SYMULACJA UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKIEM MAGNETOREOLOGICZNYM I ELEKTROMAGNETYCZNYM PRZETWORNIKIEM ENERGII

39, s. 177-184, Gliwice 2010

SYMULACJA UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKIEM MAGNETOREOLOGICZNYM I ELEKTROMAGNETYCZNYM

PRZETWORNIKIEM ENERGII

BOGDAN SAPIŃSKI¹,PAWEŁ MARTYNOWICZ², ŁUKASZ JASTRZĘBSKI³ Katedra Automatyzacji Procesów, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

e-mail: deep@agh.edu.pl¹, pmartyn@agh.edu.pl², lukasz .jastrzebski83@gmail.com³

Streszczenie. Praca dotyczy badań symulacyjnych układu redukcji drgań z tłumikiem magnetoreologicznym (MR) i przetwornikiem elektromagnetycznym.

Przedstawiono model Spencera tłumika MR przy zmiennym polu magnetycznym oraz model przetwornika elektromagnetycznego. Opisano wyniki symulacji układu redukcji drgań w trzech konfiguracjach (pasywnej, ze sprzężeniem zwrotnym oraz zasilanego energią odzyskaną z drgań obiektu) dla obiektu o jednym stopniu swobody.

1. WSTĘP

Klasyczny, semiaktywny układ redukcji drgań mechanicznych z tłumikiem MR ma strukturę ze sprzężeniem zwrotnym. W układzie takim występują czujnik, regulator i sterownik mocy. W pracy [1] wskazano na możliwość zbudowania układu z przetwornikiem elektromagnetycznym, który część energii kinetycznej drgającego urządzenia mechanicznego zamieni na energię elektryczną. Energię tę można wykorzystać do zasilania cewki sterującej tłumika MR, co pozwala na dostosowywanie siły generowanej przez tłumik w zależności od prędkości obiektu drgającego. Prędkość obiektu jest „przetwarzana” na siłę elektromotoryczną indukcji wywołującą przepływ prądu w cewce sterującej, co umożliwia zmianę siły tłumika MR.

W artykule przedstawiono wyniki symulacji układu redukcji drgań obiektu o jednym stopniu swobody (rys. 1). Układ redukcji drgań składał się z tłumika MR i elektromagnetycznego przetwornika energii. W badaniach wykorzystano model Spencera tłumika MR przy zmiennym polu magnetycznym [6] oraz model przetwornika elektromagnetycznego z ruchomymi magnesami i cewką z uzwojeniem foliowym [5]. Modele te zaimplementowano w środowisku MATLAB/Simulink.

Przeprowadzono symulacje układu redukcji drgań w trzech konfiguracjach: pasywnej (przy różnych natężeniach prądu w cewce sterującej tłumika), ze sprzężeniem zwrotnym (z regulatorem sky-hook) oraz z przetwornikiem elektromagnetycznym (wykorzystano energię odzyskanej z drgań obiektu). Wyniki symulacji układu w każdej konfiguracji pokazano w postaci charakterystyk częstotliwościowych i czasowych.

Obiekt

Przetwornik

elektromagnetyczny Tłumik MR Sprężyna x(t)

z(t)

Rys. 1. Układ redukcji drgań z tłumikiem MR i elektromagnetycznym przetwornikiem energii

2. MODEL TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO

W badaniach wykorzystano model Spencera tłumika MR przy zmiennym polu magnetycznym (rys. 2). Zgodnie z tym modelem, siłę tłumika MR określa układ równań (1):

y x

Ft

c1

c0

k0

Bouc-Wen

k1

Ft – siła tłumika,

x, y – współrzędne modelu, w – zmienna stanu,

β, γ, A – parametry modelu histerezy,

α – współczynnik sprężystości związany ze zmienną stanu w,

k0, k1 – współczynniki sprężystości,

c0, c1 – współczynniki tłumienia wiskotycznego.

Rys. 2. Model Spencera

( ) ( )

( )

[ ]

( )

ïï î ïïí ì

- - -

=

- +

+ +

=

- + -

-

×

× - -

=

0 1

1

0 0 1

0

2

1

x x k y c F

y x k x c c w

y c

y x A w y x w w y x w

t &

&

&

&

&

&

&

&

&

&

a

b g

(1)

W modelu Spencera histereza charakterystyki siły tłumika oraz granica płynięcia plastycznego cieczy MR jest zamodelowana według metody opisanej w [7], przez wprowadzenie dodatkowej zmiennej stanu w. Zakłada się przy tym liniową zależność współczynników α, c0, c1 od natężenia prądu [6]:

bi

a a

a

a = + c₀ =c_0a +c_0bi c₁ =c_1a +c_1bi (2) Identyfikacji parametrów modelu opisanego układem równań (1) i (2) dokonano, minimalizując błąd średniokwadratowy siły tłumika obliczony za jeden okres (cykl wsuwu i wysuwu tłoka tłumika)

Dane do identyfikacji pozyskano z badań eksperymentalnych tłumika MR typu RD-1005-3 firmy Lord Co. [8]. Zidentyfikowane parametry modelu Spencera podano w tabeli 1.

Tabela 1. Parametry modelu Spencera tłumika MR Parametr Wartość Parametr Wartość

c0a 672 N·s/m A 121

c0b 3152 N·s/(m·A) αa 6949 N/m c1a 227150 N·s/m αb 60789 N/(m·A) c1b 1050000 N·s/(m·A) β 212114 1/m²

k0 732 N/m γ 455707 1/m²

k1 81 N/m x0 0 m

3. MODEL PRZETWORNIKA ELEKTROMAGNETYCZNEGO

Budowę przetwornika pokazano na rys. 3. Przetwornik składa się z dwóch układów magnesów trwałych o kształcie pierścieniowym, namagnesowanych osiowo i zwróconych do siebie przeciwnymi biegunami oraz cewki o kształcie cylindrycznym, nawiniętej na karkasie elastyczną folią miedzianą. Szczegóły konstrukcyjne oraz parametry przetwornika opisano w [3].

Cewka Karkas Magnesy Obudowa

TrzpieńPierścień

e Lp

R_p

Rt

Lt

u i

Rys. 3. Budowa przetwornika Rys. 4. Obwód przetwornik – cewka sterująca Ruch układu magnesów względem cewki przetwornika indukuje siłę elektromotoryczną e. W pracy [5] pokazano, że decydujące znaczenie w działaniu przetwornika ma składowa promieniowa indukcji magnetycznej. Dobierając odpowiednio parametry konstrukcyjne i materiałowe, można uzyskać w przybliżeniu stałą wartość tej składowej w pewnym zakresie ruchu układów magnesów względem cewki [4].

Przyjmując, że składowa promieniowa indukcji magnetycznej ma wartość stałą, można założyć liniową zależność siły elektromotorycznej e od prędkości v = x&- z& (rys. 1), co, wykorzystując przekształcenie Laplace’a, można zapisać wzorem:

( )

( )

E = _0r (3)

gdzie: B0r – składowa promieniowa indukcji magnetycznej, l – długość czynna cewki przetwornika.

Na rys. 4 przedstawiono schemat obwodu powstałego po połączeniu cewki przetwornika z cewką sterującą tłumika. Przyjmując, że Rp, Lp oznaczają rezystancję i indukcyjność cewki przetwornika, a Rt, Lt rezystancję i indukcyjność cewki sterującej, natężenie prądu w obwodzie można zapisać wzorem:

( ) ( ) ( ) )

(

t p t

p L R R

L s

s s E

I = + + + (4)

Biorąc pod uwagę równania (3) i (4), transmitancja przetwornika przyjmuje postać:

( )

( )

( )

( )

) (

) (

0

+ + +

= +

=

R s R

L L

R R

l B s

V s s I G

t p

t p

t p

r

p (5)

W symulacjach przyjęto wartości parametrów modelu przetwornika podane w tabeli 2.

Tabela 2. Parametry modelu przetwornika Parametr Wartość

Lt 100 mH

Rt 5 Ω

Lp 7.5 mH

Rp 0.4 Ω

B0r 0.5 T

l 40 m

4. MODEL UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ

Wykorzystując opisane modele tłumika MR i przetwornika, zbudowano model układu redukcji drgań obiektu o jednym stopniu swobody pokazany na rys. 5. Model ten pozwala na określenie wielkości mechanicznych (przemieszczenie x i prędkość x& obiektu, prędkość względna v, siła tłumika Ft) oraz elektrycznych (indukowana siła elektromotoryczna e, napięcie u oraz natężenie prądu i w cewce sterującej).

Przyjęto następujące wartości parametrów: masę obiektu drgającego m=50 kg, sztywność sprężyny k=36000 N/m, co odpowiada częstotliwości drgań własnych układu f0=4.3 Hz.

k

k ¹s

1

s

1

m Gp(s)

Model Spencera +

- + +

+ -

v i Ft

x 1 z

s

z x

z

Rys. 5. Model układu redukcji drgań z tłumikiem MR i elektromagnetycznym przetwornikiem energii

5. WYNIKI SYMULACJI

W pierwszym etapie przeprowadzono symulacje przetwornika dla trójkątnego i sinusoidalnego przemieszczenia układów magnesów względem cewki. Na rys. 6 i 7 pokazano wybrane przebiegi napięcia i natężenia prądu w cewce sterującej przy przemieszczeniu o amplitudzie 6 mm oraz częstotliwości 2 i 5 Hz (linia przerywana). Wzrost prędkości (częstotliwości przemieszczenia) układów magnesów powoduje wzrost napięcia i natężenia prądu w cewce sterującej. Widoczne na rys. 7 przesunięcie fazowe pomiędzy natężeniem prądu a napięciem zależy od częstotliwości przemieszczenia.

a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t [s]

2 xu[V], 10 xi [A]

2 x u 10 x i

b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t [s]

2 x u[V], 10 xi [A]

2 x u 10 x i

Rys. 6. Napięcie i natężenie prądu w cewce sterującej przy trójkątnym przemieszczeniu układów magnesów o amplitudzie 6 mm i częstotliwości: a) 2 Hz, b) 5 Hz a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

t [s]

u [V], 10 xi[A]

u 10 x i

b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

t [s]

u[V], 10 xi[A]

u 10 x i

Rys. 7. Napięcie i natężenie prądu w cewce sterującej przy sinusoidalnym przemieszczeniu układów magnesów o amplitudzie 6 mm i częstotliwości: a) 2 Hz, b) 5 Hz

W drugim etapie wykonano symulacje układu redukcji drgań w konfiguracji: pasywnej (przy braku zasilania cewki sterującej - UP1 oraz przy natężeniu prądu 0.2 A - UP2), ze sprzężeniem zwrotnym (regulator sky-hook - US2) oraz z przetwornikiem elektromagnetycznym (zasilanie energią odzyskaną z drgań - US1).

W [2] pokazano, że w idealnym pasywnym układzie redukcji drgań tłumik generuje siłę proporcjonalną do prędkości bezwzględnej obiektu z&. Zgodnie z tą zasadą w konfiguracji układu US2 natężenie prądu w cewce tłumika MR jest określone wzorem:

( )

( )

îí ì

<

-

³

= -

0 0

0 ,

2 . 0

z x x

z x i x

&

&

&

&

&

&

(7)

Wyniki symulacji przedstawiono w postaci charakterystyk częstotliwościowych (współczynnika przenoszenia drgań Txz(f)=20log[X(f)/Z(f)]) i charakterystyk czasowych x(t).

Wyznaczone charakterystyki pokazano na rys. 8 i 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

f [Hz]

Txz[dB]

UP1 UP2 US1 US2

3 4 5 6 7 8 9

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f [Hz]

Txz[dB]

UP1 UP2 US1 US2

Rys. 8. Współczynnik przenoszenia drgań

Z rys. 8 wynika, że częstotliwość rezonansowa układu UP1 wynosi około 4.6 Hz.

W układzie UP2 występuje wyraźne obniżenie amplitudy drgań rezonansowych. Amplituda drgań w układzie UP2 przy częstotliwościach nadrezonansowych (>7 Hz) jest większa niż w układzie UP1.

W układzie US1 następuje zmniejszenie amplitudy drgań rezonansowych w porównaniu z układem UP1, przy czym częstotliwość rezonansowa ulega przesunięciu do 7 Hz.

Dla częstotliwości nadrezonansowych amplituda drgań układu US1 jest również większa niż w układzie UP1. Z wykresów wynika, że najkorzystniejszą charakterystykę częstotliwościową posiada układ US2.

Charakterystyki częstotliwościowe układu UP2 i US2 wykazują jedno maksimum globalne oraz jedno maksimum lokalne. Wynika to z wykorzystania w symulacjach modelu Bouc-Wenaa (stanowi integralną część modelu Spencera). Model Bouc-Wena reprezentuje nie tylko własności histerezowe, lecz także granicę płynięcia cieczy MR, a więc dwa różne typy właściwości (w tym wartości zastępczego współczynnika tłumienia) przy różnych zakresach prędkości tłoka.

Na rys. 9a przedstawiono porównanie przebiegów czasowych przemieszczenia x obiektu w układzie UP1 i US1 przy wymuszeniu z (rys. 1) o amplitudzie 6 mm i częstotliwości 4.5 Hz. Analogicznie, na rys. 9b pokazano porównanie przebiegów czasowych przemieszczenia x w układzie US1 i US2. Przebiegi czasowe natężenia prądu w cewce sterującej w układzie US1 i US2 pokazano na rys. 10.

a)

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

t [s]

x[mm], z[mm]

UP1 US1

z

b)

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

t [s]

x[mm], z[mm]

US1 US2

z

Rys. 9. Przemieszczenie obiektu przy wymuszeniu sinusoidalnym o amplitudzie 6 mm i częstotliwości 4.5 Hz: a) układy UP1 i US1, b) układy US1 i US2

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

t [s]

20 xi[A], z [mm]

US1 US2

z

Rys. 10. Natężenie prądu sterującego w cewce sterującej przy wymuszeniu sinusoidalnym o amplitudzie 6 mm i częstotliwości 4.5 Hz

6. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono wyniki symulacji układu redukcji drgań z tłumikiem MR i elektromagnetycznym przetwornikiem energii. Porównano je z wynikami symulacji układów pasywnych UP1 i UP2 oraz układów sterowanych US1 i US2.

Symulacje wykazały, że układ redukcji drgań z przetwornikiem US1 w porównaniu z układem pasywnym UP1 (brak zasilania cewki sterującej) umożliwia obniżenie amplitudy drgań dla częstotliwości okołorezonansowych. Jednocześnie dla częstotliwości większych od rezonansowej amplituda drgań jest większa. Znaczącą poprawę charakterystyki częstotliwościowej układu redukcji drgań z tłumikiem MR można uzyskać poprzez odpowiednie sterowanie natężeniem prądu w cewce sterującej. Pokazano to na przykładzie układu US2, w którym zastosowano algorytm sky-hook.

Wyznaczone na podstawie badań symulacyjnych charakterystyki będą wykorzystane do budowy modelu fizycznego układu redukcji drgań z tłumikiem MR i elektromagnetycznym przetwornikiem energii.

Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N501 366964.

LITERATURA

1. Cho S. W., Jung H. J., Lee I. W.: Smart passive system based on a magnetorheological dampers. “Smart Materials and Structures” Vol. 1, 707–714, 2005.

2. Karnopp D.: Active and Semiactive Vibration Isolation. Transactions of the ASME, Vol.

117, 1995.

3. Sapiński B.: Elektromagnetyczne przetworniki energii drgań dla amortyzatora magnetoreologicznego. „Modelowanie Inżynierskie” 2010, t. 8, nr 39, s. TU PODAĆ STRONY!!!

4. Sapiński B.: An experimental electromagnetic induction device for a magnetorheological damper. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” No. 4, Vol. 46, 933–948, 2008.

5. Sapiński B., Krupa S., Jaraczewski M.: Cewka z uzwojeniem foliowym w polu magnetycznym ruchomych magnesów trwałych. „Przegląd Elektrotechniczny” R. 85 NR 10/2009, 16–21.

6. Spencer B., Dyke S., Sain M., Carlson J.: Phenomenological model of a magnetorheological damper. “Journal of Engineering Mechanics” 1996.

7. Wen Y.: Method for random vibration of hysteretic systems. “Journal of the Engineering Mechanics Division” 249–263, 1976.

8. http://www.lord.com

SIMULATION OF VIBRATION REDUCTION SYSTEM WITH AN MR DAMPER

AND AN ELECTROMAGNETIC TRANSDUCER

Summary. The paper concerns simulation analysis of vibration reduction system for one degree-of-freedom object, equipped with a magnetorheological (MR) damper and an electromagnetic transducer. The MR damper’s Spencer model for fluctuating magnetic fields and the model of the electromagnetic transducer are described. Results of simulations for three system configurations: passive, feedback, and the one powered by the energy extracted from the vibrating object are provided.