁴x₂⁰x₃⁰x₄⁰+ x₁²x₂¹x₃⁰x₄⁰+ x₁²x₂¹x₃⁰x₄⁰+ x₁⁰x₂²x₃⁰x₄⁰

= ¹₄ x₁⁴+ 2x₁²x2+ x₂²

Indeks cyklowy

PG(x1, x2, x3, x4) = ¹₄ x₁⁴+ 2x₁²x2+ x₂²
.

Podstawiając x1= x2 = x3 = x4 =m = 2 otrzymamy liczbę istotnie różnych kolorowań wierzchołków grafudwoma kolorami wynoszącą:

1

4 2⁴+ 2 ·2²·2+2²
= 9

Indeks cyklowy tej czteroelementowej grupy permutacji to P_G(x₁, x₂, x₃, x₄) = ₄¹ x₁⁴+ 2x₁²x₂+ x₂²

Podstawiając x1= w1+ w2, x2= w₁²+ w₂², x3 = w₁³+ w₂³, x4= w₁⁴+ w₂⁴ otrzymamy

W (w₁, w₂) = ¹₄ (w₁+ w₂)⁴+ 2(w₁+ w₂)²(w₁²+ w₂²) + (w₁²+ w₂²)²
, czyli

W (w1, w2) = 1 · w₁⁴+ 1 · w₂⁴+ 2 · w1w₂³+ 3 · w₁²w₂²+ 2 · w₁³w2.

Jest zatem jednokolorowanie wierzchołków grafu, w którym wszystkie cztery wierzchołki są żółte (kolor pierwszy).

Jest jednokolorowanie wierzchołków grafu, w którym wszystkie cztery wierzchołki są zielone (kolor drugi).

Są dwakolorowania wierzchołków grafu, w którym jeden wierzchołek jest żółty oraz trzy zielone.

Są dwakolorowania wierzchołków grafu, w którym trzy wierzchołki są żółte oraz jeden zielony.

Są trzykolorowania wierzchołków grafu, w którym dwa wierzchołki są żółte oraz dwa zielone.