Raczej Łatwy Sprawdzian dla Klasy 1A, 15.01.2009

Raczej Łatwy Sprawdzian dla Klasy 1A, 15.01.2009 Rozluźnij się...

Matematyka wymaga wiedzy, owszem, ale przede wszystkim spokojnego i lo- gicznego myślenia. Zacznij od zadań, które dobrze znasz - nabierzesz pewności i będziesz mieć zapewnione punkty. To wszystko (a przynajmniej większość) jest do zrobienia! Zadania dodatkowe na końcu są punktowane ekstra - maks liczony jest tylko z zadań podstawowych. Powodzenia! :)

MP 1. 3 pkt Przypomnienie:

(a) Wymień wszystkie możliwości na reszty z dzielenia przez liczbę n ∈ N.

(b) Niech a, b ∈ Z, n inN. Napisz co znaczy zapis a ≡ b (mod n).

(c) Co to znaczy, że liczby a, b ∈ Z są względnie pierwsze. Podaj przy- kład pary liczb względnie pierwszych i takich, które nie są względnie pierwsze.

2. Podaj wszystkie liczby x, które spełniają:

x ≡ 17 (mod 101).

3. Znajdź cyfrę jedności liczb: 2⁵²⁰, 3⁷¹, 9¹²³⁴⁴⁵.

4. Policz x (nieujemny, najmniejszy możliwy) w równaniach:

496 · 2173 ≡ x (mod 7), 2¹⁰⁰⁰+ 3¹⁰⁰⁰+ 5¹⁰⁰⁰≡ x (mod 9).

5. Jakie reszty modulo 9 dają kwadraty liczb całkowitych?

6. Policz resztę z dzielenia liczby 9^20082009 przez 7.

7. Pewna liczba przy dzieleniu przez 13 daje resztę 12. Jaką resztę dają jej potęgi przy dzieleniu przez 7?

8. Czy istnieją rozwiązania całkowite poniższych równań? Jeśli tak, znajdź jakieś.

(a) 11x + 3y = 1, (b) 7x + 24y = 1, (c) 15x + 21y = 1, (d) 15x + 21y = 3, (e) 15x + 21y = 5.

9. Jakie liczby x spełniają układ kongruencji:

(a) x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), (b) x ≡ 6 (mod 7), x ≡ 10 (mod 11), (c) x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 5 (mod 8),

1

(d) x ≡ 11 (mod 15), x ≡ 33 (mod 35),

(e) x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 4 (mod 5).

10. Udowodnij, że x ≡ 7 (mod 15) ⇔ x ≡ 2 (mod 5) i x ≡ 1 (mod 3).

11. Jakim (prostszym) kongruencjom jest równoważne przystawanie x ≡ 17 (mod 120)?

12. Policz: liczbę dzielników, ich sumę oraz iloczyn (opcjonalnie) liczb:

(a) 16, (b) 45,

(c) 2⁷· 5⁸⁹,

(d) 3⁷⁷· 11¹²³· 13⁶⁵· 64⁵, (e) p^a₁¹· p^a₂²· . . . p^a_nⁿ, gdzie

p₁, p₂. . . p_n - liczby pierwsze; a₁, a₂, . . . a_n - liczby naturalne.

13. Udowodnij indukcyjnie, że dla każdego n prawdziwe są wzory:

(a) 1 · 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1,

(b) (11+5¹)+(22+5²)+(33+5³)+...+(11·n+5ⁿ) = ¹₄ 22n²+ 22n + 5ⁿ⁺¹− 5
. 14. Udowodnij (indukcyjnie), że ciąg zadany równościami:

a1= 1, an+1= 3an+ 2, n = 1, 2, . . . wyraża się wzorem

bn= 2 · 3ⁿ− 1.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl www.math.uni.wroc.pl/e preisner

2