Zestaw pyta ´n na egzamin magisterski z matematyki (dla uczestników seminarium dra Marka Majewskiego) w roku akademickim 2014/2015

(1)

Zestaw pyta ´n na egzamin magisterski z matematyki

(dla uczestników seminarium dra Marka Majewskiego) w roku akademickim 2014/2015

1. Poda´c definicj˛e funkcji f : X →Y. Co to jest dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór war- to´sci? Co to jest funkcja ró ˙znowarto´sciowa, „na” oraz bijekcja? Co to jest funkcja odwrotna? Poda´c przykłady.

2. Podać definicj˛e ci ˛agu. Podać definicj˛e granicy ci ˛agu. Wskazać interpretacj˛e geometryczn ˛a. Co nazywamy ci ˛agiem zbie ˙znym, a co rozbie ˙znym? Podać przykłady. Podać własno´sci rachunkowe granicy dla ci ˛agów zbie ˙znych i rozbie ˙znych.

3. Podać definicj˛e podci ˛agu (liczbowego). Co to jest punkt skupienia ci ˛agu? Podać przy- kłady. Co to jest zbiór domkni˛ety, zwarty (okre´slenie dla podzbiorów R za pomoc ˛a ci ˛agów)? Podać przykłady i ilustracj˛e geometryczn ˛a.

4. Podać definicj˛e szeregu liczbowego. Co to znaczy, ˙ze szereg jest zbie ˙zny? Co to znaczy, ˙ze szereg jest rozbie ˙zny? Podać przykłady. Podać warunek konieczny zbie ˙zno´sci szeregu.

5. Sformułowa´c kryterium porównawcze zbie ˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujemnych oraz kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zbie ˙zno´sci szeregu.

6. Co to znaczy, ˙ze szereg liczbowy jest zbie ˙zny? Co to jest zbie ˙zno´s´c bezwzgl˛edna i wa- runkowa? Poda´c (równie ˙z na przykładach) zale ˙zno´sci pomi˛edzy tymi zbie ˙zno´sciami i zbie ˙zno´sci ˛a w zwykłym sensie.

7. Sformułowa´c definicj˛e w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie. Po- da´c ilustracj˛e graficzn ˛a w ró ˙znych sytuacjach.

8. Sformułować definicj˛e Heinego i Cauchy’ego funkcji ci ˛agłej w punkcie. Co to jest funkcja ci ˛agła? Sformułować i zilustrować graficznie własno´sć Darboux.

9. Co to jest iloraz ró ˙znicowy? Podać definicj˛e pochodnej funkcji f : (a, b) → _{R. Co to} znaczy, ˙ze funkcja jest ró ˙zniczkowalna w punkcie, w zbiorze? Zinterpretować geometrycznie, poj˛ecia ilorazu ró ˙znicowego i pochodnej. Podać definicje stycznej i siecznej.

10. Podać własno´sci rachunkowe pochodnej. Podać zwi ˛azek ró ˙zniczkowalno´sci i ci ˛agło´sci funkcji. Podać odpowiedni przykład. Sformułować twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i zło ˙zeniu funkcji.

11. Co to jest pochodna funkcji w punkcie? Co to jest funkcja ró ˙zniczkowalna? Jakie funkcje s ˛a ró ˙zniczkowalne? Sformułowa´c twierdzenie o zwi ˛azku pochodnej z mono- toniczno´sci ˛a.

12. Sformułować twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a oraz dokonać interpretacji geometrycznej tych twierdze ń.

13. Poda´c definicj˛e pochodnej kierunkowej funkcji f : G → _{R, G} ⊂ _Rⁿ. Dokona´c interpretacji geometrycznej. Co to s ˛a pochodne cz ˛astkowe? Co to jest gradient funkcji

f : G→_{R, G} ⊂_Rⁿ_?

1

(2)

14. Sformułowa´c definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmiennej. Co to jest ekstremum (maksimum, minimum) wła´sciwe, globalne? Sformułowa´c warunek wystarczaj ˛acy istnienia ekstremum funkcji ró ˙zniczkowalnej jednej zmiennej.

15. Sformułowa´c definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Sformułowa´c warunek wystarczaj ˛acy istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych.

16. Poda´c definicj˛e podziału, sumy górnej i sumy dolnej Darboux, całki dolnej i górnej Darboux oraz całki Riemanna. Jakie funkcje s ˛a całkowalne w sensie Riemanna? Poda´c przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna.

17. Sformułowa´c podstawowe twierdzenie rachunku całkowego oraz twierdzenie o war- to´sci ´sredniej. Zilustrowa´c geometrycznie to ostatnie twierdzenie. Jakie s ˛a geome- tryczne zastosowania całki Riemanna?

18. Podać definicj˛e liczby zespolonej. Co to jest cz˛e´sć rzeczywista, cz˛e´sć urojona, sprz˛e-

˙zenie i moduł liczby zespolonej? Co to jest jednostka urojona? Jaka jest interpretacja geometryczna tych poj˛e´c?

19. Co to jest postać kanoniczna liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej? Co to jest postać postać trygonometryczna liczby zespolonej? Co to jest argument i argument główny liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej?

20. Co nazywamy pierwiastkiem liczby zespolonej? Jaka jest ró ˙znica mi˛edzy pierwiastkiem liczby zespolonej o zerowej cz˛e´sci urojonej a pierwiastkiem tej liczby rozumianej jako liczby rzeczywistej? Poda´c i zilustrowa´c na przykładzie wzór na wszystkie pier- wiastki n–tego stopnia z liczby zespolonej.

21. Sformułować definicj˛e przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Co to jest podprzestrze ń przestrzeni liniowej? Sformułować warunek konieczny i wystarczaj ˛acy na to, aby pod- zbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzeni ˛a liniow ˛a. Podać przykłady.

22. Poda´c definicj˛e kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów liniowo zale ˙z- nych i niezale ˙znych? Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Poda´c przykłady.

23. Podać definicj˛e przekształcenia liniowego. Podać przykłady. Co nazywamy mono–, epi–, izo–, auto– oraz endomorfizmem? Co to jest j ˛adro, obraz oraz rz ˛ad przekształ- cenia liniowego? Podać przykłady. Jaki jest zwi ˛azek wymiaru dziedziny z wymiarem j ˛adra i rz˛edem przekształcenia liniowego? Jaki jest zwi ˛azek j ˛adra z ró ˙znowarto´scio- wo´sci ˛a przekształcenia liniowego?

24. Podać definicj˛e przekształcenia liniowego. Podać definicj˛e macierzy przekształcenia liniowego. Jak znale´zć macierz przekształcenia danego wzorem?

25. Zdefiniować wektor własny i warto´sć własn ˛a endomorfizmu. Co to jest równanie cha- rakterystyczne i wielomian charakterystyczny macierzy? Jak wykorzystać te poj˛ecia do znajdowania wektorów i warto´sci własnych endomorfizmu?

26. Co to jest σ−ciało zbiorów? Poda´c przykłady. Co to jest σ−ciało generowane przez rodzin˛e zbiorów? Co to s ˛a zbiory borelowskie? Co to jest funkcja mierzalna? Jakie s ˛a warunki mierzalno´sci funkcji rzeczywistej?

2

(3)

27. Poda´c definicj˛e i najprostsze własno´sci miary. Poda´c przykłady.

28. Co to jest miara zewn˛etrzna? Jak wprowadzamy miar˛e Lebesgue’a?

29. Co nazywamy funkcj ˛a prost ˛a? Jak definiujemy całk˛e z funkcji prostej? Sformułowa´c definicj˛e całki z funkcji mierzalnej nieujemnej. Jak definiujemy całk˛e (wzgl˛edem miary Lebesgue’a) z dowolnej funkcji rzeczywistej. Co nazywamy funkcj ˛a całkowaln ˛a (su- mowaln ˛a)?

30. Co to jest przestrze ´n topologiczna? Co to znaczy, ˙ze jedna topologia jest słabsza od drugiej? Poda´c przykłady.

31. Co to jest zbiór otwarty, domkni˛ety, spójny, zwarty? Jakie s ˛a najprostsze własno´sci tych zbiorów?

32. Co to znaczy, ˙ze ci ˛ag elementów przestrzeni topologicznej jest zbie ˙zny? Poda´c przy- kłady. Jak zachowuje si˛e zbie ˙zno´s´c ci ˛agów przy osłabianiu (wzmacnianiu topologii)?

33. Co nazywamy baz ˛a przestrzeni topologicznej? Jak za jej pomoc ˛a wprowadzi´c topolo- gi˛e? Wyja´sni´c równie ˙z na przykładzie.

34. Co nazywamy funkcj ˛a ci ˛agł ˛a? Jak zachowuje si˛e ci ˛agło´s´c w przypadku osłabiania topologii (w dziedzinie i w przeciwdziedzinie)? Co to jest homeomorfizm? Poda´c przy- kłady.

35. Co to jest ci ˛ag zbie ˙zny? Co to jest ci ˛ag Cauchy’ego? Jaki jest zwi ˛azek mi˛edzy tymi poj˛eciami. Co to jest przestrze ´n zupełna? Poda´c przykłady (pozytywny i negatywny).

36. Co to jest norma? Co to jest przestrze ´n unormowana? Co nazywamy ci ˛agiem zbie ˙z- nym w przestrzeni unormowanej? Co to jest funkcja ci ˛agła (odwzorowuj ˛aca dwie przestrzenie unormowane).

37. Co to jest norma? Co to jest przestrze ´n unormowana? Co to jest przestrze ´n Banacha?

Poda´c przykłady.

38. Podać definicj˛e iloczynu skalarnego? Co to jest przestrze ń unitarna? Co to jest przestrze ń Hilberta? Podać przykłady.

39. Co to s ˛a wektory ortogonalne? Sformułowa´c twierdzenie o rzucie ortogonalnym.

40. Co to jest operator liniowy? Co to jest operator ograniczony? Sformułowa´c twierdzenie Banacha o zwi ˛azku operatora ograniczonego i ci ˛agłego. Co to jest norma operatora? Poda´c przykład.

Marek Majewski, Łód´z, 6 lipca 2015.

3