σ ( e e → qq → hadrons ) [pb] _

Szczególna teoria wzgl ˛edno´sci

prof. dr hab. Aleksander Filip ˙Zarnecki

Zakład Cz ˛astek i Oddziaływa ´n Fundamentalnych Instytut Fizyki Do´swiadczalnej

Wykład V:

• masa niezmiennicza i układ ´srodka masy

• zderzenia elastyczne

• cz ˛astki elementarne

• rozpady cz ˛astek

• rozpraszanie nieelastyczne

Dynamika relatywistyczna

Relatywistyczne wyra˙zenie na p ˛ed cz ˛astki:

~

p = m c γ ~β = m γ ~V β =~ V~ c Relatywistyczne wyra˙zenia na energi ˛e cz ˛astki:

energia kinety zna E_k = m c² (γ − 1)

energia spo zynkowa E₀ = m c²

energia aªkowita E = m c² γ

Czterowektor energii p ˛edu (E, ~pc) podlega transfromacji Lorentza.

Dla dowolnego izolowanego układu obowi ˛azuj ˛a zawsze:

X i

E_i = ^X

i

γ_i m_i c² = const ^{zasada za howania energii}

X i

~

p_i = ^X

i

γ_i · mi V~_i = const ^{zasada za howania pdu}

Dynamika relatywistyczna

Masa niezmiennicza

Niezmiennik transformacji Lorenza, (nie zale˙zy od wyboru układu odniesienia) M²c⁴ = s = E² − p²c²

Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego masa niezmiennicza jest zachowana (nie zmienia si ˛e w czasie). Wynika to z zasady zachowania energii i p ˛edu.

⇒ podstawowe poj ˛ecie w analizie zderze ´n relatywistycznych,

zwłaszcza w procesach nieelastycznych (produkcja nowych cz ˛astek)

Masa niezmiennicza jest to˙zsama z energi ˛a układu w układzie ´srodka masy (P^⋆ = 0).

Dla zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek mówimy o energii dost ˛epnej w układzie ´srodka masy.

Dla pojedynczej cz ˛astki masa niezmiennicza jest to˙zsama z mas ˛a cz ˛astki (energi ˛a spoczynkow ˛a).

Dynamika relatywistyczna

Układ ´srodka masy

Energia układu cz ˛astek: E = ^P_i E_i P˛ed układu cz ˛astek: P =~ ^P_i p~_i

Masa niezmiennicza: M

Jak znale´z´c układ ´srodka masy P~^⋆ = 0 ?

Wiemy, ˙ze w CMS E^⋆ = M, P^⋆ ≡ 0

Energia i p ˛ed wi ˛a˙z ˛a si ˛e z E^⋆ i P^⋆ przez transformacje Lorentza:

⇒ E = γ M c P = β γ M

Otrzymujemy zwi ˛azki na wspólczynniki transformacji do układu ´srodka masy:

β = c P E γ = E

M c² β γ = P

M c

obowi ˛azuj ˛a zarówno dla pojedy ´nczej cz ˛astki jak i dowolnego układu cz ˛astek

Zderzenia relatywistyczne

Rozpraszanie elastyczne

Rozwa˙zmy zderzenie “pocisku” o masie m₁ i energii E₁ z “tarcz ˛a” o masie m₂.

V

V =0

1 2

E

m m

Dla układu dwóch ciał mamy: (c ≡ 1) E = E₁ + E₂ = E₁ + m₂

P = P₁ =

q

E₁² − m²₁

M² = E² − P² = (E₁ + m₂)² − P1²

= m²₁ + m²₂ + 2 E₁ m₂

Transformacja do układu ´srodka masy:

β = P

E =

qE₁² − m²₁ E₁ + m₂

γ = E

M = E₁ + m₂

q2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂

βγ = P

M =

v u u t

E₁² − m²₁

2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂

Zderzenia relatywistyczne

Rozpraszanie elastyczne

P˛ed obu ciał w układzie ´srodka masy:

p^⋆₁ = p^⋆₂ = βγ m₂ = P

M m₂ (p^⋆)² = (E₁² − m²₁) m²₂

m²₁ + m²₂ + 2 E₁ m₂

Energie w układzie ´srodka masy:

E₂^⋆ = γ m₂ = E

M m₂

= (E₁ + m₂)m₂

q2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂

E₁^⋆ = M − E2^⋆

= E₁m₂ + m²₁

q2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂

Je´sli spełniona ma by´c zasada zachowania p ˛edu i zasada zachowania energii to tak jak w przypadku klasycznym:

p^⋆₁ = p^⋆₂ = p^′⋆₁ = p^′⋆₂

W układzie ´srodka masy warto´sci p ˛edów nie ulegaj ˛a zmianie.

Warunek: m^′₁ = m₁ i m^′₂ = m₂ !!!

Rozpraszanie elastyczne

Zderzenia relatywistyczne

m

= m

Dla zderze ´n cz ˛astek o równej masie:

E = E₁ + m P = P₁ =

q

E₁² − m²

M² = E² − P² = 2 E₁ m + 2 m²

⇒ współczynniki transformacji:

γ =

sE₁ + m 2m β =

sE₁ − m E₁ + m β γ =

sE₁ − m 2m

Energia i p ˛ed obu ciał w układzie ´srodka masy:

(z transformacji Lorenza dla spoczywaj ˛acego ciała)

p^⋆ = γ β m E^⋆ = γ m (p^⋆)² = 1

2 m (E₁ − m) (E^⋆)² = 1

2 m (E₁ + m)

p*₁ Θ∗

p*₂

x y

Zderzenia relatywistyczne

m

= m

W układzie ´srodka masy rozproszenie opisuje k ˛at θ^⋆:

Θ∗

p*

p

Θ

p

Θ

x

y

p^⋆_1,x = γ β m cos θ^⋆ p^⋆_1,y = γ β m sin θ^⋆

E₁^⋆ = γ m

Transformacja do układu laboratoryjnego:

p_1,x = γ p^⋆_1,x + γ β E₁^⋆

= γ² β m (1 + cos θ^⋆) p_1,y = γ β m sin θ^⋆

γ² β m = 1 2P

Mo˙zliwe warto´sci p_1,x i p_1,y spełniaj ˛a:

γ² p²_1,y +



p_1,x − P 2

2

=

P 2

2

⇒ elipsa

transformacja Lorenza “spłaszcza” rozkład p ˛edów wzdłu˙z kierunku ruchu pocisku.

Zderzenia relatywistyczne

m

= m

K ˛aty rozproszenia mierzone w LAB:

tan θ₁ = sin θ^⋆

γ(1 + cos θ^⋆) tan θ₂ = sin θ^⋆

γ(1 − cos θ^⋆)

K ˛at pomi ˛edzy cz ˛astkami:

tan(θ₁ + θ₂) = 2γ

sin θ^⋆ (γ² − 1)

→ 2

γ sin θ^⋆ → 0 ^dla γ → ∞

Dla rozproszenia z θ^⋆ = ^π₂ tan θ = 1

γ < 1

Θ∗ Θ

Θ

p* p

p

1

2 1

θ₁ + θ₂ < π 2

W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi k ˛atami

Zderzenia relatywistyczne

m

≪ E

∼ m

Rozwa˙zmy zderzenie elastyczne z ci ˛e˙zk ˛a

“tarcz ˛a” lekkiego “pocisku” (m₁ ≪ m2) o wysokiej energii (E₁ ∼ m2)

V

V =0

1 2

E

m m

Sytuacja z jak ˛a cz ˛esto mamy do czynienia w zderzeniach fizyki cz ˛astek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach j ˛adrowych).

Pomijaj ˛ac wyrazy z m₁ mamy:

E = E₁ + m₂ P =

q

E₁² − m²₁ ≈ E1

M² = m²₁ + m²₂ + 2 E₁ m₂

≈ 2 E1 m₂ + m²₂

Zderzenia relatywistyczne

m

≪ E

∼ m

Współczynniki transformacji do układu

´srodka masy: (m₁ → 0)

γ = E₁ + m₂

q2E₁m₂ + m²₂

β = E₁ E₁ + m₂ β γ = E₁

q2E₁m₂ + m²₂

⇒ p^⋆ = β γ m₂

= E₁m₂

q2E₁m₂ + m²₂

Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego:

p_1,x = γ p^⋆_1,x + γ β E₁^⋆

= γ p^⋆(β + cos θ^⋆) p_1,y = p^⋆ sin θ^⋆

Mo˙zliwe warto´sci p_1,x i p_1,y spełniaj ˛a:

γ p_1,y^2 + ^p_1,x − γ β p^⋆2 = γp^⋆
2

⇒ elipsa

W granicy β → 1 (E₁ ≫ m2) pocisk rozprasza si ˛e zawsze ‘‘do przodu” !

(p_1,x ≥ 0)

Zderzenia elastyczne

Nierelatywistyczne

W granicy m₁ ≪ m2 tarcza prze- jmuje bardzo niewielk ˛a cz ˛e´s´c en- ergii pocisku.

Rozproszony pocisk ma prak- tycznie niezmienion ˛a energi ˛e i warto´s´c p ˛edu.

V =02

V1

V’1

VCM

Rysunek dla m₂ = 10 m₁

Relatywistyczne

Nawet dla m₁ ≪ m2, je´sli E₁ ∼ m2 pocisk mo˙ze przekaza´c tarczy znaczn ˛a cz ˛e´s´c swojej energii.

Θ∗ Θ

Θ

p

p

p*

x

y

Rysunek dla E₁ = 3 m₂, m₁ = 0.

Dla E₁ ≫ m2 nawet bardzo lekka sonda mo˙ze

“wybi´c” cz ˛astk ˛e tarczy...

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia elastyczne

Cz ˛astki rozproszone takie same jak cz ˛astki zderzaj ˛ace si ˛e.

W szczególno´sci: m^′₁ = m₁ i m^′₂ = m₂

W zderzeniach cz ˛astek wysokiej energii jest to jednak wyj ˛atek (!)

Zderzenia nieelastyczne

W oddziaływaniach cz ˛astek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstaj ˛a nowe cz ˛astki:

• Rozpady cz ˛astek: a → b + c

• Produkcja pojedy ´nczej cz ˛astki (tzw. “rezonansu”): a + b → c

• Rozproszenie nieelastyczne dwóch cz ˛astek: a + b → c + d

jedna z cz ˛astek na ko ´ncu mo˙ze by´c cz ˛astk ˛a stanu pocz ˛atkowego

• Produkcja wielu cz ˛astek: a + b → X

gdzie X oznacza dowolny stan wielocz ˛astkowy

Swiat cz ˛ ´ astek elementarnych

Fermiony

´swiat “codzienny” zbudowany jest z 3 “cegiełek” (elektron oraz kwarki u i d) Nukleony składaj ˛a si ˛e z 3 kwarków: proton (uud), neutron(udd).

Fizyka cz ˛astek znalazła ju˙z jednak 12 fundamentalnych “cegiełek” materii, fermionów (cz ˛astek o spinie 1/2)

leptony kwarki

pokolenie 1 e ν_e d u

elektron neutrino el. down up

pokolenie 2 µ ν_µ s c

mion neutrino mionowe strange charm

pokolenie 3 τ ν_τ b t

taon neutrino taonowe beauty top (bottom) (truth)

ładunek [e] ₋₁ 0 −1/3 +2/3

Wszystkie leptony obserwujemy jako cz ˛astki swobodne

Kwarki s ˛a zawsze “uwi ˛ezione” w hadronach (cz ˛astkach oddziałuj ˛acych silnie)

Swiat cz ˛ ´ astek elementarnych

Bozony

“Cegiełki” materii oddziałuj ˛a ze sob ˛a poprzez wymian ˛e no ´sników oddziaływa ´n No´snik przekazuje cz ˛e´s´c energii i/lub p ˛edu jednej cz ˛astki drugiej cz ˛astce

oddziaływanie ´zródło no´snik moc

grawitacyjne masa grawiton G 10⁻³⁹

elektromagnetyczne ładunek foton γ 10⁻²

silne “kolor” gluony g 1

słabe “ładunek słaby” “bozony W^±, Z^◦ 10⁻⁷

po´srednicz ˛ace”

“moc” - przykładowe porównanie wielko´sci oddziaływa ´n dla dwóch s ˛asiaduj ˛acych protonów

γ

elektromagnetyczne

g

silne

W ⁺ Z ⁰ W ^-

slabe

G

grawitacyjne

Swiat cz ˛ ´ astek elementarnych

Jednostki

Naturalna jednostka w fizyce cz ˛astek jest 1 elektronowolt

1 eV - energia jaka zyskuje cz ˛astka o ładunku 1 e (ładunek elementarny) przy przej´sciu ró˙znicy potencjału 1 V.

1 e = 1.6 · 10⁻¹⁹ C ⇒ 1 eV = 1.6 · 10⁻¹⁹ J

Jednostki pochodne: 1 keV = 10³ eV , 1 M eV = 10⁶ eV , 1 GeV = 10⁹ eV . Jednostk ˛e energii mo˙zemy te˙z przyj ˛a´c za jednostk ˛e masy (E = mc²; c ≡ 1)

1 eV /c² ≡ 1 eV = 1.8 · 10⁻³⁶ kg

elektron e 511 keV (9.1 ·10⁻³¹ kg) proton p 938 MeV (1.7 ·10⁻²⁷ kg) neutron n 940 MeV

kwark t 173 GeV

bozon W^± 80.4 GeV Z^◦ 91.2 GeV

Rozpady cz ˛ astek

Rozaw˙zmy rozpad cz ˛astki o masie M na n cz ˛astek o masach m_i (i = 1 . . . n).

Masa niezmiennicza przed rozpadem: Mi = M. Masa niezmiennicza po rozpadzie:

M²_f =



 X

i

E_i



 2

−



 X

i

~ p_i



 2

= ^X

i

E_i² + 2 ^X

i

X j>i

E_i E_j − ^X

i

p²_i − 2 ^X

i

X j>i

~ p_i p~_j Dla dowolnej pary cz ˛asteh i, j mamy: E_i² = p²_i + m²_i

E_i E_j =

r

(p²_i + m²_i )(p_j² + m²_j ) = ^q(p_ip_j + m_im_j)² + (p_im_j − pjm_i)²

≥ pi p_j + m_i m_j

⇒ E_i E_j − ~pip~_j ≥ Ei E_j − pip_j ≥ mi m_j Ostatecznie: M²_f ≥^X

i

m²_i + 2 ^X

i

X

j>i

m_i m_j =



 X

i

m_i



 2

= s_min

Rozpady cz ˛ astek

Warunek konieczny, aby mógł mie´c miejsce rozpad:

M ≥ ^X

i

m_i = √s_min

Dla rozpadu dwuciałowego, w układzie cz ˛astki: p~₁ = −~p²

Jaka b ˛edzie warto´s´c p ˛edu produktów rozpadu: p = |~p1| = |~p2| ? M² = (E₁ + E₂)²−(p1 − p2)² = m²₁ + m²₂ + 2

q

(p² + m²₁)(p² + m²₂) + 2p² (M² − m²₁ − m²₂ − 2p²)² = 4(p² + m²₁)(p² + m²₂)

⇒ 4M²p² = (M² − m²₁ − m²₂)² − 4m²₁m²₂

p =

q

(M² − (m1 + m₂)²)(M² − (m1 − m2)²) 2 M

Rozpady cz ˛ astek

Przypadek równych mas: m₁ = m₂ = m

p =

q

(M² − 4m²)M²

2 M =

s

M 2

2

− m² E = M 2

W granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki: m₁ ≪ m2 ∼ M

p ≈

q(M² − m²₂)²

2 M = M

2 − m²₂

2M ≈ E1

m²₂

2M - energia “tracona” na odrzut drugiego ciała

Energie cz ˛astek po rozpadzie nie s ˛a równe ! Mierz ˛ac p ˛ed (lub energi ˛e) jednego z produktów rozpadu,

mo˙zemy wnioskowa´c o masach pozostałych cz ˛astek.

Rozpady cz ˛ astek

Wszystkie cz ˛astki danego rodzaju (np. elektrony lub neutrony) s ˛a identyczne.

Nie maj ˛a te˙z “pami ˛eci” - ich własno´sci nie zale˙z ˛a od czasu.

Dla cz ˛astek nietrwałych oznacza to, ˙ze prawdopodobie ´nstwo ich rozpadu w zadanym przedziale czasu jest zawsze takie samo.

Rozwa˙zmy bardzo mały przedział czasu dt (znacznie mniejszy ni˙z typowy czas rozpadu).

Je´sli próbka zawiera N cz ˛astek to liczba oczekiwanych rozpadów musi by´c proporcjonalna do N i do dt:

dN = N (t + dt) − N(t) = −λ N dt Całkuj ˛ac to równanie otrzymujemy:

dN

N = −λ dt

ln N = −λ t + C

N (t) = N (0) · e^{−λt prawo rozpadu} promieniotwór zego

Rozpady cz ˛ astek

Prawdopodobie ´nstwo rozpadu na jednostk ˛e czasu (dla pojedynczej cz ˛astki):

p(t) = λ e^−λt Parametr λ wi ˛a˙ze si ˛e ze ´srednim czasem ˙zycia cz ˛astki:

τ = hti =

Z _∞

0 t · p(t)dt = 1 λ

⇒ p(t) = 1

τ e^−t/τ N (t) = N₀ · e^−t/τ

Je´sli cz ˛astka o masie m i ´srednim czasie ˙zycia τ (zawsze defniowanym w układzie cz ˛astki) ma w układzie obserwatora O’ energi ˛e E i p ˛ed p, to obserwator zmierzy:

N (t^′) = N₀ · e^−γτt′ = N₀ · e^−mt′Eτ ht^′i = γ τ = E

m τ

±rednia droga swobodna hvt^′i = β γ cτ = p m cτ

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia e

e

Przekrój czynny na produkcj ˛e hadronów w funkcji dost ˛epnej energii:

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

1 10 10²

ρ ω

√s (GeV) σ(e+ e− → qq → hadrons) [pb]_

ψ(2S) J/ψ

φ

Z

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia e

e

W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny na produkcj ˛e kwarków.

Proces ten opisujeny jako anihilacj ˛e e⁺e⁻ w wirtualny foton, który nast ˛ep- nie rozpada sie na par ˛e q¯q

γ^∗ q

_

q e

e⁺

−

Produkcja rezonansów

Przy pewnych warto´sciach √

s obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rz ˛edów wielko´sci.

Jest to efekt rezonansowej produkcji cz ˛astek

J/Ψ e⁻

e⁺

_

q q

Aby w zderzeniu dwóch cz ˛astek powstała jedna, (np: e⁺e⁻→J/Ψ→q¯q ) masa niezmiennicza zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek musi by´c równa masie cz ˛astki któr ˛a produkujemy (√

s = m_J/Ψ)

Zderzenia relatywistyczne

Produkcja rezonansów

Produkcja bozonu Z^◦ w eksperymencie L3 (LEP) e⁺e⁻ → Z^◦ → q¯q

Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla

√s = m_Z ale ma ono sko ´nczon ˛a szeroko´s´c:

(rozkład Breita-Wignera)

σ(s) ∼ M_Z²Γ²

(s − M_Z²)² + M_Z²Γ²

Szeroko´s´c rezonansu wi ˛a˙ze si ˛e z czasem ˙zycia:

Γ · τ = h

(zasada nieoznaczono´sci)

Zderzenia relatywistyczne

Produkcja wielu cz ˛ astek

Aby w zderzeniu dwóch cz ˛astek powstały dwie lub wi ˛ecej nowych cz ˛astek, np:

e⁺ e⁻ → W⁺ W⁻

masa niezmiennicza zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek musi by´c wi ˛eksza lub równa sumie mas pro- dukowanych cz ˛astek:

√s ≥ ^X

i

m_i

Mierzony przekrój czynny e⁺e⁻ → W⁺W⁻ ⇒

√s ≥ 2 mW ≈ 160 GeV

0 5 10 15 20

160 170 180 190 200 210

E_cm[GeV]

σWW [pb]

LEP Preliminary

08/07/2001

no ZWW vertex (Gentle 2.1) only ν_e exchange (Gentle 2.1) RacoonWW / YFSWW 1.14

Zderzenia relatywistyczne

Energia dost ˛epna

Mase niezmiennicz ˛a zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek √

s okre´slamy te˙z jako energi ˛e dost ˛epn ˛a w układzie ´srodka masy.

Energia dost ˛epna jest to cz ˛e´s´c energii kinetycznej, która mo˙ze zosta´c zamieniona na mas ˛e (energi ˛e spoczynkow ˛a) nowych cz ˛astek.

√s mówi nam ile energii mo˙zemy zu˙zy´c na wyprodukowanie nowych cz ˛astek.

Przykład

Aby wyprodukowa´c antyproton w reakcji p p → p p p ¯p

musimy mie´c

√s ≥ 4 m^p

⇐ liczymy wszystkie cz ˛astki w stanie ko ´ncowym, tak˙ze cz ˛astki pierwotne

Zderzenia relatywistyczne

Okre´slon ˛a warto´s´c energii dost ˛epnej mo˙zemy uzyska´c na rózne sposoby:

Zderzenia z tarcz ˛ a

Cz ˛astka “pocisk” o energii E uderza w nieruchom ˛a tarcz ˛e:

s = 2 E₁ m₂ + m²₁ + m²₂ w granicy E₁ ≫ m1 ∼ m2

s ≈ 2 E1 m₂

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Zderzenia wi ˛azek o energiach E₁ i E₂: s = 2 E₁ E₂ + 2 p₁ p₂ + m²₁ + m²₂ w granicy E₁ ∼ E2 ≫ m1 ∼ m2

s ≈ 4 E1 E₂

Du˙zo wy˙zsze warto ´sci !!!

Przykład

Wi ˛azka protonów o energii 50 GeV (≈ 50 m^p)

• na tarczy wodorowej (protony): √

s ≈ ^q2Em_p ≈ 10GeV ≈ 10 m_p

• dwie wi ˛azki przeciwbie˙zne: √

s ≈ √

4E · E = 2 E = 100GeV ≈ 100 m_p