0240 Jak działa dźwignia jednostronna?
Wprowadzenie Przeczytaj
Symulacja interaktywna Sprawdź się
Dla nauczyciela
Czy to nie ciekawe?
Jedzenie orzechów włoskich jest zdaniem lekarzy bardzo zdrowe. Niestety, smaczna część orzecha – zwana nasieniem – ukryta jest pod zdrewniałą skorupą – łupiną. Łupina potrafi być niezwykle twarda i jeśli nie ma na niej drobnych pęknięć, to bardzo trudno rozłupać łupinę w rękach. Ale wystarczy proste urządzenie, czyli „dziadek do orzechów”, aby nawet dziecko mogło bez problemu rozłupać orzech. Jak to możliwe, skoro działanie naszych mięśni pozostało bez zmiany? Odpowiedź znajdziemy analizując działanie dźwigni jednostronnej.
Rysunek a. Dziadek do orzechów – przykład dźwigni jednostronnej [Źródło: marcelkessler z Pixabay]
Twoje cele
W tym materiale:
dowiesz się, czym jest dźwignia jednostronna,
opiszesz matematycznie pracę dźwigni jednostronnej,
przeanalizujesz praktyczne zastosowania dźwigni jednostronnej.
0240 Jak działa dźwignia jednostronna?
Przeczytaj
Warto przeczytać
Dźwignia jednostronna jest jednym z przykładów maszyn prostych. Są to urządzenia, które pozwalają na zmianę kierunku działania siły lub na zmianę jej wartości. Z dźwignią jednostronną można spotkać się na co dzień w wielu miejscach – na Rys. 1. przedstawiono różne przykłady jej zastosowań.
Rys. 1. Przykłady dźwigni jednostronnych
Dźwignia jednostronna jest to zatem maszyna prosta, składająca się z ramienia dźwigni i punktu podparcia, który zlokalizowany jest na jednym z końców tego ramienia. Przez punkt podparcia przechodzi oś obrotu ramienia. Schematycznie możemy je przedstawić tak, jak na Rys. 2.:
Rys. 2. Schematyczna budowa dźwigni jednostronnej.
Dźwignie służą do podnoszenia ciężarów. Na Rys. 3. widzimy ciężar umieszczony na ramieniu dźwigni, na który działa siła grawitacji Fg⃗. Aby podnieść ten ciężar do góry, należy przyłożyć do końca dźwigni siłę F0⃗. W przypadku dźwigni jednostronnej zarówno siła, jaką przykładamy do ramienia dźwigni, jak i ciężar, znajdują się po tej samej stronie względem punktu podparcia dźwigni (w przeciwieństwie do dźwigni dwustronnej).
Rys. 3. Ciężar umieszczony na dźwigni jednostronnej.
Patrząc na długości wektorów na Rys. 3. widzimy, że wartość wektora F0⃗ jest mniejsza niż wartość wektora Fg⃗. O ile mniejsza? Zwróćmy uwagę, że siła Fg⃗ przyłożona jest w pewnej odległości od osi obrotu dźwigni – powoduje zatem powstanie momentu siły. Aby dźwignia pozostała w równowadze, przyłożona siła F0⃗ musi mieć moment siły identyczny co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Przyjmijmy
oznaczenia jak na Rys. 4.
Rys. 4. Oznaczenia potrzebne do wyprowadzenia równania dźwigni jednostronnej.
Wtedy równowagę momentów sił zapiszemy jako:
Znak „-” oznacza w tym wypadku, że wektory momentów sił mają przeciwne zwroty. Jest to
konsekwencją tego, że wektory sił F0⃗ i Fg⃗ są przeciwnie skierowane, czyli mają przeciwny zwrot, co
zgadza się z codziennym doświadczeniem. Przyjmując, że kierunek przyłożenia sił jest prostopadły do ramienia dźwigni, po wykonaniu mnożenia wektorowego otrzymamy następującą zależność na wartość siły, którą musimy przyłożyć na końcu ramienia dźwigni:
r1Fg=r2F0 F0=r1r2Fg Wzór ten łatwo zastosować w praktyce.
Przykład 1: Jeśli ciało o ciężarze Fg umieściliśmy w połowie długości ramienia, to aby je unieść do góry musimy przyłożyć do końca dźwigni siłę Fg2. Dlaczego? Ponieważ wtedy:
F0=r1r2Fg=r22r2Fg=Fg2
Przykład 2: Jak długie musi być ramię dźwigni jednostronnej, aby unieść ciężar Fg znajdujący się w odległości r1 od punktu podparcia dźwigni, używając siły o wartości 1/10 podnoszonego ciężaru?
F0=r1r2Fg→r2=r1F0Fg=r1Fg10Fg=10r1
Warto się zastanowić, czy nie jest łamana zasada zachowania energii, gdy korzystamy z dźwigni – skoro jesteśmy w stanie unieść ten sam ciężar używając mniejszej siły? Oczywiście, nie łamiemy zasady zachowania energii – należy przypomnieć, że zmiana energii ciała wymaga wykonania pracy. W tym wypadku zwiększamy lub zmniejszamy energię potencjalną grawitacji ciała Epot=mgH, gdzie m to masa ciała, g to przyspieszenie ziemskie, a H to wysokość środka masy tego ciała względem wybranego poziomu odniesienia. Aby zwiększyć wysokość, na jakiej jest ciało, siła F0⃗musi wykonać pracę mgΔh, niezależnie od tego, gdzie będzie przyłożona. Rzecz w tym, że, z definicji, praca to W=Fs, gdzie F to siła, która wykonuje pracę, a s to droga przebyta przez ciało. Wzór jest słuszny, gdy kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem przesuwanego ciała. Nie ma różnicy, czy przyłożymy dużą siłę na krótkiej drodze, czy małą siłę na długiej drodze – efekt z punktu widzenia pracy i energii będzie ten sam:
W=F1s1=F2s2. Sprawdźmy, czy ta równość zachodzi w omawianym przez nas przypadku.
W przypadku dźwigni jednostronnej należy zauważyć, że długości l1 i l2, zaznaczone na Rys. 5., są długościami łuków, leżących na okręgach, których środek wyznacza punkt podparcia dźwigni.
Rys. 5. Różne długości łuków zakreślane przez środek masy oraz koniec ramienia dźwigni.
Długość tych łuków, przy tym samym kącie obrotu ramienia dźwigni, będzie różna:
l1=r1α l2=r2α
gdzie r1 i r2 to długość od punktu podparcia do – odpowiednio – miejsca, w którym znajduje się ciężar oraz do miejsca przyłożenia siły, czyli końca ramienia dźwigni. Dzieląc stronami powyższe równości otrzymamy:
l1l2=r1r2
Jednocześnie z warunku równowagi dźwigni (wynikającego z równowagi momentów sił) wiemy, że zachodzi równość:
F1r1=F2r2
Przekształcając to równanie i wykorzystując otrzymaną wcześniej równość, otrzymujemy:
F1F2=r2r1=l2l1 F1l1=F2l2
W1=W2
Zatem – zgodnie z przewidywaniami – zasada zachowania energii jest spełniona. Korzystając z dźwigni możemy zmniejszyć wartość przyłożonej siły, ale wtedy musimy wydłużyć drogę, na której ta siła działa, aby wykonać tę samą pracę, co przy przyłożeniu większej siły na krótszej drodze.
Słowniczek
maszyna prosta
(ang. simple machine) - urządzenie, które dla zrównoważenia danej siły, lub do wykonania danej pracy, używa siły inaczej skierowanej lub mniejszej na zasadzie równości pracy: praca siły większej na
mniejszej drodze (przesunięciu) zostaje zastąpiona pracą siły mniejszej na większej drodze.
Podstawowymi maszynami prostymi są dźwignia i równia pochyła.
dźwignia dwustronna
(ang. two‑arm lever) - dźwignia dwuramienna, w której siły działają po przeciwnych stronach osi obrotu.
Symulacja interaktywna
Jak działa dźwignia jednostronna?
Poniższa symulacja interaktywna pozwoli Ci zapoznać się z zasadą działania dźwigni jednostronnej oraz z relacją między jej parametrami, a siłami działającymi w układzie.
Polecenie 1
Sprawdź, jaka musi być wartość siły w stosunku do siły ciężkości, aby podnieść ciężar zlokalizowany w 1/3 długości ramienia dźwigni. Czy stosunek ten zależy od długości ramienia dźwigni?
Polecenie 2
Znajdź zestaw parametrów symulacji taki, by siła, z jaką podnoszona jest dźwignia, była jak najmniejsza. Jaka jest wartość tej siły?
Sprawdź się
Ćwiczenie 1
Taczki pozwalają unieść i przewieźć niewielkim wysiłkiem znaczny ciężar.
Ich zasada działania opiera się na…:
kołowrocie
dźwigni dwustronnej dźwigni jednostronnej równoważni
Ćwiczenie 2
Przyjmijmy, że ciężar F znajduje się w odległości r od punktu podparcia dźwigni, długość ramienia dźwigni to r , a przyłożona na końcu ramienia dźwigni prostopadła siła to F . Równanie równowagi tej dźwigni jednostronnej ma postać:
= ( / ) ⋅ = ( / ) ⋅ = ( / ) ⋅
= /( ⋅ ) Ćwiczenie 3
większą, dwa, szesnaście, cztery, mniejszą
Jeśli ciężar umieszczony jest w ¼ długości ramienia dźwigni jednostronnej (bliżej punktu podparcia), to, aby dźwignia była w równowadze, należy przyłożyć na końcu ramienia dźwigni siłę ... razy ...
niż ciężar.
1 1
2 2
2 2 1 1
2 1 2 1
1 1 2 2
2 1 2 1
Ćwiczenie 4
W klasie przeprowadzono następujący eksperyment. Obciążnik o nieznanej masie m położono na ramieniu dźwigni jednostronnej, w odległości R =10 cm od punktu podparcia dźwigni. Całkowita długość ramienia dźwigni wynosi R =2,0 m. Na końcu ramienia znajdował się siłomierz, zamocowany na linie do uchwytu.
Kierunek zamocowania siłomierza był taki, że tworzył kąt prosty z ramieniem dźwigni. W efekcie dźwignia była w równowadze. W tym momencie zapisano odległość R i odpowiadającą jej wartość siły F przyłożonej do końca ramienia dźwigni. Procedurę powtórzono, przesuwając ciężar co 20 cm, aż do końca ramienia, a wyniki zaprezentowano na wykresie poniżej. Do wyników dopasowano prostą, której równanie pokazane jest na wykresie.
Na tej podstawie odpowiedz na pytanie: jaka była nieznana masa m obciążnika? Przyjmij w obliczeniach, że g=9,81 m/s .
Odpowiedź: ... kg
Ćwiczenie 5
W rozważanych w treści materiału przykładach zakładaliśmy, że zarówno siła ciężkości, jak i siła przyłożona na końcu ramienia dźwigni, są skierowane prostopadle do ramienia dźwigni. Jest to słuszne założenie dla małych kątów obrotu dźwigni względem pozycji poziomej. Przy większych kątach ewidentnie widać, że siła grawitacji, która skierowana jest pionowo w dół, nie jest prostopadła do ramienia dźwigni, jak na rysunku poniżej (siła ).
Wyprowadź zależność, która będzie opisywała warunek równowagi na dźwigni z uwzględnieniem faktu, że wektor tworzy z siłą kąt , który może być różny od 90°.
Uzupełnij
Ćwiczenie 6
Czy łom jest dźwignią jednostronną?
Uzupełnij
1 2
1 2
2
Ćwiczenie 7
Przyjrzyj się odpowiedzi do ćwiczenia 5.
Jeśli ramię dźwigni tworzy duży kąt z podłożem, trzeba uwzględnić fakt, że siła grawitacji nie jest prostopadła do ramienia dźwigni. Oznaczając wielkości jak na rysunku poniżej, wzór na równowagę tej dźwigni przyjmuje postać:
F2=F1r1r2sinα
Jeśli chcemy unieść ciężar korzystając z dźwigni jednostronnej, to w której sytuacji musimy przyłożyć większą siłę do końca jej ramienia?
gdy ramię dźwigni jest zbliżone do pozycji poziomej gdy ramię dźwigni jest uniesione o znaczny kąt żadna z pozostałych odpowiedzi
kąt odchylenia dźwigni nie ma znaczenia Ćwiczenie 8
Jaką siłę należy przyłożyć do końca dźwigni jednostronnej o długości r , aby była w równowadze, jeśli w połowie jej długości umieszczono ciężar o masie m = 10 kg, a kąt, pod jakim działa siła ciężkości w stosunku do ramienia, wynosi α = 30°? Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
F = ... N
2
2
Dla nauczyciela
Konspekt (scenariusz) lekcji
Imię i nazwisko autora: Dariusz Aksamit
Przedmiot: Fizyka
Temat zajęć: Jak działa dźwignia jednostronna
Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony
Podstawa programowa:
Cele kształcenia – wymagania ogólne
II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.
III. Planowanie i przeprowadzanie obserwacji lub doświadczeń oraz wnioskowanie na podstawie ich wyników.
Zakres rozszerzony
Treści nauczania – wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując się kalkulatorem;
10) przeprowadza wybrane obserwacje, pomiary i doświadczenia korzystając z ich opisów; planuje i modyfikuje ich przebieg; formułuje hipotezę i prezentuje kroki niezbędne do jej weryfikacji.
III. Mechaniki bryły sztywnej. Uczeń:
3) stosuje warunki statyki bryły sztywnej; posługuje się pojęciem momentu sił wraz z jednostką.
Kształtowane kompetencje kluczowe:
Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:
kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji, kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,
kompetencje cyfrowe,
kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.
Cele operacyjne:
Uczeń:
1. wyjaśnia budowę dźwigni jednostronnej,
2. wymienia praktyczne zastosowania dźwigni jednostronnej, 3. wyprowadza zależności matematyczne opisujące pracę dźwigni
jednostronnej.
Strategie i metody
nauczania: eksperymentalno‑obserwacyjna, praca grupowa Formy zajęć: praca indywidualna
Środki dydaktyczne: komputer z dostępem do Internetu i projektorem multimedialnym, siłomierz, obciążniki, miarka, długa deska.
Materiały pomocnicze: brak PRZEBIEG LEKCJI
Faza wprowadzająca:
Nauczyciel prezentuje temat zajęć – w ramach wprowadzenia prezentuje multimedium do niniejszego e‑materiału. Następnie dzieli klasę na dwie części. Każda z grup otrzymuje zestaw pozwalający
e‑materiału. Następnie dzieli klasę na dwie części. Każda z grup otrzymuje zestaw pozwalający skonstruować dźwignię jednostronną i zbadać jej pracę: grupa pierwsza ma za zadanie sprawdzić, jak ciężar umieszczany w różnych odległościach od punktu podparcia dźwigni wpływa na odczyty siłomierza zamocowanego do końca ramienia dźwigni; grupa druga bada wskazania siłomierza przy umieszczaniu w ustalonej odległości różnych ciężarów.
Faza realizacyjna:
Obie grupy przystępują do pracy. Jeśli uczniów jest dużo, każdą z grup można podzielić na podgrupy, wykonujące analogiczne działania. Uczniowie notują wyniki pomiarów w postaci tabel. Po skończeniu pracy przedstawiciele grup rysują na podstawie uzyskanych tabel wykres, który prezentuje
odpowiednio wskazania siłomierza w funkcji R lub m. Nauczyciel równolegle do tych działań przepisuje otrzymane przez uczniów wyniki do arkusza kalkulacyjnego i po skończeniu pracy przez uczniów prezentuje analogiczne wykresy na projektorze. Nauczyciel dopasowuje proste do
otrzymanych wyników, prezentując otrzymane równania.
Faza podsumowująca:
Nauczyciel podsumowuje wyniki, pokazując, że otrzymane zależności są spójne z wyprowadzonym w części wprowadzającej warunkiem równowagi.
Praca domowa:
Nauczyciel zadaje uczniom zadania 1‑8 z pominięciem zadania 4, które zostało zrealizowane w praktyce w trakcie lekcji.
Wskazówki metodyczne opisujące różne
zastosowania danego multimedium:
Medium może być wykorzystane przez uczniów przed lekcją lub po lekcji w celu powtórzenia i utrwalenia wiadomości.
1
