Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: A U T O M A T Y K A z. 144
2006 N r kol. 1727
M ateu sz G O R C Z Y C A , A d am JA N IA K P o lite c h n ik a W rocław ska
M I N I M A L I Z A C J A D Ł U G O Ś C I U S Z E R E G O W A N I A Z A D A Ń W J E D N O P R O C E S O R O W Y M P R O B L E M I E Z D Y N A M I C Z N Y M I M O D E L A M I T E R M I N Ó W I C H D O S T Ę P N O Ś C I
S t r e s z c z e n i e . W niniejszej p ra c y ro z p a try w a n y je s t p ro b lem m in im alizacji d ług o ści uszeregow ania z a d a ń o d ynam icznych m o d elach term in ó w d o stęp ności n a p o jed jm czy m procesorze. P rędkość zm ian y s ta n u te rm in u gotowości w danej chwili zależy o d ilości przydzielonego zasobu. Z asób je s t odnaw ial
ny, s ta ły w czasie i p odzielny w sposób ciągły, a jego ilość ograniczona.
W y k a zan o w łasność p ro b lem u i sk o nstru ow ano a lg o ry tm o pty m aln eg o roz
d z ia łu zasobu.
M A K E S P A N M I N I M I Z A T I O N O N A S I N G L E P R O C E S S O R W I T H D Y N A M I C M O D E L S O F T A S K R E L E A S E D A T E S
S u m m a r y . In th is p a p e r, we consider th e p ro b lem of m ak esp a n m in im iza
tio n on a single p rocessor w ith d y n am ic m odels of ta s k release d ates. T h e sp e e d of change of th e release d a te s ta te in every m o m en t d ep e n d s on am o u n t of allo ted resource. T h e resource is renew able, c o n sta n t, co n tinu ou sly d ivisible a n d its a m o u n t is lim ited . A p ro p e rty of th e p ro b lem is p ro ved a n d b a se d on it alg o rith m of o p tim a l resource allo ca tio n is provided.
1. W s t ę p
W p rzem yśle często m am y do czynienia z s y tu a c ją , gdzie w y stę p u je p o jed - nyczy p ro c eso r k ry ty cz n y (np. b ard zo drogi) i zależy n a m n a o p ty m aln ju n uszere- gow niu n a nim z a d a ń d la u stalo n eg o k ry te riu m . P rzy g o to w an ie z a d a n ia do wyko
n a n ia n a ty m p ro cesorze poleg a n a w y konaniu p ro c esu ob ró b k i w stęp n ej, k tórej czas za k o ń czen ia in te rp re to w a n y je s t jak o te rm in do stęp n o ści za d an ia. Szybkość lu b czas re alizacji teg o pro cesu często zależy od pew nego dodatkow ego zasobu p od zielnego w sposób ciąg ły i ograniczonego, np. paliw a, energii, gazu itd . [3].
D y n am iczn y m odel z a d a n ia (ty p u p rę d k o ść/zasó b ) zo stał w prow adzony p rzez B u rko va [1], n a to m ia s t d y nam iczny m odel te rm in u d ostępn ości w prow a
dził J a n ia k [3], R o z p atry w an y w niniejszej p ra c y p rob lem jed no proceso ro w y z
152 M. G orczyca, A. J a n ia k
d ynam icznym i te rm in a m i d ostępności z a d a ń , sform ułow any w rozdziale 2 , b a d a no d la k ry te riu m długości uszeregow ania [4] oraz zużycia zasob u [5] . W rozdziale 3 w ykazano now ą w łasność analizow anego pro b lem u , k tó r ą n a stę p n ie w rozdziale 4 w ykorzystano do sform ułow ania a lg o ry tm u o p ty m aln eg o ro z d z ia łu zasobu.
2 . S f o r m u ł o w a n i e p r o b l e m u
D any je s t zb ió r n niepodzielnych z a d a ń J — { 1 , . . . , j , . . . , n ) do w yk on an ia n a jedn}rm p rocesorze (m aszy n ie k ry ty c z n e j). C zas w ykonyw ania p j każdego za
d a n ia j 6 J je s t z góry zadany. P ro ce s p rz y g o to w an ia z a d a n ia do w yk o n an ia je s t d a n y m odelem d y nam icznym :
ż j ( t ) = = /,■(«#(«)).
gdzie X j ( t ) ozn acza s ta n p ro cesu z a d a n ia j w chwili i, Uj ( t ) oznacza ilość zaso bu p rzy d zielo n ą w chwili t do pro cesu z a d a n ia j , n a to m ia s t f j ( - ) to fu n k c ja ciąg ła, rosn ąca, w klęsła i sp e łn ia ją c a w a ru n ek f j ( 0) = 0. D la każdego z a d a n ia j 6 J d an y je s t s ta n początk o w y X j ( t — 0) = 0 oraz s ta n końcow y Xj, k tó ry m usi być osiągnięty, ab y za d an ie było gotow e do w ykonania. Z ad an ie s ta je się d o stęp n e, gdy jego p roces osiągnie swój s ta n końcowy, z a te m te rm in d ostęp no ści ty = m in { f : X j ( t ) = X j } .
Zasób je s t odnaw ialny, a jeg o g lo b aln a ilość U d o stę p n a do rozdzielenia pom iędzy procesy je s t z góry za d a n a , s ta ła w czasie i og raniczona. O znaczm y przez u ( i ) = [ u i ( f ) , . . . , U j ( t ) , . . . , u,i(i)] funkcję w ektorow ą n az y w an ą dalej r o z d z i a łe m z a s o b u, k tó ra sp e łn ia w arunki:
• uj { t ) > j = 1, - ■. , n je s t p rz e d z ia ła m i ciągle, . Uj ( t ) < U ,
• rj , j = 1 , . . . , n je s t skończone (p rzy czym zachodzi JQj X j ( t ) d t = ótj),
• Uj ( t ) > 0 d la t € [0, ty],
• Uj(t) — 0 d la t 6 ( —o o ,0 ) U (ty ,o o ).
Z ad a n ia są w ykonyw ane zgodnie z k olejnością tt (gdzie tt je s t p e rm u ta c ją zb io ru
-Ot SnU)
=m ax{r
7r(j)> ^Tr(j-i)}; 3
—1,
• • •, u , gdzieSj
orazCj
=Sj+pj
o zn a cza ją czas odpow iednio rozp o częcia i zako ńczen ia w ykonyw ania z a d a n ia j (oraz = 0).P ro b lem po leg a n a zn alezieniu tak iej kolejności w ykonyw ania z a d a ń t t *
oraz tak ieg o ro z d ziału zasobu u * (i), k tó re zm in im a liz u ją długość uszeregow ania Cmax — m a x { C i , . . . ,
Cn}.
R o zp atry w an y p ro b lem je s t silnie N P -tru d n y [4],M in im alizacja długości u szeregow ania z a d a ń w jed n o p ro ceso ro w y m . . . 153
3. W ł a s n o ś c i p r o b l e m u
W dalszych ro z w aża n iach w y korzy stam y n a stę p u ją c y le m a t i tw ierdzen ie, udow odnio ne odpow iednio w [2] i [4]:
L e m a t 1. [2] Dla dow olnych 0 < u \ < u 2, x \ > 0, X2 > 0, Ti > 0, T2 > 0 oraz ciągłej, w klęsłej i rosnącej fu n k c ji / (• ) spełniają cej w arunek /(O) = 0, je że li zachodzi x \ = f ( u i ) ■ T i oraz X2 = f ( u2) ■ T2, to:
(a) dla każdej liczby u[ takiej, że u i < u \ < istn ie je liczba u2 taka, że < u'2 < U2 oraz
X i + X2 = f ( u i ) • Tl + / ( u 2) - T 2 = Tl + f ( u '2) -T 2, (1) Ui • T i + U2 ■ T2 > u i • T] + u2 ■ r 2, (2)
(b) dla każd ej liczby uf2 takiej, że f ~ l ( K ) <,u'2 < u 2) istn ie je liczba u[ taka, że u i < u j < f ~ l { K ) oraz sp ełn io n e są w arunki (1) i (2).
T w i e r d z e n i e 1. [4] Dla każdego dopuszczalnego ro zdziału zasobu powodującego pew ną zm ia n ę stanów procesów zadań w przedziale czasu o n iezero w ej długości istn ie je dopuszczalny ro zdział zasobu sta ły w ty m p rzedziale czasu i pow odujący taką sa m ą zm ia n ę stanów procesów zadań.
Z tw ierd z en ia 1 w ynika, że istn ie je rozw iązanie o p ty m aln e, w k tó ry m roz
d ział zaso b u je s t stał}'' w p rz e d z ia ła c h (r n* ^ , r x» ^ +^ ] , j = l , . . . , n — 1 oraz W celu u p ro sz cze n ia oznaczeń w dalszej części a rty k u łu będ ziem y p rz y j
m ow ali, że 7r je s t n a tu ra ln ą p e rm u ta c ją zb io ru J , tj. 7r ( j ) — j , j = 1 , . . . , n . W ł a s n o ś ć 1. Dla każd ej ko lejn o ści w ykonyw an ia za d a ń 7r istn ie je o p tym a ln y roz
dział zasobu spełn ia ją cy n a stęujące w arunki:
i). R o zd zia ł zasobu je s t s ta ły w przedziałach [0, S i], ( S j , «Sj+i], j = 1 , . . . , n — 1.
H). S j C j — \ , j 2, . . . , TT.
iii)- S)}=i uj ( t ) = U dla t E [0, S i = n ] .
iv). P rzy d zia ł zasobu Uj(t) j e s t n iem a leją cy od m .om entu t — 0 do m o m e n tu S j . Dowód. W y każem y n a jp ie rw , że d la każdego ro z d ziału zasobu u (i) stałeg o w p rze
d ziała ch ( r j , r j + i], j — l , . . . , n — 1 oraz [0 ,ri] istn ie je ro zd ział zaso bu u ; (i) sp e łn ia ją c y w a ru n ek (i) i d a ją c y rozw iązanie o niegorszej w arto ści funkcji kry- te ria ln e j. D la ro z d ziału zaso b u u( f ) zachodzi S i = r i oraz
Sj
> r j , j = 2 , . . . , n . Jeśli S j = r j , j — l , . . . , n , to u ( i) = u '( i) , w przeciw n y m p rz y p a d k u weźm y k — m in {i : / £ .7, S/ > r/} . P rz y d z ia ł zasobu u(£) sk ła d a się w p rzedziale(Sk-i,Sk]
z co n ajm n iej dw óch schodków , k tó re w m yśl tw ierd z en ia 1 m ożem y w ty m p rz ed ziale z a s tą p ić s ta ły m p rz y d ziałem zasobu . P o stę p u ją c w te n sposób154 M. G orczy ca, A. Ja n ia k
z ro z d ziałem zaso b u u ( t) w p rz e d z ia ła c h (S j , S y n ] , j — k , . . . , n — 1 d la k < n o trz y m a m y ro z d ział zaso b u u '( i) .
W ykażem y te ra z , że d la każdego ro z d z ia łu zaso b u u(£) sp e łn ia ją c e g o w a
ru n e k (i) istn ie je ro z d ział zasobu u '( i ) s p e łn ia ją c y w a ru n k i (i) o raz (ii) i d a ją c y rozw iązanie o niegorszej w arto ści funkcji k ry te ria ln e j. D la ro z d z ia łu za so b u u ( i) istn ie je co n ajm n iej je d n o za d an ie j G { 2 , . . . , n } ta k ie , że S j > C j - \ . Zm odyfi
ku jm y te ra z rozw iązanie d osuw ając z a d a n ia w praw o do z a d a n ia n i o z n a cza ją c zm ienione czasy rozpoczęcia z a d a ń S j, j = 1, . . . , n (przy czym S'n = S n ). O czy
wiście, zachodzi rj < S j < S j, j = 1 , . . . , n . R ozd ział zaso b u u ( t ) je s t fu n k cją schodkow ą, p rz y czym w k ażd y m z p rzed ziałó w (S j, Sj-+1], j = 1, . . . , n — 1 oraz [0, Si] w y stęp u je co n ajm n iej je d e n schodek. W m yśl tw ierd z en ia 1 m ożem y w każ
d y m z ty ch przedziałów , w k tó ry c h w y stę p u je w ięcej niż je d e n schodek, z a stą p ić te schodki s ta ły m p rz y d ziałem zasobu , o trz y m u ją c w te n sposób ro zd ział zaso bu u '( t ) .
W dalszej części a rty k u łu d la każdego ro z d ziału zaso b u s p e łn ia ją c e g o w a
ru n k i (i) i (ii) przez X j, o raz Ujj b ęd z ie m y o znaczać odp ow iedn io zm ian ę s ta nu pro cesu z a d a n ia o raz s ta łą ilość zaso b u p rzy d zielo n ą w p rz ed ziale (Si, S i+i]
d la i = — 1 lu b [0 , SJ] d la i = 1 do j- te g o z a d a n ia , j = 1 M nożąc rów nanie ^ = f j ( u j ( t ) ) p rzez dt i c a łk u ją c o b u stro n n ie o trzy m u jem y j | !+1 d x = Jg^ 1 f j ( u j ( t ) ) d t , czyli Xj, = f j ( u j i ) ■ ( S i+i - Sj) (p o d o b n ie d la p rz e
d z ia łu [0 ,S j ] o trz y m a m y Xjo — f j ( u j o ) ■ Sq). P o p ro sty ch p rz e k sz ta łc e n ia c h do
s ta je m y Uji = / _1 (oraz p o d o b n ie u j o = f ~ l ( 9 f ) ) - W y k ażem y te ra z, że d la każdego ro z d z ia łu zasobu u (i) sp ełn iając eg o w a ru n k i (i) i (ii) is t
nieje rozd ział zaso b u u' ( f ) s p e łn ia ją c y w a ru n k i (i)- (iii) i d a ją c y rozw iązanie o niegorszej w arto ści funkcji k ry te ria ln e j. D la ro z d ziału zaso b u u ( i ) zach o d zi E " = i uj0 = ( ^ ) < U, p rz y czym fu nk cja £ ”= i / j _1(-) je s t oczyw iście ro sn ą ca. W y n ik a s tą d , że w arto ść S i m o żn a z a s tą p ić n iew iększą w a rto śc ią S j ta k ą , że E "=1 / j “1 = U ■ D osuw ając w lewo do m o m e n tu S j część ro z d z ia łu zaso bu u ( i ) d la t G (S i, Sn] o raz z a d a n ia 2 , n , do m o m e n tu C[ = S j + p \ zak o ń czen ia z a d a n ia 1, o trzy m u jem y rozw iązanie o rozd ziale zaso b u u '( i) .
W ykażem y te ra z , że d la każdego ro z d z ia łu zaso bu u ( i) sp e łn ia ją c e g o ■warun
ki (i)- (iii) i nie sp e łn ia ją c e g o w a ru n k u iv) istn ie je ro zd ział zaso b u u '( f ) s p e łn ia ją cy w aru n k i (i) - ( iv ) i d a ją c y rozw iązanie o niegorszej w arto ści funkcji k ry te ria ln e j.
W eźm y dw a sąsiednie p rz e d z ia ły czasu Tj oraz T i+ \, i = 1 , . . j — 1 ro z d z ia łu zasobu u( t ) , gdzie Ti = (S ,-_ i,S j], i = 2 or az Ti = [0 ,S i]. Załóżm y, że k sp o śró d n — i z a d a ń m a w p rz e d z ia ła c h czasu T; oraz T ,+ i m a le ją c y p rz y d z ia ł zasobu. D la u p ro sz cze n ia niech b ę d ą to z a d a n ia i + 1 , . . . , i + k. N iech k < n — i (d la k = n — i n ależy z dalszego w yw odu u su n ąć ró w n a n ia (4), (6) i (8)). O zn acz
a ł / ' / r 1(“id -m i+ /7r 1(„ji+1).|ri+i|^ . . ,m l .
m y K j i = f j M |r .[+jr .+1|--- I , j = i , . . . , n , gdzie \Ti\ je s t d łu g o ścią p rz e d z ia łu Tj. W eźm y dow olny w ek to r u j s p e łn ia ją c y w arunki:
M in im alizacja d łu gości uszeregow ania z a d a ń w jed n o p ro ceso ro w y m 155
Uji K j i , j i -f- 1 , . . . , i + k, (3)
U j i
<
U j i< Kji,
j=
i+
k+ 1, .. ., n,
(4)u'u = u a , (5)
E uj i = m in i U, u a + E K j i \ ■ (6)
j= i l j= i+ 1 J
K o rz y sta ją c z le m a tu 1 m o żn a łatw o w ykazać, że d la tak ieg o w e k to ra u ' zaw sze istn ie je w ek to r u j+1 ta k i, że rozd ział zaso b u u '( i ) pow o du je w p rz e d z ia ła c h Ti i T j+ i ta k ą s a m ą zm ian ę stan ó w z a d a ń ja k ro z d ział za so b u u(f ), p rz y czym w ektor u ':+1 s p e łn ia n a stę p u ją c e w arunki:
^‘j,i+ 1 Kj i , j 'i “b 1 , . . ■, i + A:, (7) Uj,i+1 > uj,i+i > K j i , j = i + k + l , . . . , n , (8)
Ź uj,i+i < Ź uj,i+ 1- (9)
j=i+l
P o stę p u ją c w opisan y sposób z w szy stkim i sąsied n im i p rz e d z ia ła m i za w ierający m i z a d a n ia o m alejąc y m p rz y d ziale zasobu o trz y m a m y ro zd ział zaso b u u '( i) .
□
4. A lgorytm optym alnego rozdziału zasobu
Z w łasności 1 w ynika, że d la danej kolejności 7r o p ty m aln y m ro zd ziałem zaso b u je s t ro zd ział s p e łn ia ją c y w a ru n k i (i)- (iv ) i m in im alizu ją cy w a rto ść S \.
R ów nanie J0-> x j ( t ) d t = X j , j — 1, . . . , n m o żn a d la j = 2 ,. . . , n za p isać w p o staci Xp=o x j i = x j o raz d la J = 1 m am y x \ o — x \ . K o rz y sta ją c z ty c h ró w n a ń oraz z zależności Xy=i uj o = U m ożem y zapisać:
A f —i ( % - E ;= i
I f + W \ - 1 - * r u -
Załóżm y, że p o tra fim y z pow yższego ró w n a n ia w yznaczyć an a lity c z n ie S\
w p o sta c i funkcji częściow ych rozm iarów te rm in ó w d ostępn ości z a d a ń ( w n iek tó ry ch p rz y p ad k ac h je s t to b a rd z o tru d n e i n ależy to zrobić n u m erczn ie): Si — G P ro b lem znalezien ia o p ty m aln eg o ro z d ziału zaso bu d la danej kolejności tt sp row adza się do n a stęp u ją ceg o p ro b le m u p ro g ram ow ania w ypukłego:
156 M . G orczyca, A. J a n ia k
m in Si = G ({ z j/}t=l,...,n—1\
j= i+ l,...,n )
- ] < U, i = 1, . . . , n - 1,
(
10)
(U)
j -1
j = 2, . . . , n.
(
12)
(13) (14) O g raniczenie (11) w y n ik a ze sfo rm u ło w a n ia p ro b lem u oraz z w y k o rz y sta n ia zależ
ności Si+ i — S i = pi, i = l , . . . , n — 1 w y n ik ając ej z w łasn ości 1. O g ran iczen ia (12) i (14) w y n ik ają ze sform u ło w an ia p ro b le m u , n a to m ia s t og raniczenie (13) to inaczej za p isa n y w a ru n ek (iii).
O p ty m a ln y ro z d ział zasobu d la d a n e j kolejności ir je s t w y znaczan y p rzy w y k o rz y stan iu ró w n ań u*j0 = / r 1 , j = 1 , . . . , n oraz = / ;_1 , i = l , . . . , n - 1, j — i + 1, . . . , n n a p o d s ta w ie zm ian stan ó w procesów Xj it i = 0 ,. . . , Tl 1, j = T + 1, . . . , T l, (Xj0 Xj £ j = l j 2, . . . , T l, ¿l ) ) b ęd ą cy ch rozw iązan iem p ro b lem u p ro g ra m o w a n ia w ypukłego.
5. Podsumowanie
N ow a w łasn o ść p ro b lem u w y k a zan a d la w y p u k ły ch funkcji p rę d k o ść/zasó b , często w y stęp u jąc y ch w p ra k ty c e , p o z w a la znaleźć o p ty m a ln y ro zd ział zasob u p rzez ro zw iązan ie p ro b lem u o p ty m aliz acji w y p u k łej, zn aczn ie pro stszeg o do roz
w iąz an ia niż p ro b lem o p ty m aliz acji d y n am icz n ej. W łasn o ść t a p ozw ala rów nież w prow adzić d odatkow e o g ran iczen ia do o m aw ianeg o p ro b lem u o p ty m aliz acji wy
p u k łej . A u to rz y są w tra k c ie b a d a ń p o tw ie rd z a ją c y c h sk u teczn o ść zapro p o n o w an e
go alg o ry tm u o raz sp ra w d z a n ia istn ie n ia p o d o b n e j w łasności d la m o d elu te rm in ó w d o stęp n o ści z a d a ń złożonego z części s ta łe j i dyn am iczn ej.
L IT E R A T U R A
1. B urkov V .N .: O p tim a l p ro je c t co n tro l. W : P ra c e IV K on gresu IFA C , t.35, W arszaw a 1969, p. 46-57.
2. G o rczy ca M ., Ja n ia k A.: M in im a liz a c ja poziom u zaso b u p rz y o graniczeniu n a dług ość uszeregow ania z a d a ń o m o d e la c h d yn am iczn y ch n a pro ceso rach rów noległych. Z eszyty N aukow e P o lite c h n ik i Ś ląskiej, s. A u to m a ty k a , z. 144, G liw ice 2006, s. 143-149.
M in im alizacja długości u szeregow ania z a d a ń w jed n op roceso ro w y m 157
3. Ja n ia k A.: M in im iza tio n of th e bloom in g m ill s ta n d s tills m a th e m a tic a l m odel - s u b o p tim a l alg o rith m s. M echanika AGH 8, 1989, p. 37-49.
4. Ja n ia k A.: W y b ra n e p ro b lem y i alg o ry tm y szeregow ania z a d a ń i ro z d ziału zasobów . A kadem icka O ficyna W y d aw n icza P L J , W arszaw a 1999.
5. J a n ia k A ., Słoniński, P.: M in im a liz acja sum aryczn ej ilości zuży teg o zaso b u w pro b lem ie szeregow ania z a d a ń o d y n am icznych m o d elach term in ó w d o stę p ności. Z eszyty N aukow e P o litech n ik i Śląskiej, s. A u to m a ty k a , z. 129, G liw ice 2000, s . 179-190.
R ecenzent: P rof. d r hab . inz. T adeusz C zachôrski
A bstract
T h e m ak esp a n m in im iz a tio n p ro b lem on a single pro cesso r w ith d y n am ic m odels of ta s k release d a te s is consid ered in th e p a p e r. F or each ta s k a concave fu n c tio n is given, t h a t re la te s th e speed of th e change o f releasing process s ta te a t a tim e to th e a m o u n t of co n tin u o u sly divisible re so u rce a llo tte d to th is task.
T h e reso u rce is renew able a n d its a m o u n t is given in advance. F or each ta s k th e re is also given its b eg in n in g an d its final s ta te , w hich m u st b e achieved in ord er to release th is task . T h e o b jectiv e is to find resource allo ca tio n over tim e a n d a sequence of ta sk s t h a t m inim ize th e m akespan.
A new p ro p e rty of th e p ro b lem is proved. A long w ith alre a d y proved th e orem s, th is p ro p e rty allow s us to c o n s tru c t o p tim a l re so u rce a llo c a tio n alg o rith m for a given ta s k sequence. T h e o p tim a l resource allo ca tio n is o b ta in e d b y solving a convex o p tim iz a tio n problem .
