σ ( e e → qq → hadrons ) [pb] _

Dynamika relatywistyczna

Fizyka I (Mechanika)

Wykład IX:

• cz ˛astki elementarne

• akceleratory cz ˛astek

• rozpady cz ˛astek

• rozpraszanie nieelastyczne

• foton jako cz ˛astka: efekt Dopplera i efekt Comptona

Swiat cz ˛ ´ astek elementarnych

Fermiony

´swiat “codzienny” zbudowany jest z 3 “cegiełek” (elektron oraz kwarki u i d) Nukleony składaj ˛a si ˛e z 3 kwarków: proton (uud), neutron(udd).

Fizyka cz ˛astek znalazła ju˙z jednak 12 fundamentalnych “cegiełek” materii, fermionów (cz ˛astek o spinie 1/2)

leptony kwarki

pokolenie 1 e ν_e d u

elektron neutrino el. down up

pokolenie 2 µ ν_µ s c

mion neutrino mionowe strange charm

pokolenie 3 τ ν_τ b t

taon neutrino taonowe beauty top

Swiat cz ˛ ´ astek elementarnych

Bozony

“Cegiełki” materii oddziałuj ˛a ze sob ˛a poprzez wymian ˛e no ´sników oddziaływa ´n No´snik przekazuje cz ˛e´s´c energii i/lub p ˛edu jednej cz ˛astki drugiej cz ˛astce

oddziaływanie ´zródło no´snik moc

grawitacyjne masa grawiton G 10⁻³⁹

elektromagnetyczne ładunek foton γ 10⁻²

silne “kolor” gluony g 1

słabe “ładunek słaby” “bozony W^±, Z^◦ 10⁻⁷

po´srednicz ˛ace”

“moc” - przykładowe porównanie wielko´sci oddziaływa ´n dla dwóch s ˛asiaduj ˛acych protonów

γ

elektromagnetyczne

g

silne

W ⁺ Z ⁰ W ^-

slabe

G

grawitacyjne

Akceleratory

W 1919 roku Rutherford wskazał na korzy´sci z przyspieszania cz ˛astek.

Pole elektrostatyczne (g. Cockrofta-Waltona, Van de Graaffa) ograniczone do ∼ 30 MV

Akcelerator liniowy

Idea: Gustav Ising 1924. Pierwsze urz ˛adzenia: Rolf Wideroe 1927, Lawrence 1931.

Cz ˛astka przechodzi przez kolejne

“kondensatory”

q>0 E

Przy odpowiednim dobraniu długo´sci kole- jnych elementów i cz ˛esto´sci napi ˛ecia za- silaj ˛acego, cz ˛astka trafia zawsze na pole przyspieszaj ˛ace.

⇒ zwielokrotnienie uzyskiwanych energii

Liniowy akcelerator protonów w o´srodku Fermilab (USA)

Akceleratory

Wn ˛eka rezonansowa

W praktyce do przyspieszania cz ˛astek wykorzystujemy tzw. wn ˛eki rezonansowe:

Klistron

Wewn ˛atrz wn ˛eki wytwarzana jest stoj ˛aca fala elektromagnetyczna.

Wn ˛eka rezonansowa

Akceleratory

Akcelerator kołowy

Zamiast u˙zywa´c wielu wn ˛ek mo˙zemy wykorzysta´c pole magnetyczne do

“zap ˛etlenia” cz ˛astki.

Cz ˛astki mog ˛a przechodzi´c przez wn ˛ek ˛e przyspieszaj ˛ac ˛a wiele razy...

Pierwszy tego typu akcelerator (cyklotron) zbudował w 1931 roku Ernest Lawrence

Schemat pogl ˛adowy:

E

B

Akceleratory

Cyklotron

Ernest Lawrence Schemat Pierwszy cyklotron

Akceleratory

Akcelerator kołowy

W praktyce akceleratory kołowe zbudowane s ˛a z wielu powtarzaj ˛acych si ˛e segmentów:

Ka˙zdy segment składa si ˛e z

• wn ˛ek przyspieszaj ˛acych (A)

• magnesów zakrzywiaj ˛acych (B)

• układów ogniskuj ˛acych (F)

F A

Schemat akceleratora:

Akceleratory

LEP/LHC

Najwi ˛ekszy zbudowany dot ˛ad akcelerator: LEP w CERN pod Genew ˛a, obwód 27 km. Zderzał przeciwbie˙zne wi ˛azki elektronów i pozytonów do energii ∼ 100 GeV.

W tym samym tunelu zbudowano nast ˛epnie LHC, który zderza przeciwbie˙zne wi ˛azki protonów o energii 3.5 TeV (docelowo 7 TeV).

Docelowo 2800 "paczek" po 10¹¹ protonów.

Energia jednej paczki: ∼ 10⁵ J

Samochód osobowy jad ˛acy ok. 60 km/h

Całkowita energia wi ˛azek: ∼ 6 · 10⁸ J Energia pola magnetycznego: ∼ 10¹⁰ J Airbus A380 lec ˛acy z pr ˛edko´sci ˛a 700 km/h.

LHC, CERN, Genewa

Dynamika relatywistyczna

Zasady zachowania

Relatywistyczne wyra˙zenie na p ˛ed cz ˛astki:

~

p = m c γ ~β = m γ ~V β =~ V~ c Relatywistyczne wyra˙zenia na energi ˛e cz ˛astki:

energia kinety zna E_k = m c² (γ − 1)

energia spo zynkowa E₀ = m c²

energia aªkowita E = m c² γ Dla dowolnego izolowanego układu obowi ˛azuj ˛a zawsze:

X i

E_i = ^X

i

γ_i m_i c² = const ^{zasada za howania energii}

X i

~

p_i = ^X

i

γ_i · mi V~_i = const ^{zasada za howania pdu}

Dynamika relatywistyczna

Transformacja

Zamiast rozwa˙za´c niezale˙znie energi ˛e i p ˛ed układu, wygodnie jest wprowadzi´c czterowektor energii-p ˛edu:

E = (E, c~p) = (E, cp^x, cp_y, cp_z)

Przy zmianie układu odniesienia, czterowektor energii-p ˛edu podlega transformacji

Lorentza identycznej z transformacj ˛a dla współrz ˛ednych czasoprzestrzennych zdarze ´n.











E

c p

c p











=











γ E

+ γ β c p

γ β E

+ γ c p

c p











=











γ γ β 0 0

γ β γ 0 0

0 0 1 0











·











E

c p

c p











Dynamika relatywistyczna

Masa niezmiennicza

Niezmiennik transformacji Lorenza, (nie zale˙zy od wyboru układu odniesienia) M²c⁴ = s = E² − p²c²

Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego masa niezmiennicza jest zachowana (nie zmienia si ˛e w czasie). Wynika to z zasady zachowania energii i p ˛edu.

⇒ podstawowe poj ˛ecie w analizie zderze ´n relatywistycznych,

zwłaszcza w procesach nieelastycznych (produkcja nowych cz ˛astek)

Masa niezmiennicza jest to˙zsama z energi ˛a układu w układzie ´srodka masy (P^⋆ = 0).

Dla zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek mówimy o energii dost ˛epnej w układzie ´srodka masy.

Dla pojedynczej cz ˛astki masa niezmiennicza jest to˙zsama z mas ˛a cz ˛astki (energi ˛a spoczynkow ˛a).

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia elastyczne

Cz ˛astki rozproszone takie same jak cz ˛astki zderzaj ˛ace si ˛e.

W szczególno´sci: m^′₁ = m₁ i m^′₂ = m₂

W zderzeniach cz ˛astek wysokiej energii jest to jednak wyj ˛atek (!)

Zderzenia nieelastyczne

W oddziaływaniach cz ˛astek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstaj ˛a nowe cz ˛astki:

• Rozpady cz ˛astek: a → b + c

• Produkcja pojedy ´nczej cz ˛astki (tzw. “rezonansu”): a + b → c

Rozpady cz ˛ astek

Rozaw˙zmy rozpad cz ˛astki o masie M na n cz ˛astek o masach m_i (i = 1 . . . n).

Masa niezmiennicza przed rozpadem: Mi = M. Masa niezmiennicza po rozpadzie:

M²_f =



 X

i

E_i



 2

−



 X

i

~ p_i



 2

= ^X

i

E_i² + 2 ^X

i

X j>i

E_i E_j − ^X

i

p²_i − 2 ^X

i

X j>i

~ p_i p~_j

Dla dowolnej pary cz ˛asteh i, j mamy: E_i² = p²_i + m²_i E_i E_j =

r

(p²_i + m²_i )(p_j² + m²_j ) = ^q(p_ip_j + m_im_j)² + (p_im_j − pjm_i)²

≥ pi p_j + m_i m_j

⇒ E_i E_j − ~pip~_j ≥ Ei E_j − pip_j ≥ mi m_j Ostatecznie: M²_f ≥^X

i

m²_i + 2 ^X

i

X

j>i

m_i m_j =



 X

i

m_i



 2

= s_min

Rozpady cz ˛ astek

Warunek konieczny, aby mógł mie´c miejsce rozpad:

M ≥ ^X

i

m_i = √s_min

Dla rozpadu dwuciałowego, w układzie cz ˛astki: p~₁ = −~p²

Jaka b ˛edzie warto´s´c p ˛edu produktów rozpadu: p = |~p1| = |~p2| ? M² = (E₁ + E₂)²−(p1 − p2)² = m²₁ + m²₂ + 2

q

(p² + m²₁)(p² + m²₂) + 2p² (M² − m²₁ − m²₂ − 2p²)² = 4(p² + m²₁)(p² + m²₂)

Rozpady cz ˛ astek

Przypadek równych mas: m₁ = m₂ = m

p =

q

(M² − 4m²)M²

2 M =

s

M 2

2

− m² E = M 2

W granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki: m₁ ≪ m2 ∼ M

p ≈

q(M² − m²₂)²

2 M = M

2 − m²₂

2M ≈ E1

m²₂

2M - energia “tracona” na odrzut drugiego ciała

Energie cz ˛astek po rozpadzie nie s ˛a równe !

Mierz ˛ac p ˛ed (lub energi ˛e) jednego z produktów rozpadu, mo˙zemy wnioskowa´c o masach pozostałych cz ˛astek.

Rozpady cz ˛ astek

Przykład

Pion π⁺ o masie m_π = 140 MeV rozpada si ˛e na mion µ⁺ (m_µ = 106 MeV) i bezmasowe neutrino:

π⁺ → µ⁺ + ν_µ P˛edy produktów rozpadu:

p = m²_π − m²_µ

2 m_π ≈ 30 MeV Energie liczymy z definicji masy niezmienniczej:

m² = E² − p²

Rozpady cz ˛ astek

Wszystkie cz ˛astki danego rodzaju (np. elektrony lub neutrony) s ˛a identyczne.

Nie maj ˛a te˙z “pami ˛eci” - ich własno´sci nie zale˙z ˛a od czasu.

Dla cz ˛astek nietrwałych oznacza to, ˙ze prawdopodobie ´nstwo ich rozpadu w zadanym przedziale czasu jest zawsze takie samo.

Rozwa˙zmy bardzo mały przedział czasu dt (znacznie mniejszy ni˙z typowy czas rozpadu).

Je´sli próbka zawiera N cz ˛astek to liczba oczekiwanych rozpadów musi by´c proporcjonalna do N i do dt:

dN = N (t + dt) − N(t) = −α N dt Całkuj ˛ac to równanie otrzymujemy:

dN

N = −α dt

ln N = −α t + C

N (t) = N (0) · e^{−αt prawo rozpadu promieniotwór zego}

Rozpady cz ˛ astek

Prawdopodobie ´nstwo rozpadu na jednostk ˛e czasu (dla pojedynczej cz ˛astki):

p(t) = α e^−αt Parametr α wi ˛a˙ze si ˛e ze ´srednim czasem ˙zycia cz ˛astki:

τ = hti =

Z _∞

0 t · p(t)dt = 1 α

⇒ p(t) = 1

τ e^−t/τ N (t) = N₀ · e^−t/τ

Je´sli cz ˛astka o masie m i ´srednim czasie ˙zycia τ (zawsze defniowanym w układzie cz ˛astki) ma w układzie obserwatora O’ energi ˛e E i p ˛ed p, to obserwator zmierzy:

Rozpady cz ˛ astek

Przykład

Jaki powinien by´c p ˛ed mionu produkowanego w górnych warstwach atmosfery (h = 20 km), ˙zeby mógł dolecie´c do powierzchni Ziemi zanim si ˛e rozpadnie?

Prawdopodobie ´nstwo rozpadu w funkcji odległo´sci:

p(x) = 1

λ e^−x/λ λ = p m cτ Prawdopodobie ´nstwo, ˙ze mion doleci do powierzchni Ziemi:

P (x > h) =

Z _∞

h p(x)dx = e^−h/λ

jest formalnie niezerowe dla dowolnego p ˛edu. Du˙ze szanse dolecie´c maj ˛a jednak tylko miony, dla których λ > h:

p

m cτ > h ⇒ p > h cτm Dla mionu: τ = 2.2 µs (cτ ≈ 660 m), m ≈ 100 MeV:

p > h

cτm ≈ 30 · m = 3 GeV

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia e

e

Przekrój czynny na produkcj ˛e hadronów w funkcji dost ˛epnej energii:

10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

ρ ω

+ e− → qq → hadrons) [pb]_

ψ(2S) J/ψ

φ

Z

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia e

e

W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny na produkcj ˛e kwarków.

Proces ten opisujeny jako anihilacj ˛e e⁺e⁻ w wirtualny foton, który nast ˛ep- nie rozpada sie na par ˛e q¯q

γ^∗ q

_

q e

e⁺

−

Produkcja rezonansów

Przy pewnych warto´sciach √

s obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rz ˛edów wielko´sci.

Jest to efekt rezonansowej produkcji cz ˛astek

J/Ψ e⁻

e⁺

_

q q

Aby w zderzeniu dwóch cz ˛astek powstała jedna, (np: e⁺e⁻→J/Ψ→q¯q ) masa niezmiennicza zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek musi by´c równa masie cz ˛astki któr ˛a produkujemy (√

s = m_J/Ψ)

Zderzenia relatywistyczne

Produkcja rezonansów

Produkcja bozonu Z^◦ w eksperymencie L3 (LEP) e⁺e⁻ → Z^◦ → q¯q

Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla

√s = m_Z ale ma ono sko ´nczon ˛a szeroko´s´c:

(rozkład Breita-Wignera)

σ(s) ∼ M_Z²Γ²

Zderzenia relatywistyczne

Produkcja wielu cz ˛ astek

Aby w zderzeniu dwóch cz ˛astek powstały dwie lub wi ˛ecej nowych cz ˛astek, np:

e⁺ e⁻ → W⁺ W⁻

masa niezmiennicza zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek musi by´c wi ˛eksza lub równa sumie mas pro- dukowanych cz ˛astek:

√s ≥ ^X

i

m_i

Mierzony przekrój czynny e⁺e⁻ → W⁺W⁻ ⇒

√s ≥ 2 mW ≈ 160 GeV

0 5 10 15 20

160 170 180 190 200 210

E_cm[GeV]

σWW [pb]

LEP Preliminary

08/07/2001

no ZWW vertex (Gentle 2.1) only ν_e exchange (Gentle 2.1) RacoonWW / YFSWW 1.14

Zderzenia relatywistyczne

Energia dost ˛epna

Mase niezmiennicz ˛a zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek √

s okre´slamy te˙z jako energi ˛e dost ˛epn ˛a w układzie ´srodka masy.

Energia dost ˛epna jest to cz ˛e´s´c energii kinetycznej, która mo˙ze zosta´c zamieniona na mas ˛e (energi ˛e spoczynkow ˛a) nowych cz ˛astek.

√s mówi nam ile energii mo˙zemy zu˙zy´c na wyprodukowanie nowych cz ˛astek.

Przykład

Aby wyprodukowa´c antyproton w reakcji

Zderzenia relatywistyczne

Okre´slon ˛a warto´s´c energii dost ˛epnej mo˙zemy uzyska´c na rózne sposoby:

Zderzenia z tarcz ˛ a

Cz ˛astka “pocisk” o energii E uderza w nieruchom ˛a tarcz ˛e:

s = 2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂ w granicy E₁ ≫ m1 ∼ m2

s ≈ 2 E1 m₂

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Zderzenia wi ˛azek o energiach E₁ i E₂: s = 2 E₁ E₂ + 2 p₁ p₂ + m²₁ + m²₂ w granicy E₁ ∼ E2 ≫ m1 ∼ m2

s ≈ 4 E1 E₂

Du˙zo wy˙zsze warto ´sci !!!

Przykład

Wi ˛azka protonów o energii 50 GeV (≈ 50 m^p)

• na tarczy wodorowej (protony): √

s ≈ ^q2Em_p ≈ 10GeV ≈ 10 m_p

• dwie wi ˛azki przeciwbie˙zne: √

s ≈ √

4E · E = 2 E = 100GeV ≈ 100 m_p

Energia progowa

Zderzenia z tarcz ˛ a

Minimalna energia wi ˛azki E_min przy której mo˙zliwa jest dana reakcja.

Minimalna masa niezmiennicza:

s_min =



 X

i

m_i



 2

W zderzeniach z nieruchom ˛a tarcz ˛a:

s_min = 2 E_min m₂ + m²₁ + m²₂

⇒ minimalna energia całkowita pocisku:

E_min = s_min − (m²₁ + m²₂)

2 m = (^P_i m_i)² − (m²₁ + m²₂) 2 m

Energia progowa

Zderzenia z tarcz ˛ a

Zwi ˛azek minimalnej energii kinetycznej pocisku z przyrostem masy:

2 m₂ E_k,min =



 X

i

m_i



 2

ko« owe

−



 X

i

m_i



 2

po z¡tkowe

⇒ energia kinetyczna pocisku jest “zu˙zywana” na zwi ˛ekszenie masy układu...

Przykład 1

Produkcja anty-protonów w reakcji pp → ppp¯p ^P_i m_i = 4m_p ∆M = 2m_p

E_min = (4 m_p)² − (m²_p + m²_p)

2 m_p = 7 m_p

E_k,min = E_min − m^p = 6 m_p ≈ 5.63 GeV

Energia progowa

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Dla wi ˛azek przeciwbie˙znych: dla uproszczenia przyjmujemy E₁ = E₂, m₁ = m₂ s_min ≈ 4 E1 E₂ = 4 E_min²

E_min = 1 2

√s_min = 1 2

s

(^X

i

m_i)² = 1 2

X i

m_i

E_k,min = 1 2









 X

i

m_i





ko« owe

−



 X

i

m_i





po z¡tkowe







⇒ energia ro´snie liniowo z mas ˛a produkowanego stanu (na tarczy: kwadratowo)

⇒ du˙zo ni˙zsze energie potrzebne do wytworzenia tego samego stanu

Energia progowa

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Przykład 2

Produkcja par bozonów W⁺W⁻ w zderzeniach elektron-pozyton: e⁺ e⁻ → W⁺ W⁻ Gdyby´smy chcieli u˙zy´c pojedy ´nczej wi ˛azki pozytonów i tarczy ^P_i m_i = 2 m_W

E_min = (2 m_W)² − (m²_e + m²_e)

2 m_e ≈ 2 m²_W

m_e ≈ 25 300 000 GeV m_W = 80.4 GeV m_e = 0.000511 GeV

Tak ogromnych energii nie jeste´smy w stanie wytworzy´c !

Dotychczas wi ˛azki pozytonów E ≈ 100 GeV , projektowane E ≈ 1000 − 5000 GeV ...

Dla przeciwbie˙znych wi ˛azek elektron-pozyton: s ≈ 4 E²

E_min = 1 2

√s_min = 1 2

v u u u t



 X

i

m_i



 2

= 1 2

X i

m_i = m_W ≈ 80 GeV

Takie energie to ju˙z nie problem...

Foton

Natura ´swiatła

Fotony to kwanty promieniowania elektromagnetycznego.

Przenosz ˛a oddziaływania mi ˛edzy cz ˛astkami naładowanymi.

Maj ˛a natur ˛e korpuskularno-falow ˛a:

• fala elektromagnetyczna, opisana równaniami Maxwella c = 1

√ǫ_◦µ_◦ podlega interferencji, dyfrakcji, załamaniu

• cz ˛astka o ustalonej energii i p ˛edzie, ale zerowej masie m_γ ≡ 0 ⇔ β ≡ 1 mo˙ze zderza´c si ˛e z innymi cz ˛astkami, by´c pochłaniana lub rozpraszana

Im wy˙zsza cz ˛esto´s´c (mniejsza długo´s´c fali) promieniowania,

tym wy˙zsza energia pojedy ´nczego fotonu ⇒ wyra´zniejsze efekty korpuskularne

Efekt Comptona

Rozpraszanie fotonów

W wyniku rozpraszania w materii, promieniowanie X stawało si ˛e mniej przenikliwe ⇒ zmieniało długo´sci fali

Opis tego zjawiska zaproponował w 1923 roku A.H.Compton.

Fotony promieniowania X rozpraszaj ˛a si ˛e na elektronach w atomie

γ e

γ e

oddaj ˛ac im cz ˛e´s´c swojej energii.

Relatywistyczne zderzenie dwóch ciał tak samo jak w przypadku cz ˛astek!

ν

h ’

ν

h

m

E η

Θ

Zasady zachowania:

E : hν + m = hν^′ + E

p_k : hν = hν^′ cos θ + p cos η p_⊥ : 0 = hν^′ sin θ − p sin η

Efekt Comptona

Przekształcaj ˛ac otrzymujemy:

E = h(ν − ν^′) + m p cos η = h(ν − ν^′ cos θ)

p sin η = hν^′ sin θ

Podnosz ˛ac stronami do kwadratu i zestawiaj ˛ac do masy elektronu:

m² = E² − p²

= ^h(ν − ν^′) + m^2 − h^{2 }ν − ν^′ cos θ^2 − ^hν^′ sin θ^2

= m²+h²ν²+h²ν^′2 − 2h²νν^′ + 2mh(ν − ν^′)

−h²ν² + 2h²νν^′ cos θ−h²ν^′2 cos² θ − h²ν^′2sin² θ

′

Efekt Comptona

Małe energie fotonów

W granicy małych energii fotonu hν ≪ m

hν^′ = hν m

m + hν(1 − cos θ) ≈ hν

⇒ foton rozprasza si ˛e bez straty energii.

Odpowiada to klasycznemu zderzeniu

“pocisku”, m₁, z du˙zo ci ˛e˙zsz ˛a “tarcz ˛a”, m₂ ≫ m1.

Foton zachowuje energi ˛e, ale zmienia si ˛e wektor p ˛edu (kierunek !)

Przykład: odbicie ´swiatła widzialnego hν = 1.8 − 3.1eV (700 nm - 400 nm)

Energia rozproszonego elektronu:

E = hν − hν^′ + m

= hν(hν + m)(1 − cos θ) + m² hν(1 − cos θ) + m

W granicy hν ≪ m:

• energia elektronu:

E ≈ m

• p ˛ed rozproszonego elektronu:

p ≈ hν ^q2(1 − cos θ)

Efekt Comptona

Du˙ze energie fotonów

W granicy du˙zych energii fotonu hν ≫ m (przyjmuj ˛ac cos θ 6= 1, czyli θ 6= 0)

hν^′ ≈ m

1 − cos θ → 0 E ≈ hν + m

⇒ foton przekazuje spoczywaj ˛acemu elektronowi praktycznie cał ˛a swoj ˛a energi ˛e

e

Odpowiada to klasycznemy zderzeniu ciał o równych masach (zakładaj ˛ac zderzenie centralne i elastyczne)

Dla hν ≫ m mas ˛e elektronu mo˙zna pomin ˛a´c - elektron, tak jak foton, mo˙zna traktowa´c jako cz ˛astk ˛e bezmasow ˛a.

Efekt Comptona

Rozpraszanie do tyłu

W rozpraszaniu na spoczywaj ˛acym elektronie najni˙zsz ˛a energi ˛e b ˛edzie miał foton rozproszony “do tyłu”

(cos θ = −1):

hν^′ = hν · m

2hν + m < hν

To, ˙ze foton zawsze traci energi ˛e zwiazane jest jednak z wyborem układu odniesienia!

(układ zwi ˛azany z pocz ˛atkowym elektronem)

Rozpraszanie na wi ˛ azce elektronów

Mo˙zemy jednak rozwa˙zy´c rozpraszanie fo- tonów o energii hν na przeciwbie˙znej wi ˛azce elektronów o energii E_e ≫ m.

e γ

Transformacja Lorenza do układu elektronu:

γ = E_e m β ≈ 1

Energia fotonu w układzie elektronu:

hν^⋆ = γ(1 + β)hν

≈ 2E_e

m · hν ≫ hν

Photon Collider

Rozpraszanie na wi ˛ azce elektronów

Przyjmijmy, ˙ze foton rozprasza si ˛e “do tyłu”

(cos θ = −1). Energia rozproszonego fo- tonu w układzie elektronu:

hν^⋆′ = hν^⋆ · m 2hν^⋆ + m

≈ 2E_e hν · m 4E_e hν + m²

Wracaj ˛ac do układu laboratoryjnego:

(transformacja taka sama, bo p ˛ed foton

Otrzymujemy:

hν^′ ≈ Ee · 4E_e hν 4E_e hν + m² Wysoke energia wi ˛azki, 4E_e hν ≫ m²

⇒ elektron mo˙ze przekaza´c fotonowi wi ˛ekszo´s´c swojej energii.

e γ

γ

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego