szereg P∞ n=1c−n(z − z0)−n nazywamy cze´,scia g l´, owna szeregu Laurenta., Szereg test zbie˙zny jest zbie˙zny na zewnatrz ko la D(z, 0, r

doko´nczenie WYK LADU Z ANALIZY ZESPOLONEJ z dn. 1 kwietnia 2020r.

SZEREGI LAURENTA

Definicja

Szeregiem Laurenta o ´srodku w z₀ ∈ C nazywamy szereg postaci

∞

X

n=−∞

c_n(z − z₀)ⁿ=

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

c−n(z − z₀)⁻ⁿ, a_n∈ C (0.1) przy czym:

• szeregP∞

n=0c_n(z−z₀)ⁿnazywany cze´_,scia regularn_, a szeregu Laurenta. Szereg test zbie˙zny_, w kole D(z0, R), gdzie R := ¹

lim sup_n→∞ ⁿ√

|cn|,

• szereg P∞

n=1c−n(z − z₀)⁻ⁿ nazywamy cze´_,scia g l´_, owna szeregu Laurenta._, Szereg test zbie˙zny jest zbie˙zny na zewnatrz ko la D(z_{, 0}, r) = {z ∈ C : |z − z₀| > r}, gdzie r = lim sup_n→∞ p|cⁿ −n|.

Uwaga

Je˙zeli r < R, to szereg Laurenta P∞

n=−∞c_n(z − z₀)ⁿ jest zbie˙zny wewnatrz pier´_, scienia

P (z₀, r, R) := {z ∈ C : r < |z| < R} (0.2) i przedstawia w nim funkcje holomorficzn_, a f (z) (patrz rys.4)_,

Twierdzenie (Laurenta)

Je˙zeli f jest funkcja holomorficzn_, a w pier´_, scieniu P (z₀, r, R), to f rozwija sie w szereg Laurenta_, postaci P∞

n=−∞c_n(z − z₀)ⁿ, przy czym wsp´o lczynniki wyra˙zaja si_, e wzorami_, c_n = 1

2πi Z

K

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ, n = 0, ±1, ±2, . . . (0.3) gdzie K jest dowolnym konturem obiegajacym z_{, 0} zawartym w pier´scieniu P (z₀, r, R).

Dow´od

Niech z bedzie dowolnym punktem pier´scienia P (z_{, 0}, r, R), K₁, K₂dwoma okregami o ´srodku w_, 1

z₀po lo˙zonymi wewnatrz pier´scienia tak aby punkt z le˙za l mi_, edzy nimi, K_{, 1}, K₂ sa zorientowane_, dodatnio. Pier´scie´n dzielimy promieniami na dwa obszary D i D⁰. Za l´o˙zmy, ˙ze z ∈ D (patrz rys. 5)

Oznaczajac brzegi obszar´_, ow D i D⁰ zorientowane dodatnio przez C i C⁰ otrzymamy, ˙ze f (z) = 1

2πi Z

C

f (ζ)

ζ − zdζ, (0.4)

0 = 1 2πi

Z

C⁰

f (ζ)

ζ − zdζ, (0.5)

gdzie (0.4) wynika z twierdzenia o wzorze ca lkowym Cauchy’ego, za´s (0.5) wynika z podsta- wowego twierdzenia Cauchy’ego.

Dodajemy stronami ca lki z (0.4) i (0.5). Poniewa˙z ca lki wzd lu˙z promieni znosza si_, e, zatem_, f (z) = 1

2πi Z

K2

f (ζ)

ζ − zdζ − 1 2πi

Z

K1

f (ζ)

ζ − zdζ. (0.6)

Je´sli ζ ∈ K₂, to |ζ − z₀| > |z − z₀|, wobec czego nastepujac_, a funkcj_, e mo˙zna przedstawi´_, c jako sume szeregu pot_, egowego o ´srodku w z_, 0

1

ζ − z = 1

(ζ − z₀) − (z − z₀) = 1 (ζ − z₀)

1 h

1 −^z−z_ζ−z⁰

0

i = 1 (ζ − z₀)

∞

X

n=0

(z − z₀)ⁿ

(ζ − z₀)ⁿ. (0.7)

Szereg P∞ n=0

(z−z0)ⁿ

(ζ−z0)ⁿ jest zbie˙zny dla   

z−z0

ζ−z0

< 1 czyli gdy |z − z₀| < |ζ − z₀|.

Analogicznie, gdy ζ ∈ K1, to |ζ − z0| < |z − z0| wobec czego nastepujac_, a funkcj_, e mo˙zna_, przedstawi´c jako sume szeregu pot_, egowego o ´srodku w z_{, 0}

1

ζ − z = 1

(ζ − z₀) − (z − z₀) = − 1 (z − z₀)

1 h

1 − ^ζ−z_z−z⁰

0

i = − 1 (z − z₀)

∞

X

n=1

 ζ − z₀ z − z₀

n

. (0.8)

Szereg P∞ n=1

(ζ−z0)ⁿ

(z−z0)ⁿ jest zbie˙zny dla   

ζ−z0

z−z0

< 1 czyli gdy |z − z₀| > |ζ − z₀|.

Oba te szeregi sa jednostajnie zbie˙zne wzgl_, edem ζ, wiec szeregi (0.7) i (0.8) mo˙zna wstawi´_, c do (0.5) i (0.6) a nastepnie ca lkowa´_, c te szeregi wyraz po wyrazie, skad otrzymamy_,

f (z) =

∞

X

n=0

1 2πi

Z

K2

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

1 2πi

Z

K1

f (ζ)

(ζ − z₀)⁻ⁿ⁺¹dζ(z − z₀)⁻ⁿ.

2

W powy˙zszych ca lkach okregi K_{, 1}i K₂ mo˙zna zastapi´_, c dowolnym konturem K obiegajacym_, z₀ i zawartym w pier´scieniu P (z₀, r, R) (korzystaja´_,c, z faktu, ˙ze dwa kontury obiegajace z_{, 0} i zawarte w P (z₀, r, R) sa homotopijne). Zatem_,

f (z) =

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

c−n(z − z₀)⁻ⁿ,

gdzie

c_n= 1 2πi

Z

K

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ, n = 0, ±1, ±2, . . .

Uwaga

Je˙zeli funkcja f jest rozwijalna w pier´scieniu P (z₀, r, R) w szereg postaci f (z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z − z₀)ⁿ,

to ∀n ∈ Z zachodzi r´owno´s´c an= c_n, gdzie c_n sa wsp´_, o lczynnikami zdefiniowanymi w twiedze- niu Laurenta.

Dow´od

f (z) (z − z0)^k+1 =

∞

X

n=−∞

a_n(z − z₀)^n−k−1. Ca lkujac praw_, a stron_, e wyraz po wyrazie otrzymamy_,

Z

Γρ

f (z)

(z − z₀)^k+1dz =

∞

X

n=−∞

a_n Z

Γρ

(z − z₀)^n−k−1dz = a_k2πi,

Γ_ρ = {z ∈ C : |z − z0| = ρ} ⊂ P (z₀, r, R). Korzystamy z faktu, ˙ze Z

Γρ

(z − z₀)^n−k−1dz = 0 n 6= k, 2πi n = k.

Zatem

ak = 1 2πi

Z

K

f (z)

(z − z₀)^k+1dz = ck.

3

Uwaga (nier´owno´s´c Cauchy)

Niech f ∈ H(P (z₀, 0, r)). Je˙zeli ∃M > 0 takie, ˙ze ∀z, |z−z₀| = ρ < r zachodzi, ˙ze |f (z)| ≤ M , to

|cn| ≤ M

ρⁿ, n = 0, ± − 1, ±2, . . . .

Przyk lad

1. Rozwina´_,c funkcje f (z) =_{, z−1}¹ + _z+2¹ w szereg Laurenta o ´srodku w z0 = 0, 1

z − 1 = − 1

1 − z = −

∞

X

n=0

zⁿ dla |z| < 1,

1

z + 2 = 1 2

1

[1 − (−^z₂)] = 1 2

∞

X

n=0

 −z 2

n

=

∞

X

n=0

(−1)ⁿzⁿ

2ⁿ⁺¹ dla |z 2| < 1.

Zatem dla |z| < 1 mamy

f (z) =

∞

X

n=0



−1 + (−1)ⁿ 2ⁿ⁺¹

 zⁿ

2. Rozwina´_,c funkcje f (z) =_{, z−1}¹ +_z+2¹ w szereg Laurenta o ´srodku w z₀ = i. Rozpatrujemy pier´scie´n o ´srodku w z0 = i i promieniach bed_, acych odleg lo´sci_, a ´srodka do punkt´_, ow w kt´orych funkcja jest nieholomorficzna tzn. z₁ = 1 i z₂ = −2 czyli P (z₀ = 1,√

2,√ 5) = {z :√

2 < |z − i| <√ 5}

1

z − 1 = 1 z − i

1

[1 − (_z−i¹⁻ⁱ)] =

∞

X

n=0

( (1 − i)ⁿ

(z − i)ⁿ⁺¹ dla    

1 − i z − i    

< 1 ⇔ |z − i| >√ 2,

1

z + 2 = 1 2 + i

1

[1 + (^z−i_2+i)] = 1 2 + i

∞

X

n=0

(−1)ⁿ(z − i)ⁿ (2 + i)ⁿ dla

z − i 2 + i    

< 1 ⇔ |z − i| <√ 5.

Zatem w P (z₀ = 1,√ 2,√

5) = {z :√

2 < |z − i| <√

5} mamy

f (z) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ(z − i)ⁿ (2 + i)ⁿ +

∞

X

n=1

(1 − i)ⁿ⁻¹ (z − i)ⁿ .

4