Rozwi azanie ka˙zdego zadania TRZEBA napisa´c na ODDZIELNEJ kartce (lub kartkach).

(1)

GAL, egzamin TEMAT A 21.06.2012

Rozwi azanie ka˙zdego zadania TRZEBA napisa´c na ODDZIELNEJ kartce (lub kartkach).

_�

Na ka˙zdej kartce prosz e poda´c: imi

_�

e, nazwisko (BARDZO CZYTELNIE) i numer indeksu osoby zdaj

_�

acej oraz numer

_�

rozwi azywanego zadania i liter

_�

e tematu.

_�

1. (20pkt) Dane s a rzeczywiste macierze

_�

A =



 2 1 0

−1 0 0

3 −1 2



 , B =



 1 1 1

0 2 0

−1 1 3



 , C =



 3 0 −1

0 2 2

1 0 1



 .

(a) Kt´ore z macierzy A, B, C s a podobne.

_�

(b) Znajd´z posta´c Jordana P macierzy A oraz macierz D tak a, ˙ze D

_� ⁻¹

AD = P .

2. (20pkt) W przestrzeni R

³

^{dane s} a proste L

� 1

= (1, 2, 0) + lin ((1, 3, 1)), L

2

= (4, 2, 4) + lin ((1, −1, −1)).

(a) Niech M b edzie p�laszczyzn

_�

a w

_�

R

³

r´ownoleg�l a do L

_� 1

i do L

2

i zawieraj ac

_�

a punkt (3, 0, 1). Znale´z´c r´ownanie

_�

liniowe opisuj ace p�laszczyzn

_�

e M.

_�

(b) Ile jest przekszta�lce´n afinicznych f : R

³

→ R

³

^spe�lniaj acych warunek: ∀p ∈ L

� 1

f (p) = (5, 1, 0) oraz

∀p ∈ L

²

f (p) = (2, 2, 1). Odpowied´z uzasadnij.

3. (20pkt) W przestrzeni euklidesowej R

³

ze standardowym iloczynem skalarnym � , �, dana jest p�laszczyzna M = {(x

¹

, x

2

, x

3

) ∈ R

³

^{| x}

¹

^{− x}

²

^{+ x}

³

= 2} i prosta L = (1, 1, 1) + lin ((1, 2, 1)).

(a) Znale´z´c odleg�lo´s´c prostej L od p�laszczyzny M.

(b) Niech f : R

³

→ R

³

^b edzie symetri

�

a prostopad�l

_�

a wzgl

_�

edem L. Znale´z´c parametryzacj

_�

e p�laszczyzny f(M).

_�

4. (20pkt) Forma dwuliniowa symetryczna h: R

⁴

× R

⁴

−→ R dana jest warunkiem

G(h; St) =



 



0 −1 0 1

−1 −1 0 1

0 0 0 −1

1 1 −1 −1



 

 ,

gdzie St jest baz a standardow

_�

a.

_�

(a) Znale´z´c baz e prostopad�l

_�

a przestrzeni dwuliniowej (

_�

R

⁴

, h) oraz znale´z´c sygnatur e macierzy G(h; St).

_�

(b) Czy w przestrzeni W = lin (ε

2

, ε

4

) ⊂ R

⁴

jest niezerowy wektor izotropowy formy h? Czy istnieje dwuwy-

miarowa podprzestrze´n Z ⊂ R

⁴

z�lo˙zona z wektor´ow izotropowych formy h? Odpowiedzi uzasadni´c.

5. (20pkt) W przestrzeni afinicznej R

³

^{dane s} a hiperpowierzchnie X

� c

= {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

³

| x

²1

+ (1 + c)x

²₂

+ x

²₃

+ 2x

1

x

2

− 2x

¹

x

3

− 2x

²

x

3

+ x

3

= 0}, gdzie c ∈ R ^{, Y = {(x}

¹

^{, x}

²

^{, x}

³

^{) ∈}

^R³

| x

¹

x

2

− x

³

= 0}.

(a) Znale´z´c typ afiniczny hiperpowierzchni X

1

(poda´c nazw e i naszkicowa´c).

_�

(b) Dla jakich warto´sci parametru c ∈ R hiperpowierzchnie X

c

i Y s a afinicznie izomorficzne.

_�

6. (15pkt) Udowodni´c ,˙ze przestrze´n dwuliniowa (V, h) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy dla ka˙zdego niezerowego wektora α istnieje wektor β taki, ˙ze h(α, β) �= 0.

7. (15pkt) Niech V b edzie przestrzeni

_�

a liniow

_�

a nad cia�lem K charakterystyki r´o˙znej od 2 i niech q: V −→ K b

_�

edzie

�

form a kwadratow

_�

a. Udowodni´c, ˙ze istnieje dok�ladnie jedna forma dwuliniowa symetryczna

_�

h: V × V −→ K taka, ˙ze q(α) = h(α, α) dla dowolonego α ∈ V .

8. (20pkt)

(a) Niech h: R

²

× R

²

−→ R ^b edzie form

�

a dwuliniow

_�

a zadan

_�

a warunkiem G(h; St) =

_�

�

a 0

0 −a

�

dla pewnego niezerowego a ∈ R . Poda´c przyk�lad takiej bazy A przestrzeni R

²

, ˙ze G(h; A) =

� 0 1 1 0

�

(b) Poda´c przyk�lad form dwuliniowych symetrycznych nieosobliwych h

1

, h

2

: R

²

^× R

²

^−→ R dla kt´orych nie

istnieje wsp´olna baza prostopad�la w R

²

. Odpowied´z uzasadni´c.

(2)

GAL, egzamin TEMAT B 21.06.2012

Rozwi azanie ka˙zdego zadania TRZEBA napisa´c na ODDZIELNEJ kartce (lub kartkach).

_�

Na ka˙zdej kartce prosz e poda´c: imi

_�

e, nazwisko (BARDZO CZYTELNIE) i numer indeksu osoby zdaj

_�

acej oraz numer

_�

rozwi azywanego zadania i liter

_�

e tematu.

_�

1. (20pkt) Dane s a rzeczywiste macierze

_�

A =



 −2 −1 −1

1 0 1

0 0 −2



 , B =



 −2 0 −1

2 −1 1

1 0 0



 , C =



 0 2 1

0 −1 0

−1 2 −2



 .

(a) Kt´ore z macierzy A, B, C s a podobne.

_�

(b) Znajd´z posta´c Jordana P macierzy A oraz macierz D tak a, ˙ze D

_� ⁻¹

AD = P .

2. (20pkt) W przestrzeni R

³

^{dane s} a proste L

� 1

= (1, 2, 1) + lin ((1, 1, 1)), L

2

= (4, 3, 2) + lin ((2, 3, 1)).

(a) Niech M b edzie p�laszczyzn

_�

a w

_�

R

³

r´ownoleg�l a do L

_� 1

i do L

2

i zawieraj ac

_�

a punkt (0, 1, 2). Znale´z´c r´ownanie

_�

liniowe opisuj ace p�laszczyzn

_�

e M.

_�

(b) Ile jest przekszta�lce´n afinicznych f : R

³

→ R

³

^spe�lniaj acych warunek: ∀p ∈ L

� 1

f (p) = ( −2, 0, 3) oraz

∀p ∈ L

²

f (p) = (1, 5, 2). Odpowied´z uzasadnij.

3. (20pkt) W przestrzeni euklidesowej R

³

ze standardowym iloczynem skalarnym � , �, dana jest p�laszczyzna M = {(x

¹

, x

2

, x

3

) ∈ R

³

^{| x}

¹

^{− x}

²

^{− x}

³

= 2} i prosta L = (1, 1, −1) + lin ((2, 1, 1)).

(a) Znale´z´c odleg�lo´s´c prostej L od p�laszczyzny M.

(b) Niech f : R

³

→ R

³

^b edzie symetri

�

a prostopad�l

_�

a wzgl

_�

edem L. Znale´z´c parametryzacj

_�

e p�laszczyzny f(M).

_�

4. (20pkt) Forma dwuliniowa symetryczna h: R

⁴

× R

⁴

−→ R dana jest warunkiem

G(h; St) =



 



0 1 −1 0

1 1 −1 0

−1 −1 1 1

0 0 1 0



 

 ,

gdzie St jest baz a standardow

_�

a.

_�

(a) Znale´z´c baz e prostopad�l

_�

a przestrzeni dwuliniowej (

_�

R

⁴

, h) oraz znale´z´c sygnatur e macierzy G(h; St).

_�

(b) Czy w przestrzeni W = lin (ε

2

, ε

3

) ⊂ R

⁴

jest niezerowy wektor izotropowy formy h? Czy istnieje dwuwy-

miarowa podprzestrze´n Z ⊂ R

⁴

z�lo˙zona z wektor´ow izotropowych formy h? Odpowiedzi uzasadni´c.

5. (20pkt) W przestrzeni afinicznej R

³

^{dane s} a hiperpowierzchnie X

� c

= {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

³

| x

²1

+ (1 − c)x

²2

+ x

²₃

+ 2x

1

x

2

+ 2x

1

x

3

+ 2x

2

x

3

− x

³

= 0}, gdzie c ∈ R ^{, Y = {(x}

¹

^{, x}

²

^{, x}

³

^{) ∈} R

³

| x

¹

x

2

− x

³

= 0}.

(a) Znale´z´c typ afiniczny hiperpowierzchni X

₋₁

(poda´c nazw e i naszkicowa´c).

_�

(b) Dla jakich warto´sci parametru c ∈ R hiperpowierzchnie X

c

i Y s a afinicznie izomorficzne.

_�

6. (15pkt) Udowodni´c ,˙ze przestrze´n dwuliniowa (V, h) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy dla ka˙zdego niezerowego wektora α istnieje wektor β taki, ˙ze h(α, β) �= 0.

7. (15pkt) Niech V b edzie przestrzeni

_�

a liniow

_�

a nad cia�lem K charakterystyki r´o˙znej od 2 i niech q: V −→ K b

_�

edzie

_�

form a kwadratow

_�

a. Udowodni´c, ˙ze istnieje dok�ladnie jedna forma dwuliniowa symetryczna

_�

h: V × V −→ K taka, ˙ze q(α) = h(α, α) dla dowolonego α ∈ V . 8. (20pkt)

(a) Niech h: R

²

× R

²

−→ R ^b edzie form

�

a dwuliniow

_�

a zadan

_�

a warunkiem G(h; St) =

_�

�

a 0

0 −a

�

dla pewnego niezerowego a ∈ R . Poda´c przyk�lad takiej bazy A przestrzeni R

Rozwi azanie ka˙zdego zadania TRZEBA napisa´c na ODDZIELNEJ kartce (lub kartkach).

GAL, egzamin TEMAT A 21.06.2012