Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

30-014 Kraków, Tel. (12) 633- 59-12

Justyna Więcek, Artur Leśniak

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

opiekun pracy: mgr Dorota Szczepańska

Kraków, marzec 2014

Spis treści:

Twierdzenie o polu trójkąta ………str. 3

Twierdzenie o polu wielokąta ..………str. 4

Twierdzenie o objętości czworościanu……….str.6

Twierdzenie o objętości wielościanu……….str.7

Zależność między promieniem okręgu wpisanego w trójkąt,

a promieniami okręgów dopisanych………..str.8

Zależność między promieniem kuli wpisanej w ostrosłup, a

promieniami kul dopisanych………str.9

Bibliografia……….str.10

a

b

W tej pracy przedstawimy niektóre twierdzenia z geometrii płaskiej i poszukamy ich uogólnień w przestrzeni. Najpierw przejrzałam ( Justyna Więcek ) książkę pt.”Matematyka w zadaniachdla kandydatów na wyższe uczelnie” W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski i zainteresowało mnie w niej twierdzenie o polu trójkąta zamieszczone w naszej pracy pod numerem 1. Potem moja pani od matematyki podpowiedziała mi, że prawdziwe może być ono także dla dowolnego wielokąta, w który da się wpisać okrąg ( twierdzenie 2).

Namówiłam kolegę ( Artura Leśniaka ) i zabraliśmy się do dowodzenia tych twierdzeń.

Okazało się to niezbyt trudne. Tę część pracy wykonaliśmy samodzielnie. W innej książce pt.” Program SMART komponent 04 ARKA Matematyka, Figury płaskie i przestrzenne”

przeczytaliśmy, że twierdzenie 1 łatwo uogólnia się do twierdzenia z geometrii przestrzeni o czworościanie , w który da się wpisać kulę (twierdzenie 3). W książce tej nie było dowodu, więc wykonaliśmy go sami. Pomyśleliśmy, że może i twierdzenie 2 łatwo się uogólnia i powstało twierdzenie 4. Dowód był zupełnie analogiczny do dowodu twierdzenia 3. W tej samej książce na następnej stronie autorzy podali inne twierdzenie dotyczące trójkąta i zależności między promieniem okręgu wpisanego, a promieniami okręgów dopisanych ( twierdzenie 5 ). Autorzy napisali, że ten fakt również uogólnia się do twierdzenia w przestrzeni ( twierdzenie 6 ), ale nie podali dowodów. My wykonaliśmy je z pomocą pani Doroty Szczepańskiej i wskazówki wziętej z książki H. S. Coxetera „Z geometrii dawnej i nowej”. To już nie było takie proste. Zacznijmy więc:

Jednym z faktów z geometrii płaskiej jest dość znane twierdzenie o trójkącie:

Twierdzenie 1

Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Dowód:

( )

c

r

A B

C

o

Ten wzór jest też prawdziwy dla wszystkich wielokątów płaskich w które można wpisać okrąg. Pokażemy to najpierw na przykładach kwadratu, sześciokąta foremnego i rombu, a następnie udowodnimy w przypadku ogólnym tzn. dla dowolnego wielokąta, w który daje się wpisać okrąg:

,

Pole jednego z czterech trójkątów

,

r a

a

a

a a

r

r a

b c

Weźmy dowolny wielokąt, w który można wpisać okrąg. Podzielmy go na trójkąty tak jak na rysunku:

Każdy z tych trójkątów ma wysokość . Pole wielokąta równe jest sumie pól tych trójkątów.

( ) Udowodniliśmy:

Twierdzenie 2

Pole wielokąta, w który da się wpisać okrąg, jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

Zastanówmy się, czy te twierdzenia da się uogólnić do twierdzeń dotyczących geometrii przestrzeni. W twierdzeniu 1 trójkąt można by zastąpić czworościanem, a okrąg sferą (lub kulą).

n

n

n

n

n

r

Twierdzenie 3

Objętość czworościanu, w który da się wpisać kulę jest równa iloczynowi trzeciej części jego pola powierzchni i długości promienia tej kuli.

Dowód:

Objętość czworościanu ABCD jest równa sumie objętości czterech ostrosłupów o podstawach będących ścianami czworościanu, o wysokościach równych i o wspólnym wierzchołku O

.

(

)

Twierdzenie w przestrzeni, trochę zmodyfikowane okazało się prawdziwe.

Czy tak samo będzie z uogólnieniem twierdzenia dla wielokąta? Idea dowodu wydaje się nie ulegać zmianie także dla wielościanu z wpisaną kulą.

Niech będzie polem powierzchni dowolnego wielościanu, w który da się wpisać kulę, a polami jego poszczególnych ścian. Objętość wielościanu można przedstawić jako sumę objętości ostrosłupów, z których każdy ma podstawę, będącą ścianą wielościanu, wysokość to promień kuli wpisanej w ten wielościan, a wierzchołek to środek tej kuli. Na rysunku jest to pokazane w sześcianie:

A B

C

D O

, gdzie jest objętością całej bryły, a są objętościami poszczególnych ostrosłupów.

dla każdego ostrosłupa,

( ) Udowodniliśmy:

Twierdzenie 4

Objętość wielościanu, w który da się wpisać kulę jest równa iloczynowi trzeciej części jego pola powierzchni i długości promienia tej kuli.

W książce „Program SMART komponent 04” znaleźliśmy również inną własność z geometrii płaskiej dotyczącą trójkąta, a właściwie promieni okręgów: wpisanego w ten trójkąt , i dopisanych do trójkąta: . Sytuację ilustruje rysunek:

Sprawdźmy, czy prawdziwe jest:

Twierdzenie 5

Jeśli dany jest trójkąt i wpisany w niego okrąg o promieniu , i okręgi dopisane do trójkąta ( styczne do jednego z boków i przedłużeń pozostałych dwóch )

o promieniach to prawdziwy jest wzór:

Dowód:

A

B C

c

b a

Ob Oa

Oc

rb ra

ra

rb

rc rc

r

( ) (1) Ale z twierdzenia 1 wynika, że:

Porównujemy (1) i (2):

(

)

po przekształceniach:

=

analogicznie:

( )

,

( )

( )

( )

( )

Czy prawdziwe będzie analogiczne twierdzenie w przestrzeni ? Czy gdyby w dowolny czworościan wpisać kulę i dopisać do ścian, lub płaszczyzn, w które przechodzą ściany kule, prawdziwy byłby podobny wzór ? Okazuje się, że tak. Nie podejmujemy się zrobić

odpowiedniego rysunku, ale niech będzie promieniem kuli wpisanym w czworościan, a promieniami kul dopisanych do tego czworościanu ( do ściany ABC, ABD, BCD i ACD ). Rozważając kulę styczną zewnętrznie do ściany ABC ( o promieniu ).

Wysokość mają również trzy ostrosłupy pochyłe o podstawach w pozostałych ścianach czworościanu. Jeśli od sumy ich objętości odejmiemy objętość ostrosłupa opartego na ABC to otrzymamy objętość czworościanu ABCD. Z twierdzenia 3 jest ona równa:

=

( ) (3)

analogicznie będzie:

( ) (4)

( ) (5)

( ) (6)

Przekształcamy (3), (4), (5) i (6):

(7)

(8)

(9)

(10)

Dodajemy cztery ostatnie równości stronami:

Prawdziwe jest:

Twierdzenie 6

Jeśli dany jest czworościan , w który da się wpisać kulę o promieniu , i kule dopisane do czworościanu ( styczne do jednej ze ścian i płaszczyzn przedłużających pozostałe trzy ściany ) o promieniach to prawdziwy jest wzór:

Pozostaje pytanie, czy w dowolny czworościan zawsze można wpisać kulę ( i dopisać cztery inne ), tak jak w trójkąt zawsze daje się wpisać okrąg ? Nie wiemy, ale w czworościanie foremnym, czy w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym na pewno da się to zrobić.

Zastanowimy się nad tym do przyszłego roku i postaramy się napisać o tym pracę matematyczną już jako licealiści.

Bibliografia:

 Program SMART komponent 04 – ARKA Matematyka, Figury płaskie i przestrzenne, Warszawa 1999

 „Wstęp do geometrii dawnej i nowej” H. S. Coxeter PWN, Warszawa 1967

 „Matematyka w zadaniach dla kandydatów na wyższe uczelnie” W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski – wyd. Naukowo – Techniczne, Warszawa 1981