Wykład IV

(1)

Wykład IV

Przypomnienie:

f( x₀+h

¿−f( x₀ f'( x₀¿=lim

h → 0¿ ¿ h¿ lub

f( x

¿−f( x₀ f'( x¿=lim

x → x0

¿ ¿ x−x0

¿

∀ α , βϵ R

[

α f ( x )+β g ( x)

]

^'⁼^{α f}^'^{( x )+ β g}^'⁽^x)

[

f ( x )∗g ( x )

]

^'^=f^'( x )∗g ( x )+ g^'( x )∗f ( x)

[

^f^g⁽⁽^x^x⁾⁾

]

^'⁼^f^'⁽^x⁾^g⁽

_[

^xg (x)⁾⁻^g^'

]

²⁽^x⁾^{f (x)}

Dowód:

[

f ( x )∗g ( x )

]

^'^=lim

h → 0

f ( x +h) g ( x+h)−g ( x ) f ( x)

h =

limh → 0f ( x+h) g ( x +h)−f ( x ) g ( x +h)+f ( x ) g (x +h )−f ( x ) g ( x )

h =lim

h→ 0

{ ^[

f ( x +h)−f ( x )

]

g ( x+h)

h +f (x )

[

g ( x+h )−g ( x )

]

h

}

⁼^f^'( x ) g ( x )+ g^'(x ) f ( x )

Twierdzenie 4.1 (o pochodnej funkcji złożonej)

f −różniczkowalna w x₀

g−różniczkowalna w y₀=f (x₀)

Z :f :U →V ; g :V →W ;U∈ ot

(

^x0

)

^;V^{∈ ot}

(

^y0

)

^{; y}0=f

(

^x0

)

T :1 °( g∘ f )−różniczkowalna w x₀ 2° ( g∘ f )^'(x₀)=g

(

^y0

)

^'^{∙ f}^'

(

^x0

)

( g∘ f )( x)=g [f ( x)]

(2)

Dowód

f (x ) f ( x+h)−g¿ ¿

g {¿

limh →0(g∘ f )

(

^x0

)

⁻⁽^g∘ f )(x0)

h =lim

h →0

¿

Uzasadnienie:

Jeżeli: ^f

(

^x0+h

)

⁼^y

To h →0 ⇒ y ⟶ y0

Inaczej

{

^f

[

u ( x )

] }

^'⁼^f^'^{(u )}^{∘ u}^'^{( x )}

u=u (x)

Przykład 4.1

g ( x)=

√

³^sin⁴^{(2 x )+5}

U₁: x → y =2 x U₂: y → z=sin ⁡( y) U₃: z → t=z⁴+5 U₄:t → p=

√

³^t

g^'( x )=

( √

³^u

⁾

^'⁼

(

u

1

3

)

^'⁼ ¹

3

√

³^sin⁴^{(2 x )+5}^∙

⁽

^sin

4(2 x )+5

)

^'⁼ ¹

3

√

³^sin⁴^{(2 x )+ 5}^{∙ 4 sin}

3(2 x )∙

[

^{sin (2 x )}

]

^'⁼ ¹

3

√

³^sin⁴^{(2 x )+5}^{∙ 4 sin}

3(2 x)∙ cos (2 x )∙ 2

Twierdzenie 4.2 (pochodna funkcji odwrotnej)

Z :U∈ot

(

^y0

)

^,V^{∈ ot}

(

^x0

)

^,

f :U →V −bijekcja

f⁻¹:V →U −funkcja odwrotnado f

(3)

f – różniczkowalna w ^y0

T :1 ° f⁻¹−różniczkowalna w x0

2°

(

f⁻¹

)

^'

(

^x0

)

⁼ ¹

f^'(y₀)⋀ y0=f⁻¹(x₀)

Przykład 4.2

y=arctg(x)

tg( y )=x∧ y ∈

⟨

^−π2

|

^π2

⟩

[

arctg ( x )

]

^'= 1

[

^{tg( y )}

]

^'⁼

1 1 cos²( y )

= cos²(y )

cos²( y )+sin²( y )= 1

1+tg²( y )∧ y =arctg ( x )

[

^arctg⁽^x⁾

]

^'⁼ ¹

1+tg²[arctg(x)]= 1 1+x²

Definicja 4.1 (różniczka)

f :U → R ;U∈ ot

(

^x0

)

x₀+h∈ U

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

⁼^{A ∙h+r (x}0,h)

¿ jeżeli

limh →0r (x0, h)

h =0¿funkcja f jest−r óż niczkowalna w punkcie x₀ i odwzorowanie h → A ∙ h nazywamy różniczką funkcjiw x0, oznaczamy przez df (x₀)

Różniczka funkcji jest to część liniowa przyrostu pod warunkiem, że nieliniowa reszta jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż h.

Czyli:

df ( x ):h → A ∙ h=df

(

^x0

)

^(h)

Twierdzenie 4.3 ( o postaci różniczki)

x (¿ ¿0)∙ h

Jeżeli f −różniczkowalna w x₀,¿∀ h ∈ R df

(

^x0

)

^(h)=f^'^¿

Wniosek:

(4)

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

^=df

(

^x0

)

(h)+h ∙ ε (h) ozn r

(

^x0, h

)

h =ε( h) f

(

^x0+h

)

^−f

(

^x0

)

^{≈ df}

(

^x0

)

^(h)

dx : h→ h− je ś li tak oznaczymy

df

(

^x0

)

⁼^f^'

(

^x0

)

^{∙ dx}⟹ df ( x )=f^'(x ) dx−r óż niczka zupe ł na

Pochodne wyższych rzędów

f :U → R , f −r óż niczkowalna na U(przedzia ł otwarty) tzn.∀ x ∈U ∃ f^'(x)

niec h x₀∈ U

Definicja 4.2

f’ – różniczkowalna w x0

f'( x₀+h

¿−f'( x₀ f^{' '}

(

^x0

)

⁼

(

f^'

)

^'

(

^x0

)

^≔lim

h → 0¿ ¿

h⟹ f^''(x)=[f^'(x)]'¿ Zakładamy istnienie f^''(x ) , f^{' '}(x ) , … f⁽ⁿ⁻¹⁾ (x)

Wówczas: f⁽ⁿ⁻¹⁾

fⁿ( x )≔¿ (x)]’

Zastosowania Z :fϵ C_[_{a , b}_], fϵ D₍_{a ,b}₎

∃_x₀_{ϵ (a ,b )}f

(

^x0

)

=max f ( x )

x∈[a , b ]∨ f

(

^x0

)

⁼^{min f (x)}

x∈[a ,b ]

Niec h f

(

^x0

)

=max f ( x) x∈[a , b]

(5)

∎ Dlah<0

f

(

x₀

)

⇒ f

(

x₀+h

)

⁻f

(

x₀

)

<0

{

^f

⁽

^x⁰⁺^{h →0}^h^h

⁾

⁻^f^−¿

⁽

^x^f⁰

⁽ ⁾

^x^>⁰^{0⟹ lim}⁺^h^h

⁾

^−f^¿

⁽

^x⁰∎ Dlah>0

⁾

^{≥ 0} h →0^−¿f

(

^x0+h

)

^−f

(

^x0

)

h ≤ 0

f

(

^x0+h

)

^−f

(

^x0

)

h <0⟹ lim

¿ ∎ z za ł .∃ lim

h → D

f ( x +h)−f ( x)

h =f^'(x₀)

f^'

(

x₀

)

=0

Twierdzenie 4.4 (Rolle’a)

Z :fϵ C_[_{a , b}_]_,fϵ D₍_{a , b}₎_,f ( a)=f (b) T :∃ c ∈( a ,b ): f^'(c )=0

1°∀ x ∈( a , b) f ( x )=const ⟹ ∀ x ∈ (a , b) :f^'(x )=0⟹ ∃c ∈ (a , b) f^'(c )=0 2° f ( x ) ≠ const⟹

[

∃c ∈( a ,b ) f (c)=max f (a)

x∈(a , b)∨ f (c )=min f (a)

x∈(a , b)

]

^{L .4 .1}^⇒ ∃ c∈ (a , b) f^'(c )=0

¿

Twierdzenie 4.5 (Cauchy’ ego)

Z :f , g∈C[a ,b ], f , g∈ D₍_{a ,b}₎_, ∀

x∈(a , b)g (x)≠ 0

T : ∃

c∈(a , b)

f (b)−f (a)

g (b)−g (a)=f^'(c ) g^'(c )

D: z załozeń ⟹[g↗∨ g ↘]⟹ g (b )≠ g(a) Φ ( x )=f (x )−f (b)−f (a)

g (b)−g(a)−[g ( x )−g (a )]→ f , g∈C_[_{a , b}_]⟹ Φ ∈ C_{[a , b]}

f , g∈ D_{(a ,b)}⟹ Φ∈ D_{(a ,b)} Φ (a )=f (a )−f (b)−f (a)

g (b)−g (a)

[

g (a)−g ( a)=f (a)

]

Φ (b )=f (b )−f ( b)−f (a)

g ( b)−g(a)

[

g (b)−g (a )=f (a)

]

Są spełnione założenia Tw. Rolle’a czyli

[

^c^{∈ (a , b)}^∃ ^Φ^'⁽^{c )=0}

]

^⟺^c^{∈(a , b )}^∃ f ( b)−f (a)

g ( b)−g(a)∙ g^'(c )=f^'(c)⇔Teza

(6)

Twierdzenie 4.6 (tw. Lagrange’a )

Z :f ∈C_[_{a ,b}_]∧ f ∈ D₍_{a , b}₎ T : ∃ c∈(a , b)

f (b )−f (a)

b−a =f^'(c)

Dowód twierdzenia jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenie Cauchy’ego dla g(x)=x

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia: ^a=x0, b=x₀+h , h>0 to z twierdzenia Lagrange’a otrzymamy:

Z: f-ciągła i różniczkowalna w U ∈ot

(

^x0

)

^x0, x₀+h∈ U

T: ∃

0<θ<1

f

(

^x0+h

)

^{−f (x}0)

h =f^'(x₀+θ h)

Twierdzenie 4.7 (del’Hospitala)

∀ Z :f , g∈ D_U, U∈ ot

(

^x0

)

^,_x_{∈ U { x}^¿

0}g ( x ) ≠0∧ g^'( x )≠ 0∃ lim

x → x0

f^'(x ) g^'(x )

{

^{x → x}^{x→ x}^lim^lim⁰⁰^{g ( x )=0}^{f ( x)=0}^∨

{

^{x → x}^{x→ x}^lim^lim⁰⁰^{g ( x )=∞}^{f ( x )=∞}

Co możemy zapisać symbolemnieoznaczonym

[

⁰⁰

]

^∨

[

^∞^∞

]

T :∃

x → xlim₀f (x) g(x ) =

x → xlim₀f^'(x ) g^'(x)

D:

([

⁰⁰

])

f,g spełniają wszystkie założenia Cauchy’ego

x→ xlim₀f (x )=0⟹ f

(

^x0

)

⁼⁰

lim

x → x0

g (x )=0⟹ g

(

^x0

)

⁼⁰

}

^⟹^{g (x)}^{f (x)}⁼^{g ( x )−g}^{f ( x )−f}

⁽ ⁽

^x^x⁰⁰

⁾ ⁾

Na podstawie Tw 4.5

[

c pomiedzy x^∃ ₀, x f ( x )

g (x )=f^'(c )

g^'(c )

] ^[

^{x → x}⁰∧c pomiędzy x , x₀

]

^{⟹ c → x}0

[

^{x→ x}^lim^{g ( x )}⁰^{f (x )}⁼^{c→ x}^lim^g⁰^'⁽^f^c)^'^{(c )}

]

^⇒^{x → x}^lim^{g ( x )}⁰^{f ( x )}⁼^{x → x}^lim^g⁰^'⁽^f^{x )}^'^{( x)}

Uwaga !

Tw. Del’Hospitala możemy stosować do granic niewłaściwych lub dla granic jednostronnych

(7)

Przykład 4.3

lim

x→ 1(1−x )tg πx 2 =

lim

x →11−x

ctgπx 2

[

⁰0

]

H¿ lim

x →1−1

−1 sin2 πx

2

∙π 2

=2 π

lim

x→ 1

(

^1−xx −1− 1

ln x

)

⁼^lim^{x →1}(x−1)ln x^{ln x−x +1}

[

⁰⁰

]

H¿

lim

x →1

1 x−1 ln x +(x −1)∙1

x

= lim

x→ 1−x +1

x ln x +x−1

[

⁰⁰

]

H¿

lim

x→ 1−1

ln x+x ∙1 x+1

=−1 2

x →0^+¿

3 ∙1 x 1 x

=3

x → 0^+¿x 3

4 +ln x

[

^∞∞

]

¿ H

lim

¿

¿ lim

¿

Wykład IV

Wykład IV

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

{ [

]

[

]

}

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

[

] }

√

√

( √

)

(

)

√

(

)

√

[

]

√

(

)

(

)

(

)

(

)

⟨

|

⟩

[

]

[

]

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_[

{ ^[

⁾

⁽

⁽

⁾

⁽

⁽ ⁾

⁾

⁽

⁾