Modele matematyczne i optymalizacja zagadnień sekwencyjnych w dyskretnych procesach produkcyjnych

ZESZYTY NAUKO'.'.S POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1973

S e r ia : AUTOMATYKA z . 43 N r k o l . 579

J ó z e f Grabowski

P o lite c h n ik a Wrocławska

MODELE MATEMATYCZNE I OPTYMALIZACJA ZAGADNIEŃ SEKWENCYJNYCH W DYSKRETNYCH PROCESACH PRODUKCYJNYCH

S t r e s z c z e n ie . V/ pracy przedstaw iono o p is y m atem atyczn e-dyskret- nych systemów produkcyjnych i , i c h k l a s y f i k a c j ę . Ponadto sform u ło­

wano o p ty m a liza cy jn e za g a d n ien ia sekw encyjne w dyskretnych p ro c e ­

sa c h . v -

Dyskretny system produkcyjny odznacza s i ę is t n ie n ie m o k reślon ego skończonego zb ioru zdarzeń zw iązanych ś c i ś l e z is tn ie n ie m zadania produk­

cy jn e g o . P r z e b ie g p ro cesu produkcyjnego p o le g a na kolejnym (w 3 0 n sie c z a s u ) dopusGczalnym następow aniu zdarzeń ze z b io r u . Z agadnienie optym&li z a c j i p ro cesu p o leg a na ,u s t a le n iu t a k ie j d o p u szcza ln ej k o le j n o ś c i n a s t ę ­ powania zd arzeń , aby b y ła ona optymalna w s e n s i e p r z y ję te g o kryterium e f e ty w n o śc i. Przykładem dysk retn ego system u produkcyjnego .ie s t p rz e my sł ma­

szynowy, h u tn ic z y , budowlany. Tutaj p ro ce s ch ara k tery zu je s i ę przepływem materiałóv7 i półproduktów w p o s t a c i p ojedynczych elemeutów lub ic h . p a r t i i Elementy t e są poddawane operacjom obróbki na k o lejn y ch 'sta n o w isk a ch wy­

posażonych w odpow iednie ś r o d k i, Pod p o jęciem środka n ależy rozum ieć do­

w olne u r zą d zen ie ( lu b brygadę pracowników) , k tó re zd o ln e j e s t wykonywać pewne o p e r a c je , c z y n n o śc i . P roces r e a l i z a c j i p ro d u k cji wymaga zachowa­

n ia porządku te c h n o lo g ic z n e g o wykonywania o p e r a c j i. Z agad n ien ie o p t y m a l i ­ z a c j i p o leg a na u s t a le n iu ta k ie g o p r z y d z ia łu środków do wykonania poszc zę góln ych o p e r a c ji oraz na w yznaczeniu t a k ie j k o le j n o ś c i wykonywania o p e r a ­ c j i »aby zapewnić optimum p r z y ję te g o kryterium .

’ 2 . System produkcyjny

b ę d z ie niepustym zbiorem o p e r a c j i, k tó re mają byó wykonane przy u życiu n ie p u ste g o zb io ru środków maszyn .

1 . Wstęp

N iech

Niech

E T - O X N

b ę d z ie zbiorem r e l a c j i w yrażających wymagania porządku te c h n o lo g iczn eg o wykonywania o p e r a c j i.

, 0 J . Grabowski D e fin ic ja 1.

Zadaniem produkcyjnym nazywamy g r a f bezkonturowy Z * <B, ET> .

Niech będą dane dwie n ie p u s te rodziny

•••» ^n-j| * ^P P*^* n i ’

R B ^1* ®b^| ’ Br B’ • • • !

podzbiorów R oraz B p o sia d a ją cy ch n a stę p u ją c e w ła sn o śc i 1° V j e H t 3 ! Np, e Rh ( j 6 Bp ) ] ,

■2 ° 1 |b b | > | r” | . ( 0

Z w ła sn o śc i 1° ( 1 ) wynika, że rod zin a RB zawiera w y łą czn ie podzbio xy parami ro z łą c z n e i w yczerpujące elem enty zbioru N.

D alej n iech b ęd z ie dana funkcja

‘ - *

j r i r b r h , ( 2)

która przyporządkowuje podzbiorom maszyn pewne podzbiory o p e r a c j i. W prak ty c e funkcja (2) b ę d zie oznaczać, ż e o p era cje ze zb ioru N_ 6 RB mogą

B P

być wykonywane przy pomocy podzbioru maszyn Br £ B , j e ż e l i ty lk o 31 CBr) = Np .

D e fin ic j a 2.

Okład

JP - <Z, B, E , BB, X > , ( 3 ) którego elementy spełniaj"ą wyżej wymienione z a ło ż en ie ,b ę d ziem y nazywać ogólnym systemem produkcyjnym t e c h n o lo g ic z n ie uporządkowanym lub krótko systemem ogólnym.

J e ż e l i z a ło ż y ć , ż e

B3 B ', ( 4 )

to system (3) - będziemy nazywać systemem złożonym . System złożony z o s t a ł w podobny sposób zdefiniow any i nazwanysystem em w ielokrotnym w pracy [4] . Zatem d e f in ic j a system u (3) j e s t o g ó ln ie j s z a od d e f i n i c j i system u

w ielo k r o tn e g o , W związku z _tym zagadnienie, k o lejn o ścio w e rozważane w n i ­ n ie j s z e j pracy będą o g ó ln ie j s z e n iż rr [4] oraz o g ó ln ig s z e n iż a k tu a ln ie

Modele matematyczne . . . 31 spotykane w l i t e r a t u r z e św ia to w e j.

J e ż e l i z a ło ż y ć , ż e oprócz (4) zach od zi

t o system (3) będziemy nazywać systemem podstawowym.

W sy ste m ie podstawowym funkcja X j e s t różnow artościow a, możemy zatem u tożsam iać maszyny z odpowiadającymi im podzbioram i o p e r a c ji r o -

W r

dżiny R . W związku z tym różnym

k 6

X Ck) = Hk £ R® ,

k

Bu f | Hi - 0 * k , 1 6 b , W ,

J e ż e l i system j e s t systemem złożonym , w ię c .fu n k c ja X odwzorowuje B na R®, zatem różnym maszynom mogą być przyporządkowane t e same zbiory o p e r a c j i. W związku z tym możemy dokonać p o d z ia łu zb ioru maszyn na k la ­ sy równoważności

BP = [ k £ B pTCkl = Ep j , Np £ R®. ( 6 ) Zbiór maszyn z o s t a n ie r o z b ity na skończoną i l o ś ć r o z łą czn y c h k la s BB, k tó re będziemy nazywać typami maszyn. Moc |bB | b ę d z ie oznaczać i l o ś ć maszyn danego typ u . W sy ste m ie podstawowym typy maszyn są jednoelem entow e.

W sy ste m ie ogólnym, różnym podzbiorom maszyn rodziny RB może być przyporządkowany te n sam p odzbiór c p e r a c j i rodziny R®. Zatem możemy doko­

nać p o d z ia łu rodziny podzbiorów maszyn na podrodziny

RBCV = {b* £ R® |*(B r ) = Bp) , Hp £ R® ( 7 )

przy czym będziemy z a k ła d a li, ż e

y V k £ Bp!RBCNp) ( 3 B r £ BBCHp)

k £ Br )] , Np £ H®. . ( i )

BCH )

Zgodnie z C7) w danej p o d r o d zin ie R p będą występowały t e pod­

zbiory maszyn, k tóre są przyporządkowane jednemu i temu samemu p od zb io-

jj 0

rowi o p e r a c ji Hp rodziny R . Z a ło ż e n ie 3 (1 ) orzeka, że każda maszyna ze zb ioru B n a leży do podzbioru maszyn ty lk o jed n ej podrodziny RB^ V • W p r a k ty c e , podrodzinę będziemy utożsam iać ze stanow iskiem roboczym w ie - lomaszynowym. Oznaczmy j e s z c z e moc podrodziny

32 ,____________________________________________________ J , Grabowski Dla system u zło żo n eg o , na pod staw ie ( 4 ) ■, ( 6 ) oraz ( 7 ) mamy

BCH >

R P •= Bp .

B(N >

W tym przypadku podrodzina R P B ęd zie zbiorem maszyn /podzbiorem zb ioru B / tego samego ty p u , N atom iast d la system u podstawo­

wego mamy

B O U f 1 TI

R P » k , JTCk) = up 6 B'", k £ B

oraz

I BCR), Ir p U 1

D a le j, n iech b ęd zie dana fu n k cje BCHJ •X" TI ---* Rt .

c: R“ ” 'P' X E n > B+, H £ p RK .

W artości t e j fu n k c ji c ( 3 r>j ) = c r j bodziemy nazywać czasam i wykonania o p e r a c ji j .

Warto za.uważyć, ż e d la systemu złożon ego dana op eracja może być wykonywana na różnych maszynach teg o samego typu, przy czym czasy trwa­

nia o p e r a c ji będą różne dla różnych maszyn teg o typu. D e fin ic j a ta j e s t o g ó ln ie js z a n iż w pracy [ 4 ] . Co w ię c e j zakładać będziem y, ż e dana ope­

r a c ja może być wykonana n ie przy pomo.cy jed n ej maszyny, a l e przy pomocy podzbiorów maszyn o różnych czasach wykonania o p e r a c ji o różn ej wydaj- n o śc i .

Dla systemu podstawowego mamy

cs Hp — R+ , Np € RH .

D a le j, n iech CZ U b ę d z ie zbiorem o p e r a c ji n ie p o sia d a ją c y ch poprzedników w u e n s ie porządku tec h n o lo g ic z n e g o , c z y l i

oraz n iech N^ i N b ęd zie zbiorem o p e r a c ji n ie p o sia d a ją cy ch n a s tę p n i­

ków, c z y l i

[j

£

V i £ B

<j , i >^ Ą . ■

3 . P roces produkcyjna Załóżmy, że dana j e s t funkcja

0: S --- » R X R .

Modele matematyczne . . . _____ 33

W artościam i fu n k c ji

K j ) - < t j , t j > € B X B , j 6 s j e s t uporządkowana para l i c z b r z e c z y w is ty c h ,

lic z b y t* oraz t? będziemy nazywać odpowiednio czasam i r o z p o c z ę cia oraz zakończenia o p e r a c j i.

D e f i n i c j a 3.

Funkcję (£) : I!--- > R X R odwzorowującą zb ió r o p e r a c ji K w pro­

dukt P. X R będziemy nazyv;ać procesem produkcyjnym . j e ż e l i s p e łn io n e są n a stę p u ją c e warunki:

] fcj - *j > ° j r ^ ; V Bp e eK ( 8 ) Br e rbcV

tj - *1 > 0 a , j > e r t , ( 5 )

f i - *0 > ° i e k1 , (10)

t r . - t| ^ 0 j € (1 1)

t0 , tj, t|, t 3 > 0 j £ H . (12)

^ Cj ^ A > ci s ) ^

B (11 ^

= = i > (ti " ti > ° ) V Ctf - tj > °)» Br ' Ba e R r > C 13)

Br f i Bs - Hp £ rS •

Załóżmy, ż.e F j e s t zbiorem Y/szystkich procesów ob rób k i, E iech

b ę d z ie O kreśloną fu n k cja kryterium >

f : F — > R . W artościam i f u n k c ji

34 J . Grabowski t ( 0 ) — *■ S ,

są lic z b y r z e c z y w is te . D e fin ic ja 4 .

P roces produkcyjny • 0* £ P bodziemy nazywać procesem optym al­

nym. j e ż e l i

f ( 0* ) = min i (0 ) . V ' 0 € ?

W p rak tyce głów n ie rozważa s i ę dwie k la sy k ryteriów op tym aln ości

a ) t { f ) » ^ { ° j O j ) } * b) f ( * 0 = X

j € B

g d z ie CjCb) i J G B są niema leją cy m i funkcjam i c z a s u .

J e ż e l i założymy c^Ct) = t , wtedy d la k la sy ( a ) otrzymujemy kry­

terium m in im a liz a c ji czasu trwania c a łeg o procesu produkcyjnego, t z n . b _ ,_ = b?

“ “ j c R J

Dla klasy ( b ) otrzymujemy kryterium m in im a liz a c ji sumy czasów zakończe­

n ia w sz y stk ich o p e r a c j i, tz n .

2 * 3 * 2 1 *d * j £ R

J e ż e l i założymy c.j(b ) = w^*b, wtedy d la klasy ( b ) otrzymujemy kry­

terium m in im a liz a c ji wagowej sumy czasów zakończenia o p e r a c j i, t z n .

2 * 3 ' *d = "j**? • j R

Zakładając ponadto, ż e w^ = j £ B, wtedy otrzymujemy m in im a liza cję śred n ieg o czasu zakończenia o p e r a c ji, tz n .

W przypadku, gdy dane s ą n a jp ó ź n ie js z e czasy wykonania o p e r a c ji di f wtedy zakładając c^Ct) » t - dj oraz przyjm ując = t^ -d ^ , otrzymujemy V

d la klasy ( n ) kryterium m in im a liz a c ji maksymalnego o p ó ź n ie n ia , tz n .

L„,„_ *>' max max j £ H L* j

Dla klasy b możemy otrzymać k r y te r ia )> wj *Lj lub j £ E , £ J

* - i Z H h

j £ K

Modele m a t e m a t y c z n e » . . 35

4 . Metody w y z n a c z a n i a o p tym a lny eh procesów produkcyjnych

Dla sform ułow ania zagad n ien ia o p tym alizacyjn ego zwykle przyjm uje s i ę binarną zmienną decyzyjną w p o s ta c i

1, j e ż e l i op eracja j - t a j e s t wykonywana przy u ży ciu B ^-tego podzbioru maszyn,

V

Dależy z n a le ź ć w ie lk o ś c i t z , t * , t^ , x^w m in im a lizu ją ce

t y ) ( u )

przy o g r a n ic z e n ia c h

*?-*! > Z B b r > • - V i e >p e ( « ) B._€ R w' P

t j -ii ^ 0 * <i>;!> e ^{RT * O 6)}

g - t 0 > 0 , J 6 S 1 , 0 0

v tI > ° » 1 € H?ł C18)

t 0. t j . t j , t B > ° , j e H , (19 )

(x^r = i) A ( i i s *

) - y ^ °) ^ (*--*? ^ ° ) »

Br , Bs € BBCV , Br n Ba |( 0 , Hp

e

y ~ x jw - 1 • w

Br €

36 J . Grabowski

r i v € (0,1} , \ € RBCilp! j £ Rp, s p£ e h. (2 2)

Z agadnienie op tym alizacyjn e (14) - (22) j e s t zadaniem programowa­

n ia całow arteściow ego m ieszanego z warunkiem logicznym (20) . O czyw iście warunek ten może być zastąp ion y równoważnym warunkiem an alityczn ym po­

przez wprowadzenie dodatkowych zmiennych c a ło w a rto ścio w y ch .

R ozwiązanie powyższego za g a d n ien ie może być uzyskane poprzez zastosow an ie metod grafów dysjunktywńych [1] - [3J *

LITERATURA

[ 1 J J . Grabowski, "Algorytmy o p ty m a liz a c ji i stero w a n ia w dyskretnych p rocesach produkcyjnych", Prace Saukówe I n s t . Cybern. Techn, PKr. , Sr 42, M onografie nr 7 , Wrocław 1977 r .

[ 2 ] J. Grabowski, "Form ulation and S o lu tio n o f the Sequencing Problem w ith P a r a lle l M achines", P roc. 8 - t h IPIP C onference on O ptim iza­

t io n Techniques,' Vi'Ersburg, F ed eral R ep u b lic o f Germany.

[3 3. J , Grabowski, "Sformułowanie i ro zw ią za n ie za g a d n ien ia k o le jn o ś - ciowego z równoległym wykorzystaniem maszyn", Archiwum Automatyki i T elem echaniki, Kr 1 /2 , 1978 r .

£ 4 3 Z. Jsnkowska-Zorychta, "Modele sekw encyjne i ic h za sto so w a n ie do planowania optymalnej o r g a n iz a c ji w dyskretnych p ro cesa c h produk­

cyjnych", Prace CO PAH,PWN Warszawa 1973 x .

£5]] A.H.G, Rinnooy Kon, "Machine sc h e d u lin g problem s", H.E. S te n fe r t Kroesc B.V. - 1EIDEE, 1976 r,.

\

MTEMATMECKKE MOUEJM H OIITHMAJIHSAUjIH D0CJIE30BATEIBHHX 3A.5M B J134CKPBT- HoiX UPOHBBOBCTBEHHHX HPOUECCAX

P 6 3 II li 6 1

B paóoT e npeacTaBJieHH M ojejm RHCKperaHX npoK 3B O hctb6hkhx CHCieM 2 a a a a n x KnacDHim Kansi.

SjaeTCH T o se ifopMyjmpOBKa 3an;aB onTKVimH3aiiKK nocJieflOBaTeJitHOCTeS b jzcKpeTHHX n p o y e o a x .

Modèle œ ateœatyczne M > 37

MATH3IIATICAI MODELS AND OPTIMIZATION OP SEQUENTIAL PROBLEMS IN

DISCRETE INDUSTRIAL PROCESS #

S u m m a r y

The paper p ré se n ta a c l a s s i f i c a t i o n o f m athem atical models fo r d i s c r e t e in d u s t r i a l p r o c e s s e s end the s e q u e n t ia l o p tim is a tio n prob­

lem s f o r th e se p r o c e s s e s .