20. 18. 17. 23. 19. 21. 22. 007 30.01.2015

ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr

007

^30.01.2015

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

17.

Dowieść, że liczba log₃₀150 jest niewymierna.

Zadanie

18.

n→∞lim

5n⁵+ 1

√18n¹⁸+ 1+ 5n⁵+ 2

√18n¹⁸+ 2+ 5n⁵+ 3

√18n¹⁸+ 3+ 5n⁵+ 4

√18n¹⁸+ 4+ ... + 5n⁵+ 4n⁴

√18n¹⁸+ 4n⁴

!

.

Zadanie

19.

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność n · 3n

n

!

> 6ⁿ⁻¹.

Zadanie

20.

Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬

√25n²+ 24 − 5n

√9n²+ 40 − 3n ¬ 2C .

Zadanie

21.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· (5n + 4) · (5n + 9) (3n + 5) · (3n + 8) · (3n + 11).

Zadanie

22.

Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞ X n=1

(n − 10)

· x

n

.

Zadanie

23.

Wyznaczyć wszystkie pary parametrów rzeczywistych (a, b), gdzie a < b, dla których funkcja f :_R→_R określona wzorem

f (x) =







4 dla x < a

|x²− 5| dla a ¬ x < b 4 dla b ¬ x jest ciągła.

Zadanie

24.

W każdym z zadań 24.1-24.9 podaj (w postaci uproszczonej) kresy zbioru oraz na- pisz, czy kresy należą do zbioru (napisz TAK lub NIE).

Za każde zadanie, w którym podasz bezbłędnie oba kresy i poprawnie określisz ich przynależność do zbioru, otrzymasz 1 punkt.

Za każde zadanie, w którym podasz bezbłędnie oba kresy i poprawnie określisz przyna- leżność jednego z nich do zbioru, otrzymasz 0.5 punktu.

Za poprawne rozwiązanie wszystkich dziewięciu zadań otrzymasz dziesiąty punkt.

24.1. A =

((−1)ⁿ

n²+ 1 : n ∈_N

)

Ocena ...

inf A = ... sup A = ...

Czy kres dolny należy do zbioru A ... Czy kres górny należy do zbioru A ...

24.2. B =

((−1)ⁿ

n²+ 4 : n ∈_N

)

Ocena ...

inf B = ... sup B = ...

Czy kres dolny należy do zbioru B ... Czy kres górny należy do zbioru B ...

24.3. C =

((−1)ⁿ

n²+ 9 : n ∈_N

)

Ocena ...

inf C = ... sup C = ...

Czy kres dolny należy do zbioru C ... Czy kres górny należy do zbioru C ...

24.4. D =ⁿx²: x ∈ (−10, 3)^o Ocena ...

inf D = ... sup D = ...

Czy kres dolny należy do zbioru D ... Czy kres górny należy do zbioru D ...

24.5. E =ⁿx³: x ∈ (−10, 3)^o Ocena ...

inf E = ... sup E = ...

Czy kres dolny należy do zbioru E ... Czy kres górny należy do zbioru E ...

24.6. F =ⁿx⁴: x ∈ (−10, 3)^o Ocena ...

inf F = ... sup F = ...

Czy kres dolny należy do zbioru F ... Czy kres górny należy do zbioru F ...

24.7. G =

m

n : m,n ∈_N ∧ 25n²¬ m²¬ 33n²



Ocena ...

inf G = ... sup G = ...

Czy kres dolny należy do zbioru G ... Czy kres górny należy do zbioru G ...

24.8. H =

m

n : m,n ∈_N ∧ 33n²¬ m²¬ 41n²



Ocena ...

inf H = ... sup H = ...

Czy kres dolny należy do zbioru H ... Czy kres górny należy do zbioru H ...

24.9. I =

m

n : m,n ∈N ∧ 41n²¬ m²¬ 49n²



Ocena ...

inf I = ... sup I = ...

Czy kres dolny należy do zbioru I ... Czy kres górny należy do zbioru I ...