Vergelijkend spanningsonderzoek

Vergelijkend spanningsonderzoek.

Proerscnrik ter Nerkrijging \'an den graad \ a n Doctor in de 1 echnische W e t e n s c n a p aan de I (-cliniscne I loogescnool Ie Dellt, op ge/.ag \ a n (\vn RectorMagnilicus, li. ( 1.1 )ielil. I loogleeraar in de Aidecling der Jjouwkunde, voor een coiumissic Liil den Penaal \r verdedigen op Dinsdag den 7en April 1956, des namiddags Ie 4 uur, door J A N R O E L O F J O H A N V A N D O N O E N , werktuigkundig ingenieur, gcl)oren Ie Rollerdam.

lO

\ ^

t

^\ö

/ \ a i i iniin (_)iiders, , \ a i i Ulijn \ ' r o u \ v .

Inhoudsopgave.

Ulz.

Inleiding l Historisch overzicht i

H o o f d s t u k I. S p a n n i n g s b e r e k e n i n g e n 6—23 A. Spanningsberekening volgens de theorie van de

sterk-gekromdestaven 6—1 o

1. Berekening van de .statisch onbepaalde Mc f> 2. Berekening van de tangentieele normaalspanning Ot 9

B. Spanningsberekening met behulp van de

spannings-functie van AiRY 10—23 3. Overzicht van de uit te voeren berekening 10

4. Het belastingsgeval a 11 5. Het belastingsgeval b 17 O. Het belastingsgeval c 19 7. De berekening van MB" en Mc 19

S. De berekening van Or, Gt en Tri 20 9. De berekening van Qi, Q., en fi 20 10. Uitkomsten van MB' , MB", MC, CTr, Ot, T,„ (iv O2. {Qi + Qi), iQi~—Q-i) en ft. 21

H o o f d s t u k I I . R e k m e t i n g e n 24—39 11. Beschrijving van de meetinrichting 24 12. Bepaling van et, Kr, P135 en de daaruit af te leiden hoofdspanningsnchtingen. 29

13. Bepaling van ar , Gt en Xrt -^5 14. Herleiding van de meetresultaten voor de belasting en de afmetingen van het

btandaardniüdol 37

H o o f d s t u k I I I . O p t i s c h e e n electrische s p a n n i n g s

-m e t i n g e n 40—94 15. Inleiding 40 A. D e optische metingen 41—79

16. Het optisch effect 41 17. Bepaling van de hoofdspanningsrichtingen 42

J

Biz.

IS. Bepaling van (g,—Qi) 43 19. Beschrijving van de installatie 45

20. Het belastingtoestel 48 21. De BEREK-compensator 50 22. De photo-electrische cel met versterker 57

23. Het verloop der metingen 59 24. Invloed van spanningsstoringen op de metingen 65

25. Het materiaal 74 26. Resultaten van metingen aan een glazen kettingschalm 77

B. De electrische metingen- 80—94

27. Overzicht van de verschillende methoden, welke dienen om Qi en g.,

afzonder-lijk te bepalen 80 28. Beschrijving van de apparatuur 83

29. Het verloop der metingen 83 30. Meetresultaten aan een model van den kettingschalm 85

31. Herleiding van de optisch-electrische resultaten voor de belasting en de

afmetingen van het standaardmodel 92

Vergelijking van de uitkomsten der verschillende methoden. 95 Litteratuurverwijzingen.

Grafieken.

1. Cf, Kr en Kui volgens rekmetingen aan het ijzeren model. 2. (pi—02)d volgens optische metingen aan het glazen model.

3. Verloop van de spanningen langs den binnen- en buitenrand (volgens optische metingen aan het glazen model).

4. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van 0r • 5. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van Gt • 6. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van Trt. 7. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van ft. 8. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van Qi. 9. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van Q-^. 10. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van 11. Vergelijking van de volgens de verschillende methoden gevonden waarden van

Inleiding. *)

Nog steeds komt het veelvuldig voor, dat bij het ontwerpen van werktuigonderdeelen uitsluitend volgens de elementaire formules van de sterkteleer wordt gerekend, en dat de spanningsconcentra-ties, die aan de randen van gaten, afrondingen, inkervingen, enz. plegen op te treden, worden verwaarloosd. Dat deze handelwijze niet steeds tot het optreden van breuk aanleiding geeft, is te dan-ken aan de invoering van den z.g. ,,veiligheidscoëfficient", welke als correctiefactor in de formules wordt ingevoerd, en welks grootte in den regel door bedrijfservaringen is bepaald. Met dezen veilig-heidscoëfficient wordt dus eigenlijk de onnauwkeurigheid van de gebruikte formules uitgedrukt. Daar deze veiligheidscoëfficient meestal met betrekking tot de experimenteel bepaalde breukspan-ning van het materiaal wordt vastgesteld, waarbij de gebruikte formules in het geheel niet meer gelden, komt een op deze wijze uitgevoerde berekening wel op losse schroeven te staan, zoodat men onder vele omstandigheden verplicht is den veiligheids-coëfficient onnoodig hoog te kiezen en daardoor tevens de construc-tie onnoodig zwaar te maken. In plaats van een werkelijken veilig-heidscoëfficient is in zulke gevallen de gebruikte correctiefactor eigenlijk slechts een coëfficiënt van onwetendheid.

In den laatsten tijd echter ontwikkelt zich, in verband met de steeds zwaardere eischen der techniek, een sterk streven om met de werkelijke spanningen rekening te houden, opdat de lichtheid eener constructie niet haar betrouwbaarheid in twijfel behoeft te doen trekken, en anderzijds haar betrouwbaarheid niet door materiaal-verkwisting behoeft te worden gekocht.

Voor het bepalen van de werkelijke spanningen aan de randen van gaten, afrondingen, inkervingen, enz. komen in de eerste plaats de onderzoekingen op het gebied van de mathematische elasticiteits-leer in aanmerking. Hiernaast zijn, voornamelijk voor de vele gevallen waarvoor nog geen theoretische oplossingen bestaan, •) Aan het Delftsch Hoogeschoolfonds betuigt de Schrijver hierbij zijn bijzonderen dank voor de materieele hulp hem bij de uitvoering van de proefnemingen verleend.

P:=IOOOkg

spanningsmetingen uitgevoerd, zoowel aan de constructies zelt, als aan modellen hiervan. Voor proeven aan de uitgevoerde con-structies komen alleen metingen van deformaties en verplaatsingen in aanmerking; voor de modelproeven zijn behalve deze, nog ver-schillende andere methoden ontwikkeld.

In dit proefschrift worden eenige, zoowel theoretische als experi-menteele onderzoekingsmethoden onderling vergeleken. Bepaald wordt de spanningsverdeeling in een kettingschalm, afgebeeld in fig. ] , met behulp van de volgende methoden:

I. Spanningsberekening;

A. volgens de theorie van de sterkgekromde staven; B. door toepassing van de spanningsfunctie van A I R Y . II. Rekmetingen.

I I I . Optische en electrische spanningsmetingen.

D e spanningsberekeningen worden voor het in fig. 1 afgebeelde standaardmodel uitgevoerd; voor de proeven werden de afmetingen en de belasting om practische re-denen evenredig vergroot of verkleind, en werden de uit-komsten later omgerekend voor de maten en de belas-ting van het standaardmo-del. Voor het bij de rek-metingen gebruikte ijzeren model zullen de afmetingen r, a, b, enz. resp. met r', a',

o , enz., voor het bij de

op-Fig. 1. Standaardmodel van den kettingschalm. .• , .. , . . . tische metingen gebruikte glazen model resp. met r", a", h", enz. worden aangeduid; evenzoo de belasting P met P ' en P ' , en de coördinaten x , z met

x', z' en x", z".

Historisch overzicht. *)

In eerste benadering kan men den kettingschalm als een raam-constructie opvatten, waarvan men met behulp van de bekende buigingstheorie van rechte en zwakgekromde staven de spannings-verdeeling zou kunnen bepalen. Deze theorie is afkomstig van J. BERNOUILLI ') en is later door EULER ^ en COULOMB '') verder uit-gewerkt. Reeds halverwege de vorige eeuw zag men echter in, dat voor staven, waarvan de hoogte niet meer klein is t.o.v. den kromte-straal, het lineaire verloop van de in een dwarsdoorsnede werkende normaalspanningen in tegenspraak is met de onderstelling, dat de dwarsdoorsneden vlak blijven. Ongeveer gelijktijdig is toen door WiNKLER ^) en RÉSAL°) en later door GRASHOF ") de z.g. ,,theorie van de sterkgekromde staven" opgesteld, waarbij eveneens onder-steld werd, dat de dwarsdoorsneden vlak blijven, en waarbij de radiale normaalspanningen en de schuifspanningen werden ver-waarloosd, doch waarbij het reeds in onbelasten toestand aanwezige verschil in lengte der langsvezels werd in rekening gebracht. Uit deze theorie volgt een hyperbolisch verloop van de in de dwars-doorsnede optredende normaalspanningen. Voor niet te sterk gekromde staven geeft zij (behalve in de omgeving van de aan-grijpingspunten van lasten) een goede benadering.

Voor zeer sterk gekromde staven, waartoe de kettingschalm ge-rekend moet worden, is de verwaarloozing van de schuifspanningen en van de radiale normaalspanningen niet meer toelaatbaar, zoodat men tot een nauwkeuriger berekeningswijze moet overgaan, die het eerst door T I M P E ') werd aangegeven, en waarbij van de z.g. spanningsfunctie van A I R Y werd gebruik gemaakt. D e door dezen schrijver gegeven oplossingen hebben betrekking op staven van rechthoekige dwarsdoorsnede, en gelden zoowel voor zuivere bui-ging van sectoren als voor cirkelvormige ringen met willekeurig verdeelde randspanningen.

*) Van het opstellen van een uitgebreide litteratuurlijst is afgezien, daar het sedert enkele jaren verschijnende Zentralblatt für Mechanik een overzicht van de vaklitte-ratuur geeft. De onmisbare littevaklitte-ratuurverwijzingen zijn op biz. 09 aangegeven.

Pogingen om de spanningen uit proeven te bepalen hielden gelijken tred met de ontwikkeling van de mathematische elasticiteitsleer, deels om de uitkomsten van de theorie aan de practijk te toetsen, deels ook om de spanningen in voor de theorie ontoegankelijke constructies te bepalen.

D e meest voor de hand liggende proeven zijn deformatiemetingen, meer in het bijzonder rekmetingen. D e voornaamste moeilijkheid welke bij het nemen van deze proeven moet worden overwonnen is, dat in het elastische gebied de specifieke rekken van de orde van 10"'' zijn, en dat doorgaans de meetlengte niet grooter dan 10 a 20 m m gekozen mag worden, zoodat de rekmetingen neer-komen op het meten van afstandsvariaties van de orde van 10~'' mm. In den laatsten tijd zijn echter verschillende rekmeters gecon-strueerd (van welke het rekmetertype volgens OKHUIZEN *) voor algemeen gebruik zeer geschikt is), met behulp waarvan dergelijke kleine afstandsvariaties gemakkelijk te meten zijn. Een volledig overzicht van deze rekmeters vindt men in het werk van L E H R : ,,Spannungsverteilung in Konstruktionselementen" *).

Een tweede hulpmiddel tot het experimenteel onderzoek van vlakspanningstoestanden levert een reeds in 1816 door BREWSTER ') ontdekt effect, dat tegenwoordig met den naam van ,,spannings-optisch" of ,,photo-elastisch" effect wordt aangeduid. De mathe-matische theorie van dit photo-elastisch effect werd een twintigtal jaren later door NEUMANN ^") ontwikkeld, die de algemeene wetten afleidde, welke ook nu nog de basis voor het optisch spannings-onderzoek vormen. W E R T H E I M " ) toetste deze wetten experimen-teel aan glazen druk- en trekstaven en bracht ze in den thans algemeen gebruikelijken vorm.

Niettegenstaande zoowel de mathematische als de physische basis voor het photo-elastisch spanningsonderzoek dus eigenlijk reeds omstreeks 1850 was gelegd, heeft het nog tot het begin van deze eeuw geduurd, voor deze methode op uitgebreide schaal werd toegepast. Sindsdien echter hebben MESNAGER, HÖNIGSBERG, COKER, L . F Ö P P L , T U Z I , FAVRE, e.a. de optische spanningsmetingen tot een volwaardige onderzoekingsmethode gemaakt, welke bij het ontwerpen van bouwconstructies en werktuigonderdeelen van groot belang moet worden geacht. In het bijzonder moet hier *) De door ons gebruikte HuGGENBERGER-rekmeters zijn eigenlijk verbeterde OKnuizEN-rekmctcrs.

genoemd worden COKER als dengene, die het photo-elastisch onder-zoek aan de techniek heeft dienstbaar gemaakt. Zijn in samen-werking met F I L O N geschreven boek ' - ) : ,,A Treatise on Photo-Elasticity", is ongetwijfeld het standaardwerk op dit gebied. Behalve bij de methode volgens FAVRE, levert het photo-elastisch spanningsonderzoek niet den volledigen spanningstoestand, daar slechts het verschil der beide hoofdspanningen, zoomede hunne richtingen rechtstreeks bepaald kunnen worden. Aan-vullende metingen volgens MESNAGER, COKER en BIEZENO - KOCH, of benaderingsconstructies volgens F I L O N , L . F Ö P P L en NEUBER zijn noodzakelijk om den spanningstoestand in ieder punt volledig te bepalen. D e hiergenoemde onderzoekingsmethoden zullen in dit proefschrift nader worden besproken.

Hoofdstuk I.

Spanningsberekeningen.

A . S p a n n i n g s b e r e k e n i n g volgens d e t h e o r i e v a n d e sterk-g e k r o m d e staven.

1. B e r e k e n i n g v a n d e s t a t i s c h o n b e p a a l d e Mc • D e meest eenvoudige, doch tevens minst nauwkeurige

berekenings-wijze van de spanningen in den hiervoor besproken kettingschalm, is die, waarbij de schalm als een sterk gekromde staaf wordt beschouwd, en waarbij de belas-ting geacht wordt te bestaan uit twee geconcentreerde lasten P (zie fig. 2). Wegens de symmetrie van constructie en belasting behoeft slechts het kwart ABC van den schalm beschouwd te worden. Klemt men dit gedeelte bij A in (zie fig. 3) en voert men voor de in de dwarsdoor-snede C optredende statisch onbepaalde grootheden NQ (normaalkracht) en DQ (dwarskracht) de uit symmetrieoverwe-Fig. 2. Kettingschalm

(schema).

gingen voortvloeiende waarden: N^ en De = O in, dan kan de eenig over-blijvende statisch onbepaalde grootheid

Mc bepaald worden uit de voorwaarde, dat de hoekverdraaiing

van dwarsdoorsnede C t.o.v. dwarsdoorsnede A nul moet zijn.

Beschouwt men twee oneindig dicht bij elkaar gelegen dwarsdoorsneden 1 en 2 van een sterk-gekromde staaf (zie fig. 4), die na de vervorming van de staaf in den relatieven stand 1—2' komen, dan gelden, op grond van de veronderstelling, dat de dwarsdoorsneden ook na de deformatie schalm (schema). nog vlak zijn en loodrecht op de gedeformeerde

staafas staan, — onder verwaarloozing van de radiale normaal-spanningen Gy — de volgende formules *) ^'):

H = «o +

R+z

(w — «o) , Oi

= Eet = E J fio

R\z

(W — £ o ) «0 = m = "'t — 1 / x r ^ \ 1 /xr M 1 ixr ^ M 2

K(/?+2X

_ 1 / : ^ ^ ^

F j R + z " '

Hierin beteekent: \ (1) (2) (3) (4) (5) (6) df*A<l(p_, Fig. 4. Element van sterk-gekromde staaf.

ÊQ den specifieken rek van den zwaartepuntsvezel,

Ét den specifieken rek van een vezel ter hoogte z boven den zwaarte-puntsvezel,

m de specifieke hoekverdraaiing

dep der beide doorsneden 1 en 2, fff de normale spanning ter hoogte z boven den zwaartepuntsvezel, N de in doorsnede 1 werkende normaalkracht,

M het in doorsnede 1 werkende totale buigende moment, •'t een door den kromtestraal R en den vorm van de doorsnede bepaalde constante.

Formule (1) geeft hèt uit de figuur af te lezen geometrische ver-band tusschen £t en e„; formule (2) drukt de wet van HOOKE uit; de formules (3) en (4) volgen uit de overweging, dat de resultante van alle in doorsnede 1 werkende normale spankrachten aequivalent moet zijn met een in het zwaartepunt aangrijpende normaalkracht N

en een moment M ; formule (5) verkrijgt men door w en So uit de vergelijkingen (2), (3) en (4) te elimi-neeren.

Aan fig. 5 ontkenen wij nu, dat voor het kromme gedeelte van de staaf

Ny = 1 P sin 9?, (7)

Dep = l-P cos 95, (8)

M,p = i- PR (1 — sin <p) ~ Mc (9) is.

Fig. 5. N,p, Drp en M^

Voor de hoekverdraaiing rps' van door-snede B t.o.v. doordoor-snede A vinden wij derhalve: C2 VB ,d(p =

EF

71 ^ '^ , Mrf, , Mq,,, irp Ebh\2\2 R l \ y-R ' y.y-R 2>i.

D e verdraaiing ^'c" van doorsnede C t.o.v. doorsnede B is: M c a 12 M c a

V'c

_El

_{Eb¥ '}

zoodat de gezochte hoekverdraaiing Vc van doorsnede C t.o.v. doorsnede A is:

. „ 1 | . ^ / P Mc\(^ 1 \ P I 1 2 M c a

V'c-Wn+fo = Ebh{2\2-R

JV^.J-Jxl—Ebh^--Uit de voorwaarde, dat y'c = O moet zijn, vindt men voor MQ :

f n — 2\ „

Mc = 71 . (10)

4 8 a 2 7 t / 1

Voor een rechthoekige doorsnede heeft de door formule (6) gede-finieerde constante ?< de waarde:

h R , ' + 2 R >< = — 1 + -T In ~ •

h h ~2R

Worden hierin de maten van het standaardmodel (zie fig. 1) ingevuld, dan vindt men voor y.:

X = 0,059122,

zoodat met P = 1000 kg uit formule (10) voor Mc volgt: Mc = 997,44 kgcm.

2. Berekening van de tangentieele normaalspanning fff Uit formule (5) vindt men door gebruik te maken van de for-mules (7) en (9):

'* = -bh

P Mc. 1 / P . ^ Mc\ z ' _ \-- i (1 — sin?') — ——f

2 R x[2 ^ R ] R+z Vult men in deze formule de voor het standaardmodel bepaalde waarden van x en Mc in, dan vindt men voor Ot in het kromme gedeelte:

fft = 63,84 4- (1079,80 — 1510,20 sin <^) - ^ kg/cm=';

7 + z

in het rechte gedeelte geldt:

N Mz P 12Mcz , , ,

^^-F^~J— 2Vh- bh^ = ^'''' - ''•'' ' '^^/^"^ •

In tabel I zijn voor eenige dwarsdoorsneden de uitkomsten ver-meld (de beteekenis van de in deze tabel voorkomende grootheden X en r is aan fig. 1 te ontkenen).

Tabel I. Gt ( k g / c m - ) v o o r h e t s t a n d a a r d m o d e l ( v o l g e n s de t h e o r i e v a n d e s t e r k g e k r o m d e s t a v e n ) . 9P = 0 <p = 15° <p = 30° 9? = 45° 9? = 60° (p = 75° 9P = 90° x = 4 , 2 c m t / m x = n r = 4 , 2 cm —656 —459 —153 -f 56 + 216 + 316 + 3 5 1 + 280 r = 5 , 0 cm —368 —212 — 66 + 59 + 155 + 215 + 236 + 226 r = 5 , 8 cm —160 — 79 — 3 + 61 + 111 + 142 + 153 + 171 r = 6,6 cm — 2 + 22 + 44 + 63 + 78 + 87 + 90 + 117 r = 7,4 cm + 122 + 101 + 81 + 64 + 52 + 43 + 41 + 62 r = 8 , 2 cm + 222 + 165 + 111 + 66 + 30 + 8 + 1 + 7 r = 9 , 0 cm + 304 + 217 + 136 + 66 + 13 — 20 — 32 — 47 r = 9 , 8 cm + 3 7 2 + 2 6 0 + 156 + 67 — 2 — 44 — 59 —102

In de grafieken 5 zijn voor dezelfde dwarsdoorsneden de spanningen aangegeven, teneinde de op deze wijze verkregen uitkomsten te kunnen vergelijken met de uitkomsten van de andere methoden. Van doorsnede B (9? = 90° of x = 4,2 cm), die den overgang tusschen het gekromde en het rechte gedeelte van den schalm vormt, is in tabel I zoowel de voor het kromme, als de voor het rechte gedeelte geldende spanningsverdeeling aangegeven, zooals deze uit de hier gebruikte rekenwijze en uit de berekeningswijze van een rechte staaf volgt. Beide spanningsverdeelingen verschillen, zooals trouwens te verwachten was, aanzienlijk.

B. Spanningsberekening met behulp van de spannings-functie van AiRY.

3. O v e r z i c h t v a n de u i t te v o e r e n b e r e k e n i n g . De in nr. 2 van dit hoofdstuk gevonden spanningsverdeeling heeft slechts zin voor doorsneden, die voldoende ver van dwarsdoor-snede A (zie fig. 2) verwijderd zijn, daar met den plaatselijken invloed van de belasting geen rekening gehouden werd. In de volgende nrs. zal daarom een tweede benaderingsberekening ge-geven worden, die aan dit bezwaar tegemoet komt, en waarbij de gevonden spanningsverdeeling in de omgeving van de opleg-punten als voldoende nauwkeurig beschouwd kan worden. Het benaderend karakter dat ook deze berekening kenmerkt, komt het meest tot uiting in de omgeving van doorsnede B, waar de span-ningsverdeeling in het gekromde gedeelte zich niet aanpast aan die in het rechte gedeelte. De gemaakte fouten zijn echter klein 10

en treden op ter plaatse, waar zij voor de sterkteberekening van den schalm van minder belang zijn.

Wij blijven het in dwarsdoorsnede C opgewekte buigmoment Mc als de onbekende van het vraagstuk aanzien, en bepalen dit moment ook nu met behulp van de voorwaarde, dat de hoekverdraaiing f o van dwarsdoorsnede C t.o.v. dwarsdoorsnede A nul is.

Wij splitsen het vraagstuk evenwel in drie onderdeekn, waarvan:

a. het eerste betrekking heeft op een cirkelvormigen gesloten

ring (zie fig. 6), die uit de kromme gedeelten van den schalm kan worden samengesteld, en die op dezelfde wijze als de schalm belast is,

h. het tweede betrekking heeft op een aan één zijde ingeklemden

kwartring (zie fig. 8), die in zijn vrije uiteinde zoodanig door een moment M^" belast is, dat alle dwarsdoorsneden vlak blijven, c. het derde betrekking heeft op het bij B ingeklemde rechte gedeelte BC van den schalm (zie fig. 9), dat in zijn vrije uiteinde door een moment Mc en een normaalkracht 2 P belast is.

Bepalen wij nu:

bij geval a het in doorsnede B optredende buigmoment M^' (positief aangenomen voor het geval op het gedeelte AB een linksdraaiend moment wordt uitgeoefend) en de hoekverdraaiing VJÏ' van doorsnede B t.o.v. doorsnede A (welke vanwege de sym-metrie natuurlijk nul is),

bij geval b de hoekverdraaiing fj/' van doorsnede B, uitgedrukt in Mjj",

bij geval c de hoekverdraaiing fc'" van doorsnede C t.o.v. door-snede B, uitgedrukt in Mc,

en superponeeren wij de gevallen a en b dan is, omdat het totale

buigmoment M^ gelijk moet zijn aan Mc:

Mc = Ms' + Mu". (11)

Uit deze vergelijking en de voorwaarde, dat

fc = VB' + WB" + Wc'" = WB" + Wc'" = O (12) is, worden tenslotte M ^ " en Mc bepaald.

4. H e t b e l a s t i n g s g e v a l a.

Zooals bekend, kunnen voor lederen vlakspanningstoestand de spanningscomponenten afgeleid worden uit een z.g.

spannings-functie F van A I R Y " ) , die ondubbelzinnig bepaald is door de differentiaalvergelijking

AA F = O (13)

en de bij het probleem behoorende randvoorwaarden. Bij het gebruik van poolcoördinaten is de differentiaaloperator A ge-definieerd door

a^ i a 1 d^

A =

dr' r dr r^ d(p''

Fig. 6. Belasting-sgeval a ,

D e spanningen Gy, CTJ en r^t (zie fig. 6) hangen in dat geval met F als volgt samen:

1 d^F 1 dF y^ d(p^ r or d-'F a r^ '

/

i'

7)-or > r o(p/

Het is in het algemeen niet mogelijk rechtstreeks een oplossing van vergelijking (13) te bepalen, die tegelijk aan de

randvoor-st

•''rt = —

(15) (16)

waarden van het probleem voldoet, zoodat men genoodzaakt is F langs indirecten weg te berekenen. Eén van de middelen hiertoe is, dat bij een aantal oplossingen Fi, F2, . . . F^ van (13), die n i e t aan de randvoorwaarden voldoen, de bijbehoorende randbe-lastingen Bi, B^, . . . Bn worden bepaald, en dat achteraf getracht wordt in de uitdrukking

F = Cl F i + C2F2 + . . . + CnFn

de coëfficiënten c zoodanige waarden te geven, dat de bij F be-hoorende randbelasting L:

L = Cl Li -f- Ca La + . . . -|- Cn L„

met de voorgeschreven randbelasting overeenkomt.

Gewoonlijk zal aan dezen laatsten eisch niet exact voldaan kunnen worden, wanneer slechts een eindig aantal functies Fj (i = 1 . . . n) wordt ingevoerd, en ook in ons geval zal het noodig blijken een oneindig aantal hulpfuncties F; te gebruiken.

Voor de hulpfuncties F; kiezen wij in ons geval functies van den bij zonderen vorm

F = R0, (17)

waarin R een functie voorstelt, die alleen van r afhangt, 0 een functie, die alleen van (p afhangt.

Substitueert men (17) in (13), dan gaat deze laatste vergelijking over in

R^„„ /2K" 2R' 4 R \ ^ „ [^„„ 2R'" R" R'\

Een oplossing van deze vergelijking bestaat alleen dan, wanneer

0"

— = constant = — n^ (18)

0 .

is. In dat geval geldt voor R de vergelijking

2 „ „ , 2n2-M „ „ 2n^ + l ^, n* — 4n^^ , , R " " + - R ' " ^ -R + — ; - R + 7 — ^ = 0. (19)

y yi. yi yA

Van vergelijking (18) zijn de oplossingen cos n 99 en sin n 99; van vergelijking (19) vindt men de oplossing door R = r? te stellen. M e n vindt dan als kritische vergelijking voor p :

waarvan

p = n, p = — n , p = n - l - 2 en p = — • n + 2

de wortels zijn.

Beperken wij ons tot diè oplossingen voor F, die bij geheele waarden van n behooren en die in 9? symmetrisch zijn, dan is de meest algemeene oplossing Fn = Rn 0n '•

Fn = {AnT" + Bnr-" f Cnr"''' + D^r-""^^) cos nep,

waarin An, Bn, Cn en D„ integratieconstanten voorstellen. Volgens (14), (15) en (16) zijn de bij deze Fn behoorende span-ningscomponenten <T/"', Gt"' en Trt'"' gelijk aan

(T/"' = — { A „ n ( n —1) r"-2 + B„n(n + l ) r - " - 2 + Cn(n—2) ( n + l ) r " + D „ ( n + 2 ) ( n — l ) r - " } c o s n 9 ' , (20) 0t'"' = { A n n ( n — 1) r"-- + Bnn{n + 1)r-"-^ + C„(n -h2) (n + 1)r" + Dn(n — 2 ) ( n — l ) r - " } cos n?), (21) Trt'"' = {An n (n — 1) r"-2 — B» n (n -h 1) r-"-^ -h Cn n (n + 1) r" — D n n ( n — 1) r - " } sin n 99. (22) Stelt men den eisch, dat voor r = r,-:

ff/"' = — «n cos n 9^ (n even), Trt'"'=0;

en voor r = TI, :

ff/"' = 0 , Trt'"' = O

is, zoodat (o^r'"Or=T — " " ^°^ " 9 ' ^^^ ^^ ^^ ^ " behoorende belasting Ln van den ring kan worden opgevat, dan verkrijgt men de volgende vier voorwaardevergelijkingen voor de constanten

An, Bn, Cn en Dn'. An n (n ^ 1) n"-^ + Bn n (n + 1) ri-"-^ + Cn(n — 2) (n -F 1) r;" 4 - D „ ( n + 2 ) ( n — l ) r r " = — «n , An (n — 1) r, "-'^ — Bn (n + 1) rj """^ -f- C„ (n + 1) ri" — Dn(n — l ) r r " = 0 , Ann{rx — 1) r^n-^ + Bn n (n + 1) ru~'^-^ + Cn (n — 2 ) (n + 1) n," + Dn(n + 2 ) ( n — l ) r u - " = O, An (n — 1) n, "-=> — Bn (n -f 1) r,, -"-'' H- Cn (n + 1) r^ " — D „ ( n — l ) r u - ' ' = 0 . 14

Stelt men ter afkorting r ru — , Pu = —

n n

Pn

an = n{n{Qu' — l) + 1 — ^ u - ' " } , bn =n{niQu^~l) + e u ' " — 1 } , Cn = n ( l — ^ u - ' ) + 1 — e , r ' " , dn = n{l—Qu-') +Qu'"—l,

dan vindt men voor An, Bn, Cn, Dn:

a „.-n+2 a y.n-i-2

n(n — 1) n{n + l)

^ finrr" _ ftnTj'^ ,

^ n — , , Cfj , i J n — ;, " n >

n 4-1 n — 1

en dus volgens vergelijking (20), (21) en (22) voor ffr'"*, fff'"' en Trt'"':

ffr '"' =ftn{anQ"'^ + bnQ'"'^ — Cn (n — 2) o" — dn (n + 2)g""} COS n 9^, fft'"' = / ? n { - a n ? " - ' ' - f a n O - " - ' + c „ ( n + 2 ) i ' " + d n ( n - 2 ) e - " } c o s n 9 ? , Trt'"' = ftn { —flnp"-' + bn (?"""^ + c„n <?" — d n n e-"}sinn99. Wij keeren nu tot ons eigenlijk belastingsgeval terug en denken ons de twee krachten P, die tot nog toe als geconcentreerde krachten zijn beschouwd, ieder over een booglengte 2 6 r; (zie fig. 6) para-bolisch verdeeld.

In fig. 7 is deze belasting als functie van 99 weergegeven. Daar de belasting zoowel t.o.v. 99 = O als 99 = — symmetrisch is, zal haar FouRiER-ontwikkeling uitsluitend termen met cos n 99 (n even) bevatten, zoodat

CXD

(o-r)r=r,= — Po— I Pn COS TKp (n even) (23) n=2

Voor de coëfficiënten p vindt men op de gebruikelijke wijze; Ö^P

Po

Pn

3jirib (sin O — O cos 6) ' 2 P (sin nO — n O cos n ö)

Jinb(sin 6^6cos Ö)n'

(b = dikte van den schalm, verg. fig. 1).

Hieruit blijkt dus, dat de gegeven belasting opgevat kan worden als de som van een oneindige reeks der zooeven besproken

be-(Tr

2Tt

'f

Fig. 7. Belasting van den binnenrand (geval a).

lastingen Ln, zoodat, wanneer men ter afkorting P (sin nO •— nO cos n ö)

K

_{" 7 t b r i ( s i n ö — 0 c o s O ) n « { ( e u " — P , r " ) ' —n^(?u — £ ? u - y }}

stelt, de spanningsverdeeling, voor zoover deze afhankelijk is van co

de t e r m e n — E pn cos nep van (23), bepaald is door:

n=2 oo ffr = i : KnianQ""-^ + b n ? - " " ' — Cn(n — 2)£?" M = 2 — dn{n -\- 2)e~"}cos n99 (n even), 0 0 fft = r X n { — a „ g " - ^ — b n ^ - " - " + cn{n+ 2)e" n = 2 + dn{n —^ 2) ?"" } cos n 99 (n even), 0 0 T r t = i:Kn{—anQ"~^+bne~"~^ + CnnQ"—dnnQ-"}smn(p (neven). n=2

Bij deze spanningsverdeeling moet nog de spanningsverdeeling gesuperponeerd worden, die overeenstemt met den term —po in 16

de reeksontwikkeling (23). Deze is uit de theorie der dikwandige buizen bekend ^^) en bepaald door:

03 P ffr =

O-t

Que' Snrib (sin 6 — 6 cos 9) QU^ — 1

e^p __ g u ^ g - M - l

3 Jirib (sin 0 — 0 c o s 0 ) QU^ — 1

Trt = 0.

Het in d e doorsnede B optredende moment Mjj' wordt nu ge-vonden door het statisch moment van alle in deze doorsnede werkende spankrachten t.o.v. haar zwaartepunt te bepalen. M e n vindt:

M , / = Vo T^-r^fT—fiy r ^" - 1 ~-^^" + ^ - 2 • (24) _{12-T(sin0—OcosO) V l — Ou}

5. H e t b e l a s t i n g s g e v a l b.

Uit de in nr. 3 gestelde voorwaarde, dat het in doorsnede B werkende buigmoment Mjj" (zie fig, 8) zoodanig over deze doorsnede verdeeld moet zijn, dat deze doorsnede vlak blijft, volgt uit symmetrieoverwegingen, dat alle dwarsdoorsneden vlak blijven en dat van alle

dwarsdoor-sneden de spanningsverdeeling dezelf-de is. D e spanningsgroothedezelf-den zijn dus alle onafhankelijk van 99, zoodat ook de bijbehoorende spanningsfunctie F onafhankelijk van 99 is. Haar diffe-rentiaalvergelijking luidt derhalve:

\dr'

+

1 d r dr d'_F dr^' 1 dF r dr 0. De algemeene oplossing van deze

ver-gelijking is Fig. 8. Belastingsgeval b .

F = Cl -j- Calnr + Car^lnr + c^r^,

1 dF Ca , Or = --r- = 2c3 + C4 + — + 2 c i l n r , r dr r'

d^F c,

Ot = - 7 ^ = 2c3 4- 3c4 „ + 2Cilnr, dr^ r^ Trt = O.

D e in deze uitdrukkingen voorkomende integratieconstanten C2, C3 en Cl worden bepaald uit de voorwaarden

K ) r = r , = 0 .

K ) r = r „ = 0 ,

MB" = — I otrdF = — b fftrdr.

r,-Zij hebben de waarden wederom Q = -enpu = stellende : \ ri Ti / 4eu^lnQuMB" C3 = —

b{(öu^-l)^-4euMWu)^}'

{ (QU' — 1) +2{eu^\nru — ln n) }Mjj"

hrr-{iQ^'~iy~4Q^H\nouY} 2 (QU' — 1) Ms" br.^{(e/-l)''—4<(lneu)^} '

zoodat men voor Oy en fft vindt:

= _ 4 ^ B " { fefl-_l) (^h^e)-guMngu(l+g-^)}

"bri''! (eu^ - 1)2 - 4eu'' (ln e«)' } '

4MV'{ (pu^- 1) ln e-pu^ Inpu (1 - g " ^ ) }

o-t

bri^{(e„^-l)^-4euMlne«)M

O m de hoekverdraaiing V'JB" van dwarsdoorsnede B te bepalen, beschouwen wij weer twee oneindig dicht bij elkaar gelegen dwars-doorsneden 1 en 2 (zie fig. 4), welke na de vervorming in den relatieven stand 1—2' komen. Zij Su de specifieke rek van den buitensten vezel, e; d e specifieke rek van den binnensten vezel,

Ad(p

dan is h u n specifieke hoekverdraaiing co = —;— bepaald door:

dq>

CO = fiu Tu • " fit fi Tu — n

Overwegende, dat aan de binnen- en buitenrand e = - ^ is, en dat

E VB" ' . 1 —• ^ 7c co is, vinden wij voor fg" :

WB = 2 : r M B "

bri''F(eu^ — 1 — 2 o „ l n e u ) (25)

•///////////A//////////////,

- ^ . f l

6. H e t b e l a s t i n g s g e v a l c .

Uit de voorwaarde dat dwarsdoorsnede C vlak moet blijven volgt dat in alle dwarsdoorsneden een lineaire ^ spanningsverdeeling heerscht, welke wordt

be-paald door:

_ ^ P 12 M c 2 ""' ~ 2 b h bh" •

De gezochte hoekverdraaiing ipc" van dwars-doorsnede C is: 12 M c a vL^«c

J

Vo = _Fbh» (26) Fig. 9. Belastingsgeval c . 7. D e b e r e k e n i n g v a n MQ' e n Mc.

Keeren wij nu weer terug tot het oorspronkelijke geval van den kettingschalm, en substitueeren wij de in de vergelijkingen (24), (25) en (26) gevonden waarden van M ^ ' , V'B' en v'c'" in de verge-lijkingen (11) en (12), dan vinden wij voor M ^ " en M p :

M « " = — Pri^^[nq^~ 4 l n e u L — g u - ' M,

'^'•'-•"^-^'°-''r+6..-fe.--l-2,„lnJ

^ 1 — Qu~' I c — 10 / • fl fl m f . , 6 a r i ^ ( e u ' — 1 — 2 e u l n e u ) | 12:^(sin0 — 0 c o s 0 ) | 1 -\— r^ 1 .(27) (28)

8. D e b e r e k e n i n g v a n ffr, fft e n Trf

De spanningscomponenten ffr, fft en Trt worden voor het kromme gedeelte uit de superpositie van de belastingsgevallen a en b , voor het rechte gedeelte uit het belastingsgeval c gevonden.

Doordat wij bij deze berekening doorsnede B vlak gehouden hebben, zullen in deze doorsnede de in het kromme en de in het rechte gedeelte optredende totale buigmomenten, normaalkrachten en dwarskrachten w e l , de spanningsverdeelingen n i e t over-eenstemmen.

Het is mogelijk deze verschillen te corrigeeren, door in de dwars-doorsnede B, zoowel voor het rechte als voor het kromme gedeelte, geschikt gekozen evenwichtskrachtsystemen in te voeren. De spanningen welke deze krachtsystemen opwekken zullen echter slechts in de omgeving van dwarsdoorsnede B van merkbare grootte zijn, zoodat ook zonder deze correctie de spanningsver-deeling op eenigen afstand van deze doorsnede als voldoende nauwkeurig beschouwd kan worden.

9. D e b e r e k e n i n g v a n ^'i, Qi e n ft.

Noemt men de grootste van de beide in een punt optredende hoofdspanningen Q, (waarvan in fig. 10 de richting 1 is aangegeven), de kleinste dier spanningen ^2 (met richting 2) en den door de tangentieele richting t en richting 1 ingesloten hoek ft, — waarbij ft vanaf t tegen de draairichting van het uurwerk in te meten is — dan gelden de betrekkingen:

Or + O: | / / f f r — O t \* 2 + r ( - 2 ) + ' " ' • ' ' ' ^^"^^ Or + ff' '\/fOy—-fft\2

02= -^2 " 1 ( 2 ) +'^'' ' ^^^^

/ / „ . . _ C T j \ a ffr— fft

I/l":

Trt 2 2 20

welke het gemakkelijkst aan den spanningscirkel van M O H R ontleend worden. De constructie van dezen cirkel is in fig. 11 aangegeven.

Fig. 10. Richtingen van Fig. 11.

de hoofdspanningen. Cirkel van MOHR voor de spanningen.

10. U i t k o m s t e n v a n Mjj', Mj/', Mc, Oy, at, Tyt, g,, g^,

(QI +92), (Qi—Qi) e n ft.

Vult men in vergelijking (24), (27) en (28) de maten en de be-lasting van het standaardmodel (zie fig. 1) in, en neemt men in overeenstemming met hetgeen bij de later te bespreken optische proeven werd waargenomen aan, dat de opkgdruk zich over 9° van den binnenomtrek verdeelt, zoodat de in fig. 6 met O aange-duide hoek 4,5° is, dan vindt men:

Ms' = 1444 kg/cm, Ms" = —409 kg/cm,

M e = 1035 kg/cm.

De hiermee overeenkomende waarden van ffr, fft, Trt, P, Qi en ga zijn voor eenige dwarsdoorsneden in de tabellen II t / m V I I aan-gegeven. D e hierin vervatte resultaten zijn, ter vergelijking met de op andere wijze verkregen uitkomsten, in de grafieken 4 t / m 11 verwerkt, naar welke reeds te dezer plaatse verwezen moge worden; de grafieken 9 en 10 geven het verloop van (pi -j- pa) en (QI — p,) weer.

Tabel II. ffr (kg/cm'') voor het standaardmodel (volgens AIRY). 99 = 0 93 = 15° 99 = 30° ip = 45° 99 = 60° 97 = 75° 99 = 90° x=4,2cmt/mx=0 r=4,2 cm —2274 0 0 0 0 0 0 0 T=5,0 cm —756 — 1 0 4 — 15 + 8 + 23 + 34 + 37 0 r=5,8 cm —384 —153 — 31 + 3 + 22 + 35 + 40 0 T=6,6 cm —230 —129 — 37 — 2 + 16 + 28 + 32 0 r=7,4 cm —139 — 91 — 35 — 6 + 11 + 19 + 23 0 r=8,2 cm — 7 8 — 5 6 — 2 4 — 6 + 5 + 11 + 14 0 r=9,0 cm — 3 3 — 2 5 — 1 3 — 4 + 1 + 5 + 6 0 r=9,8 cm 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabel III. fff (kg/cm") voor het standaardmodel (volgens AIRY).

99 = 0 99 = 15° 97 = 30° 99 = 45° 9) = 60° 97 = 75° 99 = 90° x=4,2cmt/mx=0 T=4,2 cm —2552 — 221 — 77 + 99 + 253 H- 356 + 391 + 287 r=5,0 cm -178 —236 — 62 + 62 + 155 +214 + 234 +231 T=5,8 cm — 46 — 86 — 20 + 53 + 106 + 137 + 147 + 174 r=6,6 cm + 38 + 16 + 28 + 56 + 75 + 85 + 89 + 118 T=7,4 cm + 110 + 91 + 72 + 62 + 52 + 46 + 43 + 61 r=8,2 cm + 181 + 156 + 109 + 66 + 32 + 10 + 3 + 4 T=^9,0 cm +257 + 219 +141 + 66 + 10 — 24 — 35 — 52 r=9,8 cm + 335 + 280 + 170 + 68 — 10 — 61 — 79 —109

Tabel IV. Trf (kg/cm-) voor het standaardmodel (volgens AIRY).

x = 99 = 0 97 = 15° 99 = 30° 99 = 45° 99 = 60° 99 = 75° 99 = 90° =4,2 cm t/m x = 0 r=4.2 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 1 r=5.0 cm 0 —150 — 90 — 76 — 57 — 30 0 0 r=5,8 cm 0 —152 —122 — 98 — 70 — 36 0 0 r=6,6 cm 0 —117 —117 — 94 — 65 — 34 0 0 r=7.4 cm 0 —85 —96 —78 —54 —27 0 0 r=8,2 cm 0 —57 —67 —54 —37 —19 0 0 r=9,0 cm 0 —30 —35 —28 —19 — 9 0 0 T=9,8 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 22

Tabel V. ft, h o e k v a n d e e e r s t e h o o f d s p a n n i n g s r i c h t i n g m e t d e t a n g e n t i e e l e r i c h t i n g v o o r h e t s t a n d a a r d m o d e l ( v o l g e n s A I R Y ) . x= 99 = 0 97 = 15° 99 = 30° 99 = 45° 99 = 60° 99 = 75° 99 = 90° =4,2cm t / m x = 0 r = 4 , 2 cm 90° 90° 90° 0 0 0 0 0 r = 5 , 0 cm 0 123° 128° 145° 160° 171° 0 0 r = 5 , 8 cm 0 141° 136° 142° 151° 162° 0 0 r = 6 , 6 cm 0 151° 143° 144° 147° 155° 0 0 r = 7 , 4 cm 0 159° 150° 147° 145° 148° 0 0 r = 8 , 2 cm 0 166° 157° 152° 145° 134° 90° 0 r = 9 , 0 cm 0 173° 168° 161° 142° 106° 90° 90° r = 9 , 8 cm 0 0 0 0 90° 90° 90° 90° Tabel VI. gi ( k g / c m ' ) v o o r h e t s t a n d a a r d m o d e l ( v o l g e n s A I R Y ) . 99 = 0 99 = 15° 99 = 30° 99 = 45° 99 = 60° 99 = 75° 99 = 90° x = 4 , 2 c m t / m x = 0 r = 4 , 2 cm —2274 0 0 + 99 + 253 + 3 5 6 + 391 + 287 r = 5 , 0 cm —178 — 6 + 54 + 116 + 176 + 2 1 9 + 2 3 4 + 231 T=5,8 cm — 46 + 36 + 96 + 129 + 146 + 148 + 147 + 174 r = 6 , 6 cm + 38 + 81 + 116 + 125 + 116 + 100 + 89 + 118 r = 7 , 4 cm + 110 + 125 + 128 + 113 + 89 + 62 + 43 + 61 r = 8 , 2 cm + 181 + 1 7 0 + 136 + 95 + 57 + 29 + 14 + 4 r = 9 , 0 cm + 2 5 7 + 223 + 149 + 76 + 25 + 7 + 6 0 r = 9 , 8 cm + 3 3 5 + 2 8 0 + 170 + 68 0 0 0 0 Tabel VU. g-^ (kg/cm-) v o o r h e t s t a n d a a r d m o d e l ( v o l g e n s A I R Y ) . 99 = 0 97 = 15° 99 = 30° 97 = 45° 99 = 60° 99 = 75° 99 = 90° x = 4 , 2 c m t / m x = 0 r = 4 , 2 cm —2552 — 221 — 77 0 0 0 0 0 r = 5 , 0 cm —756 —334 —132 — 46 + 2 + 29 + 37 0 r = 5 , 8 cm —384 —276 —148 — 73 — 18 + 24 + 40 0 r = 6 , 6 cm —230 —195 —126 — 71 — 26 + 12 + 32 0 r = 7 , 4 cm —139 —125 — 92 — 57 — 27 + 2 + 23 0 r = 8,2 cm —78 —70 —52 —35 —21 — 9 + 3 0 r = 9 , 0 cm —33 —29 —21 —14 —15 —27 —35 —52 r = 9 , S cm 0 0 0 0 — 10 — 61 — 79 —109

Hoofdstuk II.

Rekmetingen.

11. B e s c h r i j v i n g v a n d e m e e t i n r i c h t i n g .

Wij zullen de in hoofdstuk I uitgevoerde berekeningen in de eerste plaats toetsen aan de uitkomsten van rekmetingen, welke met behulp van rekmeters aan een ijzeren kettingschalm zijn uitgevoerd. In beginsel berusten dergelijke metingen op het bepalen van de

afstandsverandering Al van twee aan de opper-vlakte van het model op een eindigen afstand / gelegen punten. In plaats van een plaatselijken rek £ bepaalt men derhalve den gemiddelden speci-fieken rek £gem over de meetlengte l. Is de span-ningstoestand in de omgeving van het beschouwde punt voldoende homogeen, dan kan

_ Al

K '^ Cgem j

gesteld worden.

Als rekmeters gebruikten wij de volgens het systeem OKHUIZEN uitgevoerde HUGGENBERGER-rekmeters (zie fig. 12 en 14), waarvan het schema in fig. 12 is aangegeven.

De afstandsverandering Al van het punt A t. o. v. het punt B wordt door twee hefboompjes (met overbrengingsverhoudingen ^v^ en -gp ), verbon-den door het stangetje DF, circa 1200 maal vergroot op de schaal S overgebracht.

Is n de totale overbrengingsverhouding, \X) de verplaatsing op de schaal in mm, dan is

Fig. 12. Rekmeter van HUGGENB ERGER

(schema).

'^gem _ln (32)

welke, zooals reeds werd opgemerkt, in het algemeen iets zal ver-schillen van den specifieken rek CQ . welke bij het midden tusschen

A en B gelegen meetpunt M behoort. Wordt e (verg. fig. 13) in een reeks van MAC-LAURIN ontwikkeld:

^3 ^ = / ( x ) = / ( 0 ) + ^ , / ' ( 0 )

dan vindt men voor s„,

2!

r(o)+^^/"'(o)+^-,r"(o)-f..

gem • I-//2

= j/^dx=/(o)+-2,,-^,r

(0)-h 2^ - 5 ! ƒ "" (0) zoodat

•^gem •En — S, gem - / ( 0 ) = - ^ ; - j ; i " ( 0 ) + 2 „ ; 3 y r " ( 0 )

Beperkt men zich bij deze reeksontwikkeling tot het eerste lid, dan blijkt dat het verschil (egem — ^•.•)

evenredig is met de tweede afgeleide van de in fig. 13 geteekende e-lijn, en met het kwadraat van de meetlengte /. Voor het bereiken van een groote nauwkeurigheid is dus een kleine meet-lengte / vereischt. Te klein mag echter

l niet genomen worden, daar anders de verplaatsing w op de schaal en dus de gevoeligheid te zeer verkleind wordt. Wij werkten daarom met de normale meetlengte / = ca. 20 mm; alleen in de omgeving van de oplegging werd

met de kleinste uitgevoerde meetlengte / = ca. 10 mm gemeten. De nummers der gebruikte HuoGENBERGER-rekmeters zijn in tabel VIII opgenomen. Achter ieder nummer is aangegeven op

Tabel VIII. R e k m e t e r c o n s t a n t e n .

* - x

Fig. 13. Verloop van e over de meetlengte. Rekmeter-nummer 349 350 498 498 499 499 Totale overbrengings-verhouding 1160 1143 1269 1260 1269 1269 Meetlengte ( in mm 19,98 20,11 20,13 10,12 20,00 10,16 Gemeten specifieke rek lO^Ëgem 0,4315 w ' 0,4351 lu 0,3915 w 0,7783 w 0,3940 w 0,7752 w

welke schaal (zie verg. (32)) de specifieke rekken gemeten werden. Wegens de symmetrie behoefde slechts een kwart van den schalm doorgemeten te worden. In ieder meetpunt werd echter aan voor-en achterzijde van dvoor-en schalm gemetvoor-en voor-en uit elk paar overevoor-en- overeen-komstige waarden het gemiddelde bepaald.

Van zeer groot belang bij het uitvoeren van rekmetingen bleek de opstelling van de rekmeters te zijn. Aanvankelijk maakten wij gebruik van de door den leverancier bijgeleverde hulpstukken,

Fig. 14. Verbeterde opstelling van de rekmeters.

waarbij de rekmeters met een betrekkelijk groote kracht (ca. 3 kg) tegen het model moesten worden aangedrukt. Verrichtten wij nu eenige malen eenzelfde meting, dan constateerden wij zeer uiteen-loopende uitkomsten, waarvan de oorzaak gezocht moet worden in de wrijving welke tengevolge van de groote aandrukkracht in het draaipunt C (zie fig. 12) optreedt.

Wij hebben daarom gezocht naar een andere methode om den 26

rekmeter aan te drukken, waarbij de aandrukkracht bekend en bovendien zoo gering mogelijk is. In fig. 14 is een foto van deze verbeterde opstelling weergegeven; zooals men ziet, worden de

Doorsnede 1-t' Doorsnede 2-2'

Fig. 15. Toestel voor het aandrukken van den rekmeter tegen het model.

rekmeters met draden over de katrolktjes, door gewichten met een kracht van ca. 0,5 kg tegen het model gedrukt. Om het eigen gewicht van de rekmeters op te heffen, loopen de draden van de rekmeters naar de bijbehoorende katrolletjes eenigszins hellend. Een vereenvoudiging van deze opstelling is later nog bereikt, door

in de plaats der draden en gewichten een spanconstructie aan te brengen, welke met behulp van electromagneetjes aan het model is bevestigd. In fig. ] 5 is deze vereenvoudigde opstelling geteekend, in fig. 16 ziet men de werkelijke opstelling. De rekmeter R {zie fig. 15) wordt tegen het model M aangedrukt door de trekkracht van twee veeren V, welke aan één uiteinde door middel van den beugel N aan den rekmeter zijn bevestigd, aan het andere uit-einde door haakjes H met het raampje K zijn verbonden. Met de moertjes L wordt de veer-kracht op de juiste waarde inge-steld. Bovendien wordt met deze moertjes de rekmeter zuiver lood-recht op het vlak van het model M gesteld. O m , evenals dit bij de opstelling van fig. 14 geschiedde, het eigen gewicht van den rek-meter te kunnen opheffen, moet de richting van de veerkrachten instelbaar zijn. Dit is bereikt door het raampje K in een tweede raampje O verschuifbaar te ma-ken. Door middel van de dubbele magneetklosjes P (die op verschil-lende plaatsen aan het raampje O bevestigd kunnen worden) wordt het raampje O met het model M verbonden. De instelling van de richting van de veerkrachten geschiedt met behulp van het moertje Q.

In fig. 16 ziet men de opstel-ling van den kettingschalm in de trekmachine. Bij Pi en P^ is de kettingschalm M op rollen met een straal van 4 cm op-gelegd. De beugels zijn bij D en £ in de trekmachine inge-spannen. De rekmeters zijn telkens bij 1000 en 11000 kg belas-ting afgelezen. Er is met de verschillen van deze aflezingen,

Fig. 16. Opstelling voor de rekmetin-gen aan het ijzeren model.

welke dus met een belasting P ' van 10000 kg overeenstemmen, gerekend.

De afmetingen van den ijzeren kettingschalm zijn in fig. 17 aan-gegeven; de afmetingen h', R' en a' zijn het ^ - voud van de over-eenkomstige maten van het standaardmodel, de breedte b (dikte van de plaat) is 2 cm.

Gemeten werd in de dwarsdoorsneden:

(p =0, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° (of x' = 6 cm), x' = 4,5 cm,

x' =: O ( z k fig. 17). (33)

12. B e p a l i n g v a n et, £r, ^13.-, e n d e d a a r u i t af t e l e i d e n h o o f d s p a n n i n g s r i c h t i n g e n .

O m den spanningstoestand in ieder meetpunt te k e r e n kennen, werden de specifieke rekken e;, Ey en ei.,5, respectievelijk in tangen-tieele richting (a = 0), radiale richting (a = 90°) en in de richting

a = 135° gemeten (a is dus, zooals fig. 17 aangeeft, de hoek

l(/=60°

Afl^TS"

L^^='^^T^=^;

X=A,Sc,T

CxLo

tusschen de tangentieele richting t en de bedoelde meetrichting, gemeten vanaf t, en positief gerekend tegen de draaiing van het uurwerk in).

Uit de gemeten specifieke rekken kunnen in de eerste plaats de hoofdspanningsrichtingen bepaald worden.

W e noemen (zie fig. 10 en 17) /3 den hoek tusschen de tangentieele richting t en de eerste hoofdspanningsrichting 1 (d.i. de richting van de grootste hoofdspanning), «i en Cj de specifieke rekken, resp. in de eerste en tweede hoofdspanningsrichting. Voor den

E' E O " C C'

Fig. 18. Bepaling van e,^, en y,^, uit ei en E^.

specifieken rek e,,, in een richting, welke een hoek f met de eerste hoofdspanningsrichting insluit (zie fig. 18), geldt:

AA' CC' • cos ip + DD' ' sin y

GA ds

en daar

CC' = El • OC = Eids cos y , DD' = eg • OD = £2ds sin y

is, heeft men:

e,^, = El cos^ V -|- ^2 sin^ V = i («i + £3) + i («i — £2) cos 2 y . Voor den bij de beide richtingen y> eniy +-r\ behoorenden speci-fieken glijdingshoek y,,. geldt:

AA" BB"

Yn- = ri + ya = - y - + - ^ 7

ds ds

CC' • sin V' — DD' • cos v> EE' • cos ip — FF' • sin y>

1

ds ds'

Daar

is, vindt men:

EE' = El • OE = Eids' sin f, FF' — E^ • OF = E^ds' cos f

i y , . = 4(ei —£2)sin2v7.

De beide grootheden E^, en ^ y,^, kunnen met behulp van een cirkel van M O H R , die op (ej — E^) als middeliijn beschreven is, graphisch worden voorgesteld (verg. fig. 19). A a n iedere richting f is een beeldpunt B,,, toegevoegd, welks coördinaten de waarden e,,, en | y,,, hebben.

Zijn nu de specifieke rekken et = Ë„, E^ = E^ en 6135, resp. in

Fig. 19. Cirkel van MOHR voor £ en — . Fig. 20. Constructie ter bepaling van de hoofdspanningsrichtingen. richting a = O, a = 90° en a = 135°, gegeven, dan kan men met behulp van den cirkel van M O H R de hoofdspanningsrichtingen als volgt construeeren (zie fig. 20):

M e n bepaalt op de e-as de punten e^, Ey en ejgg, construeert het midden M van het segment (e^ —- £t), zet den afstand £i35-M als ordinaat bij e^ uit en bepaalt daarmede het beeldpunt B^o be-hoorende bij de radiale meetrichting a = 90°. D e cirkel van M O H R , die door het middelpunt M en één zijner punten bepaald is, kan dus getrokken worden. Hiermede zijn de beeldpunten Bj en Ba, en dus de hoofdrekken in g r o o t t e bekend. Daar bovendien Z_ B Q M B I = 2 / 3 is, zijn ook h u n r i c h t i n g e n bekend.

Uit fig. 20 volgt voor ft:

, n £t + £r 2 £135

£t — £ r + }(et — £ r ) ^ + ( £ £ + £r — 2 £,33)^

(34)

In ieder der in (33) opgesomde doorsneden werd de tangentieele rek Et gemeten in de punten: z' — — 3,0 cm, z' = — 1,5 cm,

Tabel IX.

lO'Cf. V o l l e d i g e r e s u l t a t e n van de r e k m e t i n g e n voor d e d o o r s n e d e (p — 15'

z' (cm) —3,9 —3,0 —1,5 0 + 1,5 + 3,0 + 3,9 Belas-ting 1 (kg) 1000 11000 1000 HOOG loon 1000 IIOOO 1000 11000 1000 1000 11000 1000 11000 1000 1000 11000 1000 IIOOO 1000 1000 11000 1000 11000 1000 1000 11000 1000 11000 1000 1001 11000 1000 11000 1000 V o o r z ij d rekmeter nr. 49.'-e 1 meetlengte ca 20 mm 1 lü'e=0,3915 w i 'Gemid- Af-lezing Ver- 1 delde plaat-sing ver- plaat-1 sing 1 U) 1 (mm) (mm) i (mm) 1 38,0 25,4 1-12,6 1 38,0 \ ^^'^—12,6„ 25,4 - 2,6 38,0 - 1 2 . 6 31,0 22,0 - 'J.O on 31,0 ^ ' " — 9,0„ 22,0 - ^ f 31,0 - ' J . " 9,4 7,9 - ^'^ 9,4 _^\\~^ 1,4. 8,0 ^ '^ 9,4 ^ '•+ 32,0 35 0 + '<^ 32,0 •''" 1 3,0„ 35,0 + - • " 32,0 1 -^''^ Ifi.l ' , ^ . 25;o | + < ^ • ^

18,1 + fl+ 6,9„

25.0 it ^'l 1

18.1 I+Ö.9 20,6 i 3o;o t^-^ 20,6 | + ; ' T I + 9 . 4 o 30,0 \ „'3 20,6 +^-^ 21,0 1 32:1 + '1 21,0 r ' , 1 ' , +ii,i„ 32.1 l + l l ' l

2i;o j+ii'i

lO'e vóór —4,933 —3,52, —0,56s fl,174 +2.70J +3.68„ +4,34o A c h t e r 7. ij d e rekmeter nr. 499 meetlengte ca 20 m m 10*e = 0,3940 w 1 ver-M ' ' " I plaat-'^^'"g sing [Gemid-l delde 1 ver- plaat-sing U) 10*Ê achter 1 (mm) , (mm) | (mm) 42,0 30,4

i i

,, ^ 1 —11,6 1 'f 2,0 , 1 ' ^ —11,60 —1,57„ 30,4 1 - '^ , , 42,0 1-11'^i : 1 35.0 28,2

i

- ^ • ' ' ^ ' 35,0 ''"^ — 6,S„ —2,67o 28,2 - ^ ' ^ 35,0 " ' ^ • • ' 2«.4 28.4 , "•'^ 1 28.4 ;^'° ' 0.0„ ! O.OOo 2«.4 ' n n 28,4 ' "•» 11.0 14,0 1+ 3.0 1 11,0 \ , ' " ' + 3,0„ 1-1.182 14,0 + • • " 11,0 ' + 3,0 ll^.« ' , . , ' 2 4 , 9 ' + ^ ' , KS,8 + ^ ' „ ' + 6 , 0 , ' + 2 , 3 j J 24,8. + ^.Oe

18,8 +ö'"' I

21.0 „ „ 1 30:0 1+^.0! 1 21,0 ! _ [ „ " ! + 9.O0 -H3,54j 30,0 ' t ,,'" 21,0 +•^•0, 1 1S,0 1 , , „ 1 29.0 l + ' n 18,0 ; + _ • : 1+11.0. + 4 , 3 5 j 29.1 i + ^ ^ ' ^ i 18,0 + 11.1 1

1

J Ge- mid-deld 10%, —1,75 —3,10 —0,28 -hl,18 +2,55 + 3,61 +4.35

z' = o, z' = + 1,5 cm, z' = -f 3,0 cm (voor de beteekenis van z' zie fig. 17); voorts werden de rekmeters zoo dicht mogelijk bij den binnen- en buitenrand geplaatst en, voorzoover er ruimte was om een rekmeter op te stellen, ook op den buitenkant van het model; waar dit laatste niet mogelijk was, werd «t aan den rand bepaald, door de e^-grafiek (zie de grafieken 1) naar den rand toe door te strooken.

In tabel IX zijn voor één doorsnede (93 = 15°) de volledige meet-resultaten aangegeven; de eindmeet-resultaten van alle metingen zijn in tabel X vermeld. Tabel X. 10* Et ( e i n d r e s u l t a t e n v a n d e r e k m e t i n g e n ) . 93 = 0 93 = 15° 93 = 30° (p = 45° 93 = 60° (p = 75° 93 = 90° x' = 4,5 cm x ' = 0 z ' = —3,9 cm - 1 0 , 0 9 —^,75 —1,16 + 1,38 +3,81 +5,72 +5,56 +5,04 +4,51 2 ' = —3,0 cm —1,70 —3,10 —1,06 + 0 , 9 1 +2,49 + 3,72 + 4 , 0 1 +4,02 -1-3,77 z'= —1,5 cm -f0,90 —0,28 - ^ , 1 7 +0.88 +1,45 +1,98 + 2.39 +2,59 +2.56 2' = 0 4-1,77 4-1,18 + 0,80 +0,95 +0.71 + 1,05 + 1,14 + 1,33 + 1,34 z ' = 4-1,5 cm +3.06 +2,55 + 1,65 +0,98 +0,36 +0,22 + 0,25 +0,17 +0,13 2 ' = + 3,0 cm 4-4,31 + 3 , 6 1 + 2 . 2 9 + 0 . 8 9 + 0 , 0 4 —0.46 —0.84 —0.95 —0,88 2 ' = + 3,9 cm +5,07 +4,35 +2,72 +0,90 —0,07 —0,89 —1.48 —1.59 —1.65 2 ' = + 4.0 cm + 2 , 8 1 + 1.05 —0,05 —0,83 —1,55 —1,68 —1,78

De radiale rek e^ werd gemeten in de punten z' = — 1,5 cm, z' ~ O, z' = + 1,5 cm, en zoo dicht mogelijk bij den binnen-en buitbinnen-enrand, wat bij ebinnen-en meetlbinnen-engte l "^ 2 cm neerkomt op 2' = — 2,95 cm en z' = + 2,95 cm.

In tabel XI zijn de eindresultaten opgenomen.

Tabel XI. 10* Er ( e i n d r e s u l t a t e n v a n d e r e k m e t i n g e n ) . 93 = 0 93 = 15° 9) = 30° (p = 4 5 ° 93 = 60° 93 = 75° 93 = 90° x' = 4,5 cm x' = 0 z ' = — 2 , 9 5 cm —7,65 —0,32 0,00 —0,06 —0,26 —0,42 —0,61 —0,97 —1,06 2 ' = — 1 , 5 cm —5,79 —1,98 —0,19 —0,10 —0,06 —0,02 —0,26 —0,44 —0,65 2' = 0 —3,53 —1,92 —0,62 —0,11 —0,01 +0,01 —0,04 —0,04 —0.37 2 ' = + 1 , 5 cm —2,09 —1.69 —0,78 —0,25 —0,01 +0,02 + 0 , 0 1 + 0,03 0,00 2 ' = + 2 . 9 5 cm —1,53 —1,18 —0,70 —0,25 +0,01 0,00 + 0 , 1 1 +0,15 +0,20

Bij het teekenen van de Cr-grafieken (zie de grafieken 1) werd — behalve in het punt 9? = O, 2' = — 4 , 0 cm, zie fig. 17 — voor alle randpunten £y bepaald uit de reeds gevonden randwaarde van e t, door

£t £r =

m

te stellen. Hierin is m de coëfficiënt van dwarscontractie, die afzonderlijk aan een trekstaaf van rechthoekige dwarsdoorsnede (van hetzelfde materiaal als de kettingschalm) uit e, en s^^ (d.z. resp. de specifieke rek in langs- en dwarsrichting) met rekmeters bepaald is. Daarbij werd gevonden:

m = — ^' = 3,60.

De specifieke rek £135 in de richting a = 135° werd gemeten in de punten z' = — 3,0 cm, z' = — 1,5 cm, z' = O, z' = 4- 1,5 cm, 2' = 4- 3,0 cm. De eindresultaten zijn in tabel XII vermeld. Tabel XII. 10'' £13. ( e i n d r e s u l t a t e n van de r e k m e t i n g e n ) .

93 = ü 9;' = 15 9) = 30= <p = 45-(p = 6 0 ' 93 = 75 cp = 90' x' = 4,5 cm x' = 0 2'=—3,0 cm -1 0,73 + 1,20 + 1,81 + 1,93 + 1,77 4-0,90 + 0,77 — • 2 ' = — 1 , 5 ; cm + 1,50 + 2,15 + 2,23 + 2,04 + 1,45 + 0,80 +0,70 1 z ' = 0 + 1,57 + 2,20 + 2,08 + 1,61 + 1,02 +0,51 + 0,41 2 ' = + 1 , 5 cm -rl,61 + 1,83 + 1,45 +0,96 + 0,55 +0,18 -t-o,is • 2' = - f 3,0 cm +1,69 + 1,32 +0,75 +0,18 0,00 0,00 —0,06

Daar aan den rand

Et + £r rn — 1

£i3.ó = — ; , — = —- £t 2 2m

is, kan ook het verloop van £133 voor iedere dwarsdoorsnede ge-teekend worden (zie de grafieken 1).

In de punten z' ~ — 4,0 cm, z' = — 3,0 cm, z' ~ — 1,5 cm, 2' = O, 2' = ~f 1,5 cm, 2' = -f 3,0 cm, 2' = 4- 4,0 cm werd de hoek ft bepaald, door et, e^ en ejag uit de grafieken 1 af te lezen en in de vergelijking (34) te substitueeren. Aan den rand is ft nul of 90°. In tabel X I I I vindt men de aldus verkregen uitkomsten voor ft.

Tabel XIII. ft, hoek van de eerste hoofdspanningsrichting met de tangentieele richting (volgens de rekmetingen).

x' 93 = 0 93 = 15° 93 = 30° 93 = 45° 93 = 60° 93 = 75° q} = 9 0 ° = 4,5 c m (x = 3,15 c m ) x' = X = 0 2' = —4,0 cm (r= 4,2 c m ) 0 90° 90° 0 0 0 0 0 0 z'= — 3 , 0 cm (r= 4,9 c m ) 0 120° 126° 145° 164° 176° 6° 6° 0 2' = —1,5 cm (r = 5,95 c m ) 0 144° 135° 142° 150° 167° 7° 7° 0 2' = 0 (r= 7,0 cm) 0 155° 145° 145° 145° 157° 2° 6° 0 2 ' = + 1,5 cm (r = 8,05 c m ) 0 165° 155° 149° 142° 141° 139° 161° 0 z' = +3,0 cm (r = 9,1 cm) 0 175° 169° 161° 139° 105° 97° 95° 90° 2' = + 4,0 cm (r = 9,8 c m ) 0 0 0 0 90° 90° 90° 90° 90°

De grafieken 7 geven voor de doorgemeten dwarsdoorsneden het verloop van ft weer.

13. B e p a l i n g v a n Oy, Ot en Xyt.

Uit de gevonden waarden van Et en Ey kunnen met behulp van de uit de wet van HOOKE volgende betrekkingen,

m - E / , Et\ Or =—, T £r + -en m^E ( Ey\ Ot = -^ r £f + - . Oy en fft bepaald worden.

Voor d e n elasticiteitsmodulus E werd bij de zoo juist (in nr, 12) genoemde trekproef gevonden:

E = 2,170- 10«kg/cm2.

In de randpunten 2 ' = i 4,0 cm, waar (behalve bij de oplegging) ffr = O is, werd ffj bepaald uit:

fft = F e t .

Bij de oplegging werd Oy indirect bepaald, door na afloop van de proef het gebied op te meten, waarover d e opkgdruk gewerkt had (ö = 7,6°, verg. nr. 10). Bij aanname van een parabolische

ver-deeling van den opkgdruk over dit gebied vonden wij voor de in (93 = O, 2' = — 4,0 cm) optredende spanning Oy:

Oy =r. — 4700 kg/cm^

Uit de rekmetingen bleek te zelfder plaatse (zie grafiek 1) Cf = — 0,0011 te zijn, waaruit voor fff en Ey volgde:

ffj = Eet 4- ~Gy --= — 3700 kg/cm2, m

£r =T^ior fff) = — 0 , 0 0 1 7 .

E V m /

D e spanningscomponent Ti-t in een willekeurig punt kan uit een ff-T-diagram (cirkel van M O H R , zie fig. 11) constructief of door berekening bepaald worden. Zij is gelijk aan:

Trt = i (o-r — Ot) tg 2 ft.

D e uitkomsten voor Oy, at, r^t vindt men in de tabellen XIV t / m XVI. Tabel XIV. ffr (kg/cm-) v o o r h e t i j z e r e n m o d e l . 93 = 0 cp = 15° 9^ = 30° cp = 4 5 ° 93 = 60° Cp = 75° 93 = 9 0 ' x' = 4.5 cm x' = 0 ' —4,0 cm —4700 0 0 0 0 0 0 0 0 ' z ' = — 3,0 cm —2226 —259 — 36 + 42 + 89 + 106 + 86 + 44 0 z' =^ — 1,5 cm' —1302 —487 — 71 + 28 1 + 80 1 + 120 + 95 , + 56 ! 0 2'==0 —698 —372 — 91 + 15 + 54 + 68 + 65 + 49 0 2 ' = + 1,5 cm —291 —225 — 76 + 5 + 28 + 28 + 38 4- 29 0 „ ' + 3,0 cm —75 —78 —39 — 2 + 9 + 5 + 13 + 6 0 2 ' = + 4,0 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabel XV. fff (kg/cm-) v o o r h e t i j z e r e n m o d e l . ^ = 0 93 = 15° <p = 30° 95 = 45° 9? = 60° 93 = 75° 93 = 90° x ' = 4,5 cm x' = 0 z' = —4,0 cm —3700 —1085 — 254 + 304 + 868 + 1270 + 1248 + 1117 + 1000 2 ' = —3.0 cm —988 —745 —240 + 2 0 9 + 5 6 4 + 8 1 1 + 894 4-884 + 8 2 4 z' ^^ —1,5 cm —167 —202 — 56 + 181 + 3 3 6 + 4 6 3 + 5 4 6 + 577 + 5 6 4 2 ' = 0 + 2 4 2 + 162 + 172 + 210 + 204 + 235 + 2 7 9 + 302 + 304 2 ' = + 1.5 cm + 583 + 4 8 2 + 334 + 2 0 7 + 94 + 56 + 44 + 45 + 43 2 = + 3,0 cm +914 + 772 + 4 8 7 + 186 + 20 —107 —189 —205 —217 z' --= + 4,0 cm + 1128 + 9 6 6 + 6 1 0 + 228 — 20 —197 —336 —365 —391 36

Tabel XVI. Trt (kg/cm") v o o r h e t i j z e r e n m o d e l . 93 = 0 cp = 15° 9» = 30° 9) = 45° 93 = 6 0 ° cp = 75° 9) = 90° x' = 4,5 cm x' = 0 2 ' = —4,0 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ' = —3,0 cm 0 —411 —316 —236 - 1 4 2 — 49 4- 86 + 89 0 2 ' = —1,5 cm 0 - 4 4 8 - 4 0 0 —319 —228 — 83 + 56 + 65 0 2' = 0 0 —322 —352 —279 —201 — 87 + 7 + 27 0 z ' = + 1,5 cm 0 —203 —241 —187 —129 - 6 8 — 18 — 6 0 2 ' = + 3,0 cm 0 — 75 —106 — 74 — 39 — 33 — 25 — 19 0 2 ' = -F 4,0 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14. H e r l e i d i n g v a n de m e e t r e s u l t a t e n v o o r de be-l a s t i n g en de a f m e t i n g e n v a n h e t s t a n d a a r d m o d e be-l . Om een vergelijking met de in hoofdstuk I uitgevoerde bereke-ningen mogelijk te maken, moeten de uitkomsten van Oy, fft en r^t omgerekend worden voor de maten en voor de belasting van het standaardmodel.

Dit geschiedt door deze uitkomsten te vermenigvuldigen met een factor K, welke is bepaald door:

K = P' b'^ b h' h (35)

De afmetingen b en h en de belasting P van het standaardmodel (zie fig. 1) zijn hierin voor het ijzeren model met b', h', P' aan-geduid. De belasting P', welke volgens de trekmachine 10000 kg moest bedragen, werd nauwkeuriger bepaald, door in ieder der dwarsdoorsneden (33) uit het verloop van fft en Zyt de normaal-kracht en de dwarsnormaal-kracht te berekenen. Hierbij werd voor P ' ge-vonden:

P' = 9700 kg,

zoodat volgens (35) K de volgende waarde verkrijgt:

K 1000

97ÖÖ 2

De met behulp van deze waarde verkregen uitkomsten voor Oy, at en Trt zijn voor de dwarsdoorsneden (33) aangegeven in de tabellen XVII t/m XIX en in de grafieken 4 t/m 6. Op dezelfde wijze als in nr. 9 kunnen nu de waarden van gi en g^ bepaald worden (zie verg. (29) en (30)). De waarden van ^i en ^2 zijn in de tabellen XX en XXI en in de grafieken 8 en 9 aangegeven; de hieruit direct af te leiden uitkomsten van (^i 4- ga) en (pi — ^2) zijn in de grafieken 10 en 11 uitgezet.

Tabel XVII.

ffr (kg/cm*) voor het standaardmodel (ontleend aan de rekmetingen)

93 = 0 93 = 15° cp = 30° cp = 45° cp = 60° q> = 75° 9) = 90° X = 3,15 cm X = 0 r = 4 , 2 cm —1384 0 0 0 0 0 0 0 0 r = 4,9 cm —656 — 76 — 11 + 12 + 26 + 31 + 25 + 13 0 r = 5 , 9 5 cm —384 —143 — 21 + 8 + 24 + 35 + 28 + 16 0 r = 7 , 0 cm —206 —110 — 27 + 4 + 16 + 20 + 19 + 14 0 r = 8 , 0 5 cm —86 —66 —22 + 1 + 8 + 8 + 11 + 9 0 r = 9 , l cm —22 —23 —11 — 1 + 3 + 1 + 4 + 2 0 r = 9 , 8 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabel XVIII.

fff (kg/cm'-) voor het standaardmodel (ontleend aan de rekmetingen)

9) = 0 q> = 15° cp = 30° cp = 45° cp = 60° 9) = 75° q) = 90° X = 3,15 cm x = 0 r = 4 , 2 cm —1090 — 320 — 75 + 90 + 256 + 374 + 368 + 329 + 295 r = 4 , 9 cm —289 —219 — 71 + 62 + 166 + 2 3 9 + 263 + 260 + 2 4 3 r = 5 , 9 5 cm — 49 — 59 — 16 + 53 + 99 + 136 + 161 + 170 + 166 r = 7 , 0 cm + 71 + 4 8 + 5 1 + 6 2 + 6 0 + 6 9 + 8 2 + 8 9 + 9 0 r = 8 , 0 5 cm + 172 + 142 + 98 + 61 + 28 + 16 + 13 + 13 + 13 r = 9 , l cm + 2 6 9 +227 + 143 + 55 + 6 — 31 — 56 — 60 — 64 r = 9 , 8 cm + 332 + 2 8 5 + 180 + 67 — 6 — 58 — 99 —108 - 1 1 5 38

Tabel XIX.

Xrt (kg/cm^) voor het standaardmodel (ontleend aan de rekmetingen).

(p = 0 cp = 15° cp = 30° cp = 4 5 ° 9) = 60 9? = 75° 9) = 90° X = 3,15 cm X = 0 r=4,2 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r=4,9 cm 0 —121 — 93 — 70 — 42 — 14 + 25 + 26 0 r = 5,95 cm 0 — 1 3 2 — 1 1 8 — 94 — 67 — 24 + 16 + 19 0 r=7,0 cm 0 — 95 —104 — 82 — 59 — 26 + 2 + 8 0 r=8,05 cm 0 —60 —71 —55 —38 —20 — 5 — 2 0 r=9,l cm 0 —22 —31 —22 —11 —10 — 7 — 6 0 r=9,8 cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabel XX.

Qi (kg/cm-) voor het standaardmodel (ontleend aan de rekmetingen).

93 = 0 93 = 15° cp = 30° cp = 45° 97 = 60° 93 = 75° 9, = 90° X = 3,15 c m X = 0 r=4,2 cm — 1 0 9 0 0 0 + 90 + 256 + 374 + 368 + 329 + 295 r=4,9 cm —289 — 8 + 57 + 111 + 178 + 239 + 266 + 264 + 243 r=5,95 cm — 49 + 37 + 100 + 128 + 139 + 142 + 163 + 173 + 166 r=7,0 cm + 71 + 93 + 122 + 118 + 101 + 81 + 82 + 90 + 90 r=8,05 cm + 172 + 158 + 130 + 93. + 57 + 33 4- 17 + 14 + 13 r=9,l cm +269 +229 + 150 + 63 + 16 + 4 4- 4 + 2 0 r=9,8 cm + 332 +285 + 180 + 67 0 0 0 0 0 Tabel XXI.

^2 (kg/cm^) voor het standaardmodel (ontleend aan de rekmetingen).

93 = 0 93 = 15° 93 = 30° 93 = 45° 93 = 60° 93 = 75° 9) = 90° X = 3,15 c m X = 0 r=4,2 cm — 1 3 8 4 — 320 — 75 0 0 0 0 0 0 r=4,9 cm — 6 5 6 — 2 8 8 — 1 3 8 — 37 + 15 + 30 + 22 + 10 0 r=5,95 cm — 3 8 4 —240 —136 — 66 — 16 + 30 + 26 + 14 0 r=7,0 cm —206 —155 — 98 - 5 7 — 25 + 9 + 19 + 14 0 r=8,05 cm —86 —82 —55 —32 —21 — 8 + 6 + 8 0 r=9,l cm —22 —25 —17 — 9 — 7 —34 —57 —61 —64 r=9,8 cm 0 0 0 0 — 6 — 58 — 99 —108 —115

Hoofdstuk III.

Optische en electrische spanningsmetingen.

15. I n l e i d i n g .

De optische metingen berusten op een effect, dat optreedt, wan-neer een evenwijdige bundel lineair gepolariseerd licht door een doorzichtige, in zijn vlak belaste plaat van bepaald materiaal wordt gezonden ^^) ") ^). Zij stellen ons bij een homogeen en isotroop materiaal in staat om in ieder punt:

1^. de r i c h t i n g e n van de hoofdspanningen Pi en g^,

2^. het v e r s c h i l (pi — Pa) van de hoofdspanningen te bepalen. Deze metingen worden in de nrs. 16 t/m 26 behandeld.

De electrische metingen dienen ter bepaling van de som (pi 4- pa) der hoofdspanningen.

Zooals bekend ^'), voldoet bij een vlakspanningstoestand de som (QI + Q2) dezer hoofdspanningen aan de differentiaalvergelijking

d'iQx+Q2) , g^(ei+g2) „ , , , , O x' oy'

Ook de potentiaal V van een tweedimensionaal electrisch veld voldoet aan dezelfde vergelijking "). Evenals (pi -f P2) voor het ge-heele e l a s t i s c h e gebied bepaald is, wanneer de randwaarden ervan bekend zijn, zoo is ook V over het geheele e l e c t r i s c h e gebied door de randwaarden vastgelegd. Ieder vlakspanningsvraagstuk vindt derhalve — voorzoover het althans de bepaling van (pi -f- g^) betreft — zijn analogie in een electrisch vraagstuk, waarin de potentiaal als onbekende optreedt. Daar uit de hiervóór genoemde optische proeven de randwaarden van (pi -j- P2) kunnen worden afgeleid, kunnen bij het electrisch analogon de randpotentiakn als bekend worden aangenomen, zoodat het electrische vraagstuk experimenteel neerkomt op het meten van potentialen in een me-talen plaat, die voorgeschreven randpotentiakn heeft'"). Deze electrische metingen worden in de nrs. 27 t/m 31 behandeld.

A. De optische metingen.

16. H e t o p t i s c h e f f e c t .

Wij beschouwen de in fig. 21 afgebeelde vlakke plaat van door. zichtige, homogene, isotrope stof, die in zijn vlak door een even_ wichtskrachtsysteem P i , Pa, . . . Pn belast is. O zij een wille_ keurig punt, 1 de richting van zijn grootste hoofdspanning, 2 diig^ van zijn kleinste hoofdspanning.

W o r d t deze plaat loodrecht op zijn vlak getroffen door een even-wij digen bundel monochromatisch licht, dat met behulp van een nicol — voortaan als ,,polarisator" aangeduid —• lineair gepolariseerd is, en is A de trillingsrichting van dit licht voor het punt O bij het intreden in de plaat, dan kan de uitwijking u van de lichttrilling op zeker tijdstip t voorgesteld worden door:

u = u„ cos co t.

Fig. 21. In zijn vlak belaste plaat getroffen door lineair

gepolariseerd licht. Hierin is UQ de amplitude en co de

(cirkel-) frequentie van de

licht-trilling. D e laatste grootheid hangt met de lichtsnelheid V en de golflengte A als volgt samen:

2.-tV co =

Deze trilling u kan ontbonden worden in twee componenten langs de eerste en tweede hoofdspanningsrichting, wier amplituden i^'" en Wo'^' gelijk zijn aan:

«o (I) UQ C O S a,

Uo'^' = Wo sin a.

Hierin is a de hoek tusschen de trillingsrichting A en de eerste hoofdspanningsrichting 1.

Wegens den in de plaat heerschenden spanningstoestand krijgen deze beide trillingen, die bij de intrede in de plaat in phase waren,