O przedstawieniach liczb pierwszych przez formy kwadratowe

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE IX (1965)

J. W

(Warszawa)

O przedstawieniach liczb pierwszych przez formy kwadratowe

A. Cunningham ([1]) dowiódł, że jeśli zachodzi równość (Dx2 — a2) {Dy2 — a2) = Dz2— a2

i oba czynniki iloezynn są liczbami pierwszymi, to czynniki te są równe, a w przypadku D = 2 , a = 1 zachodzi równość x 2 = y 2 — 4. Można to sformułować inaczej: dla dowolnych liczb naturalnych D, у i a takich, że Dy2 — a2 jest liczbą pierwszą, istnieje co najwyżej jedna liczba pierwsza p mająca przedstawienie postaci:

p — D x 2— a2 \Dz2 — a2 D y2 —a2 ’

mianowicie Uczba p = Dy 2— a2-, jeśh D = 2, a = 1, у Ф 2, to takich liczb p w ogóle nie ma.

Celem niniejszej pracy jest dowiedzenie twierdzenia, które chociaż mniej precyzyjne od wyniku Cunninghama, jest jednak znacznie ogól­

niejsze.

T

. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, |, r), m, n, spełniających warunek: amn{n^2 — mr\2) Ф 0, ilość liczb pierwszych p ma­

jących przedstawienie postaci:

(1)

V = ax2-\- &£#+ c i2

m

ay2 -f- brjy -j- crj2

n

jest skończona.

L

. Dla dowolnych liczb całkowitych D, |, rj, m, n spełniających warunek тп{п^2— тф) Ф 0, ilość liczb pierwszych p mających przedsta­

wienie postaci:

x 2 — D^2 y 2 — Dr}2

jest skończona.

20 J. W ó j c i k

D o w ó d lem a tu . Przypuśćmy, że liczb pierwszych mających przed­

stawienie (2) jest nieskończenie wiele. Ustawiając te liczby w ciąg ros­

nący otrzymujemy:

, 4, x l - в е y l - D f j 2

(3) Pk =

m n

gdzie liczby xk, yk są wyznaczone z dokładnością do znaku. Pokażemy, że można tak dobrać znaki liczb xk, yk by liczby

m

(ft = 1 , 2 , .. .) były całkowite.

W tym celu zauważmy, że (3) pociąga za sobą równość:

(nłj2 — mr)2)pk = f i y l - D r j ^ - r f i x l - D ? ) =

= i 2yl — r)2xl = (%Ук— yxk){$yk+ y x k) ‘, zatem

a stąd

Pk I {%Ук— Ч%к)Шк + уХк), Pk | 1Ук—ухк lub p k I ęyk+yXk,

gdyż p k jest liczbą pierwszą. Przez odpowiedni dobór znaku można więc sprawić, aby liczba

уяк+ёук yxk+ £ y k --- = m

p k xk—Bg

była całkowita.

Z drugiej strony, dla dostatecznie dużych fc, yk Ф 0 i z (3) otrzymu­

jemy:

k=

xkV m В

= ■ b

■Ук1 n Ук

więc

.. l x k\ 2 k=oо\У к i

<-2 m 21

> ---v Ь n

m n Mamy zatem

Um k=oo skąd

Xk - l / m , ^{И т т — ухк+ iyk 5— - —5-}

Ук V п 1 к= оо хк—В£ < |m|lim к

Ы Ш + М Xk

Ук

Ук! \Ук!

~ О,

lim

fc=oo

m yxk+ i y k

x \ - B ? = 0.

O przedstawieniach liczb pierwszych przez fo rm y Tcwadratowe 21

Ponieważ liczby

уЯк+ёУк M c o l - B f

są całkowite, dla dostatecznie dużych h muszą być równe 0, zatem

= 0 i wobec (3) n£2 — mr)2 — 0 wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

D o w ó d tw ie r d z e n ia . Mamy tożsamość

ax2 + bxi + d 2 = — [(2ахфЬ£)2- В £ 2], 4 a

gdzie В = b2— Łac.

Gdyby istniało nieskończenie wiele liczb pierwszych mających przed­

stawienie (1 ), to istniałoby też, wobec powyższej tożsamości, nieskoń­

czenie wiele liczb pierwszych mających przedstawienie

• _ u2- B i 2 __ v2-JDr)*

^ Łam

an

Ponieważ

(Łam) (Łan) (Łan ę2 — Łamrj2) = §Łabmn(nt;2— mif) ф

co jest sprzeczne z lematem, a więc niemożliwe, c.b.d.o.

Metoda dowodu twierdzenia przenosi się na przypadek, gdy liczby a, b, c, £, rj, m, n należą do ustalonego ciała kwadratowego o wyróż­

niku < 0, x, у przebiega liczby całkowite tego ciała, a (p) jest ideałem pierwszym.

Prace cytowane

[1] A . C u n n in g lia m , Sphin-Oedipe 7 (1912), str. 77-79.

J. ^W ó j c i k (Warszawa)

ON T H E R E P R E S E N T A T IO N OF PRIM ES B Y Q U A D R A TIC FORMS S U M M A R Y

The following theorem is proved:

For arbitrary integers a, b, c, rj, in, n satisfying the condition amn (w£2 — mg2) Ф Ф 0, there exist only finitely many primes p representable in the form

ax2 + b£x + c£2 ay2 + bgy + eg2 p =

where x and у are integers.

m n