Egzamin ze Wste,pu do matematyki – cze,´s´c 1.
28 stycznia 2009 r.
Zadanie 1.
Okre´slamy relacje, r´ownowa˙zno´sci ≡ w zbiorze X = NN w naste,puja,cy spos´ob (przyjmujemy, ˙ze N = {0, 1, 2, 3, . . .}):
f ≡ g ⇐⇒ |f [N]| = |g[N]|.
Tzn., niesko´nczone cia,gi f oraz g o wyrazach naturalnych sa, r´ownowa˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy ich zbiory warto´sci sa, r´ownoliczne.
(a) Opisz klase,abstrakcji cia,gu f danego wzorem f (n) = 0 dla n ∈ N oraz znajd´z jej moc.
(b) Opisz klase,abstrakcji cia,gu f danego wzorem f (n) = n mod 3 dla n ∈ N oraz znajd´z jej moc.
(n mod 3 oznacza reszte,z dzielenia n przez 3).
(c) Znajd´z moc zbioru ilorazowego X/ ≡.
Zadanie 2.
(a) Udowodnij, ˙ze relacja ¹ w zbiorze N, zdefiniowana naste,puja,co:
n ¹ m ⇐⇒ h(−1)n, ni ≤leksh(−1)m, mi jest liniowym porza,dkiem zbioru N.
(b) Udowodnij, ˙ze liniowy porza,dek ¹ jest dobrym porza,dkiem zbioru N.
(c) Rozstrzygnij, czy zbiory dobrze uporza,dkowane h{0, 1} × N, ≤leksi oraz hN, ¹i sa,izomorficzne.
(≤leks oznacza porza,dek leksykograficzny: hi, ji ≤leks hk, li ⇔ (i < k ∨ (i = k ∧ j ≤ l)); ≤ oznacza zwykÃly porza,dek w zbiorze liczb caÃlkowitych).
Przypominamy o konieczno´sci podawania starannych i kompletnych uza- sadnie´n!
1
Bardzo prosimy o napisanie rozwia,zania ka˙zdego zadania na oddzielnej, czytelnie podpisanej kartce.
˙Zyczymy powodzenia!
2
