SYMULACJA DRGAŃ PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO

(1)

SYMULACJA DRGAŃ

PROMIENIOWEGO ŁOŻYSKA TOCZNEGO

Robert Kostek

^1a

1Wydział Inżynierii Mechanicznej, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: ^arobertkostek@o2.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono model matematyczny drgań łożyska tocznego oraz wyniki obliczeń numerycznych.

Drgania łożyska wzbudzane są przez przemieszczające się elementy toczne, które zamodelowano jako nieliniowe elementy sprężyste. Występujące drgania są parametryczne, nieliniowe i kontaktowe, ponieważ pomiędzy bieżnia- mi a elementami tocznymi występuje nieliniowy kontakt Hertza. Zaobserwowano dla badanego modelu drgania okresowe poliharmoniczne.

SIMULATION OF VIBRATIONS OF RADIAL BALL BEARING

Summary

In this article mathematical model of vibrations of ball bearing and results of simulations are presented. The rolling elements, which circulate, excite the parametric vibrations. The rolling elements are modelled as non-linear spring elements. Thus the vibrations can be considered as non-linear, contact and parametric, because of nonlinear Hertz contact. Periodical multiharmonic vibrations have been observed.

1. WSTĘP

Łożyska toczne są modelowane jako równoległe połącze- nie liniowej sprężyny i liniowego tłumika, czyli ciało Kelvina-Voigta [1, 2]. Taki model prowadzi do liniowych różniczkowych równań ruchu, które można łatwo roz- wiązać. W tym ujęciu łożysko toczne jest sprowadzone do elementu który nie wzbudza drgań, lecz jedynie je tłumi.

Kontakt Hertza natomiast ze swej natury jest nieliniowy, a więc i łożysko toczne ma nieliniową charaktery- stykę [3]. Przyjęcie nieliniowej charakterystyki kontaktu prowadzi do nieliniowych różniczkowych równań ruchu, które rozwiązywane są metodami numerycznymi. Nieli- niowy model łożyska jest dokładniejszy od liniowego, natomiast koszt obliczeń jest znacznie wyższy. Łożyska toczne były modelowane przez wielu badaczy jako układy nieliniowe [4-15], również taki model łożyska został przyjęty w pracy. Poza przedstawieniem nielinio- wego modelu łożyska tocznego zaprezentowano także

wyniki obliczeń numerycznych dla wybranych wartości luzu. Przedstawiono także drgania okresowe poliharmoniczne oraz trajektorie osi wału dla wybranych wartości luzów.

2. MODEL ŁOZYSKA TOCZNEGO

Łożysko promieniowe kulkowe jednorzędowe zamodelowano jako układ sprężysto-tłumiący (rys. 1). Masę skupiono w środku bieżni wewnętrznej (środku czopa wału), masę kulek pominięto, natomiast bieżnię ze- wnętrzną zamocowano w nieodkształcalnej obudowie.

W takim ujęciu elementy toczne stają się nieważkimi nieliniowymi elementami sprężystymi. Bieżnia we- wnętrzna obraca się w kierunku przeciwnym do kierunku obrotów wskazówek zegara, co wywołuje ruch obro- towy elementów tocznych oraz koszyka. Ruch części

(2)

tocznych wzbudza drgania układu, co opisano wzorami matematycznymi poniżej.

a)

b)

Rys. 1. Modelowane łożysko toczne a) modelowane [17]

b) model fizyczny łożyska

W prezentowanym modelu łożyska tocznego uwzględ- niono siły obciążenia zewnętrznego, bezwładności, sprężystości, tłumienia i oporu toczenia. Łożysko obcią- żone jest siłą zewnętrzną F o stałej wartości, kierunku i zwrocie. Siła bezwładności opisana jest prawami dynamiki Newtona. Siły sprężystości Rn są z kolei wynikiem odkształceń bieżni i elementów tocznych.

Metoda obliczeń sił kontaktowych została opisana w literaturze [3]. Po przekształceniach siłę sprężystości można opisać następującymi wzorami

δn = d+0.5D1-0.5D2+x1cosα+y1sinα, (1) if δn > 0 Rn = K δn1.5

else Rn = 0, (2)

gdzie: δn – oznacza sumę penetracji n-tego elementu tocznego, d – średnice kulki, D1 – średnice bieżni we- wnętrznej, D2 – średnice bieżni zewnętrznej, x1 , y1– składowe położenia środka bieżni wewnętrznej, α - położenie kątowe kulki (elementu tocznego), Rn – silę sprężystości przenoszona przez n-ty element toczny [N], K – stałą sprężystości [N/m^1.5]. Wzory (1) i (2) są przeliczane dla każdego elementu tocznego. Siłę tłumie- nia opisano natomiast następującymi wzorami

Fdx = -

x &

^c, ⁽³⁾

Fdy = -

y &

^c, ⁽⁴⁾

gdzie: Fdx , Fdy – oznaczają składowe siły tłumienia [N],

x &

^,

^y &

- składowe prędkości osi wału [m/s], natomiast c

- reprezentuje współczynnik tłumienia c = 200 [(Ns)/m].

Taki model siły tłumienia i wartość współczynnika tłumienia c przyjęto w kilku pracach [5, 8, 9, 16].

Z kolei silę oporu toczenia zamodelowano prostą zależ- nością

F_{ot n} = R_nµ, (5)

gdzie: Fot n - oznacza siłę oporu toczenia działającą na n-ty element toczny, a µ - oznacza współczynnik oporu toczenia. Ostatecznie uzyskuje się różniczkowe równania ruchu przedstawione poniżej

x &

&

^{= m}^-1^{( F}x -

x &

^{c + ΣF}otx n+ ΣR_{x n}), (6)

y &

&

^{= m}^-1^{( F}y -

y &

^{c + ΣF}oty n+ ΣR_{y n}). (7)

gdzie: m – oznacza masę przyporządkowaną bieżni wewnętrznej (osi wału). Równania te rozwiązano wyko- rzystując metody numeryczne. Więcej informacji na temat modelu łożyska tocznego podano w pracach [8, 9].

3. SYMULACJA DRGAŃ ŁOZYSKA TOCZNEGO

Do obliczeń przyjęto łożysko 6203. Kompletne dane symulowanego układu przedstawiono w tabeli 1.

(3)

Tabela 1. Dane przyjęte do obliczeń [8, 9]

W pierwszym etapie przeprowadzono symulacje drgań łożyska tocznego dla wartości luzu równej l=0µm (rys.

2). Uzyskane przebiegi czasowe nie są sinusoidalne, lecz mają poliharmoniczny charakter. Na wykresach przebie- gów czasowych przemieszczeń dominuje pierwsza har- moniczna, której okres jest równy okresowi wzbudzenia parametrycznego. Okres ten jest równy, w tym przy- padku, jednej ósmej czasu obrotu koszyka z kulkami.

Natomiast na wykresach prędkości i przyśpieszeń zwięk- sza się udział wyższych harmonicznych, które są zwią- zane z częstotliwościami własnymi łożyska. Częstotliwo- ści własne są około dziesięć razy większe od częstotliwo- ści wzbudzenia. W konsekwencji na rys. 2e widać wy- raźnie okresowo powtarzające się wzbudzenie drgań, a następnie zanik drgań wywołany tłumieniem. Zauwa- żyć można także asymetrię przebiegów czasowych.

a)

b)

c)

d) Opis zmiennej Symbol Wartość Jednostka

średnica kulek d 6.75 mm

liczba kulek n 8

średnica bieżni wewnętrz- nej

D1 21.94 mm

średnica południka bieżni wewnętrznej

D_1p 6.89 mm

średnica południka bieżni zewnętrznej

D_2p 6.89 mm

modul Younga

E 2.0e+5 MPa

współczynnik Poissona ν _0.3 współczynnik tarcia

tocznego

µt 0.0015

współczynnik tłumienia c 200 (Ns)/m składowa pionowa siły

obciążającej

Fy -950 N

składowa pozioma siły obciążającej

Fx 0 N

prędkość obrotowa wału n_o 1500 obr/min masa przyporządkowana

bieżni wewnętrznej

m 3 kg

(4)

e)

f)

Rys. 2. Przebiegi czasowe drgań osi wału, uzyskane dla warto- ści luzu l = 0[µm]

Przeprowadzono następnie obliczenia dla wartości luzu równej l=50µm (rys. 3). Uzyskane przebiegi czasowe mają wyraźnie większe amplitudy drgań, drgania te są także bardziej nieliniowe od poprzednich. Udział wyż- szych harmonicznych jest przez to większy, co skutkuje bardziej złożonym kształtem przebiegów czasowych.

Dlatego interpretacja uzyskanych przebiegów czasowych jest trudna. Można jednak zauważyć, podobnie jak poprzednio (rys. 2b, 3b), unoszenie i opuszczenie się środka wału, pod wpływem przemieszczających się kulek i zanikające drgania wzbudzone przez to zjawisko (rys.

3f). Warto zwrócić uwagę na fakt, że dla obydwu przy- padków obliczeniowych amplituda drgań w kierunku osi X jest znacznie większa aniżeli amplituda w kierunku osi Y, co wynika z większej podatności łożyska w kierunku osi X.

a)

b)

c)

d)

(5)

e)

f)

Kolejne obliczenia przeprowadzono dla luzu l=100µm.

Uzyskane przebiegi czasowe są okresowe, drgania te mają jednak bardzo złożoną kinematykę. Na przebiegach czasowych przemieszczeń występuje wiele ekstre- mów lokalnych, podobne na przebiegach czasowych prędkości i przyśpieszeń. Na przebiegu czasowym przy- śpieszeń w kierunku osi Y (rys. 4f) trudno wskazać wyraźny obszar w którym drgania te są wzbudzane a następnie tłumione. Natomiast na rys. 4e obszary te można wyróżnić. Podobnie jak poprzednio, drgania w kierunku osi X mają większą amplitudę od drgań w kierunku osi Y. Ponadto zwiększenie luzu wywołało zwiększenie amplitudy drgań. Drgania tego układu, mimo że posiada on tylko dwa stopnie swobody i jest wyidealizowanym modelem łożyska tocznego, są daleko bardziej złożone aniżeli drgania układu liniowego o dwóch stopniach swobody, co widać na przedstawionych rysunkach (rys. 2-4). Model liniowy nie jest w stanie odwzorować takich zjawisk.

a)

b)

c)

d)

(6)

e)

f)

Analiza trajektorii jest wykorzystywana z powodzeniem do badania dynamiki łożysk ślizgowych i maszyn wirni- kowych, dlatego wykorzystano ją do badania dynamiki łożysk tocznych. Wykonano obliczenia dla czterech wartości luzu: l=0[µm], l=50[µm], l=100[µm] i l=150[µm].

Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 5. Zaobserwowa- no zwiększenie amplitudy drgań w kierunku osi X oraz w kierunku osi Y. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu kształt trajektorii staje się coraz bardziej złożony.

Początkowo dla luzu l=0[µm] trajektoria osi wału przy- pomina elipsę, jednak zwiększenie wartości luzu do l=50[µm] powoduje, że poza główną pętlą pojawiają się także mniejsze pętelki. Dla tych dwu wartości luzu oś wału wykonuje ruch w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara. Natomiast dla wartości luzu l=100[µm] oś wału wykonuje ruch w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, ponadto trajektoria ta ma złożony kształt. Ostatnią symulację przeprowadzono dla wartości luzu l=150[µm]. Kształt tej trajektorii jest bardzo złożony, co wynika ze złożonej kinematyki drgań. Trudno mówić w tym wypadku o kierunku,

Rys. 5. Trajektorie osi wału obliczone dla czterech wartości luzu promieniowego: l=0[µm] a), l=50[µm] b), l=100[µm] c), l=150[µm] d)

(7)

4. PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono nieliniowy model łożyska tocznego, który został wykorzystany do obliczeń numerycznych. Przeprowadzono symulacje drgań dla wybranych wartości luzów. Uzyskane przebiegi czasowe drgań stają się coraz bardziej złożone wraz ze zwiększeniem wartości luzu, co jest efektem coraz większej nieliniowości badanego układu. Wraz ze zwiększeniem wartości luzu zaobserwowano także wzrost amplitud drgań. Zauważo- no ponadto, że wraz ze zwiększeniem wartości luzu

trajektorie osi wału stają się coraz bardziej złożone.

Wymienione zjawiska mogą zostać wykorzystane do diagnozowania stanu łożysk. Reasumując, uzyskane wyniki są obiecujące, dlatego badania będą kontynu- owane [18].

Literatura

1. Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. Warszawa: WNT, 1991.

2. Witek A.: Identification method of the dynamic stiffness of rolling bearings. “Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji” 2004, vol. 24, nr 2, s. 223-231.

3. Krzemiński-Freda H.: Łożyska toczne. Warszawa: PWN, 1985.

4. Datta J., Farhang K.: A nonlinear model for structural vibration in rolling element bearings. Part I and II.

“ASME Journal of Tribology” 1997, Vol. 119, No. 1, p. 126-131 323-331d.

5. Harsha S.P., Sandeep K., Prakash R.: The effect of balanced rotor on nonlinear vibrations associated with ball bearings. “International Journal of Mechanical Sciences” 2003, Vol. 45, No. 4, p. 725-740.

6. Harsha S.P.: Nonlinear dynamic response of a balanced rotor supported by rolling element bearings due to radial internal clearance effect. “Mechanism and Machine Theory” 2006, Vol. 41, No. 6, p. 688-706

7. Jang G., Jeong S.W.: Vibration analysis of a rotating system due to the effect of ball bearing waviness. “Journal of Sound and Vibration” 2004, Vol. 269, No. 3–5, p. 709–726.

8. Kostek R., Landowski B.: Próba opisu drgań łożyska tocznego. Problemy naukowe młodych w obszarze budowy i eksploatacji maszyn. W: Materiały ze spotkania „Warsztaty Młodych” pod red. B. Żółtowskiego i J. Szafrańskie- go. Bydgoszcz, 8.05.1998. Bydgoszcz: Wydział Mechaniczny ATR w Bydgoszczy, Zespół Środowiskowy SPE KBM PAN w Gdańsku, s. 57-65.

9. Kostek R.: Komputerowa symulacja i analiza drgań nieliniowych w poszukiwaniu symptomów diagnostycznych.

Praca magisterska. ATR w Bydgoszczy, 1998.

10. Leblanc A., Nelias D., Defaye C.: Nonlinear dynamic analysis of cylindrical roller bearing with flexible rings.

“Journal of Sound and Vibration” 2009, Vol. 325, No. 1-2, p. 145-160.

11. Nataraj C., Harsha S.P.: The effect of bearing cage run-out on the nonlinear dynamics of a rotating shaft.

“Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation” 2008, Vol. 13, No. 4, p. 822-838.

12. Rahnejat H., Gohar R.: The vibrations of radial ball bearings. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1985, Vol. 199, No. C3, p. 181-193.

13. Singh R., Lim T.C.: Vibration transmission through rolling element bearings in geared rotor system. Ohio State University, NASA Grant No. NAG 3-773, Final Report - Part I, RF Project 765863/719176, December 1989.

14. Villa C.V.S., Sinou J.J., Thouverez F.: Investigation of a rotor- bearing system with bearing clearances and Hertz contact by using a harmonic balance method. “Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engi- neering” 2007, Vol.29, No. 1, p. 14-20.

15. Wensing J.A.: On the dynamics of ball bearings. PhD thesis, University of Twente, Enschede, The Netherlands, 1998.

(8)

16. Purohit R.K., Purohit K.: Dynamic analysis of ball bearings with effect of preload and number of balls. “Interna- tional Journal of Applied Mechanics and Engineering” 2006, Vol.11, No. 1, p. 77-91

17. http://kkpmo.pl/lozysko-kulkowe-3mmx1mmx1mm/

18. Kostek R.: Simulation and analysis of vibration of rolling bearing. “Key Engineering Materials”

(w druku)

Pracę zrealizowano w ramach projektu nr WND-POIG.01.03.01-00-212/09