MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MECHANICZNEGO ZE STEROWANYMI AMORTYZATORAMI

(1)

ISSN 1896-771X 36, s. 221-228, Gliwice 2008

MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MECHANICZNEGO ZE STEROWANYMI AMORTYZATORAMI

M

ICHAŁ

M

AKOWSKI

, W

IESŁAW

G

RZESIKIEWICZ

Instytut Pojazdów, Politechnika Warszawska

e-mail: michal.makowski.tu@wp.pl, wgr@simr.edu.pw.pl

Streszczenie. Praca poświęcona jest prezentacji algorytmów sterowania tłumikami drgań pojazdu. Dzięki temu moŜna zmniejszyć drgania pionowe pojazdu, co wpływa na poprawę komfortu jazdy i bezpieczeństwa. Do tłumienia drgań zastosowano tłumik magnetoreologiczny (MR). Do analizy drgań wykorzystano model pojazdu ze sterowanymi tłumikami MR uwzględniający odrywanie się kół od drogi. Do symulacji drgań wykorzystano oprogramowanie Matlab/Simulink.

1. WSTĘP

Praca poświęcona jest badaniu wpływu sterowania amortyzatorami na drgania pojazdu.

W ostatnich latach nastąpił szybki rozwój elektroniki, umoŜliwiający zastosowanie systemów kontroli i sterowania w pojazdach i maszynach roboczych. Problematyka zastosowania sterowanych tłumików drgań w pojazdach podejmowana była np. w pracach [2], [3].

W prezentowanej pracy został przedstawiony układ sterowania drgań pojazdu z zastosowaniem tłumików hydraulicznych z cieczą magnetoreologiczną. Konstrukcja tłumika drgań umoŜliwia zmiany oporów przepływu cieczy przez zmianę lepkości cieczy, poprzez sterowanie natęŜeniem pola magnetycznego w szczelinie, przez którą przepływa ciecz.

W pracy została przedstawiona metoda doboru siły tłumienia tak, aby zminimalizować przyspieszenia wybranego punktu pojazdu. Siła tłumienia dobierana jest na podstawie opracowanego algorytmu optymalizacyjnego, przedstawiono równieŜ model zawieszenia pojazdu z odrywaniem się kół. Tematyka modelowania oddziaływania pomiędzy kołami z nawierzchnią była podejmowana w literaturze [4, 5], gdzie powszechnie stosowany jest model koła opisywanego za pomocą układu elementów w postaci tłumików i spręŜyn.

W pracy model koła opisany jest w postaci równań uwzględniających moŜliwość utraty styku opony z nawierzchnią drogi.

2. MODEL POJAZDU

Przedstawiony model słuŜy do analizy drgań w płaszczyźnie pionowej rys. 1). Nadwozie pojazdu przedstawiono jako ciało, którego parametry prezentują: masa pojazdu - m, moment bezwładność - Jy, połoŜenie środka masy określają wymiary geometryczne - a1 i a2, natomiast

(2)

wymiar - xK określa połoŜenie punktu kontrolnego K. Zawieszenie przedstawiono za pomocą spręŜyn o sztywności - k₁ i k₂, oraz tłumiki drgań o współczynnikach tłumienia - c₁ i c₂. W modelu pojazdu uwzględniono koła o masie – m₀₁ i m₀₂, połoŜenie punktu styku kół z nawierzchnią opisane są za pomocą współrzędnych z01 i z02, spręŜyny prezentują sztywności opon k01 i k02, oraz tłumiki drgań o współczynnikach tłumienia c01 i c02. Drgania układu wywołane są wymuszeniem kinematycznym ξ₁ i ξ₂. Cewki wytwarzają pole magnetyczne w tłumiku i są one zasilane prądem - I₁ i I₂. Naciski kół na nawierzchnię drogi prezentowane są przez wyznaczane siły R1 i R2.

Model pojazdu został opisany we współrzędnych:

[

z, y,x01,x02

]

^T

X= Φ , (1)

wartości te są mierzone od połoŜenia równowagi pojazdu postawionego na płaskiej nawierzchni.

Wektor natęŜenie prądu zasilającego cewki tłumików MR:

] , I [I

I = ₁ ₂ . (2)

Model pojazdu i układu zasilania.

Q ) T (S H T) H(S X

M&&+ + + _o _o+ _o = , (3)

Uw

RI I

L&+ = , (4)

gdzie M – macierz bezwładności, Q – wektor sił nacisku kół na nawierzchnię, L – wektor indukcyjności, R – wektor rezystancji, U_w– wektor napięć zasilających obwody cewek.

Równanie ruchu w punktach styku opony z nawierzchnią drogi A1 i A2 przestawiono wzorem:

R ) T (S

H_o _o+ _o = , (5)

Zakres warunków opisujących oddziaływanie opony i podłoŜa przedstawia zaleŜność:

0 ) ξ (z R 0, R 0, ξ

z_0i − _i ≥ _i ≥ _i _0i− _i = ^, (6)

Rys. 1. Model pojazdu

Wektory sił w spręŜynach S i sił tarcia T w tłumikach prezentujących zawieszenie:

(3)

1,2 i i; iU i k S , ] T , [T T T, 2] S 1, [S

S= = ₁ ₂ ^T = = (7)

Odkształcenie spręŜyn Ui i prędkość odkształceń Vi w zawieszeniu określają wzory:

ist i

T i

i(t) H X (t) u

U = + , V_i(t)=H^T_iX&_i(t), (8) gdzie u_ist jest odkształceniem statycznym zawieszenia

i

ist 2k

u = mg, (9)

Wektory Hi i = (1,2) określają kierunki działania sił Si i Ti

[

₁

]

^T ₂

[

₂

]

^T

1 1, a , 1,0 , H 1,a ,0, 1

H = − − = − , (10)

Odkształcenia opon obliczamy według wzoru:

ist i

i T 0i

0i(t) H X (t) (t)

U = +ζ +ζ , V_0i(t)=H_i^TX&_i(t)+ζ&_i(t)_, ₍₁₁₎ gdzie ξ_i(i = 1,2) funkcja opisująca nierówności drogi a ζist jest ugięciem statycznym opony

0i 0

ist 2k

)g m (m+

=

ζ . (12)

Wektory H_0i i = (1,2) określają kierunki działania sił w oponach

[ ]

^T ₂

[ ]

^T

1 0,0,1,0 , H 0,0,0,1

H = = . (13)

Na rys. 2.a) przedstawiono graficznie warunki opisane zaleŜnością (6).

a) b)

Rys. 2. Prezentacja graficzna warunków oddziaływań: a) warunków opisanych zaleŜnością (6), b) warunków opisanych zaleŜnością (16)

Z relacji warunków (4) wynika, rys. 2.a):

0 ξ z gdy 0

R_i = _0i − _i ≥ , (14a)

oraz

0 ξ z gdy 0

R_i ≥ _0i − _i = , (14b)

oznacza to, Ŝe warunki (6) jednocześnie wyznaczają siłę nacisku kół R_i tylko wtedy, gdy 0

ξ

z_0i − _i > . W celu ustalenia wartości siły Ri, gdy z_0i −ξ_i =0 rozwaŜa się równanie (5), które zapisuje się w postaci:

ist 0i 0i 0i 0i 0i i 0i 0i 0i i i

i i 0i

0i(z ξ ) F R , F : c x c ξ k x k z k ξ

c & −& + = = & + & + + + . (15)

Następstwem warunków (6), gdy z_0i −ξ_i =0, (rys. 2.b) jest zaleŜność:

0 ) ξ z ( R 0, R 0, ξ

z&_0i −&_i ≥ _i ≥ _i &_0i −&_i = . (16)

(4)

Na podstawie warunków (16) i (17) moŜna jednoznacznie wyznaczyć wartość siły Ri oraz prędkość Ŝ_0i:





≥

= <

0 F gdy F

0 F gdy 0

R

i i

i

i jeŜeli z_0i −ξ_i =0. (17)

W rozwaŜanym modelu zawieszenia pojazdu wartość sił tłumienia jest dobierana według algorytmu opisanego w kolejnym punkcie.

3. STEROWANIE DRGAŃ POJAZDU

Sterowanie drgań pojazdu realizowane jest według opracowanego algorytmu sterowania tłumików drgań uwzględniające kryterium komfortu. Wskaźnikiem jest bezwzględna wartość przyspieszenia pionowego wybranego punktu K zaznaczonego na nadwoziu na rys. 1.

Algorytm sterowania drgań pojazdu z uwzględnieniem zadania optymalizacji przyjmuje postać:

Q ) S (T H S) H(T X

M&&+ + + ₀ ₀+ ₀ = , (18)

wi i

i RI U

I

L& + = , (19)

) , (V

T_i =F _i I_i , (20)

) T , (V_i _wi

−1

= FR

U_wi , (21)

V) (S,

T_w =A , (22)

gdzie F jest operatorem wyznaczania sygnałów sterujących według charakterystyki przedstawionej na rys. 3.

Rys. 3. Charakterystyka tłumika MR Ω(V) Wartość przyspieszenia w punkcie K jest opisana wzorem:

T k T

k G X, G [1,x ]

a = && = , (23)

gdzie wektor G określa połoŜenie punktu K.

(5)

Na podstawie równania (3) wyznaczono przyspieszenie punktu K:

T D (t) a T) H(S M G

a_k =− ^T ⁻¹ + = _o + ^T , (24)

gdzie oznaczono:

S D : (t) a H, M G :

D^T =− ^T ⁻¹ _o = ^T . (25)

Przyjęto wskaźnik komfortu w postaci:

T D (t) a

κ= _o + ^T . (26)

Zadanie optymalizacyjne sił tarcia jest w postaci:

T D (t) a

Τ _o ^T

Ω(V) T

w ∈ +

∈

Arg min . (27)

Szczegółowy opis metody i algorytmu sterowania opisany jest w pracy [1].

Wartość sił tarcia w tłumiku wyznacza się na podstawie schematu sterowania.

{

^T ^R ^:^T ^VÎ ^:Î ^[I ^,Î ^]

}

: Ω(V)

T∈ = _i ∈ ² _i = _i _i _i ∈ _min _max . (28)

Charakterystykę tłumika magnetoreologicznego przedstawiono na rys. 3.

4. WYNIKI BADAŃ

Zaproponowany model pojazdu oraz obliczenia wykonano w programie Matlab/Simulink [6].

Przyjęto, Ŝe model pojazdu jest symetryczny i środek masy znajduje się w środku

geometrycznym układu, wówczas a1 = a2 = 1,6 m, punkt kontrolny K znajduje się w odległości x_k = 0,5 m od środka geometrycznego pojazdu. Nadwozie pojazdu prezentuje

ciało o masie m = 1200 kg i moment bezwładność - J_y= 3072 kgm^2, a zawieszenie przedstawiono w postaci spręŜyn o sztywności k1 = k2 = 47500 N/m i sterowane tłumiki drgań o współczynnikach tłumienia c_i∈[c_min,c_max].

Cewkę wytwarzającą pole magnetyczne w tłumiku magnetoreologicznym prezentuje rezystancja R = 2,1 Ω i indukcyjność cewki L = 6 mH.

Badania symulacyjne zostały przeprowadzone przy sterowaniu tłumika, gdzie zdefiniowano graniczne wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia γmin = 0,05 i γmax = 3, którym odpowiadają wartości współczynnika tłumienia cmin = 750 Ns/m i c_max= 45000 Ns/m. W celach porównawczych wykonano badania bez sterowania siłą

tłumienia przy załoŜonym bezwymiarowym współczynniku tłumienia γ = 0,3, któremu odpowiada współczynnik tłumienia c1 = c2 = 4500 Ns/m.

Układ mechaniczny został wymuszony kinematycznie:

(

_i

)

0sin t β

ξ

ξ_i = ω + , β1 = 0, 



 



 +

2 =

L a 2π a

β ¹ ² , (30)

gdzie wielkość L jest długością fali.

ZałoŜono długości fali L = 11,12 m tak, aby przy prędkości jazdy V₀ = 60 km/h uzyskać częstość rezonansową układu mechanicznego. Dalsze badania prowadzono dla róŜnych częstości wymuszeni. ZałoŜono stałą amplitudę ξ0 = 0,02 m.

Na rys. 4 przedstawiono przykładowy wynik symulacji przy kryterium komfortu w punkcie K, układ został wymuszony kinematycznie z częstości ω = 2.25 Hz.

(6)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

0 0,5 1 1,5 2

Czas [s]

Modul przyspieszeń [m/s^2]

Bez sterowania Sterowanie

Rys.4. Przebieg modułu przyspieszeń punktu K dla sterowanego tłumienia i bez sterowania przy amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,02 m

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,5 1 1,5 2

Czas [s]

Modul przyspieszeń [m/s^2]

Rys.5. Przebieg modułu przyspieszeń punktu K dla sterowanego tłumienia i bez sterowania przy amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,08 m

Następnie układ mechaniczny został wymuszony kinematycznie z częstości ω = 2.25 Hz i przy amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,08 m. Na rys. 5 przedstawiono wynik symulacji przy kryterium komfortu w punkcie K, a na rys. 6 przebieg zmian sił w punkcie styku koła i nawierzchni drogi.

(7)

0,E+00 2,E+03 4,E+03 6,E+03 8,E+03 1,E+04 1,E+04 1,E+04 2,E+04

0 0,5 1 1,5 2

Czas [s]

Siła R2 [N]

Rys.6. Przebieg zmian sił w punkcie styku koła i nawierzchni drogi dla sterowanego tłumienia i bez sterowania przy amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,08 m

Ocenę wpływu sterowania z uwzględnieniem kryterium komfortu jazdy dokonano na podstawie normy ISO-2631, gdzie oceniane są trzy parametry: komfort, uciąŜliwość i szkodliwość. Na podstawie badań stwierdzono, Ŝe w układzie ze sterowaniem siłą tarcia przy wymuszeniu kinematycznym z częstości ω = 2.25 Hz i przy amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,02 m uzyskano obniŜenie amplitud przyspieszeń pionowych wybranego punku K, a czas ekspozycji w warunkach komfortu został wydłuŜony z 6 min do wartości powyŜej 9 h w układzie ze sterowaniem drgań pojazdu.

Przy sterowaniu siłą tłumienia z uwzględnieniem kryterium komfortu poprawiono równieŜ bezpieczeństwo jazdy. Przy sterowaniu siłą tłumienia moŜna zapobiec utracie kontaktu koła z nawierzchnią. Na rys. 6 przedstawiono przebieg zmian sił nacisku przy wymuszeniu kinematycznym z częstości ω = 2.25 Hz i amplitudzie wymuszeń ξ0 = 0,08 m.

Po przeprowadzeniu badań stwierdzono, Ŝe przy sterowaniu tłumikiem drgań moŜna zacznie wydłuŜyć czas jazdy w warunkach komfortu, a sterowanie znacząco wpływa na zmniejszenie amplitud przyspieszeń pionowych. MoŜna równieŜ wpłynąć na poprawę bezpieczeństwa jazdy przez zmniejszenie wahań nacisków kół na nawierzchnię drogi.

5. ZAKOŃCZENIE

Podczas badań symulacyjnych z uwzględnieniem kryterium komfortu wykazano, Ŝe moŜliwe jest zmniejszenie modułu przyspieszeń pionowych wybranego punktu nadwozia K i wydłuŜenie czasu jazdy w warunkach komfortu.

Badania symulacyjne, opracowane modele pojazdu i cewki oraz algorytm sterowania przy kryterium komfortu zostały wykonane przy uŜyciu programu Matlab\Simulink [6].

Przedstawiony model zawieszenia umoŜliwia prowadzenie badań przy utracie kontaktu opony z nawierzchnią drogi.

Przedstawiona metoda rozwiązania zadania moŜe być stosowana do modelowania pojazdów i maszyn, w których ograniczenie drgań odbywa się za pomocą sterowanych tłumików magnetoreologicznych lub innych sterowanych tłumików drgań.

(8)

W Instytucie Pojazdów Politechniki Warszawskiej wykonywane są dalsze prace badawcze związane z zastosowaniem tłumików magnetoreologicznych w układach mechanicznych.

Kolejnym krokiem są badania z wykorzystaniem modelu pojazdu zawieszonego na 4 kołach.

LITERATURA

1. Grzesikiewicz W., Wakulicz A.: Minimalizacja bezwzględnej wartości funkcjonału afinicznego na zbiorze w postaci kostki. W: XXII Ogólnopolska Konferencja

„Polioptymalizacja i komputerowe wspomaganie projektowania”. Mielno 2004.

2. Makowski M., Grzesikiewicz W.: Die Schwingungsreduzierung in einem Fahrzeug mit einer Dampfersteuerung MR. W: XIX Deutsch- Polnisches Wissenschaftliches Seminar, Köln 2007.

3. Makowski M., Knap L., Grzesikiewicz W., Pokorski J.: Badanie moŜliwości ograniczenia drgań pojazdu przy uŜyciu sterowanych amortyzatorów magneto-reologicznych. W: XV Ogólnopolskie Sympozjum Bezpieczeństwo w Pojazdach Samochodowych. Warszawa, 2006.

4. Mitschke M.: Teoria samochodu. T 2, Warszawa : WKŁ, 998.

5. Zegelaar P.W.A., Pacejka H.B.: Dynamic tyre responses to brake torque variations. Tyre models for vehicle dynamic analysis. Supplement to Vehicle System Dynamic. 1997 Vol.

27.

6. User’s Guide Simulink , www.mathworks.com.

MODELING OF VIBRATION OF MECHANICAL SYSTEM WITH CONTROL DAMPERS

Summary. Control algorithm of damping system equipped with magnetorheological damper (MR) in this paper is presented. A method of vibration limitation by a controlled MR damper has been presented. The model of the vehicle has been built and the control algorithm using Matlab/Simulink software. As a criterion of optimization of the damping force the index characterizing vertical accelerations has been used.