Projektieleer

Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Civiele Techniek

PROJEKTIELEER

Aantekeningen betreffende de kolleges projektieleer

door

Afdeling der Civiele Techniek

Projektieleer

Aanteteningen betreffende de kolleges projektieleer door

L.S.

Bij de samenstelling van elk diktaat wordt er uiteraard naar gestreefd om fouten te voo;rkomen en de inhoud zo over-zichtelijk mogelijk aan te bieden,

Niettegenstaande dat kunn.en toch onduidelijkheden voorkomen en kunnen fouten zijn ingeslopen,

Indien U dan ook bij de bestudering van dit diktaat: - onjuistheden ontdekt

- op onduidelijkheden stuit

- of gedeelten ontmoet, die naar Uw mening nadere uitwerking behoeven, verzoeken de samenstellers U dringend hen daarvan mededeling te doen,

Bij de volgende drukken kunnen dan op- en aanmerkingen worden verwerkt ten gerieve van toekomstige gebruikers •

. Zonodig kan ook nog in de lopende cursus voor verduidelijking worden gezorgd,

Inleiding:

Bi.j de vooropleiding wordt tegenwoordig weinig of geen. aandacht besteed aan projektivisch tekenen.

Bij het tekenen, schetsen en ontwerpen in de civiele techniek is enige kennis van de projektieleer wel nodig en het maken van oefeningen op het gebied van de projektieleer ontwikkelt het ruimtelijk voorstellingsver-mogen.

Eerstejaars studenten moeten dit vak beschouwen als basis voor het af-beelden van technische objecten.Het heeft geen waarde voor de wiskundige vorming;het gaat om de vaardigheid ermee te werken,

De behandelde stof is zeer elementair.

Par. 1 Afbeelding door projektie

De orthogonale of loodrechte projektie, kortweg genoemd de projektie van een punt A op een vlak 7( is het snijpunt B van 'JC. met de rechte door

A loodrecht op het vlak 1C'., ( fig, 1 )

' _ ·,._'{:·----_

De Europese projektie:.i;.s een orthogonale projettie waarbij het te projekte-ren voorwerp wordt gepla~tst tussen waarnemer en projektievlak n. (figuur 2)

_!_·_

VOORWERP

WAARNEMER

FIG.2

De Amerikaanse proJektie is een orthogonale projektie waarbij het

projektie-vla.k n wordt geplaatst tussen waarnemer en voorwerp, figuur 3,

VOORWERP

_WAARNEMER

FIG. 3

We zullen nu een kubus proj ekteren op .een vlak n volgens de Europese en de Amerikaanse projektiemethode. Het bovenaanzicht van kubus en projektievlak n is gegeven in figuur 4a, terwijl in_ de figuren 4b en 4c respektievelijk de Europese en de Amerikaanse projektie van de kubus op nis gegeven.

1T

.~Q

1

i

1 1

11

i

1

FIG. 4a

FIG. 4b

FIG. 4c

1T

·n

projekties noodzakelijk, We nemen daartoe een orthogonaal assenstelsel x,y,z, Door de 3 assen brengen we 3 vlakken aan 1T 1T

1' 2' 1T3, Deze vlakken noemen we projektievlakken, figuur

2-~

\+

y

FIG. 5

De vlakken 1r

1, 1r2, 1r3 .verdelen de ~uimte in acht ruimtehoeken.-Soms nummert _ meri_j..e~__!uimt~_~oek~n en spreekt da~ van 1e ruimtehoek, enz.

~·e rüimtehoek = ruimte waarbinnen x, y en z positief zijn,

2e, 3e en 4e ruimtehoe.k worden verder benummerd rondgaand tegen de draaiings-richting van de zon in. 5e, 6e, îe en 8e ruimtehoek liggen respektievelijk onder 1e, 2e, 3e en 4e ruimtehoek.

Meer aanschouwelijk kunnen we de ruimtehoeken als volgt beschrijven: 1e ruimtehoek: boven 1r

1,.voor 1r2, rechts 1r3•

Pav. 2 Projektiemethoden

In par. is reeds gesteld dat om_plaats en vorm van een voorwerp in de ruimte v~st te leggen tenminste drie projekties nodig ziJn, Daartoe projek~ teren we het voorwerp op de drie projektievlakken n

1, ~2 en n3 en verkrijgen zo respektievelijk 1e, 2e en 3e projektie van het voorwerp.

Om nu ·van een voorwerp of een konstruktie op één vel papier de verschillende projekties weer te geven worden de projektievlakken om de x-, y- en z-as gedraaid, zodat ze alle in hetzelfde vlak (vlak van tekening) komen te liggen. Dit draaien is bij de Europese en bij de Amerikaanse projektiemethode ver~ schillend.

Bij de Europese methode, waar het.voorwerp normaal voor n

2 staat draait men bijv. h e t ~ - n

2 liggende gedeelte van n1 naar beneden; bij de Amerikaanse methode, waar het voorwerp normaal achter n

2 staat, draait men het achter n

2 liggende gedeelte van n1 naar beneden,

Men bereikt dan bij beide methoden dat van de voorwerpen in de voor iedere methode meest gebruikelijke ruimtehoek de 1e, 2e en 3e projekties niet over en door elkaar heen getekend behoeven te worden,

De Europese methode best.aat

·äuff

uit het naar beneden draai en van de voor-kant van het (horizontale) projektievlak n

1 en het met de draaiingsrichting van de zon méé draaien van het (vertikale) projektievlak n

3. Zie figuur

6.

Deze methode was vroeger gebruikeliJk,

Een voorwerp dat in de 1e ruimtehoek was opgesteld wordt dan als het ware "in richtingen van de toeschouwer af" op n

2 en n3 geprojekteerd.

En van dat voorwerp in de 1e ruimtehoek verschijnen, na wenteling van de projektievlakken de verschillende projekties in het vlak van tekening

over-zichtelijk, als figuren, die elkaar niet overlappen.

·X•Z 1

\

+V

\

\

1 '.

Î

1 1 1 /

\

\

\

\

\

"

\

\

\

\

"-..._

"'-..._

-•Y

"z

1 1 1 1 1

· I

1 1 1 1 ---t--1 ----1-1

\

"

_"

1

"' ""

. 1

"

,

... 1

• X

"'-

.,

_{. ...}

--

---

_.y

z

CONSTRU

C.

TIE

FIGUUR

FIG.6 <EUROPESE PROJE C. TIE>

De Amerikaanse methode bestaat uit het naar boven draaien van de voorkant van het (horizontale) projektievlak n

1 en het tegen de draaiingsrichting van de zon in draaien van het (ve'rtikale) projektievlak n

3.

Deze methode is een onderdeel van een uitvoeriger manier van projektievlak-ken-wenteien-naar-het-vlak-van-tekening, die bij het tèchnisch tekenen wordt gevolgd. Deze manier is genormaliseerd op het normblad NEN 2351: Aanzichten op technische tekeningen.

Daarom volgen wij bij de projektieleer de Amerikaanse methode,

Een voorwerp dat in de 2e ruimtehoek is opgesteld wordt dan, als het ware "in richtingen naar de toeschouwer toe" op de projektievlakken geprojekteerd, Bij deze Amerikaanse methode zijn het de voorwerpen achter n

1, dus opgesteld in de 2e ruimtehoek, die de verschillende projekties overzichtelijk als el-kander-niet-overlappende-figuren geven~

In figuur 7a is de kubus die in figuur 6 bij de Europese projektie in de 1e ruimtehoek was geplaatst gespiegeld geplaatst in de 2e ruimtehoek en de konstruktiefiguur laat zien dat de 3 projekties gescheiden van elkaar in het vlak van tekening verschijnen.

• X·Z

1

\

\

•V

\

\

--,

--- --- I

r

, , ...

,,

,:A.'/1

IJ..---/

1 1

jl

/

1

l

1

1 ,...,,., ·'

J.,,t.---t1

/ / I / Il .,,,, Il __ _,

/

it..----1

\

\

\

\

\

\

"'

( 1', 1 1 1 1

1

..

,

\

\

\

\

1 1 \ 1 1

"

1

"

,

__

f

-"-

,_

1 j -1

\

.

"-

1

"

"

1

"-

_'

..,___ 1

"

_'

_'

_{,_}

---

_J(

-z

CO NST RUC TIEFIGU U R

+X

FIG. 7a·<AMERIKAANSE PROJECTIE)

In figuur îb is weergegeven hoe de Amerikaanse projektie eruit ziet van de kubus, als hij, zoals in figuur

6,

.in de eerste ruimtehoek was geplaatst.

+Y

RUI M.TEFr GUUR

"y

"z

CONSTRUCT

IE

FIGUUR

Par. 3 Relatie tussen projektieleer en technisch tekenen,

We zullen nu eerst laten zien hoe men de aanzichten van een voorwerp weer-geeft op een technische tekening. Om het voorwerp duidelijk weer te geven kari het nodig zijn zes aanzichten, d.w.z. zes projekties te tekenen, te weten:

A: vooraanzicht B: bovenaanzicht C: linker zijaanzicht D: rechter zijaanzicht E: onderaanzicht F: achteraanzicht

In figuur

8

is een voorwerp gegeven waarvan de diverse aanzichten gegeven zijn. We plaatsen dit voorwerp nu in een doorzichtige doos (figuur 9), De toeschouwer bevindt zich buiten de doos, De projektievlakken (dooswanden) bevinden zich tussen de toeschouwer en het voorwerp. De projekterende lij-nen gaan van het voorwerp in de richting van de toeschouwer.

Wentelen we de vlakken volgens figuur 10 tot ze in één vlak (het tekenpapier) liggen, dan ontstaat figuur 11.

Aangezien hier de Amerikaanse projektiemethode is toegepast en het voorwerp van figuur

8

in de doos, dat is in de 2e ruimtehoek is geplaatst, moeten we ook de Amerikaanse methode van vlakwentelen toepassen.

Op deze wijze verkrijgen we de meest overzichtelijke projektietekening. Bij het technisch tekenen laat men de begrenzingen van de projektievlakken weg en plaatst men de projekties (aanzichten) op kleinere onderlinge

af-standen (figuur 12a en 12b).

Het is niet steeds nodig alle zes projekties te tekenen,

Het aantal aanzichten dient enerzijds voldoende te zijn om het werkstuk vol-ledig en overzichtelijk weer te geven, doch dient anderzijds zo klein moge-lijk te zijn. Welke aanzichten.men ook tekent, steeds moet men er op bedacht zijn dat de onderlinge plaatsing, van de projekties op boven aangegeven wijze op papier wordt gezet.

Brengen we op de kubus van figuur 9 èen assenstelsel aan als getekend, dan is de overeenkomst met figuur,7a direkt duidelijk. Het in figuur

9

getekende voorwerp bevindt zich in de ruimtehoek boven TI

1, achter TI2 en rechts van TI3. De vlakken waar de aanzichten A, C en E op geprojekteerd zijn komen overeen met de in figuur

5

gegeven projektievlakken. De andere gebruikte projektie-vlakken zijn hulpprojektievlak~en die evenwijdig zijn aan de

.

-achbzraanzicht (F)

lirik<ir zï ciom:,cht C r~chler zi · aanzicht (D

v00raonzicht A

r-,.._ C

....

-1 1 .,.,.,.,.,.,.,.

---~,,,..--,-,;--

--/ 1 -/ 1

/

i

I I / I 1 1 I

'

I 1 1 1 1 1 ' B

A

E '

!

i

FIG.

10 ~ D

1

'

\ \ 1 I I &-10

--·

i=

Bij het schetsen en tekerien wordt volstaan met de afbeelding van het voor-werp zelf, zoals 1n fig~ur 12 is gedaan, Projektieassen en vlakken worden niet meer getekend, Daardoor vervaagt voor de oppervlakkige beschouwer het verband met de projektieleer,

Het bij deze theorie verkregen ruimtelijk inzicht is echter voor degenen, die met tekeningen werken van wezenlijk belang. Zonder dit ruimtelijk voor-stellingsvermogen wordt een tekening gedegradeerd tot een verzameling lijnen, men "ziet" dan het afgebeelde werkstuk niet als een lichaam!!

FIG. 12a

F

Par.

4

Afbeeldi~g

van

een punt

-Nu de projektiemethode,, de wijze ':7aarop d.e projektievlakken tot in het vlak van tekening (h~t konstruktievlak) zullen worden gewenteld, is vastgesteld kunnen we nagaan hoe nu punten worden afgebeeld, We beschouwen daarbij fi-guur 13,

De ruimtehoek, waarin het punt A van figuur 13 is gelegen is in figuur 14a nogmaals uitgebeeld,

De gewentelde vlakken ZlJn met de projekties van het punt A in figuur 14b aangegeven.

De konstruktiefiguur van het punt A toont figuur 14c. In de konstruktiefiguur worden slechts de assen getekend.

FI G.14aRÜI MTE FIGUUR

7fa WA

A1

A1

A1

,u

FIG.

14 b GEWEN TE LOE VLAKKEN

. '(

z

A~ A~

---_ ---_ ---_ _,__...,_ ... _ _ _ _ +-_ _

...;iXtZ

A.t

FIG.

14c CONSTRUCTIEFIGUUR

Voorbeeld (zie figuren 15a en 15b)

Gevraagd: Schets de rui~tefiguur ~oor een punt A

(6

verhouding; Z-as onder 30° met de x-as.

2

-4)

ongeveer op

Teken de konstruktiefiguren eronder. Koördinaten in cm.

FIG. 1Sa

·---+---_,_

_______

Aa

--1---;._,__ ... ___________

-1----·+X•Z

Opgaven:

N.B. De konstruktiefiguur op ware grootte te tekenen op ruitjespapier A4-formaat, Geen maten inschrijven, Schets vooraf van ieder punt een ruim-tefiguur zoals in het voorbeeld,

1. Teken de projekties van de volgende punten:

A

(5

2 3 ) ; B (-1 ; 2

6);

C

(4

; -1 ;

5 _);

D (3 2

-4);

E

(6

; -2

.,

-3).

Geef aan in welke ruimtehoeken deze punten liggen,

2. Teken de projekties van de punten

P(-4

; 0 ; 2); Q (1 ; 2 ; 0) ;

R

(4

; 0 ; 0). Welke bijzondere- ligging hebben deze punten ?

3, Schrijf van de in figuur

16

geprojekteerde punten de koördinaten op,

Va

Va

Sa M1;1,s - L r· Wa

118

w

ll.

h

V1.

u,

U1,t _11.

s

..

s,

\, t

Par.

5

Afbeelding van een rechte

Projekteren van een rechte:

Onder de projektie van een rechte a, op e.en vlak 7T, verstaat men de snij-lijn b van 7T met het lo0dvlak door a op 7T (figuur 17),

Om de projektie van een recht lijnstuk. op een vlak te bepalen, projekteert meq de uiteinden van dat lijnstuk. op het vlak,

Zo is de 1e projektie van de lijn U-V de verbindingslijn van

u

1 met

v

1 (zie· figuur 16).

De projektie van U-V op 7T2 18 de verbindingslijn van u2 met v2.

De projektie van U-V op 7T3 18 de verbindingslijn van u3 met v3.

FIG.17

Om~ekeerd geldt dat een punt A op een rechte a ligt als de projekties van dat punt A tot de gelijknamige proj ekties van die rechte a behoren. (fig. 18)

a

., 3

Opgaven:

4,a, Teken een rechte in n

1, die niet loodrecht staat op n2 en n3.

b, Dezelfde vraag voor·een rechte in n

2, niet loodrecht op n1 en n3. 5, Gegeven de punten A (2,5, -4) en B (6,3,-2). Op de lijn AB ligt het punt

.P; P

1:(4,0,-3), Teken de projekties van AB en bepaal. P2 en P3.

6. Van ó ABC zijn gegeven de hoekpunten A (o,4,-6), B (3,0,-7), C (5,2,-1). Teken de projekties van de zwaartelijn door A.

Par,

6

Afbeelding van een vlak

Punten en lijnen stelt men in de projektieleer voor door hun projekties. Een viak wordt niet geprojekteerd. Alleen de snijlijnen van het vlak met de projektievlakken n

1, n2 en n3 worden aangegeven, Deze snijlijnen noemt men doorgan~en.

De snijlijn van het vlak a(figuur 20a) met nl heet eerste doorgang en wordt aangeduid met a

1

De snijlijn van a met n

2 is a2; de snijlijn van a met n3 is a3. Figuur 20b toont de konstruktiefiguur van figuur 20a.

Bij het uitwerken van opgaven moeten veelal hulpvlakken worden gebruikt met behulp waarvan men het gevraagde kan konstrueren.

Als b,v; het snijpunt A van een lijn a met een vlak a moet worden bepaald overweegt men, dat het eenvoudig is een vertikaal hulpvlak n door de lijn te brengen en de snijlijn b van dit hulpvlak met het gegeven vlak te bepa-len, Het snijpunt van b meta i s dan het gezochte snijpunt A van de lijn a

1,. +V +V

+l

\

\

\

18 FIG. 20a

8. Doe hetzelfde voor een vlak dat loodrecht is op n 3.

9, Een vlak ais loodr~cht op n

1 .en loodrecht n2 op 4 cm van n3 en een vlak

Sis loodrecht n

3, op

4

cm uit de oorsprong der assen en maakt een hoek

van 30° met de positieve z-as. Teken de snijlijn s van a en S.

Par.

7

Enige konstrukties

Voor het vlot uitwerken van projektieleeropgaven, ook als de figuren wat in-gewikkeld worden doordat de projekties over elkaar heen vallen is het gewenst zich goed vertrouwd te maken met de eenvoudigste vorm van de meest voorkomen-de konstrukties,

Deze eenvoudigste vorm treedt op als de konstruktie wordt uitgevoerd in de 2e ruimtehoek.

Deze konstrukties met korte toelichting volgen hierna,

i+Y ·7 • 1 , EiN PUNT

~

+Z

~

om te onthouden: Als p

₌

(a b c) lS P1 = (a 0 C) P2

=

(a b 0) P3 = (0 b c)

~

7,2. Een lijn door twee punten,

z

C FIG. 21

+X

+Z y

De projekties van de lijn worden gevonden door de gelijknamige projekties van beide punten te verbÎnden.

+Y

+Z

+X

7.3, Snijpunt van twee lijnen,

Als 2 willekeurige lijnen gegeven zijn door hun projekties, op TI

1, TI2 en TI3, zullen dit in het algemeen zijn: elkaar in de ruimte kruisende lijnen.

' '

Het zou een bijzondere toevalligheid zijn als 2 willekeurige lijnen een punt gemeen zouden hebben en dus elkaar in de ruimte zouden snijden.

Uiteraard snijden de 1e, 2e en 3e projekties van kruisènde lijnen 1 en m elkaar in het algemeen wel; immers de projekties van 1 en m zijn lijnen die beide in hetzelfde vlak TI liggen en die zullen elkaar dus in het algemeen

wel snijden.

20

Slechts als de snijpunten van 1

1 met ,~1, 12 met m2 ( en 13 met m3) op de manier van figuur 21 de afbeelding van één punt·te zien geven, als dus de

snijpunten van de projekties van de beide lijnen de projekties zijn van één enkel punt, dat dan kennelijk op beide lijnen ligt, is dat ene punt het snij-punt van de lijnen.

In figuur 23a is de lijn 1 getrokken door de punten (1 ,4,-2) en (5,2,-4) en de lijn m door (1,1,-4) en 5,5,-2).

De figuur doet zien (vermoeden!) dat 1 en m elkaar snijden in (3,3,-3), In figuur 23b is de lijn 1 dezelfde als in figuur 23a, terwijl de lijn nis getrokken door de punten (1,1,-4) en (5,7,-2).

·De snijpunten van de 1e, 2e en 3e projekties van 1 en n ziJn N

1, resp. N2 en

N3.

Direkt is zichtbaar in de figuur 23b, dat deze punten niet de 3 projekties van één en hetzelfde punt zijn, De lijnen 1 en n snijden elkaar dus niet, het zijn kruisende lijnen,

FIG. 23 b

î,4, Een vlak

Een ~lak wordt bepaald door zijn doorgangen (zie figuur 24).

()(3 o(2 FIG. 24

\

\ 0(1

"-

...

î,

4,

a. Een vlak J_ 1r 1 o(

3

FIG.

24

a

22

J.4.b,

Een vlak.l 1r₂

D<3

0(2

FIG. 24

b

o<1

J.4.c.

Een vlak1-1r

3

0(3

FIG. 24c

\

\

"

... 0(

1

7,5,

Snijlijn van twee vlakken

7,5,a,

Willekeurige vlakken

Twee willekeurige vlakken z1Jn gegeven door middel van hun doorgangen,

De snijlijn van beide vlakken bestaat uit (is de meetkundige plaats van) alle punten die zowel in vlak a als in'vlak S liggen.

Als we dus 2 1iunten weten, die beide in beide vlakken liggen 1s de snijlijn bekend,

De snijpunten Pen Q van gelijknamige doorgangen van a en S z1Jn punten, die in beide vlakken liggen,

De snijlijn is dus de verbindingslijn van de snijpunten Pen Q van gelijk-namige doorgangen .

. 7.

5.

b. Snijli,jn van twee vlakken, één

J_

7T

1 en één

J_

7T 2

aj_n,, s.l.n2

Met behulp van de snijpunten Pen Q van de gelijknamige doorgangen van a en

S,

die twee punten van de snijlijn van a en

S

zijn kunnen we de snijlijn tekenen; kunnen we in de konstruktiefiguur de projekties van de snijlijn teke-nen,

1 \ \ 3 \ \ 1 \ \

"

_"

\

'

'

"

_'

..._

______

.,.,.

--S2

S1

o<,

7.6.

Do0rgangspunten van een lijn

24

o<2

r2

02

Q1 .merk op:

S2 valt (uiteraard) samen met $2

s,

valt (uiteraard) sa.men met _a1

Onder de doorgangspunten van een rechte verstaan we de snijpunten van de rech-te met de projektievlakken.

Het snijpunt met n

1 heet het eerste doorgangspunt en wordt aangeduid met I; het snijpunt met n

2 heet het tweede doorgangspunt en wordt aanged~id met II; evenzo voor n

3.

Ieder doorgangspunt heeft drie projekties

r

1, I2 en

r

3, resp. II

1, II2 en II3, resp. 1II

1, III2 en III3.

In figuur 26 is aangegeven hoe we in een ruimtefiguur de doorgangspunten kun-nen konstrueren van de lijn l door de punten A ( 1

,4

,-2) en B (

5

,2

,-4).

+Y

FIG. 26

Men brengt nl. een vertikaal hulpvlak door 1 aan (dus een vlak_ln 1). Waar de doorgang van dit hulpvlak met _1T2 de lijn 1 snijdt ligt II.

Waar de 4oorgang van dit hulpvlak met _{1T 3} de lijn 1 snijdt ligt I I I .

Men brengt vervolgens een hulpvlakl_n

2 door de lijn 1 ·aan en vindt I als snijpunt van de lijn 1 met de doorgang van dit laat~te hulpvlak met n

1. Men kan uiteraard ook werken met een hulpvlak door l

j_

1T

3,

Hoe kunnen we nu de d~organgspunten in ·de konstrukt:i,efigu~ bepalen? We moeten daarbij, zoals gezegd, gebruik maken van een hulpvlak,

7,6,a, Doorgangspunt door n

....

\

\

FIG. 26a

Toelichting: 2e doorgang van het hulpvlak = 1

2 waar deze de y-as snijdt moet III

2 liggen, 3e doorgang van het hulpvlak i s / / z-as en begint in III2; waar -deze 3e doorgang 1

3 snijdt moet III3 liggen. Als III

2 en III3 gevonden zi~n is III1 te konstrueren als onder

11

111 _{van deze}

paragraaf (Een punt) aangegeven.

7,6,b. Alle doorgangspunten bepalen

\

Toelichting: Breng hulpvlak.l.n

2 aan; 2e doorgang van dit hulpvlak = 12; waar deze y-as snijdt ligt III

2. Loodrecht eronder op 11 ligt III1 en waar de

horizontaal door III

2 1

3

snijdt ligt III3. Breng hulpvlak

J_

n

1 aan; 1 e doorganis van dit hulpvlak = 11 ; waar deze de

x-assnijdt moet II

1 liggen; in de vertikaal met II1 ligt II2 op 12, In de horizontaal door II

2 ligt

n

3 op de y-as. Neem het hulpvlakj_n2; waar dit de x-as snijdt moet

r

2 liggen,

r

1 ligt in de vertikaal door I2 op 11•

r

3 ligt op de y-as in het punt waar de 3e doorgang van een hulpvlakj_n3 deze as snijdt, dat is waar 1

3 de x-as snijdt.

(Konstrueer ook met de methode onder "7,1,11 _genoemd

_r

3 als

r

1 en I2 reeds gevonden zijn,)

7.7.

Een punt in een vlak

Een punt P ligt in het vlak a als P ligt op de snijlijn S van a en een vlak S door P evenwijdig aan ~

1• Zie figuur

27,

C:X3

o<2

R S,

S P

f32

FIG. 27

28

7.8.

Snijpunt van een lijn met een vlak

Als men een lijn 1 geeft, die een vlak a snijdt en men brengt een wille-keurig vlak

S

door 1 aan, dan zal de snijlijn van a en

S

altijd de lijn 1 snijden en wel in het snijpunt S van 1 meta.

S ,moet dus steeds te konstrueren zijn als het snijpunt van de twee lijnen,

nl. van de lijn 1 met de snijlijn van a met een willekeurig te kiezen vlak door 1.

De procedure van het bepalen van het snijpunt van 1 en a wordt dus:

0(

- breng een gemakkelijk te tekenen hulpvlak door 1 aan (b.v. door 1_l_n 1); - bepaal snijlijn a en hulpvlak;

- vindt S als snijpunt van die snijlijn met 1.

1 \

\

3

"

_"

,

__

FIG. 28

N.B. Voor het verrichten van de konstruktie zijn

2

projekties (b.v. 1e en 2e) voldoende,

_7,9, Lijn loodrecht op een vlak·

Regelt Staat een lijn 1 loodrecht op een vlak a., dan is 1

1J_ a. 1, 12

l

a.2 .. en 1

3.J_a.3.

We'zullen dit bewijzen aan de hand van figuur 29, Te bèdenken is daarbij:

30

Als een lijn staat

_J_

een vlak, dan staat die lijn

_l

alle lijnen van dat vlak .

FIG. 29

Gegeven: 1

J_

a. ; S l s snijpunt van 1 met a..

. En:

Als een lijn

.l_

staat op 2 (niet evenwijdige) lij-nen van een vlak, dan staat hij

J_

alle lijnen va~ dat vlak ( =

J_

dat vlak) .

Bewijs: Breng een vlak aan door 1 en 1

1; de lijn p ligt ook in dit vlak.

1 la., dus lJ_ a.

1

pJ_ 1r

1, dus pl_a.1 Dan is de a.

1J_p en 1, dus a.1J_vlak door 1 en p. Daarmee is 1

1J_a.1•

Analoog kunnen we bewijzen dat 1

2

_l

a.2 en 13j_a.3,

\Il figuur 29a is de lijn 1 gekonstrueerd die door het punt Agaat en lood-recht staat opa..

\

\

\

\

\

\

\

\

\ \ \.

"

_"'

"

'-... ...

'

-

--2

Door een lijn kunnen we oneindig,veel vlakken aanbrengen maar steeds is de voorwaarde dat de doorgangen van het vlak door de gelijknamige doorgangs-punten van de lijn moeten gaan.

(zie figuren 30 en 31) Vlak a voldoet dus, maar vlak S ook.

FIG. 30

32

7,11. Een vlak door een lijn en een punt

Gegeven rechte

1

en punt A. Kies punt Kop

1

en breng een rechte door Ken A.

Stel de 1e en 2e doorgangspunten van

1 en KA vast.

De

verbindingslijn van het

1e doorgangspunt van

1

en het 1e doorgangspunt van KA is, dan a

1

• Door het

snij-punt van a

₁

met de x-as te verbinden met het 2e doorgangspunt van

1 vinden we·

a

2

• Op a

2

moet natuurlijk ook het 2e doorgangspunt van KA liggen. Het was dus

niet noodzakelijk dit doorgangspunt te bepalen.

+V +Z

_7,12, Twee evenwijdige vlakken

Als twee vlakken evenÎvijdig zijn en ze worden gesneden door een derde vlak, dan lopen de beide snijlijnen evenwijdig,

Van evenwijdige vlakken moeten daarom de gelijknamige doorgangen evenwijdig

ZlJn, (zie figuur 33)

Par. 8 Opgaven (ruimtefiguur en konstruktiefiguur)

(], Gegeven zijn de punten'A

(1,4,2)'

en B

(5,1,1).

Bepaal de doorgangspunten van de rechte AB en geef aan door welke ruimte-hoeken de rechte gaat.

\§·

Dezelfde vraag als in opgave

1;

maar nu ZlJn de punten: A

(0,1,-5)

en

B (5,-3,2).

~ De rechte astaat loodrecht op n

1. Het doorgangspunt I1 heeft de koÖrdina-ten

(4,0,3),

Teken de rechte a.

~)·Een rechte b heeft de volgende doorgangspunten I

(-3,0,-1);

II

(-3,5,0).

Teken de rechte b.

Schrijf de koÖrdinaten van de doorgangspunten van de in figuur

34

gepro-jekteerde rechten a, ben c op. (Opmeten in cm)

Welke bijzonderheden heeft de lijn c?

z

_y

~,1 '

_\ ' ïC ·

_'

. (._ ((!:Je: C,)I('.))

't

,-:-~ ,, ('_\

t;

lt

J , , ? ' J )

xz

34

®

Teken een punt in een vlak dat loodrecht op ~

1 is, Doorgangen van a1:

I I

(6,o,o)

en I I I

(o,o,4).

(t\

Gegeven een viliak a door de punten (7,0,0), (0,5,0) en

(o,o,6). ·

Teken de projekties van een vierhoek, waarvan de hoekpunten op de door-gangen liggen van dit vlak, Ben C op a

1, A op a3 en Dop a2.

Par.

9

Gemengde opgaven .(ruimtefiguur en konstruktiefiguur)

1. a, Drie niet op één rechte gelégen punten A, Ben C ziJn door hun projek-ties gegeven, À.(5,2,1 5 ), B (.:.5,4;6) en C (-25,s,~ 5 ).

36

Verder is van een vierde punt P, dat in het vlak dç>or de punten A., B en

C ligt, de eerste projektie bekend. Konstrueer de 2e en 3e projektie van P . ];>

1 ( -2 , 0 , 3 )

b. Dezelfde vraag voor een plint Q in het vlak door A, Ben C, waarvan de 2e projektie gegeven is. Q2 ( 2

,4

,o)

2, Trek door het punt A (2,4,6) een loodlijn l op vlak a, dat gaat door de punten (6,o,o), (o,6,o) en (o,o,3).

3, Gegeven de willekeurig snijdende rechten a en b en een rechte c..L îT

1. Konstrueer een rechte 1, die a, ben c snijdt en evenwijdig aan TI

2 is.

5 5

Doorgangspunten: a I

(7

,0,-1 ) en III (0,5,-4) b I (1 5 ,0,-5) en II (525 ,, 5 ,o) c I (4,0,-4)

4. Konstrueer de snijlijn van de vlakken a en Sin het geval data gaat door de punten (3,0,0), (6,4,0) en (0,0,3) en S gaat door de punten (8,0,0), (0,5,0) en (0,0,3),

5,·a is een vlak door de punten

(O,O,O),

(3,3,0) en (-3,0,3), ais een lood-lijn opa door het punt P: (0,3,0). Bepaal het snijpunt van a en a.

6. De rechte agaat door de punten (o,o,o) en(3,5,0); de rechte b gaat door de punten (o,o,o) en (J,0,1).

De rechte cis loodrecht op TI

2 en gaat door het punt (0,5,3,), Konstrueer op c een punt, dat gelijke afstanden heeft tot a en b, (Hulpvlakken gebrui-ken)

7,

Gegeven is het punt P (5,3,2) en de rechte a door het punt Pen het punt Q (0,7,0).

Konstrueer door P twee rechten ben c,beide loodrecht opa en ook lood-recht op elkaar, terwijl b de x-as moet snijden.

Paf. 10 Het neerslaan van vlakken

Als de projektie getekend moet worden van een figuur, die op een willekeu-rig vlak moet zijn gelegen en de werkelijke maten van die figuur zijn be-kend, dan kan men deze opgave uitvoeren door het vlak.neer te slaan (tech-nisch: uit te slaan) in het vlak van tekening; daar met de bekende maten de figuur te tekenen en vervolgens het vlak met de figuur weer op te rich-ten.

Voorbeeld (slechts n

1 en n2 gebruikt)

Gegeven: Een zespuntige ster R = 3 cm moet getekend worden op een wille-keurig vlak a. (figuren 35a en. 35b)

Gevraagd: Teken 1e en 2e projektie van die ster, als hij zodanig op het vlak ais getekend, dat onder- en bovenpunt van de ster liggen op de snijlijn van a met een vlakj_a

1 en dat de onderpunt juist in n

1 ligt.

Uitwerking: Er wordt een standvlak (B)_l__a

1 als hulpvlak aangebracht(~ ABC is de rechth. ~ tussen a, n

1 en n2. a wordt nu draaiend om a

1 in n1 neergeslagen, Daartoe moeten we de lengte van de hypothenusa AC weten want C = het uitgeslagen

u punt C ligt op deze lengte

J_

boven A

1 .

Dus moeten we eerst de rechth, ~ ABC uitslaan. Dat is gedaan draaiend om BC, uitslaand in n

2. Het is~ AuBC, De lengte A C met steekpasser

u afzetten op de loodlijn in A1 op

a

1 doet Cu vinden. a2u is dan ook te tekenen,

In het neergeslagen vlak a wordt de ster volgens de opgave getekend: De hoogte van de punten wordt geprojekteerd op de hypothenusa A

1ca met de steekpasser overgebracht op AuC, De horizontale lijnen waarop ze liggen zijn dan in de projek-ties van'a te tekenen.

In de 1e projektie zijn de vlakken

..La

bekend waarop de punten van de ster liggen, zodat de ster in de 1e projektie te voltooien

lS,

+V +Z 1 1 1 1 11

Il

11 1 1

lk---1---... r .

FIG. 35a (ruimtefiguur) 38

FIG. 35b

Par. 11 Opgaven

1. Gegeven een vlak a gaande door punt A ( 10 ,O ,O) en

_l_

op de rechte die ge-lijke hoeken met de koÖrdinaatassen maakt.

Bepaal de 1e en 2e projektie van de cirkel met r =

4

ràkende aan de 1e en 2e doorgang van het vlak a.

2, Gegeven een bol A met straal r = 5 rakende aan de vlakken van het 2e kwa-drant en een bol B eveneens met straal r = 5, waarvan het middelpunt ligt op een rechte gaande door het punt D (O,O,O) en het middelpunt van de bol A.

Kies het middelpunt van de bol B zodanig, dat deze door het middelpunt van bol A gaat.

Gevraagd: ( 1e en 2e projektie)

1, De snijpunten van de rechte met de bollen, 2. De snij kromme van de bollen,

3, Gegeven een kegel met hoogte h = 16

_J_

op het ïT

1 vlak met een grondcirkel r = 8, die raakt aan het ïT

2 vlak en een cylinder met straal r = 5 rakende aan de as van de kegel, terwijl de as van de cylinder evenwijdig aan de x-as is,

Bepaal de snijkromme van kegel en cylinder.

4. Gegeven twee cirkelcylinders met stralen van 4 resp. 6 waarvan de assen het ïT

1 vlak snijden·in de punten A (6,0;8) resp. B (20,0,-10), terwijl deze evenwijdig aan het ïT

2 vlak zijn en hoeken van 45° resp. 120° met het

ïT

1 vlak maken, kies deze zodat de cylinders elkaar snijden. Gevraagd: Bepaal de snijkromme van de cirkelcylinders.

Par. 12 Scheve parallelprojektie

De orthogonale projektie zoals wij die tot nu toe hebben behandeld is een onmisbaar hulpmiddel bij het exact weergeven van technische wensen en be-doelingen.

Een nadeel is soms, dat men uit orthogonale projektietekeningen vaak wat moeilijker een ruimtelijke indruk krijgt.

Het beste wordt een ruimtelijke indruk verkregen door een perspektivische projektie. Dat is een centrale projektie, waarbij alle projekterende lijnen van het voorwerp naar één punt (het oog) lopen en onderweg de projektie van het punt tekenen op het projektievlak (het tafereel).

Een houtsnede van Durer laat zien hoe een door lijnen verdeeld glas hulpmiddel is om

perspectivisch te tekenen.

Voor snel en maatvast tekenwerk is de perspektief echter onbruikbaar. Toch is soms behoefte aan een projektiemethode waarbij wel een redelijke ruimtelijke indruk wordt gewekt en toch het tekenwerk eenvoudig blijft, Dan kan de scheve (parallel-) projektie worden gebruikt, waarbij door even-wijdige lijnen in eeri willekeurig te kiezen richting wordt geprojekteerd op

TI

2, Figuur

43

laat zien hoe een dergelijke scheve projektie eruit ziet. In deze figuur is een voorwerp met 3 armen, die even lang ziJn en in de x-, de y- en de z-richting zijn georiënteerd geplaatst op TI

1.

In een willekeurig aangenomen projekteerrichting 1 is dit voorwerp geprojek-teerd op TI

2. Hoe men de figuur kqnstrueert zal met behulp van figuur

44

wor-den aangegeven.

Eerst willen wij echter enige bijzonderheden van deze projektie vermelden, Het blijkt wel, dat de ontstane scheve projektie een betere ruimtelijke in-druk biedt dan de orthogonale projektie.

Er valt nog iets anders op: had men bij de orthogonale projektie steeds de pnojektie op tenminste TI

1 en TI2 en vaak ook op TI3 nodig om voldoende de vorm

van het voorwerp vast te leggen; bij de scheve projektie is eigenlijk steeds wel met alleen de projektie op te volstaan. Dit komt omdat deze scheve

pro-- pro-- pro-- pro-- ~

'

_'

'

\.

'

\.

+ij-as

' ,

+x-as

t..2

FIG. ,3

- - ~

'\.

"

'\. '\.

'

_{' '}

FIG.44a

t,

1 D=Di 1 1 1 1 1

l 2

D2 1

FIG.44b

44

Hoe kan men nu in principe zo'n scheve projektie konstrueren in een konstruk-tiefiguur?

In de ruimtefiguur 44a én de konstruktiefiguur 44b is aangegeven hoe men een punt, dat in 1r

1 is gelegen (punt D van het 3...:armige voorwerp) in scheve pro-jektie op 1r

2 afbeeldt. Men kan zeggen: Ds .is de schaduw op 1r2 van punt D als de zonnestralen richting 11

111

hebben.

Meer meetkundig uitgedrukt: Punt D van vlak 1r

1 wordt in scheve projektie op 1r

2 afgebeeld in het punt waar de lijn 1 door D in de projekteerrichting 1r2 snijdt.

Dit is het vraagstuk .van par.

7 .6.,

"het 2e doorgangspunt van een lijn te bepalen".

Men brengt een hulpvlak_l1r

2 door 1 en een hulpvlak

_J_

1r1 door 1.

1 is de snijlijn van die beide hulpvlakken en het punt waar de beide 2e doorgangen van die hulpvlakken elkaar snijden (dat is uiteraard in 1r

2) moet ook het punt zijn waar de snijlijn van die hulpvlakken (dus 1) 1r

2 snijdt. Dat is het gezochte punt D.

s

Ds vinden we dus als snijpunt van 1

2 met de vertikaal door het punt waar 11 de x-as snijdt.

In de konstruktiefiguur 44b is dat getekend. D

1 =Dis het punt in 1r1. Het ligt v66r 1r

2; in Amerikaanse projektie wordt het dus boven de x-as in het tot-in-het-vlak-van-tekening-gedraaide 1r

1 afgebeeld, 1

1 en 12 zijn ook aangegeven en, zoals hiervoor verklaard, wordt Ds gevonden als snijpunt van 1

2 met de vertikaal door het punt waar 11 de x-as snijdt. Ieder punt van 1r

1 is op deze WlJZe in scheve projektie op 1r2 af te beelden en voor ieder punt moet men dan steeds 3 lijnen trekken, nl.:

,,.,,. richting 11 een in .,. ,. in richting 12 een

en de vertikaal ( zi~ figuur 44c) _{richting l}

Als men een methode vindt om het met 2 lijnen te doen bespaart men 1 /3 van de moeite; en zo'n methode is gemakkelijk te vinden met behulp van de gewone vlakke meetkunde. Immers (zie figuur 44d) trapezia, die men met de 3 lijnen kan tekenen op alle lijnen P

₁

P

2 om Ps te vinden, zijn gelijkvormig en dus kan men van iedere P

1 ook de Ps vinden met de gelijkvormige driehoeken P

1P2Ps' m.a.w. door het steeds trekken van 2 lijnen nl _,,.,,. richting 12 en een in ,,.,,. in richting P?s een (figuur 44d) P1

/

_p

korte methode van konstrueren FIG.

t.t.

d

Opgemerkt mag worden, dat de met-.-.- aangegeven lijn niet de afbeelding is van een lijn in de ruimte; het is alleen maar een konstruktiehulplijn in het vlak van tekening n

2.

Met behulp van de vlakke meetkunde is nog een verdere vereenvoudiging moge-lijk op de manier om ~unten van n

1 in scheve projektie op n2 af te be~lden. Daartoe merken we op dat in alle driehoekjes P

1P2P sin figuur 44d rechts een vaste verhouding bestaat tussen P

1P2 en PsP2. P

1P2 is de afstand van het punt Pin n1 tot de x-as en PsP2 is de scheve projektie van P

1P2. P

1P2 loopt in de z-richting; PsP2 loopt in de 12-richti~g.

Aangezien men vrij is in de keuze van de projekteerrichting, dus vrij is om 1

1 en 12 (figuur 44d) te nemen in elke gewenste richting, kan men naar willekeur bepalen in welke richting men lijnstukken P

1P2 wil projekteren en welke verlengings- of verkortingsverhouding men daarbij wil toepassen. Deze lengteverhouding lengte der scheve projektie

Wil men dus op een gemakkelijke wijze van een figuur in het ~

1-vlak de

sche-ve projektie tekenen dan kan men dat doen door de richting en grootte van de

lijnstukken P

1P2, PsP2 en P1Ps (figuur

45)

zodanig te kiezen dat er een snel-le tekenwijze mee is te bereiken,

Zo kan men b.v. nemen: 1

2 onder

45°

met de x-as en P

1P2 = PsP2 (dus n = 1)

Deze methode is toegepast in figuur

46.

RICHTING_ l 1 FIG. 45

A~t _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ B

₁

01

_c1

1E1 / / /

/E

/ s / /

/c

_s

As"---4&

Men kan ook een andere me.thode volgen en b . v. nemen: richting P

1Ps onder een gemakkelijk te tekenen hoek van b.v.

45°

en P

1P2 = P1Ps (figuur

45)

Dit werkt in de praktijk iets sneller en. overzichtelijker omdat men duidelijker ziet waar het in scheve projektie getekende punt vandaan komt. Déze WlJZe van projektietekenen is echter wel echt een "maniertje", een "recept" geworden, waaraan men niet gemakkelijk meer ziet wat men eigenlijk doet (in wezen werkt men dan met 1

2 (= richting van de z-as in scheve projektie) = onder 22~

0

links omhoog en n ~

3/4,

zie figuur

47.

f:1G 47 De in ~

1 liggende plattegrondfiguur van figuur

46

is in figuur

48

nog eens ge-tekend met laatstgenoemd recept.

FlG 48

Tot hiertoe is alleen nog maar gesproken over de scheve projektie van pun-ten of figuren, die in rr

1 liggen; figuren, die in het horizontale vlak liggen; technisch dus over "plattegronden", "boven-" of "onderaanzichten".

Het is van belang plattegronden in scheve projektie te kunnen tekenen, maar ook de "opbouw", datgene wat boven of onder het horizontale vlak ligt, moet in scheve projektie kunnen worden getekend.

Om te zien dat zulks ook bijzonder eenvoudig is beschouwen we figuur

43

nog eens. Door de evenwijdigheid der projekterende lijnen worden vertikale lijn-stukken als vertikale lijnen op rr

2 geprojekteerd in onveranderde lengte. De eenvoudige manier om in scheve projektie een punt Paf te beelden dat "a" cm boven rr

1 ligt bestaat dus hierin, dat men eerst de 1e projektie P1 van dat punt in scheve projektie afbeeldt en dan de scheve projektie van het punt zelf vindt op '.'a" cm vertikaal boven de scheve projektie van P

1. Als we de scheve projektie nu eens beschouwen in relatie tot de normale

.- wordt uitgegaan van de . eerste (orthogonale) proj ektie ( de plattegrond);

- dat deze eerste (orthogonale) projektie in scheve projektie wordt gebracht door de Z-ordinate~ (P

1P2) van ieder punt vanuit P2 op de x-as)te tekenen

1n 1

2-richting en daarop de lengte P8P2 = n.P1P2 vanuit P2 af te zetten;

- dat bij deze bewerking x-ordinaten evenwijdig aan de x-as blijven en hun lengte behouden;

- aat tenslotte de scheve projekties van de boven resp. onder ~

1 gelegen punten van het voorwerp worden gevonden door de y-ordinaten, onveranderd van lengte en richting boven resp. onder de in scheve projektie gebrachte eerste projekties af te zetten.

Als voorbeeld nemen we nu nogmaals de figuur ABCDEF van figuren 46 en 48 (AB

=

8).

Gesteld dat dit de plattegrond van een huis is, dat een zadeldak heeft met goothoogte 3 en nokhoogte

6.

Figuren 49 en 50 geven dan de scheve projek-tie weer,

so

F'IG '50

Par. 13 Nog verdere vereenvoudiging

In figuur 5·1 is de scheve projektie gekonstrueerd van een kwadratennet aan-gebracht in n

1 als n = 1 wordt aangehouden en voor de richting van 12 de richting 1 : 2 met de x-as.

Als men nu van een technisch voorwerp de scheve projektie wil tekenen en men heeft van dit voorwerp b.v. op andere tekeningen de orthogonale projekties, dan kan men de plattegrond (de eerste projektie) van dat voorwerp ook direkt in scheve projektie tekenen door de x- en z-maten van het voorwerp uit te zetten in het scheefhoekige x -z -koÖrdinatensysteem (en daarna boven de in

s s

scheve projektie gebrachte plattegrond de y-ordinaten vertikaal uit te zet-ten.

Dat lS ook een vaak gebruikte snelle methode, Men neemt dan meestal de x-as aan de onderzijde van het papier en zet de z-ordinaten scheef rechts naar bovèn· uit~

Deze methode is in vele variaties in gebruik, waarvan sommige een eigen naam hebben gekregen.

Zo heet:

figuur

52 (45°,

n = 1) de timmermansprojektie en figuur

53 (45°,

n =

0,5

à O,î) de cavalierprojektie.

52

Het is natuurlijk ook mogelijk een kwadratennet van n

1 dat een hoek maakt met de assen in scheve projektie te brengen, hetgeen vaak verhoging van het ruim-·, telijk effekt van de tekening tot. gevolg heeft,

Voorbeelden daarvan zijn:

figuur

54 (30°, 30°,

n = 1) hetgeen isometrische projektie heet en

figuur

55 (42°, 7°,

n

=

0,5)

hetgeen dimetrische projektie wordt genoemd.

FIG '5'4

FIG

5'5'

Op deze weg voorgaande kan men het kwadratennet zelfs transformeren tot een perspektivisch-verkleinend net.

Als men dan ook nog een raster voor perspektivisch verkleinend uit te zetten

.

.

hoogten y toevoegt heeft men een ondergrond, waarmee heel bruikbare perspek-tiefschetsen zijn te maken.

~14

Projectie van krDrrnnen.

In principe wordt een krDrrnne geprojecteerd door ieder punt van die krDm-rne te projecteren.

Meestal kan men de projectie sneller tekenen door gebruik te maken van meet-kundige eigenschappen.

bv. constructie van ellips met gegeven assen (fig 1)

en constructie van ellips op toegevoegde middellijnen (fig. 2a en 2b)

A

Projecties van lichamen met gekrom:le oppervlakken.

In principe worden deze geprojecteerd door hun begrenzingen

af

te beelden; b.v. een kegel wordt geprojecteerd door de projectie's van grondvlak en top te bepalen en deze met lijnen te verbinden.

Een bol projecteer;t tz;ich steeds als cirkel.

Een torus is op te vatten als de meetkundige plaats van bollen van gelijke diameter, die hun middelpunt op een c~rkel hebben. Bij projectie van een torus projecteert men dus de hartcirkel, tekent daarop de bollen en voltooit de pro-jectie van de torus door de omhullende van de getekende bollen te trekken. Als voorbeelden (1° en 2° projectie) zie fig.

3,4,5,

B 2

V

z

Doorsnijdingen.

Doorsnijdingen van ruimtelijke lichamen met een plat vlalc of eventueel met elkaar kunnen in 't algemeen geprojecteerd worden door van de doorsnijdings-figuur op zo gem3kkelijk mogelijke wijze punten te construeren.

Als voorbeelden (1° en 2° projectie)

zie fig.

6:

doorsnijding van staande kegel en bol. Te construeren door het aanbrengen van een serie horizontale hulpvlalcken die met de kegel zowel als met de bol cirkels hebben die direkt zijn te tekenen.

1

- - - J - - - : - l f - - - - h - - - ' > . ~ - - - - 2 - - - , f - - - ' j f - t - - H - - - i : ~ - - - \ - - -

3

en fig.

_{7 :}

doorsnijding van staande kegel met liggénde cylinder te constru-eren door het aanbrengen van een hulplijn door de top van de kegel en evenwijdig aan de as van de ,ylinder.

Een serie hulpvlakken door dez, hulplijn geeft zowel met de kegel als met de cylinder rechte snijlijnen. Zo zijn punten van de door-snijdingskromme gemakkelijk te bepalen.

60

xz

·--·-r---§45.

Perspektief tekenen

Persp.ekti vi sch tekenen is het afbeelden van voorwerpen volgens centrale projektie van.uit het oog op een plat-vlak-van-tekening (het 11_tafereel")

dat (gewoonlijk) tussen oog en voorwe.rp is geplaatst (fig. 1),

De beginselen van deze methode, voldoende om technische werken perspek-tivisch te tekenen, zullen hier worden behandeld.

Wij gaan bij deze eenvou~ige methode ervan uit dat in het grondvlak een rechthoekig koördinatennet ligt, waarvan de X-as 30° en de Y-as 60° .maakt met de grondlijn(= snijlijn van grondvlak en. tafereel). Zie fig. 2a. Verder gaan we uit van de aanname dat het oog zich bevindt in een vlak

j_ de grondlijn op "oogafstá:n<i11 vóór het tafereel en op "ooghoogte 11

boven het grondvlak,

De perspektief-tekening van het "voorwerp71 _{dat met zijn voet op}

x

=

4,

y_+ 0

op het grondvlak. staat wordt gevormd door de snijpunten met het tafereel van alle lijnen vanuit het oog ·naar punten van het voorw~rp getrokken.

We beginnen nu met na te gaan hoe het koÖrdinatennet dat in het grondvlak is aangebracht in de perspektief-tekening verschijnt.

De oorsprong is gemakkelijk te vinden, want die.ligt_al in het tafereel; van de X-as ( en ook van de Y-as) hebben we ~us al .één punt;,

Om

de X-as in perspektief te tekenen zullen we dus nog één ander punt van deze as op het tafereel moeten afbeelden ( want dan hebben we 2 punt.en en kunnen we de X-as in perspektief als een rechte lijn door die beide punten tekenen),

61

Als 2e punt van de X-as, dat we in het tafereel gaan afbeelden, kiezen we •••• het ,-punt op oneindig op de X-as.

Dit oneindig ver gelegen punt is nl gemakkelijk en duidelijk af te beelden, . De...-1ijn va.mri. t het oog naar dit punt-op-0()..,van-de.:.x:..as vinden '!ge daar, WE!,ar de lijn door het ,OOB / / X-as het taferèel snijdt,

Deze lijn vanuit het oog naar een co-ver punt van het grondvlak ligt met alle andere lijnen vanuit het oog naar alle andere <»-verre .punten van. he.t grondvlak in het (horizontale) vlak(// grondvlak). Alle ..,_verre punten van het grond.vlak (en van alle daaraan evenwijdige - ook horizontale -

vlajt-Het is wel duidelijk dat die lijn de "horizon" wordt genoemd.

De lijn vanuit het oog evenwijdig met· de X-as, snijdt dus op de horizon een punt V in dat de afbeelding is van het 00-verre punt van de X-as,

X

Dit punt V is meteen de afbeelding van alle 00-verre punten die op andere

X

lijnen in X-richting liegen. Men noemt het "het verdwijnpunt 1: van alle

lijnen in X-richting.

Als we dus dit verdwijnpunt V hebben gevonden dan kunnen we door ieder

X

punt dat

we

reeds in de perspektieffiguur hebben een lijn in X-richting tekenen door een lijn van dat punt naar V.

X

Hoe gaat men nu daadwerkelijk perspektief-tekenen?

Dat het tekenpapier het tafereel zal moeten zijn is duidelijk!

Bij gekozen ooghoogte zijn daarop de grondlijn en de horizon te tekenen, AJ.s -·hulpkonstruktie wentelt men nu oogvlak en grondvlak tot in het' t~i'e_._ reel resp. om de horizon en de grondlijn; het vóó; h~t tafereel gelegen gedeelte naar boven draaiend, Men krijgt dan figuur 2b.

De bepaling van de verdwijnpunten V en V van de X- en Y-richtingen is

X y

dus in de tekening eenvoudig als de plaats van de oorsprong van het assen-. ····1·· ;, assen-.assen-.

kruis erge'rîs op de grondlijn, ll e.migenomen en als een "oo'gafstandlt is

8.lm-genomen; dan is nl het neergeslagen floog11 _{bekend en van daaruit k~ men de}

30° en

6o'o

lijnen tot de horizon trekken,

De p~rspektivische afbeelding van de X-as en de Y-as kunnen nu getekend worden van O naar V en van O naar V.

X y

Maar meteen kan ook het gehele X-Y-kwadratennet getekend worden, als men de

:'(··

lijnen x = 1, x·= 2, x = 3 enz. en y = 1, y = 2, enz. maar even verlengt tot de grondlijn, Immers, op de grondlijn liggen van die lijnen de punten, waar-van de perspektivische·afbeelding samenvalt met het punt zelf,

Zo'n lijn x

=

n is een lijn in de. Y-richting, die loopt dus naar het ver-dwijnpunt V van de Y-richting. Met die lijnen naar V · kunnen we dus x

=

1,

' y ' ' y '

x = 2, enz. insnijden

op

de perspektivische afbeelding van de X-as.

Op analoge wijze is de Y-as te behandelen ( zie figuur 2b).

We hebben·nu ~e,~ien hoe een tekèning gelegen in het' grondvlak, dus bijv. het bovenaanzicht van een brug in perspektief is t~,;brengen.

• . , • : • • • , !

boven het bovenaanzicht zo,.dat de lengteas (X-as) van het bovenaru1zicht

0

30 maakt met de grondlijn en ieder p1.U1t 11

P11

van het bovenaanzicht is op de aangegeven manier in perspektief te tekenen.

Toch

i

₁

dit meestal een wat omslachtige methode en voordat we nu aangeven hoe te handelen met punten die boveµ het grondvlak zijn eelegen zal eerst een vereenvoudigde methode aangegeven worden voor het in perspektief brengen van een· in het grondvlak gelegen tekening (een bovenaanzicht, een platte-grond of een situatietekening),

We nemen aan dat in die plattegrond of situatie een X-Y-as~eµkruis 1s aan-gebracht ten opzichte waarvan van alle punten gemakkelijk de koördinaten kunnen worden opgemeten.

We moeten dan nog een eenvoudige methode hebben om diezelfde koördinaten

•1:

in de perspektivische plattegrond uit te zettep, zonder gedwongen te zijn gebruik te maken van het onderste 1/3 gedeelte van figuur 2b, dus zonder gebruik.te maken van het neergeslagen grondvlak.

Als we dan letten op de grondlijn,aangegeven in fiBuur 2b, dan ziet men, dat rechts van punt

O

op de grondlijn door de lijnen x =

1,

x =

2,

enz. een verdeling is ingesneden waarmee men (door verbinding m.et VY)de lijnen

x

= n in perspektief kan tekenen.

Links van O is op de. grondlijn een - anderschalige - verdeling ingesneden waarmee men, naar

Vx,

de lijnen y =min perspektief kan tekenen.

Als

we

nu een schaallineaal hadden voor de eenheden rechts van O (de een-. heid zou zijn~ dan konden we ~nel van O naar rechts ~n links op de

ver-eiste schaal de in de plattegrond opgemeten koördinaten van ieder punt uitzetten en het punt in perspektief vinden als.snijpunt van zijn

x-

en y-lijn,

Men zou natuurlijk best voorbedrukt perspektieftekenpapier kunnen m,aken waarop rechts en links van O zulke schalen met eei;iheid =~en ee~he~d = 2 zouden zijn aangegeven.

Men kan echter ook een ,ander tekenhandigheidje toepassen, waarmee men be-reikt dat men de X- en Y-koördinaten in de perspektief. kan uitzetten op dezelfde s.c.paal, waarop ze in de plattegrond:figuur worden. opgemeten ( zie

Links

van

C{ staan op de ·groridlij n eenheden 2 x

zo

groot als

·die·

der platte..: grondf'1gl1tir·ëlri"dè Y-koördfoatén van de plattegrondfiguur moeten op de 2

x

zo grote scha.al worden uitgezet en verbonden met V.

X

Indien men nu op halve hoogte tussên horizon en grondlijn een naar.links lopende.hu.lpschaal aanbrehgt evenwijdig aan dé grondlijn, met zîri (),.:.punt

64

op de· lijh

o.:.v (

= pers, X-as) en met eenheden = ·eenheden vàn de plattegrond, X

dan krijgt men bij verbinding met V ook dé pers. Y = 1-, Y

=

2.:.:, Y

=

3-Iijnen.

X

Op analoge wijze kunnen we een naar rechts lopende hulpschaal maken even ... wijdig··~a.n de grondiijn en met z'n 0-punt op··d.e lijn 0-V ·(=pers. Y-as)·,

,, . . . y

Om op deze hulpscha.al in dezelfde eenheden te kunnen werken als. waarin de koördinaten in de plattegrond gemeten zijn moet deze hulpschaal getrokken worderi op èen afstand. van de horizon die zich verhoudt tot. de afstand· horizon-grondlijii. als V3: 2 dus als lange rechthoekzijde van een 30-60-90° driehoek ·st·aat tot zijn hypothenusa.

Op deze wijze werkende met de beide hulpschalen · kan men in de perspektief· op._·

die hulpschalen de lengten uitzetten, die men opmeet in de plattegrond (in cm op á.e tekening of bijv. op 1 : 200 in meters~ juist zoals men verkiest·).

Er

mb"Èiteri

mi nog twee verdere gegevens· worden verstrekt:

a. hoe het verdwijnpunt van lijnen in een willekeurige richting.te

vinden;-, .,

b. hoe het tekene!'l van punten op hoogte z boven het grondvlak uit tevoereni

Ad. a.:

Het ver~wijnpunt van lijnèn in het grondvlak onder een hoék ~'met de grondlijn is te koristrueren analoog· als voor'bv

aè

X-as(= lijn onder 30°) is aangegeven. Als men echter een willekeurige lijn in het· grondvlak al in de perspektief'- ·. figuur heeft getekend (bv omdat men 2 punten van die lijn in perspektief had gebracht) dan kan men die lijn door~rekken tot op de horizon en dan is het snijpunt met de horizon het verdwijnpunt van -alle lijnen in en boven het. grond-vlak :Î.n diezelfde richting.

Ad, b·,:

Om een punt Q in de 't:,erspektieftekening (als'·'\,r te vinden, als Q op z boven' zijn projektie Q, in de plattegrondtekenîng is gelegen, 'bedenke 'nien, dat de Z-as (j_ het grondvlak) in het tafereel ligt,

Hoogten z kunnen dus op die Z-as afgezet worden op dezelfde schaal, waarop de plattegrond is getekend, dus op dezelfde schaal waarop ook op de eerder

\.

..

1

Het zal duidelijk zijn dat zulks in de werkelijkheid gaat met een horizon-tale lijn vanaf de Z-as naar

Q,

Die horizontale lijn is evenwijdig met O-Q 1• Nu is O-Q

1 in de perspektie~tekening gemakkelijk te tekenen (immers Q heb-ben we op de grondlijn en

Q

1 kunnen we met h~t assenkruis konstrueren). O-Q

1 is dus in perspektief te tekenen en die lijn is door te zetten tot we op de horizon het verdwijnpunt van alle lijnen

in

de O-Q₁-richting vin-den.

Van de hoogte z op de Z-as kunnen we nu dus de perspektief van de lijn van de Z-as naar

Q

op hoogte z boven het grondvlak gemakkelijk trekken naar 'dit gevonden verdwijnpunt.

De perspektief van Q vinden

we

in de vertikaal door de perspektief van

Q

₁ (in figuur

4

is punt 2, 1,

4

in perspektief gebracht).

' ... · .

.

Met vórenstaa.ade summiere kennis van de perspektief zijn heel aanvaard-bare perspektivische tekeniOBen van technische werken te maken.

Figuur

f"

/ . ~

-

/ ./

/~.pr./

~ / / / r