ZESZY TY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 144
2006 N r kol. 1727
Jó ze f G RA BO W SK I, Jarosław PEM PERA Politechnika W rocław ska
M IN IM A L IZA C JA SU M Y CZASÓ W Z A K O Ń C Z E N IA R E ALIZACJI ZADAŃ W SYSTEM IE PR Z E PŁ Y W O W Y M Z O G R A N IC Z E N IE M „BEZ C Z E K A N IA ”
Streszczenie. W pracy przedstaw iono algorytm y oparte na m etodzie przeszuki
w ania zstępującego w ykorzystujące m echanizm jednoczesnego w ykonyw ania wielu ruchów elem entarnych. Z rezultatów testów obliczeniow ych przeprow adzonych na instancjach T ailarda w ynika, że zaproponow any m echa
nizm pozw ala na generow anie lepszych rozw iązań przy w ykonyw aniu znacznie mniejszej liczby iteracji przez algorytm zstępujący.
M IN IM IZIN G T O T A L C O M PL E T IO N T IM E IN NO -W AIT FLO W -SH O P SC H ED U L IN G PR O B L E M
Sum m ary. This p aper deals w ith a descending search algorithm s for the no-w ait flow-shop problem . In the algorithm s the m ultim oves are used that consist in perform ing several m oves sim ultaneously in a single iteration o f algorithm . The proposed algorithm s is em pirically evaluated on the Tailard’s benchm arks.
1. W stęp
W ostatnich latach obserw uje się duże zainteresow anie problem am i szeregow ania zadań z trudnym i kryteriam i optym alizacyjnym i, jakim i są kryteria
„sum acyjne” . Już najprostsze, dw um aszynow e problem y z kryterium m inim alizacji sum y czasów zakończenia realizacji zadań s ą problem am i N P-trudnym i [5]. Jednakże duża ilość m etod konstruow ania algorytm ów przybliżonych opartych na m etodach przeszukiw ań lokalnych pozw ala na konstruow anie algorytm ów heurystycznych, które generują dobrej jak o ści rozw iązania heurystyczne w czasie akceptow alnym przez planistów.
Spośród w ielu algorytm ów opracow anych dla problem u przepływ ow ego z ograniczeniem „bez czekania” oraz om aw ianym kryterium należy wym ienić algo
rytm y konstrukcyjne [6], algorytm y iteracyjne oparte na przeszukiw aniu genetycznym [2], m rów kow ym [7] oraz m etodzie wystawień [1], Proces obliczeniow y większości tych algorytm ów w spom agany je s t działaniem algorytm u zstępującego. Jego efektyw ność ma duże znaczenie przede w szystkim dla szybkości znajdow ania dobrej jako ści rozw iązań końcow ych. W łasności problem u pozw alające na wyliczenie
w artości funkcji celu w czasie 0 (1 ) spraw iają, że te algorytm y są w yjątkow o szybkie.
160 J- G rabow ski. J. Pcmpera
2. Sform ułow anie problem u
W problem ach przepływ ow ych n ależy w ykonać zbiór składający się z n zadań na m m aszynach. K ażde zadanie je st w ykonyw ane kolejno na m aszynach 1,2,....ni.
K ażda m aszyna m oże w ykonyw ać tylko jed n o zadanie w danej chw ili, a w ykonyw anie zadań nie m oże być przeryw ane. Zatem każde zadanie j składa się z ciągu m operacji;
¿ - t a operacja odpow iada w ykonyw aniu zadania na m aszynie k w czasie pj/>0.
W problem ach z ograniczeniem „b e z czekania” w ykonyw anie kolejno następujących po sobie operacji należących do tego sam ego zadania m usi następow ać bez zw łoki. O graniczenie to narzuca je d n a k o w ą kolejność w ykonyw ania zadań na w szystkich m aszynach [4], Zatem kolejność w ykonyw ania zadań m ożem y opisać za p om ocąperm utacji elem entów zbioru { l,...,» } .
N iech I I oznacza zbiór w szystkich p erm utacji określonych na zbiorze {1,.
W rozw ażanym problem ie należy znaleźć perm utację ^ e l l taką, że Csum (*■*) = min Csum (/r*),
/ren
gdzie Csum {jt) = C j , natom iast Cj oznacza czas zakończenia realizacji ostatniej operacji zadnia j .
N iech zadania i oraz j b ęd ą bezpośrednio po sobie następującym i zadaniam i („/
przed j ”) w pew nej kolejności w ykonyw ania zadań. W ów czas przez dfj =c, y - af - b- , gdzie C j j = max1SjSm (af - bf ), a ) = PjJ , b ) = P j_s , definiujem y m inim alne opóźnienie czasu rozpoczęcia w ykonyw ania ¿-tej operacji zadania j w zględem czasu zakończenia realizacji ¿-tej operacji zadania i w ynikające z ograniczenia „bez czekania” . O późnienie to nie zależy od kolejności w ykonyw ania zadań poprzedzających parę zadań ( i ,j) oraz zadań po niej następujących.
Dla ustalonej kolejności w ykonyw ania zadań n czasy zakończenia i / lub rozpoczęcia w ykonyw ania zadań m ożem y w yznaczyć z następującego równania rekurencyjncgo:
OtO) = 1) + drrki-łUU) + P >
gdzie d"7\0)MJ) = £ ”=j'p j,s > które następnie m ożna rozw inąć do postaci:
QtO) = + Ps(s),m) •
D alej, przyjm ując Di J = d r + Pjm , otrzym ujem y CłW) = Z L D , (s. l)Ms) oraz:
O.,,™ (tt) = Y , ) . \ C j - Sy.| S i« ] A r(*-1 **•<») = (,? + 1 - j ) ^ x ( j - \ ) * ( j ) '
3. A lgorytm y zstępujące oparte na ruchach złożonych
A lgorytm y zstępujące należą do najprostszych algorytm ów należących do klasy algorytm ów lokalnej optym alizacji. W każdej iteracji tego typu algorytm u dla pew nego rozw iązania x, zw anego rozw iązaniem bazow ym , generow any je st w sposób uporządkow any zbiór rozw iązań sąsiednich zw anych sąsiedztw em N{x). R ozw iązania
M inim alizacja sum y c z a s ó w . 161
sąsiednie po w stają z rozw iązania bazowego przez niew ielką jeg o m odyfikację, zw aną ruchem . Z sąsiedztw a w ybiera się rozw iązanie najlepsze (reguła „największej popraw y”) lub pierw sze rozwiązanie, które je s t lepsze od rozwiązania bazowego (reguła „pierw szej popraw y”). W ybrane rozw iązanie staje się rozw iązaniem bazowym w następnej iteracji algorytm u. A lgorytm kończy działanie, gdy w otoczeniu rozw iązania bazow ego nie znajdują się rozw iązania lepsze od niego.
W problem ach, w których rozw iązaniem jest perm utacja, najczęściej stosowane ze w zględu na d u żą skuteczność, są ruchy typu w staw oraz ruchy typu zamień. W obu przypadkach opisyw ane są one za pom ocą pary (xy ) pozycji w permutacji. Para v=(x,y) definiuje ruch typu w staw (Ins) w perm utacji n, który usuw a zadanie Ą x ) z pozycji x w perm utacji n, a następnie w staw ia je na pozycję y w tej perm utacji.
Sąsiedztw o generow ane przez ten typ ruchów składa się z (n-1)2 rozwiązań. Para v=(x,y) definiuje ruch typu zamień (Ich) w perm utacji n, który usuw a zadanie 7t(x) z pozycji x oraz zadanie 7t(y) z pozycji y , a następnie w staw ia zadanie z iy ) na pozycję x, natom iast zadanie Ą x ) na pozycję y . Sąsiedztwo generow ane przez ten typ ruchów składa się z n ( n - 1)/2 różnych rozwiązań. Podzbiorem ruchów typu zamień są ruchy typu zam ień sąsiednie, w których zam ianie po dlegają zadania stojące na dwóch kolejnych pozycjach w perm utacji n.
Dla problem u przepływ ow ego z ograniczeniem „bez czekania” oraz kryterium m inim alizacji czasu zakończenia realizacji w szystkich zadań m ożna ze zbioru w szystkich ruchów popraw iających w ybrać podzbiór ruchów, których jednoczesne w ykonanie spow oduje w ygenerow anie rozw iązania, dla którego poprawa wartości funkcji celu w zględem rozw iązania bazow ego rów na będzie sumie popraw uzyskiw anych przez każdy z ruchów składow ych [3]. Sposób konstruowania takiego zbioru ruchów (m ultiruchu) opiera się na zbiorze ruchów popraw iających P,Z = { v e A (^ )|C sum( ^ ) < C sum(^)}, z którego w ybiera się podzbiór ruchów nieza
leżnych, w którym dla każdej pary ruchów spełniony je st co najmniej jeden z w arunków :
O)
(2)
(3)
max(x,, y ,) +1 < max(x2, y 2 ) lub
max(x2 > f2) + 1 < rnax(x,, y\ ).
min(xl, y ,) + 1 < min(x2, y 2 ) oraz max(x,, y 2 ) +1 > max(x,, y ,) lub
min(x,,y 2) + 1 < min(x,, y ,) oraz max(x,,y\ ) + 1 > max(x2,y 2 ).
min(x,, y ,) +1 < min(x,,y,) oraz min(x2,y 2) + l < max(xl,y 1) orazmax(x2, y ,) +1 <max(x1,y 1) lub
min(x,,y2) + l < min(x,, y,) oraz min(x,,y]) + l < max(x2, y2) oraz max(x,,y, ) + l < max(x2,y 2).
M ożna pokazać, że dla rozw ażanego w pracy kryterium optym alizacyjnego Csum zbiór ruchów popraw iających, w którym dla każdej pary ruchów spełniony je st w arunek (1), m a tak ą sam ą cechę dotyczącą sum owania się popraw generowanych przez ruchy składow e.
162 J. G rabow ski, J. Pem pera
4. B adania testowe
W celu zbadania efektyw ności ruchów złożonych oprogram ow ano w języku C ++ kilka w ariantów algorytm u zstępującego opartego na regule największej popraw y. Poszczególne w ersje algorytm ów różniły się rodzajem otoczenia, Ins - w staw , Ich - zam ień, Ins& Ich - otoczenie będące sum ą otoczeń w staw i zam ień oraz zastosow anym sposobem konstruow ania m ultiruchu, DS(T1) - spełniający tylko w arunek (1), D S (T l-3 ) - spełniający jeden z w arunków (l)-(3 ), DS - bez m ultiruchu.
T est został przeprow adzony na dziew ięciu pierw szych grupach przykładów T ailarda [8]. K ażda z tych grup składa się z 10 instancji problem u przepływ ow ego.
R ozw iązania generow ane przez algorytm y porów nano z rozw iązaniem generow anym przez algorytm AA, zaczerpnięty z pracy [1], który został uruchom iony na 10 iteracji.
T estow anie algorytm ów przebiegało w dwóch etapach. Pierw szy polegał na porów naniu efektyw ności różnych w ariantów algorytm u zstępującego. Każdy z w ariantów algorytm u został uruchom iony jed en raz z rozw iązania generow anego, podobnie ja k w pracy [1], prostym algorytm em konstrukcyjnym , którego opis znajduje się rów nież w tej pracy. D rugi etap m iał na celu porów nanie najlepszego z algorytm ów DS z algorytm em AA. W tym celu każdy z testowanych algorytm ów dla każdej instancji uruchom iono 10 razy z rozw iązania wygenerow anego w sposób losowy.
D odatkow o dla każdej instancji w ygenerow ano 1000 rozwiązań losow ych - algorytm RA N D .
Dla każdego rozw iązania n w ygenerow anego przez testow ane algorytm y w yznaczono błąd w zględny w następujący sposób: fi( ;r) = 100% (C sum( j i ) - C f cf) l C Rcf, gdzie C ^ j e s t w artością funkcji Csum dla rozwiązania w ygenerow anego algorytm em AA. O czyw iście, wartość dodatnia B{x) oznacza, że rozw iązanie /r je st gorsze od rozw iązania w ygenerow anego algorytm em AA, wartość ujem na oznacza, że lepsze.
W tabelach 1, 2 i 3 przedstaw iono uśrednione wyniki badań eksperym ental
nych. W przypadku tabeli 1 i 2 uśrednienie dotyczyło w yników w obrębach grup przykładów , natom iast w przypadku tabeli 3 w obrębie zbioru rozw iązań w ygenero
w anych dla tej samej instancji (algorytm y urucham iane były w ielokrotnie z różnych rozw iązań początkow ych) oraz tak samo ja k w przypadku tabel 1 i 2.
Z prezentow anych w tabelach 1 i 2 rezultatów testu w ynika, że najlepsze rozw iązania generują algorytm y wykorzystujące otoczenie m ieszane Ins& Ich, w dalszej kolejności algorytm y oparte na otoczeniu Ins oraz zdecydow anie najgorsze algorytm y oparte na otoczeniu Ich. Porów nując algorytm y w ykorzystujące różne sposoby generow ania m ultiruchu m ożem y zauważyć, że w obrębie tego sam ego otoczenia w artości funkcji celu są porów nyw alne, jednakże biorąc pod uw agę liczbę iteracji w ykonyw anych przez algorytm (czas działania) zdecydow anie najlepszym algorytm em je s t algorytm oparty na m ultiruchach T l-3 . W ykonuje on naw et prawie 5 razy mniej iteracji niż klasyczny algoiytm DS.
M inim alizacja sum y czasów 163
Tabela 1 Uśredniony błąd względny algorytmów
Grupa DS. DS(T1) DS(T1-3)
Ins&lch Ins Ich Ins&lch Ins Ich Ins&lch Ins Ich
20x5 -0,63 1,29 2,15 -0,51 1,26 1,97 -0,85 1,07 1,94
20x10 2,27 2,61 4,31 2,21 2,71 4,40 2,43 3,46 4,35
20x20 2,22 4,80 4,48 2,10 4,76 4,51 2,13 4,22 4,24
50x5 -0,45 1,22 1,57 -0,60 1,10 1,33 -0,56 0,94 1,18
50x10 0,72 2,49 4,31 1,10 2,93 4,19 1,07 2,48 3,59
50x20 2,09 4,01 5,63 2,36 4,09 4,68 2,04 3,72 5,04
100x5 -0,74 1,08 1,60 -0,23 0,87 1,84 -0,75 1,04 1,44
100x10 0,55 2,47 3,94 0,65 2,34 3,99 0,95 2,51 4,38
100x20 2,17 3,13 5,15 1,93 2,89 5,72 1,47 3,10 4,91
Średnio 0,91 2,57 3,68 1,00 2,55 3,63 0,88 2,51 3,45
Tabela 2 Uśredniona liczba iteracji algorytmów
Grupa DS. DS(T 1) DS(T1-3)
Ins&lch Ins Ich Ins&lch Ins Ich Ins&lch Ins Ich
20x5 7 6 6 4 4 4 3 3 3
20x10 6 6 6 5 4 4 3 4 3
20x20 8 6 8 5 4 4 4 3 4
50x5 20 16 17 9 6 8 5 5 7
50x10 21 20 15 11 11 8 6 6 6
50x20 23 22 18 11 11 9 6 7 8
100x5 47 35 42 15 11 12 9 7 9
100x10 47 42 34 18 17 15 8 7 8
100x20 48 46 41 20 18 13 10 8 10
Tabela 3 Wyniki porównania różnych algorytmów
Grupa RAND AA DS(T1-3) AA+DS(T1-3)
AVE AMIN AVE AMIN AVE AMIN ITER AVE AMIN ITER
20x5 41,54 18,53 -0,34 -1,29 -0,21 -1,93 6 -1,25 -1,84 2
20x10 39,36 17,07 0,52 -0,72 1,18 -0,94 5 -0,20 -1,01 2
20x20 33,05 15,19 0,54 -0,51 1,68 -0,44 5 0,53 -0,60 2
50x5 54,14 37,39 0,12 -1,27 0,49 -1,28 5 -1,40 -2,31 1
50x10 53,87 37,95 0,08 -1,06 1,11 -0,98 6 -0,73 -1,82 1
50x20 52,33 35,66 0,12 -0,93 1,38 -0,65 6 -0,11 -1,60 0
100x5 61,26 48,85 0,45 -0,48 0,36 -0,97 6 -1,69 -2,50 1
100x10 62,52 49,02 0,01 -0,82 1,36 -0,34 5 -1,11 -2,16 1
100x20 62,28 49,17 0,52 -0,45 1,95 0,31 7 -0,37 -1.27 1
Średnio 51,15 34,31 0,22 -0,84 1,03 -0,80 -0,70 -1,68
164 J. G rabow ski. J. Pem pera
Analizując wyniki prezentow ane w tabeli 3 m ożem y zauw ażyć, że znalezienie dobrych rozw iązań w sposób przypadkow y je st bardzo trudne, naw et dla instancji o małej liczbie zadań. A lgorytm D S (T ł-3 ) startując z rozw iązań losow ych generuje rozw iązania gorsze w sensie średnim niż algorytm A A , lecz biorąc pod uw agę w artość najm niejszą z kilku uruchom ień wyniki dla obu algorytm ów są porów nyw alne.
Zdecydow anie najlepsze rezultaty osiągnięto popraw iając rozw iązanie w ygenerow ane przez algorytm A A algorytm em zstępującym D S (T l-3 ).
LITER A TU RA
1. A ldow aisan T., Allahverdi A.: N ew heuristics for m -m achine no-w ait flow shop to m inim ize total com pletion time. O m ega 32, 2004, p. 345-352.
2. Chen C.L., N eppali R.V., A ljaber N.: G enetic algorithm s applied to the continuous flow shop problem . C om puters and Industrial Engineering 30, 1996, p. 757-765.
3. G rabowski J., Pem pera J.: Some local search algorithm s for no-w ait flow-shop problem with m akespan criterion. C om puters and O perations R esearch 92, 2005, p. 2197-2212.
4. G rabow ski J., Pem pera J.: Sequencing o f jo b s in som e production system.
European Journal o f O perational R esearch 125, 2000, p. 535-550.
5. Hall N.G., Sriskandarajah C.: A survey o f m achine scheduling problem s with blocking and no-w ait in process. Operations research 44, 1996, p. 510-525.
6. Rajedran C., Chaudhuri D.: H euristic algorithm s for continuous flo w -sh op problem . Naval R esearch Logistics 37, 1996, p. 695-705.
7. Shyu S.J., Lin B.M .T., Yin P.Y.: A pplication o f ant colony optim ization for no
wait flowshop scheduling problem to m inim ize total com pletion time. C om puters and industrial engineering 47, 2004, p. 181-193.
8. Taillard E.: B enchm arks for basic scheduling instances. European Journal o f Operational Research, 64, 1993, p. 278-285.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. K onrad W ala
A bstract
This paper deals w ith a descending search algorithm s for the no-w ait flow -shop problem . In the algorithm s the m ultim oves are used that consist in perform ing several m oves sim ultaneously in a single iteration o f algorithm The proposed algorithm is em pirically evaluated on the T ailard’s benchm arks and found to be relatively m ore effective in finding better solutions in a m uch shorter tim e than classical descending search algorithm s. The proposed algorithm s can be used for the construction advanced m etaheuristics.
